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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{4 juin 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Nord  ~\decofourright\\4 juin 2009}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\emph{Cet exercice constitue un questionnaire à choix multiples. Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chaque question, une seule des réponses est exacte.\\
%Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Barème : Une réponse juste rapporte $0,5$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point, l'absence de réponse n'enlève et ne rapporte aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à $0$.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Le prix d'un article subit une première augmentation de 20\:\% puis une seconde augmentation de 30\,\%. Le prix de l'article a augmenté globalement de : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.} \quad  25\:\%&\textbf{b.} \quad 50\:\% &\textbf{c.} \quad 56\:\%\\
%\end{tabularx}
Le prix est multiplié par 1,2 puis par 1,3 soit par $1,2 \times 1,3 = 1,56$ soit une augmentation de 56\,\%.
\medskip

\item %Le nombre réel $\dfrac{\ln \text{e}}{\ln \left(\text{e}^2\right)}$ est égal à :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.} \quad $\ln \left(\dfrac{1}{\text{e}} \right)$&\textbf{b.} \quad $\dfrac{1}{\text{e}}$&\textbf{c.} \quad $\dfrac{1}{2}$\\
%\end{tabularx}
$\dfrac{\ln \text{e}}{\ln \left(\text{e}^2\right)} = \dfrac{\ln \text{e}}{2\ln \text{e}} = \dfrac{1}{2}$.
\medskip
 
\item %Le nombre réel $\text{e}^{-3\ln 2}$   est égal à 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.} \quad $\dfrac{1}{9}$& \textbf{b.} \quad$\dfrac{1}{8}$&\textbf{c.} \quad $- 8$\\ 
%\end{tabularx}
$\text{e}^{-3\ln 2} = \dfrac{1}{\text{e}^{3\ln 2}} = \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 2^3}} = \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 8}} = \dfrac{1}{8}$.
\medskip

\item %Une primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{-2x}$ est définie par :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.} \quad $F(x) = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x}$&\textbf{b.} \quad $F(x) =\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x}$&\textbf{c.} \quad 
%$F(x) = - 2 \text{e}^{-2x}$\\
%\end{tabularx}
Si $F(x) = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x}$, alors $F'(x) = - \dfrac{1}{2} \times (- 2) \text{e}^{-2x} = \text{e}^{-2x}$.
\medskip
 
\item %Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse $0$ est : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.} \quad $y = x+1$&\textbf{b.} \quad $ y= \text{e}x$&\textbf{c.} \quad $y = \text{e}^x$\\
%\end{tabularx}
Une équation de cette tangente est : $y - \text{e}^0 = \text{e}^{0}(x - 0) \iff y - 1 = x \iff$

$ y = x + 1$.
\medskip
\item %Soit $f$ la fonction définie par $f( x) = \dfrac{x + 1}{\text{e}^x - 1}$. La fonction $f$ est définie sur :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.} \quad $\R$&\textbf{b.} \quad $]- \infty~;~0[ \cup ]0~;~+ \infty[$&\textbf{c.} \quad $]-1~;~+ \infty[$\\
%\end{tabularx}
La fonction n'est pas définie si :

$\text{e}^x - 1 = 0 \iff \text{e}^x = 1 \iff x = \ln 1 \iff x = 0$. Réponse \textbf{b.}
\medskip

\item %On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 2x -1 + \dfrac{1}{2x}$.
 
%Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction $f$ admet au voisinage de $+\infty$ : 
%
%\medskip
%
%	\begin{enumerate}
%		\item L'axe des abscisses comme asymptote horizontale
%		\item La droite d'équation $y = 2x$ comme asymptote oblique 
%		\item La droite d'équation $y = 2x -1$ comme asymptote oblique 
%	\end{enumerate}
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = (2x - 1) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{2x} = 0$ : ceci signifie que la droite dont une équation est $y = 2x - 1$ est asymptote oblique à la courbe représentative de $f$.	
\item %On considère la fonction logarithme népérien et la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 - 2$. On donne ci-dessous les courbes représentatives de ces deux fonctions dans un repère orthogonal. Dans $\R$, l'équation $\ln x = x^2 - 2$ admet : 
%	\begin{enumerate}
%		\item Une solution 
%		\item Deux solutions de signes contraires  
%		\item Deux solutions positives
Le graphique montre qu'il existe deux solutions positives ($\approx 0,138$ et $\approx 1,564$) 
	\end{enumerate}

%\begin{center}
%\psset{unit=1.1cm}
%\begin{pspicture}(-3.5,-3.25)(6.5,6.25)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-3.25)(6.5,6.25)
%\psplot[plotpoints=3000]{-2.8}{2.8}{x dup mul 2 sub}
%\psplot[plotpoints=3000]{0.05}{6.25}{x ln}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

%Un pépiniériste a planté trois variétés de fleurs dans une prairie de quelques hectares : des violettes, des primevères et des marguerites. Il se demande s'il peut considérer que sa prairie contient autant de fleurs de chaque variété. Il cueille au hasard 500~fleurs et obtient les résultats suivants : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Variétés &Violettes& Primevères &Marguerites\\ \hline
%Effectifs& 179 &133&188 \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item  %Calculer les fréquences $f_{V}$ d'une fleur de variété Violette, $f_{P}$ d'une fleur de variété Primevère et $f_{M}$ d'une fleur de variété Marguerite. On donnera les valeurs décimales exactes.
$f_{V} = \dfrac{179}{500} = \dfrac{368}{\np{1000}} = 0,358$ ;

$f_{P} = \dfrac{133}{500} = \dfrac{266}{\np{1000}} = 0,266$ ;

$f_{M} = \dfrac{188}{500} = \dfrac{376}{\np{1000}} = 0,376$.
\item %On note $d^2_{\text{obs}}  = \left(f_{V} - \dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(f_{P} - \dfrac{1}{3}\right)^2 +\left(f_{M} - \dfrac{1}{3}\right)^2$. 

%Calculer $500d^2_{\text{obs}} $. On donnera une valeur approchée arrondie au millième.
$500d^2_{\text{obs}} =    500\left[\left(f_{V} - \dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(f_{P} - \dfrac{1}{3}\right)^2 +\left(f_{M} - \dfrac{1}{3}\right)^2 \right] = 500 \times \np{0,006963} = \np{3,4813} \approx 3,481$.
 \item %Le pépiniériste, ne voulant pas compter les quelques milliards de fleurs de sa prairie, opère sur ordinateur en simulant le comptage, au hasard, de 500~fleurs suivant la loi équirépartie. Il répète \np{2000}~fois l'opération et calcule à chaque fois la valeur de $500d^2_{\text{obs}} $. Ses résultats sont regroupés dans le tableau suivant : 

%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
%\hspace*{-1cm}\begin{tabularx}{1.15\linewidth}{|p{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Intervalle auquel appar\-tient $500d^2_{\text{obs}}$&\tiny[0 ; 0,5[&\tiny [0,5 ; 1[&\tiny [1 ; 1,5[&\tiny [1,5 ; 2[ 
%&\tiny[2 ; 2,5[&\tiny [2,5 ; 3[ &\tiny[3 ; 3,5[&\tiny [3,5 ; 4[ &\tiny[4 ; 4,5[&\tiny [4,5 ; 5[\\ \hline 
%Nombre par intervalle &\footnotesize 163 &\footnotesize 439 &\footnotesize 458 &\footnotesize 350 &\footnotesize 231&\footnotesize  161 &\footnotesize 80 &\footnotesize 47 &\footnotesize 37&\footnotesize  34 \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Par exemple: le nombre $500d^2_{\text{obs}}$ apparaît 163 fois dans l'intervalle [0~;~0,5[. 
%
%On note $D_{9}$ le neuvième décile de cette série statistique.
% 
%Montrer que $D_{9} \in  [2,5~;~3[.$
Le décile contient les 200 dernières valeurs de la série, donc après les \np{1800} premières valeurs. On complète le tableau en rajoutant la ligne des effectifs cumulés croissants :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
Intervalle auquel appar\-tient $500d^2_{\text{obs}}$&\tiny[0 ; 0,5[&\tiny [0,5 ; 1[&\tiny [1 ; 1,5[&\tiny [1,5 ; 2[ 
&\tiny[2 ; 2,5[&\tiny [2,5 ; 3[ &\tiny[3 ; 3,5[&\tiny [3,5 ; 4[ &\tiny[4 ; 4,5[&\tiny [4,5 ; 5[\\ \hline 
effectifs cumulés & 163 & 602 & \np{1060} & \np{1410} &\np{1641}&\np{1802} &\np{1882} &\np{1929} & \np{1966}&\np{2000} \\ \hline
\end{tabularx}

On voit que $D_{9} \in  [2,5~;~3[$.
\medskip

\item  %En argumentant soigneusement la réponse, dire si pour la série observée au début, on peut affirmer avec un risque inférieur à 10\,\% que « la prairie est composée d'autant de fleurs de chaque variété ». 
On a $500d^2_{\text{obs}} > D_9$, donc on peut affirmer avec un risque inférieur à 10\,\% que \og  la prairie est composée d'autant de fleurs de chaque variété \fg{} est fausse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats  n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Un nouveau bachelier souhaitant souscrire un prêt automobile pour l'achat de sa première voiture, a le choix entre les trois agences bancaires de sa ville : agence A, agence B et agence C. On s'intéresse au nombre de prêts automobiles effectués dans cette ville. 
%
%\medskip
%
%\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.} 
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Dans le tableau suivant figure le nombre de prêts effectués dans l'agence B lors des premiers mois de 2009. 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Mois& Janvier& Février &Mars& Avril &Mai& Juin \\ \hline
%Rang du mois $x_{i}$& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \hline 
%Nombre de prêts $y_{i}$&56& 44 &42 &52& 50 &56\\ \hline 
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
La calculatrice donne $y = 0,8x + 47,2$. 
\item  %Combien de prêts automobiles peut-on prévoir pour le mois de décembre 2009 avec cet ajustement ? On arrondira le résultat à l'entier le plus proche. 
Décembre 2009 correspond au rang $x = 12$ ce qui donne :

$0,8 \times 12 + 47,2 = 9,6 + 47,2 = 56,8 \approx 57$~prêts.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Après vérification, on a constaté que :
%
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[] 20\,\% des prêts sont souscrits dans l'agence A,
%\item[] 45\,\% des prêts sont souscrits dans l'agence B,
%\item[] les autres prêts étant souscrits dans l'agence C. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
   
%On suppose que tous les clients souscrivent à une assurance dans l'agence où le prêt est souscrit.
%
%Deux types de contrats sont proposés : le contrat tout risque, dit \emph{Zen} et le deuxième contrat appelé \emph{Speed}. 
% 
%\medskip
% 
%80\,\% des clients de l'agence A ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance \emph{Zen}.
%
% 30\,\% des clients de l'agence B ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance \emph{Zen}. 
% 
%$\dfrac{2}{7}$ des clients de l'agence C ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance \emph{Speed}.
% 
%On interroge au hasard un client d'une de ces trois banques ayant souscrit un contrat d'assurance automobile. 
%
%On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[] A : « le prêt a été souscrit dans l'agence A »,
%\item[] B : « le prêt a été souscrit dans l'agence B »,
%\item[] C : « le prêt a été souscrit dans l'agence C », 
%\item[] Z : « le contrat d'assurance \emph{Zen} a été souscrit », 
%\item[] S : « le contrat d'assurance \emph{Speed} a été souscrit ».
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Dans tout l'exercice, on donnera les valeurs exactes.
 
\begin{enumerate}
\item ~%Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}\taput{0,20}}
	{\TR{$Z$} \taput{0,8}
	\TR{$S$} \tbput{0,2}
	}
\pstree{\TR{$B$}\taput{0,45}}
	{\TR{$Z$} \taput{0,3}
	\TR{$S$} \tbput{0,7}
	}
\pstree{\TR{$C$}\tbput{0,35}}
	{\TR{$Z$} \taput{$\frac{5}{7}$}
	\TR{$S$} \tbput{$\frac{2}{7}$}
	}
}
\end{center}

\bigskip
 
\item %Déterminer la probabilité que le client interrogé ait souscrit un prêt automobile avec une assurance \emph{Zen} dans l'agence A.
$p(A \cap Z) = p(A) \times p_A(Z) = 0,2 \times 0,8 = 0,16$. 
\item %Vérifier que la probabilité de l'évènement $Z$ est égale à $0,545$.
On a de même :

$p(B \cap Z) = p(B) \times p_B(Z) = 0,45 \times 0,3 = 0,135$ ;

$p(C \cap Z) = p(C) \times p_C(Z) = 0,35 \times \frac{5}{7} = 0,05 \times 5 = 0,25$.

D'après la formule des probabilités total	les :

$p(Z) = p(A \cap Z) + p(B \cap Z) + p(C \cap Z) = 0,16 + 0,135 + 0,25 = 0,545$. 
\item %Le client a souscrit une assurance \emph{Zen}.
 
%Déterminer la probabilité que le prêt soit souscrit dans l'agence C.
Il faut trouver $p_Z(C) = \dfrac{p(Z \cap C)}{p(Z)}  = \dfrac{0,25}{0,545} = \dfrac{250}{545} = \dfrac{50}{109}$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%Un groupe d'amis organise une randonnée dans les Alpes.
% 
%On a représenté par le graphe ci-dessous les sommets B, C, D, F, T, N par lesquels ils peuvent choisir de passer. Une arête entre deux sommets co\"{\i}ncide avec l'existence d'un chemin entre les deux sommets.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(8,4.25)
%\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=0}
%\cnodeput(0,0){A}{B} \cnodeput(3,0){B}{F} 
%\cnodeput(2,2.5){C}{C} \cnodeput(5,2.3){D}{T}
%\cnodeput(3.5,4){E}{D} \cnodeput(7.5,3){F}{N}
%\ncarc{A}{B}  \ncarc{B}{F}  \ncarc{F}{E}  \ncarc{E}{C}  
%\ncarc{C}{A}  \ncarc{C}{B}  \ncarc{B}{D}  \ncarc{D}{F}  
%\ncarc{D}{E}  \ncarc{D}{C}  \ncarc{E}{B}  
%\end{pspicture} 
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant : 
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sommets 					&B 	&C	&D	&F	&N	&T\\ \hline
Degré des sommets du graphe	&2	&4	&4	&5	&3	&4\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
		\item %Justifier que le graphe est connexe.
		Il existe une chaîne qui contient tous les sommets par exemple : B-C-D-N-T-F : le graphe est connexe.  Il existe un chemin reliant deux sommets quelconques.
	\end{enumerate} 
\item %Le groupe souhaite passer par les six sommets en passant une fois et une seule par chaque chemin.
 
%Démontrer que leur souhait est réalisable. Donner un exemple de trajet possible.
Il n'y a que deux sommets de degré impair  F et N ; il existe donc une chaîne eulérienne partant de l'un d'entre eux et finissant à l'autre.

Il est possible de passer par les six sommets en empruntant chacun des dix chemins une seule fois :  F-B-C-F-D-C-T-F-NT-D-N.
\item  %Le groupe souhaite associer chaque sommet à une couleur de sorte que les sommets reliés par un chemin n'ont pas la même couleur. On note $n$ le nombre chromatique du graphe. 

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $4 \leqslant  n \leqslant  6$.
Le plus haut degré est 5, donc $n \leqslant 5 + 1 \iff n \leqslant 6$.

Le graphe \{C, \,D, \,F\,T\} est complet donc $4 \leqslant n$.

Donc $4 \leqslant n \leqslant 6$. 
	\item %Proposer un coloriage du graphe permettant de déterminer son nombre chromatique.
Couleur 1 : F ;

Couleur 2 : C et N ;

Couleur 3 : B et T ;

Couleur 4 : D.
	\end{enumerate} 
\item  ~%Le groupe se trouve au sommet B et souhaite se rendre au sommet N. Les distances en kilomètres entre chaque sommet ont été ajoutées sur le graphe.

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4.25)
%\psgrid
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=0}
\cnodeput(0,0){A}{B} \cnodeput(3,0){B}{F} 
\cnodeput(2,2.5){C}{C} \cnodeput(5,2.3){D}{T}
\cnodeput(3.5,4){E}{D} \cnodeput(7.5,3){F}{N}
\ncline{A}{B}\Bput{15} \ncline{B}{F} \Bput{23} \ncline{F}{E}\Bput{12}
\ncline{E}{C} \Bput{2}  \ncline{C}{A}\Bput{12}   \ncline{C}{B}\Bput{3}
\ncline{B}{D}\Aput{8} \ncline{D}{F} \Aput{7}  
\ncline{D}{E}\Bput{3}\ncline{D}{C} \Bput{5}
\ncline{E}{B}\Aput{4}   
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip 

%Indiquer une chaîne qui minimise la distance du trajet. Justifier la réponse.
On utilise l'algorithme de Dijskra :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|} \hline
B&C&D&F&N&T&sommet choisi\\ \hline
0&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&B 0\\ \hline
&12 B&$\infty$&15 B&$\infty$&$\infty$&C 12\\ \hline
&&14 C&15 B&$\infty$&17 C&D 14 \\ \hline
&&&15 B&26 D&17 C&F 15\\ \hline
&&&&26 D&17 C&T 17\\ \hline
&&&&24 T&&N 21\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On remonte à partir de N : le plus court chemin est B--> C--> T--> N qui fait 24~km.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%Les parties A et B sont indépendantes. Le candidat pourra utiliser les résultats préliminaires dans la partie A, même s'il ne les a pas établis. 
%
%\medskip

\textbf{Préliminaires}

\medskip
 
%On admet les éléments du tableau de signes ci-dessous. 
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(9,2.5)
%\psframe(9,2.5) \psline(3,0)(3,2.5) \psline(0,2)(9,2)
%\psline(3.15,0)(3.15,2)\psline(3.25,0)(3.25,2)
%\uput[u](1.5,2){$x$}\uput[u](3.2,2){0}\uput[u](6,2){1}\uput[u](8.5,2){$+ \infty$}
%\rput(1.5,1){Signe de $\dfrac{6}{x} - 6x^2$} 
%\rput(4.5,1){+} \rput(6,1){0} \rput(7.5,1){$-$} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par
%
%\[ g(x) = 6\ln x - 2x^3 - 3.\]
%
%On désigne par $g'$ la fonction dérivée de $g$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $g'(x)$.
Sur $]0~;~ +\infty[$, \: $g'(x) = 6\times \dfrac{1}{x} - 2 \times 3x^2 = \dfrac{6}{x} -  6x^2$.
\item %En utilisant 1., déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. On ne demande pas les limites dans cette question.
On a donné le signe de $g'(x)$ sur  $]0~;~ +\infty[$ ; donc :

$\bullet~~$ sur ]0~;~1[, \: $g'(x) > 0$, la fonction $g$ est croissante ;

$\bullet~~$ sur $]1~;~+ \infty[$, \: $g'(x) < 0$ : la fonction $g$ est décroissante.

$g(1) = - 2 - 3 = - 5$ est le maximum de $g$ 
\item  %En déduire que $g(x) < 0$ pour tout $x \in ]0~;~+\infty[$.
Comme le maximum est inférieur à zéro, on en déduit que pour tout $x\in ]0~;~+ \infty[,\: g(x) < 0$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
%
%\[f(x) = x + \dfrac{3\ln x}{2x^2}\] 

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $0$.
On a $f(x) = x + 3\dfrac{\ln x}{x}\times \dfrac{1}{x^2}$

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x^2} = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  x = + \infty$ par produit et somme de limites : 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

Limite en $0$ :

On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x^2} = - \infty$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
\item  %On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que, pour tout $x \in ]0~;~+ \infty[,~f'(x) = - \dfrac{g(x)}{2x^3}$.
Sur $]0~;~+ \infty[$,\:

$f'(x) = 1 + \dfrac{\frac{3}{x} \times 2x^2 - 12x \ln x }{4x^4} = 1 + \dfrac{6x - 12x \ln x}{4x^4} =  \dfrac{4x^4 + 6x - 12x\ln x}{4x^4} =$

$ \dfrac{2x^3 + 3 - 6\ln x}{2x^3} = - \dfrac{6\ln x - 2x^3 - 3}{2x^2} = - \dfrac{g(x)}{2x^3}$.
	\item %En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
Comme sur $]0~;~+ \infty[$,\:$2x^3 > 0$, le signe de $f'(x)$ est l'opposé de celui de $g(x)$, donc comme on a vu que la fonction $g$ est négative, son opposée est positive ; $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $]0~;~+ \infty[$ de moins l'infini à plus l'infini.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %On définit la fonction $F$ sur I'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

%\[F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{3}{2} \times  \dfrac{1 + \ln x}{x}.\]

%Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. 
Sur $]0~;~+\infty[$\,$F'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x - \dfrac{3}{2}\left(\frac{1}{x} \times x - (1 + \ln x){x^2} \right) = x - \dfrac{3}{2}\times \dfrac{1 + \ln x - 1}{x^2} = x - \dfrac{3\ln x}{2x^2} = f(x)$.

Donc $f$ est bien une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item  %On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de $f$ notée $\mathcal{C}_{f}$.
 
%On a coloré le domaine limité par $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x =  \text{e}$.

%Donner la valeur exacte, exprimée en unités d'aire, de l'aire de ce domaine, puis une valeur approchée arrondie au centième.
On a vu que $f$ est croissante et $f(1) = 1 + 0 = 1$, donc $f$ est positive sur l'intervalle $[1~;~\text{e}]$.

L'aire de la surface colorée est donc égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_1^{\text{e}} = F(\text{e}) - F(1)  = \dfrac{1}{2}\text{e}^2 - \dfrac{3}{2} \times  \dfrac{1 + \ln \text{e}}{\text{e}} - \left[\dfrac{1}{2}\times 1^2 - \dfrac{3}{2} \times  \dfrac{1 + \ln 1}{1}  \right] = \dfrac{\text{e}^2}{2} - \dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{\text{e}} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 1 + \dfrac{\text{e}^2}{2} - \dfrac{3}{\text{e}} \approx 3,59089$ soit environ 3,59 unités d'aire au centième près (ce que l'on vérifie à peu près sur le dessin).
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(7.25,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-5)(7.25,7)
\psline(1,-5)(1,7) \psline(2.71828,-5)(2.71828,7)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{0.46}{7}{x ln 3 mul x 2 exp 2 mul div x add}
\rput{90}(1.2,-3){$x = 1$} \rput{90}(2.9,-3){$x = \text{e}$}\uput[d](4.5,4.5){$\mathcal{C}_{f}$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{2.71828}{x ln 3 mul x 2 exp 2 mul div x add}
\psline(2.71828,0)(1,0)
}
\psline[linecolor=blue](2,0)(2,3)\psline[linecolor=blue](3,0)(3,3)
\psline[linecolor=blue](1,1)(3,1)
\psline[linecolor=blue](1,2)(3,2)\psline[linecolor=blue](1,3)(3,3)
\uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture}

\end{document}