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%%% Tapuscrit et corrigé : François Hache
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%le e de l'exponentielle
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\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%le i des complexes

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 29 mai 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Liban}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Terminale ES/L
~\decofourright\\[5pt] Amérique du Nord 29 mai 2018}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.}

\begin{enumerate}
\item Un pépiniériste cultive des bulbes de fleurs. La probabilité qu'un bulbe germe, c'est-à-dire qu'il donne naissance à une plante qui fleurit, est de $0,85$.

Il prélève au hasard 20 bulbes du lot. La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 bulbes.

On peut affirmer que:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad La probabilité qu'au maximum 15 bulbes germent est proche de $0,103$.\\
\hline
\textbf{B.} \quad La probabilité qu'au maximum 15 bulbes germent est proche de $0,067$.\\
\hline
\textbf{C.} \quad La probabilité qu'au minimum 15 bulbes germent est proche de $0,830$.\\
\hline
\textbf{D.} \quad La probabilité qu'au minimum 15 bulbes germent est proche de $0,933$.\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Réponse D.}

\begin{tabular}{@{\hspace*{1cm}}|p{0.8\linewidth}}
La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de bulbes qui germent suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,85$.

On obtient à la calculatrice $P( X\geqslant 15) \approx 0,933$. 
\end{tabular}

\medskip

\item On considère une fonction $f$ définie sur $[0\,;\,8]$ dont $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative dessinée ci-dessous:

\begin{center}
\bigskip
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-0.8}   \def\xmax {8.8}
\def\ymin {-0.8}   \def\ymax {5.8}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=red!50,linecolor=red](2,0)(4,0)(4,5)(2,4)
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchcolor=blue,linecolor=blue](2,0)(4,0)(4,5)(2,5)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-110][$y$,200] 
\def\f{x x neg 10 add mul 16 add 8 div}                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=2000]{0}{8}{\f}
\uput[ul](2,4){$\mathcal{C}_f$}
\uput[dl](0,0){$0$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $8 \leqslant \displaystyle\int_2^4 f(x) \d x \leqslant 9$ \rule[-15pt]{0pt}{0pt}
&
\textbf{B.} \quad $9 \leqslant \displaystyle\int_2^4 f(x) \d x \leqslant 10$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $\displaystyle\int_2^4 f(x) \d x =f(4)-f(2)$ \rule[-15pt]{0pt}{0pt}
&
\textbf{D.} \quad $\displaystyle\int_2^4 f(x) \d x = 9$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Réponse B.}

\begin{tabular}{@{\hspace*{1cm}}|p{0.8\linewidth}}
$\displaystyle\int_2^4 f(x) \d x$ est, en unités d'aire, l'aire du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=2$ et $x=4$.

Cette aire est encadrée par les deux polygones dessinés dont les aires sont de 9 et 10 (en u.a.). 
\end{tabular}

\medskip

\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)$.

Une primitive de $g$ sur $]0\,;\,+\infty[$ est la fonction $G$ définie par:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $G(x)=\ln(x)$ & \textbf{B.} \quad $G(x)=x \ln(x)$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $G(x)= x \ln(x) - x$ & \textbf{D.} \quad $G(x)= \dfrac{1}{x}$ \rule[-10pt]{0pt}{0pt}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Réponse C.}

\begin{tabular}{@{\hspace*{1cm}}|p{0.8\linewidth}}
Si $G(x)=x \ln(x)-x$, alors $G'(x)= \ln(x) + x  \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln(x)=g(x)$ donc $G$ est une primitive de $g$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
\end{tabular}

\medskip

\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln(x)>0$ est:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $]0\,;\,+\infty[$ & \textbf{B.} \quad $]0\,;\,1[$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $]1\,;\,+\infty[$ & \textbf{D.} \quad $]\e\,;\,+\infty[$ \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Réponse C.}

\begin{tabular}{@{\hspace*{1cm}}|p{0.8\linewidth}}
$\ln(x)>0 \iff \ln (x) > \ln 1 \iff x >1$ 
\end{tabular}

\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%\textbf{Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.}
%
%\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes.}
%
%\medskip

Le site internet \og ledislight.com \fg{} spécialisé dans la vente de matériel lumineux vend deux sortes de rubans LED flexibles: un premier modèle dit d'\og intérieur \fg{} et un deuxième modèle dit d'\og extérieur \fg{}. Le site internet dispose d'un grand stock de ces rubans LED.

\begin{center}
  \textbf{Partie A}
  \end{center}  

\begin{enumerate}
\item Le fournisseur affirme que, parmi les rubans LED d'extérieur expédiés au site internet, 5\,\% sont défectueux. Le responsable internet désire vérifier la validité de cette affirmation. Dans son stock, il prélève au hasard 400 rubans LED d'extérieur parmi lesquels 25 sont défectueux.

On prend un échantillon de taille 400 donc $n=400$. Le fournisseur affirme que $5\,\%$ des rubans sont défectueux donc la probabilité qu'un ruban soit défectueux est $p=0,05$.

$n=400 \geqslant 30$, $np=20 \geqslant 5$ et $n(1-p) = 380 \geqslant 5$ donc on peut déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de rubans défectueux au seuil de 95\,\%:
 

%Ce contrôle remet-il en cause l'affirmation du fournisseur?

%\medskip
%
%\emph{\textbf{Rappel:} lorsque la proportion $p$ d'un caractère dans la population est connue, l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% d'une fréquence d'apparition de ce caractère obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donnée par:}
%

\smallskip

$\hspace*{1cm} I= \left [ p-1,96 \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,;\, p+1,96 \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right ]\\[7pt]
\phantom{\hspace*{1cm} I}
= \left [0,05 - 1,96 \sqrt{\dfrac{0,05\times 0,95}{400}} \,;\, 0,05 + 1,96 \sqrt{\dfrac{0,05\times 0,95}{400}} \right ]
\approx [0,029\,;\,0,071]$

\smallskip

La fréquence de rubans défectueux dans l'échantillon considéré est $f=\dfrac{25}{400} = \np{0,0625}$.\\
Or $f\in I$ donc il n'y a pas de raison de remettre en cause l'affirmation du fournisseur.

\item Le fournisseur n'a donné aucune information concernant la fiabilité des rubans LED d'intérieur. Le directeur du site souhaite estimer la proportion de rubans LED d'intérieur défectueux. Pour cela, il prélève un échantillon aléatoire de 400 rubans d'intérieur, parmi lesquels 38 sont défectueux ce qui fait une fréquence $f=\dfrac{38}{400} = 0,095$.

$n=400 \geqslant 30$, $nf=38 \geqslant 5$ et $n(1-f) = 362 \geqslant 5$
donc on peut établir un intervalle de confiance de cette proportion au seuil de confiance de 95\,\%:
 
\[\left [ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \,;\, f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]
=\left [ 0,095-\dfrac{1}{\sqrt{400}} \,;\, 0,095+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right]
= [0,045\,;\, 0,145].\]

\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

À partir d'une étude statistique réalisée sur de nombreux mois, on peut modéliser le nombre de rubans LED d'intérieur vendus chaque mois par le site à l'aide d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = \np{2500}$ et d'écart-type $\sigma=400$.

\begin{enumerate}
\item La probabilité que le site internet vende entre \np{2100} et \np{2900} rubans LED d'intérieur en un mois est
$P(\np{2100} \leqslant X \leqslant \np{2900}) \approx 0,683$.

C'est un résultat du cours: $P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0,683$, que l'on peut également retrouver avec une calculatrice.

\item
\begin{enumerate}
\item À la calculatrice, on trouve la valeur de $a$ telle que $P(X \leqslant a)=0,95$ soit $a\approx \np{3158}$.

\item %Interpréter la valeur de $a$ obtenue ci-dessus en termes de probabilité de rupture de stock.
Si le site internet possède en stock \np{3158} rubans LED d'intérieur, la probabilité qu'il n'y ait pas rupture de stock est supérieure ou égale à $0,95$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage

\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{On admet maintenant que:}
\item 20\,\% des rubans LED proposés à la vente sont d'extérieur;
\item 5\,\% des rubans LED d'extérieur sont défectueux.
\end{list}

On prélève au hasard un ruban LED dans le stock.

\begin{list}{\textbullet}{On appelle:}
\item $E$ l'évènement: \og le ruban LED est d'extérieur \fg{};
\item $D$ l'évènement: \og le ruban LED est défectueux \fg{}.  
\end{list}

\begin{enumerate}
\item On représente la situation à l'aide d'un arbre pondéré:

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$E$}\naput{$0,2$}}
 	  { 
 		  \TR{$D$}\naput{$0,05$}
 		  \TR{$\overline{D}$}\nbput{\red $1-0,05=0,95$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{E}$}\nbput{\red $1-0,2=0,8$}}
 	  {
 		  \TR{$D$}\naput{\red $x$}
          \TR{$\overline{D}$}\nbput{\red $1-x$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

dans lequel $x$ est un réel compris entre 0 et 1, et représente $P_{\overline{E}}(D)$.

\item \og Le ruban LED est d'extérieur et défectueux \fg{} est l'évènement $E\cap D$:

$P(E\cap D) = P(E) \times P_{E}(D)=0,2 \times 0,05 = 0,01$.

\item D'autre part on sait que 6\,\% de tous les rubans LED sont défectueux, donc $P(D)=0,06$.

D'après la formule des probabilités totales:\\
$P(D) = P(E\cap D) + P\left(\overline{E} \cap D\right) = P(E\cap D) + P\left(\overline{E}\right)\times P_{\overline{E}}(D) = 0,01 + 0,8x$.

On a $P(D) = 0,06$ et $P(D) = 0,01 + 0,8x$, donc $0,06 = 0,01 + 0,8x$ autrement dit $x=\dfrac{0,05}{0,8}$; donc $x = \dfrac{1}{16}$.
Comme $x$ représente $P_{\overline{E}}(D)$ on en déduit que $P_{\overline{E}}(D)=\dfrac{1}{16}$.

On peut donc dire que, parmi les rubans LED d'intérieur, il y en a $\dfrac{1}{16}$ de défectueux.

%Calculer puis interpréter $P_{\overline{E}}(D)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

Une société propose des contrats annuels d'entretien de photocopieurs. Le directeur de cette société remarque que, chaque année, 14\,\% des contrats supplémentaires sont souscrits et 7 sont résiliés.

En 2017, l'entreprise dénombrait 120 contrats souscrits.

On modélise la situation par une suite $(u_n)$ où $u_n$ est le nombre de contrats souscrits l'année $2017+n$.

Ainsi on a $u_0=120$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item% Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=1,14 u_n-7$.
Chaque année, 14\,\% des contrats supplémentaires sont souscrits; augmenter de 14\,\%, c'est multiplier par $1,14$. De plus chaque année, 7 contrats sont résiliés. On passe donc du nombre de contrats de l'année $n$ au nombre de contrats de l'année $n+1$ en multipliant par $1,14$ puis en retranchant 7.

Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=1,14 u_n - 7$.

\item% Estimer le nombre de contrats d'entretien en 2018.
$2018 = 2017+1$ donc le nombre de contrats d'entretien en 2018 est $u_1$:

$u_1=1,14 u_0 - 7 = 1,14\times 120 - 7 \approx 130$.

On peut estimer à 130 le nombre de contrats d'entretien en 2018.

\end{enumerate}

\item Compte tenu de ses capacités structurelles actuelles, l'entreprise ne peut prendre en charge que 190 contrats. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel.

On cherche donc à savoir en quelle année l'entreprise devra embaucher.

\begin{enumerate}
\item% Recopier et compléter l'algorithme ci-dessus.
On complète l'algorithme donné dans le texte:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}
\hline
$n\longleftarrow 0$\\
$u\longleftarrow 120$\\
Tant que $\red u \leqslant 190$\\
\hspace*{1cm} $n\longleftarrow n+1$\\
\hspace*{1cm} $\red u \longleftarrow u \times 1,14 - 7$\\
 Fin Tant que\\
 Afficher $2017+n$\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item% Quelle est l'année affichée en sortie d'algorithme? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
On utilise la calculatrice pour déterminer les différentes valeurs de $u_n$ (arrondies à l'unité):

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{0.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
$u_n$ & 120 & 130 & 141 & 154 & 168 & 185 & \textcolor{red}{204}\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

C'est donc à partir de $n=6$ que $u$ dépasse $190$; l'année $2017+6=2023$ sera donc affichée en fin d'algorithme; c'est l'année à partir de laquelle l'entreprise aura plus de 190 contrats en charge donc devra embaucher.

\end{enumerate}

\item On définit la suite $(v_n)$ par $v_n=u_n-50$ pour tout entier naturel $n$; donc $u_n=v_n+50$.
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1}= u_{n+1}-50 = 1,14 u_n - 7 - 50 = 1,14 (v_n+50) - 57 = 1,14 v_n +57-57 = 1,14 v_n$.

L'égalité $v_{n+1}= 1,14 v_n$ montre que la $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique  de raison $q = 1,14$.
\item $v_0 = u_0-50 = 120-50 = 70$. Le premier terme de la suite géométrique est $v_0 = 70$.
\end{list}

\item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis démontrer que, pour tout entier naturel $n$, \[u_n=70\times 1,14^n+50.\]
La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0 = 70$ et de raison $q=1,14$ donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0\times q^n = 70 \times 1,14^n$.

Comme $u_n = v_n + 50$, on en déduit que pour tout $n$, $u_n=70\times 1,14^n + 50$.

\item On résout l'inéquation $u_n>190$:

 $\begin{array}{l !{\iff} l l}
 u_n>190 & 70\times 1,14^n + 50 > 190 & \\
                 & 70\times 1,14^n  > 140         & \\
                 & 1,14^n > 2 & \\
                 & \ln\left ( 1,14^n\right ) > \ln(2) & \text{la fonction ln est croissante sur } ]0\,;\, +\infty[\\
                 & n \ln(1,14) > \ln(2) & \text{propriété de la fonction ln}\\[5pt]
                 & n > \dfrac{\ln(2)}{\ln(1,14)}\\
 \end{array}$

Or $\dfrac{\ln(2)}{\ln(1,14)} \approx 5,3$ donc $u_n>190$ pour $n \geqslant 6$.

On retrouve donc l'année $2017+6=2023$ à partir de laquelle le nombre de contrats d'entretien sera supérieur à 190.
%Quel résultat de la question \textbf{2.} retrouve-t-on?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Deux entreprises concurrentes \og Alphacopy \fg{} et \og Bêtacopy \fg{} proposent des contrats annuels d'entretien de photocopieurs. Ces deux entreprises se partagent le marché des contrats d'entretien sur un secteur donné. 

\begin{list}{\textbullet}{Le patron de Alphacopy remarque que, chaque année:}
\item 15\,\% des clients qui avaient souscrit un contrat d'entretien chez Alphacopy décident de souscrire un contrat d'entretien chez Bêtacopy. Les autres restent fidèles à Alphacopy;
\item 25\,\% des clients qui avaient souscrit un contrat d'entretien chez Bêtacopy décident de souscrire un contrat d'entretien chez Alphacopy. Les autres restent fidèles à Bêtacopy.
\end{list}

\begin{list}{\textbullet}{On définit les évènements suivants:}
\item $A$: \og le client est sous contrat avec  l'entreprise Alphacopy \fg{};
\item $B$: \og le client est sous contrat avec l'entreprise Bêtacopy \fg{}.  
\end{list}

À partir de 2017, on choisit au hasard un client ayant un contrat d'entretien de photocopieurs et on note, pour tout entier naturel $n$:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité que le client soit sous contrat avec l'entreprise Alphacopy l'année $2017+n$;
\item $b_n$ la probabilité que le client soit sous contrat avec l'entreprise Bêtacopy l'année $2017+n$
\end{list}

On note $P_n=\begin{pmatrix} a_n & b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2017+n$.

L'objectif de l'entreprise Alphacopy est d'obtenir au moins 62\,\% des contrats d'entretien des photocopieurs.

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On représente le graphe probabiliste de cette situation en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

\newrgbcolor{colorG}{1 0 0}% couleur du sommet de gauche
%%% mettre 0 0 0 pour le noir

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{$A$}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{$B$}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{$0,15$}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{$0,25$}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{$0,85$}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{$0,75$}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
 %   définition des sommets
\ncarc[linecolor=colorG]{->}{G}{D} 
\Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} 
\Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
\Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
\Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}

Ce qui s'exprime sous forme de système:
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,85\,a_n + 0,25\,b_n\\
b_{n+1} & 0,15\,a_n + 0,75\,b_n
\end{array}
\right .$

et de matrices:
$\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,85 & 0,15 \\ 0,25 & 0,75
\end{pmatrix}$ 

Donc la matrice de transition du système est 
$M= \begin{pmatrix}
0,85 & 0,15 \\ 0,25 & 0,75
\end{pmatrix}$.

\item Soit $P=\begin{pmatrix} 0,625 & 0,375\end{pmatrix}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $0,625+0,375=1$ donc $P$ est un état du système.

\item 
$P\times M =
\begin{pmatrix} 0,625 & 0,375\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} 0,85 & 0,15 \\ 0,25 & 0,75 \end{pmatrix}\\
\phantom{P\times M}
=
\begin{pmatrix} 0,625\times 0,85 + 0,375\times 0,25 & 0,625 \times 0,15 + 0,375\times 0,75\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0,625 & 0,375\end{pmatrix}$
\end{list}

Donc $P=\begin{pmatrix} 0,625 & 0,375\end{pmatrix}$ est un état stable du système.

\item% À votre avis, l'entreprise Alphacopy peut-elle espérer atteindre son objectif?
L'état stable est l'état limite du système, donc la probabilité que le client soit sous contrat avec l'entreprise Alphacopy va tendre vers $0,625$ soit $62,5\,\%$; l'entreprise Alphacopy va donc dépasser à un moment donné le seuil des 62\,\% et ainsi atteindre son objectif.

\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

En 2017, on sait que 46\,\% des clients ayant un contrat d'entretien de photocopieurs étaient sous contrat avec l'entreprise Alphacopy.
On a ainsi $P_0=\begin{pmatrix} 0,46 & 0,54\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rappelle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=P_n \times M$.

On a déjà vu que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}= 0,85 a_n + 0,25 b_n$.

Or, pour tout $n$, $a_n+b_n = 1$, donc

$a_{n+1} = 0,85 a_n + 0,25 (1-a_n)=0,85a_n +0,25 - 0,25 a_n=0,60 a_n+ 0,25$.

\item On cherche à déterminer à l'aide d'un algorithme en quelle année l'entreprise Alphacopy atteindra son objectif.
\begin{enumerate}
\item  On complète l'algorithme donné dans le texte:

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{5cm}|}
\hline
$n \leftarrow 0$\\
$a\leftarrow 0,46$\\
Tant que $\red a < 0,62$\\
\hspace*{1cm} $n\leftarrow n+1$\\
\hspace*{1cm} $\red a \leftarrow 0,6 \times a + 0,25$\\
Fin Tant que\\
Afficher $2017+n$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item %Quelle est l'année en sortie de l'algorithme? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
On utilise la calculatrice pour déterminer les différentes valeurs de $u_n$ (arrondies à $10^{-3}$):

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{0.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\\hline
$u_n$ & $0,46$ & $0,526$ & $0,566$ & $0,589$ & $0,604$ & $0,612$  & $0,617$ & \textcolor{red}{$0,620$}\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

La valeur de $n$ pour laquelle $u$ dépasse $0,62$ est $7$ donc c'est l'année $2017+7=2024$ qui s'affiche en sortie d'algorithme.

La société Alphacopy atteindra son objectif la première fois en 2024.


\end{enumerate}

\item On définit la suite $(u_n)$ par $u_n=a_n-0,625$ pour tout entier naturel $n$; donc $a_n=u_n+0,625$.
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$.
\begin{list}{\textbullet}{}
		\item 
$u_{n+1}=a_{n+1}-0,625 = 0,60 a_n + 0,25 -0,625 = 0,60 (u_n+0,625) - 0,375\\
\phantom{u_{n+1}} = 0,60 u_n + 0,375-0,375 = 0,60 u_n$.

$u_{n+1} = 0,60 u_n$ montre que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique  de raison $q = 0,60$.
		\item $u_0 = a_0 - 0,625 = 0,46 - 0,625 = - 0,165$.
		
Le premier terme de la suite géométrique est $u_0= - 0,165$.
\end{list}

Donc la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0= - 0,165$ et de raison $q=0,60$.

\item% Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer que, pour tout entier $n$, \[a_n=-0,165 \times 0,60^n + 0,625.\]
La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=-0,165$ et de raison $q=0,60$ donc, pour tout $n$,\: 
$u_n=u_0\times q^n = -0,165 \times 0,60^{n}$.

Comme pour tout $n$ on a $a_n=u_n+0,625$, on en déduit que pour tout $n$, on a 

\hfill{} $a_n=-0,165 \times 0,60^n + 0,625$.\hfill{}

		\item On résout l'inéquation $a_n \geqslant 0,62$:

 $\begin{array}{l !{\iff} l l}
 a_n\geqslant 0,62 	& -0,165\times 0,60^{n} + 0,625 \geqslant 0,62 & \\
					& 0,005 \geqslant 0,165 \times 0,60^{n} & \\
					& \dfrac{0,005}{0,165} \geqslant 0,60^{n} & \\[7pt]
					& \ln\left ( \dfrac{0,005}{0,165} \right ) \geqslant \ln\left (0,60^{n} \right ) & \text{la fonction ln est croissante sur } ]0\,;\,+\infty[\\[7pt]
					& \ln\left ( \dfrac{0,005}{0,165} \right ) \geqslant n \ln\left (0,60 \right ) & \text{propriété de la fonction ln}\\[7pt]
					& \dfrac{\ln\left ( \dfrac{0,005}{0,165} \right )}{\ln(0,60)} \leqslant n & \text{car } \ln(0,60) < 0\\[7pt]
 \end{array}$
 
 Or $\dfrac{\ln\left ( \dfrac{0,005}{0,165} \right )}{\ln(0,60)}  \approx 6,85$ donc $n\geqslant 7$.
%Quel résultat de la question \textbf{2.} retrouve-t-on?

On retrouve donc l'année $2017+7=2024$ à partir de laquelle l'entreprise Alphacopy aura atteint plus de 62\,\% du marché..
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On appelle fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} toute fonction dérivable qui prend ses valeurs entre 0 et 100. Lorsque la fonction  \og \emph{satisfaction} \fg{} atteint la valeur 100, on dit qu'il y a \og \emph{saturation} \fg{}.

On définit aussi la fonction \og \emph{envie} \fg{} comme la fonction dérivée de la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{}. On dira qu'il y a \og \emph{souhait} \fg{} lorsque la fonction \og \emph{envie} \fg{} est positive ou nulle et qu'il y a \og \emph{rejet} \fg{}  lorsque la fonction \og \emph{envie} \fg{} est strictement négative.

%\medskip
%
%\textbf{Dans chaque partie, on teste un modèle de fonction \og \emph{\textbf{satisfaction}} \fg{} différent. \\Les parties A, B et C sont indépendantes.}

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

Un étudiant prépare un concours, pour lequel sa durée de travail varie entre 0 et 6 heures par jour. Il modélise sa satisfaction en fonction de son temps de travail quotidien par la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} $f$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous ($x$ est exprimé en heures).

\begin{center}
%\bigskip
\psset{xunit=1cm,yunit=0.05cm,arrowsize=3pt 3}
\def\xmin {-0.8}   \def\xmax {7.5}
\def\ymin {-15}   \def\ymax {110}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(8,6)
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt,Dy=20]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,-110][$y$,200] 
\def\f{x x -100 mul 600 add mul 9 div}                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0}{6}{\f}
\uput[ur](5,58){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[dl](0,0){$0$}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=2,linecolor=blue](3,100)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{<->}(2,100)(4,100)
\end{pspicture*}
\end{center}

%\textbf{Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.}

\begin{enumerate}
\item% Lire la durée de travail quotidien menant à \og \emph{saturation} \fg{}.
Il y a \og \emph{saturation} \fg{} au bout de 3 heures de travail.
 
\item Il y a \og \emph{rejet} \fg{} quand la fonction est décroissante, donc après 3 heures de travail.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

Le directeur d'une agence de trekking modélise la satisfaction de ses clients en fonction de la durée de leur séjour. On admet que la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} $g$ est définie sur l'intervalle $[0\,;\,30]$ par
$g(x)=12,5 x \e^{-0,125x+1}$ ($x$ est exprimé en jour).

\begin{enumerate}
 \item Pour tout $x$ de l'intervalle   $[0\,;\,30]$:
 
 $g'(x)= 12,5 \times \e^{-0,125x+1} + 12,5 x \times (-0,125)  \e^{-0,125x+1}
 = (12,5 -\np{1,5625}x) \e^{-0,125x+1}$.
 
\item% \'Etudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle  $[0\,;\,30]$ puis dresser le tableau des variations de $g$ sur cet intervalle.
Pour tout $x$, $\e^{-0,125x+1}>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $12,5 -\np{1,5625}x$.

$12,5 -\np{1,5625}x >0 \iff 12,5 > \np{1,5625}x \iff \dfrac{12,5}{\np{1,5625}} >x \iff x<8$

$g(0)=0$, $g(8)= 100$ et $g(30) \approx 24$

On établit le tableau des variations de la fonction $g$ sur $[0\,;\,30]$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 8 & \esp\esp & 30 \\ 
\hline
g'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{100}  &  &   \\  
g(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{f(30)} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

\item %Quelle durée de séjour correspond-elle à l'effet \og \emph{saturation} \fg{}?  
D'après le tableau de variations, l'effet \og \emph{saturation} \fg{} apparaît au bout d'un séjour de 8 jours.
 \end{enumerate} 

\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

La direction des ressources humaines d'une entreprise modélise la satisfaction d'un salarié en fonction du salaire annuel qu'il perçoit. On admet que la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} $h$, est définie sur l'intervalle $[10\,;\,50]$ par
$h(x)=\dfrac{90}{1+\e^{-0,25 x +6}}$
($x$ est exprimé en millier d'euros).

La courbe $\mathcal{C}_h$ de la fonction $h$ est représentée ci-dessous:

\begin{center}
\scalebox{0.6}{
\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.1cm,arrowsize=3pt 3}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {54}
\def\ymin {-5}   \def\ymax {105}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(8,6)
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt,Dy=10,Dx=5]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)[$x$,110][$y$,-10] 
\def\f{90 1 2.7183 x -0.25 mul 6 add exp add div}                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{10}{50}{\f}
\uput[ur](22,50){\blue $\mathcal{C}_h$}
\uput[dl](0,0){$0$}
\end{pspicture*}
}% fin du scalebox
\end{center}

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
   & \verb!Dériver(90/(1 + exp(-0.25 * x +6)))!\\
1 & \\
   & \hfill{}$\dfrac{22,5 \e^{-0,25x+6}}{(1+\e^{-0,25x+6})^2}$\rule[-20pt]{0pt}{0pt}\hfill{~}\\
\hline
   & \verb!Dériver(22.5 * exp(-0,25 x + 6)/(1 + exp(-0,25 * x + 6))²!\\
2 & \\
   & \hfill{}$\dfrac{5,625 \e^{-0,25x+6} (\e^{-0,25x + 6} -1)}{(1+\e^{-0,25x+6})^3}$\rule[-20pt]{0pt}{0pt}\hfill{~}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Donner sans justification une expression de $h''(x)$.
D'après le logiciel de calcul formel, $h''(x)= \dfrac{5,625 \e^{-0,25x+6} (\e^{-0,25x + 6} -1)}{(1+\e^{-0,25x+6})^3}$.

\item On résout dans l'intervalle $[10\,;\,50]$ l'inéquation $\e^{- 0,25x+6}-1>0$:

\medskip

$\begin{array}{l !{\iff} l !{\iff} l}
 \e^{-0,25x+6}-1>0 & \e^{-0,25x+6} > 1 &-0,25x+6 >0 \\
& 6>0,25x & \dfrac{6}{0,25} > x\\[7pt]
& \multicolumn{2}{l}{24>x}\\
 \end{array}$

\medskip

Sur l'intervalle $[10\,;\,50]$, l'inéquation $\e^{-0,25x+6}-1>0$ a pour solution l'intervalle $[10\,;\, 24[$.

\item La fonction $h$ est convexe sur les intervalles sur lesquels sa dérivée est croissante, c'est-à-dire quand sa dérivée seconde est positive.

$h''(x)= \dfrac{5,625 \e^{-0,25x+6} (\e^{-0,25x + 6} -1)}{(1+\e^{-0,25x+6})^3}$

\smallskip

Or pour tout $X$, $\e^{X}>0$ donc, pour tout $x$, $\e^{-0,25x+6}>0$; on en déduit que $\left(1+\e^{-0,25x+6}\right)^3 > 0$ et que $5,625 \e^{-0,25x+6} > 0$, et donc que $h''(x)$ est du signe de $\e^{-0,25x+6}-1$.

\begin{list}{\textbullet}{D'après la question précédente, on peut dire que:}
\item $h''(x)>0$ sur $[10\,;\,24[$ donc la fonction $h$ est convexe sur $[10\,;\,24[$;
\item $h''(x)<0$ sur $]24\,;\,50]$ donc la fonction $h$ est concave sur $]24\,;\,50]$.
\end{list}

\item% À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction \og \emph{envie} \fg{} décroît? Justifier.
La fonction \og \emph{envie} \fg{} décroit quand $h'$ décroit donc quand $h''$ devient négative, soit à partir de $x=24$, ce qui correspond à un salaire annuel de $\np{24000}$ euros. 

\item La fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} atteint 80 quand $h(x)=80$; on résout cette équation:  

\medskip

$\begin{array}{l !{\iff} l !{\iff} l }
 h(x)=80 & \dfrac{90}{1+\e^{-0,25 x +6}} = 80              & 90 =80 \left ( 1+\e^{-0,25 x +6}\right )\\[7pt]
               & \dfrac{90}{80} = 1+\e^{-0,25 x +6}              & \dfrac{9}{8} - 1 = \e^{-0,25 x +6}\\[7pt]
               & \ln\left ( \dfrac{1}{8}\right ) = -0,25 x +6   & 0,25x = 6 - \ln\left ( \dfrac{1}{8}\right )\\[7pt]
               & \multicolumn{2}{l}{ x = \dfrac{6+\ln(8)}{0,25}}\\
 \end{array}$

\medskip

Or $\dfrac{6+\ln(8)}{0,25\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} \approx 32,3$ donc on peut dire que la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} atteint 80 pour un salaire annuel d'environ $\np{32000}$ euros. 
\end{enumerate}
\end{document}