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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{31 mai 2006}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Nord 31 mai 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%\textbf{Questionnaire à choix multiples}
%
%\medskip
%
%\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. On demande d'indiquer la réponse exacte en cochant sans justification la grille réponse jointe en annexe. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse donne $0$ point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à} $0$.
%
%\bigskip
%
%%\renewcommand{\arraystretch}{2.4}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\multicolumn{2}{|c|}{Questions}& 	\multicolumn{3}{|c|}{Réponses}\\ \hline
%Q1&Si $a \in ]0~;~1[$ alors	&&									&\\ 
%&$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} a^x$ est égale  à :&	$0$&	$+ \infty$&	$- \infty$\\ \hline
%&Une primitive sur $\R$ de		&&& \\ 
%Q2		&la fonction&	$x \mapsto \text{e}^{x^2}$&$x \mapsto 2\text{e}^{x^2}$&$x \mapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2}$\\ 	
%&$x \mapsto x\text{e}^{x^2}$est : &				&					&\\ \hline
%	&	La dérivée sur $] 0~ ;~+\infty[$&&							&\\
%Q3&	de la fonction&	$x \mapsto \dfrac{1}{x}$& $x \mapsto \ln x$&$x \mapsto \ln x + 1$\\
%&$x \mapsto x\ln x$ est :&&& \\ \hline
%Q4	&$\text{e}^{- 2\ln 5}$  est égal à :&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\dfrac{1}{25}$&		$-25$&$\dfrac{5}{2}$\\ \hline
%Q5&L'équation $\text{e}^x = \dfrac{16}{\text{e}^x}$&&& \\
%&admet sur $\R$&	Aucune solution&	Une solution&	Deux solutions\\ \hline
%&L'ensemble des&	&		&\\
%Q6&	solutions de&	&		&\\
%&l'inéquation&$\left[\frac{5}{\ln 0,2}~;~0\right[$&$\left]- \infty~;~\frac{5}{\ln 0,2}\right]$&$\left[\frac{5}{\ln 0,2}~;~+ \infty\right[$\\ 
% & 	$x\ln (0,2) - 5 \geqslant 0$ est : &	&	&\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%Dans les questions 7, 8, 9 et 10, A et B sont deux évènements d'un univers
%tels que  $P$(A)$=0,4,~ P$(B) $=0,3$ et $P(\text{A} \cap \text{B}) = 0,2$.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%Q7&	$P(\text{A} \cup \text{B}) =$&	0,1 & 0,5 &	 0,7\\ \hline
%Q8&$P\left(\text{A} \cap \overline{\text{B}}\right) =$&	0,1&	0,2&	0,4\\ \hline
%Q9&$P\left(\overline{\text{A} \cap \text{B}}\right) =$&	0,3&	0,5&	0,8\\ \hline
%Q10&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$P_{\text{A}}(\text{B})  =$&$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{3}{4}$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Q1 : on sait que la limite est égale à zéro.

Q2 : $\left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2} \right)' = \dfrac{1}{2}\times 2x \text{e}^{x^2} = x\text{e}^{x^2}$.

Q3 : $x\ln x)' = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$.

Q4 : $\text{e}^{- 2\ln 5} = \frac{1}{\text{e}^{2\ln 5}} = \frac{1}{\text{e}^{\ln 5^2}} = \frac{1}{\text{e}^{\ln 25}} = \frac{1}{25}$.

Q5 : En posant $\text{e}^x = X$, l'équation devient $X = \dfrac{16}{X} \iff X^2 = 16$ qui a pour solution $X = 4 \text{e}^x \iff x = \ln 4$ et $X = - 4 = \text{e}^x$ mais cette équation n'a pas de solution. Donc une solution.

Q6 : $x\ln (0,2) - 5 \geqslant 0 \iff x\ln (0,2) \geqslant 5 \iff x \leqslant \frac{5}{\ln 0,2}$ (car $\ln 0,2 < 0$).

L'ensemble des solutions est donc $\left]- \infty~;~\frac{5}{\ln 0,2}\right]$.

Q7 : $P(\text{A} \cup \text{B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) - P(\text{A} \cap \text{B}) = 0,4 + 0,3 - 0,2 = 0,5$.

Q8 : On a $P(\text{A}) = P(\text{A} \cap \text{B}) + P\left(\text{A} \cap \overline{\text{B}}\right) \iff  P\left(\text{A} \cap \overline{\text{B}}\right) = P(\text{A}) - P(\text{A} \cap \text{B}) = 0,4 - 0,2 = 0,2$.

Q9 : $P\left(\overline{\text{A} \cap \text{B}}\right) = 1 - P(\text{A} \cap \text{B}) = 1 - 0,2 = 0,8$.

Q10 : $P_{\text{A}}(\text{B} = \dfrac{P(\text{A} \cap \text{B})}{P(\text{A})} = \dfrac{0,2}{0,4} = \dfrac{1}{2}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ne suivant pas l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Tous les résultats de cet exercice seront arrondis à} $10^{-2}$ \emph{près.}
 
%Un site touristique dont le billet d'entrée coûte 4 \euro{} propose deux possibilités de visite, une visite à pied sans frais supplémentaire ou une visite en car avec frais supplémentaires de 3 \euro{} par personne.
%
%\medskip
%
%Une buvette est installée sur le site. On y vend un seul type de boisson au prix de 2 \euro{} l'unité.
%
%On suppose qu'à la buvette un touriste achète au plus une boisson.
%
%Un touriste visite le site. On a établi que :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] la probabilité pour qu'il visite à pied est 0,3 ;
%\item[$\bullet~$] la probabilité qu'il visite à pied et achète une boisson est 0,18 ;
%\item[$\bullet~$] la probabilité qu'il achète une boisson sachant qu'il visite en car est 0,8.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On note :
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  C l'évènement : \og le touriste visite en car \fg{} ;
%\item[$\bullet~$]  B l'évènement : \og le touriste achète une boisson \fg{}.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
On peut faire un arbre :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~}\taput{0,7}}
	{\TR{$B$}\taput{0,8}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{0,2}	
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$~}\tbput{0,3}}
	{\TR{$B$}\taput{0,6}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{0,4}	
	}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Donner $p\left(\overline{\text{C}} \cap \text{B}\right)$ et $p\left(\overline{\text{C}}\right)$.
$p\left(\overline{C} \cap B\right) = 0,18$ (énoncé) et $p\left(\overline{C}\right) = 0,3$ (énoncé)
\item %Le touriste visite à pied. Quelle est la probabilité qu'il achète une boisson ?
On a $p_{\overline{C}}(B) = \dfrac{p\left(\overline{C} \cap B \right)}{p\left(\overline{C}\right)} = \dfrac{0,18}{0,3} = \dfrac{18}{30} = \dfrac{6}{10} = 0,6$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $p$(B) $= 0,74$.
D'après la loi des probabilités totales :

$p(B) = p(B \cap C) + p\left(B \cap \overline{C}\right) = 0,7 \times 0,8 + 0,18 = 0,56 + 0,18 = 0,74$.
		\item %En déduire la recette moyenne prévisible de la buvette lors d'une journée où \np{1000} touristes sont attendus sur le site.
La recette prévisible avec \np{1000}~touristes dont 74\,\% prennent une boisson à 2~\euro{} est :

$\np{1000} \times 2 \times 0,74 = \np{1480}$~\euro.
	\end{enumerate}
\item %On appelle $d$ la dépense (entrée, transport éventuel, boisson éventuelle) associée à la visite du touriste.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelles sont les valeurs possibles de $d$ ?
Les valeurs possibles sont :

-- visite seule à pied : $d = 4$ ;

-- visite  à pied et boisson  : $d = 6$ ;

-- visite en car seule  : $d = 7$ ;

-- visite en car et boisson  : $d = 9$.
		\item %Établir la loi de probabilité de $d$. On présentera le résultat dans un tableau.
On trouve les probabilités associées à la variable aléatoire $d$ facilement en remontant de bas en haut l'arbre dressé au début de l'exercice :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$d$&4&6&7&9\\ \hline
$p$&$0,3\times 0,4 = 0,12$&$0,3\times 0,6 = 0,18$&$0,7\times 0,2 = 0,14$&$0,7 \times 0,8 = 0,56$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item %Calculer l'espérance mathématique de cette loi. Quelle interprétation peut-on en donner ?
		On $\text{E}(d) = 0,12 \times 4 + 0,18 \times 6 + 0,14 \times 7 + 0,56 \times 9 = 0,48 + 1,08 + 0,98 + 5,04 = 7,58$~\euro.
		
Pour un grand nombre de touristes la dépense moyenne sera de 7,58~\euro{} par touriste.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats suivant l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Dans une entreprise, lors d'un mouvement social, le personnel est amené à se
%prononcer chaque jour sur l'opportunité ou non du déclenchement d'une grève.
%
%Le premier jour, 15\,\% du personnel souhaite le déclenchement d'une grève.
%À partir de ce jour-là :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] parmi ceux qui souhaitent le déclenchement d'une grève un certain jour, 35\,\% changent d'avis le lendemain.
%\item[$\bullet~$] parmi ceux qui ne souhaitent pas le déclenchement d'une grève un certain jour, 33\,\% changent d'avis le lendemain.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%On note :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $g_{n}$ la probabilité qu'un membre du personnel souhaite le déclenchement d'une grève le jour $n$,
%\item[$\bullet~$] $t_{n}$ la probabilité qu'un membre du personnel ne souhaite pas le déclenchement d'une grève le jour $n$,
%\item[$\bullet~$] $P_{n} = \left(g_{n}~~t_{n}\right)$, la matrice qui traduit l'état probabiliste au $n$-ième jour.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'état initial $P_{1}$.
$P_1 = \begin{pmatrix} 0,15&0,85\end{pmatrix}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.
		\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(5,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){G}{\small{\textsf{\bleu{G}}}}\cnodeput(4.5,1){T}{\small{\textsf{\bleu{T}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{G}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{T}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{G}{T} \ncarc[arcangle=40]{->}{T}{G}
\rput(0,1){$0,65$} \rput(5.2,1){$0,67$}
\rput(2.5,2.2){$0,35$} \rput(2.5,-0.2){$0,33$}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Donner la matrice de transition M associée à ce graphe.
		En respectant l'ordre alphabétique des sommets la matrice de transition associée à ce graphe est $M = \begin{pmatrix}0,65&0,35\\0,33&0,67\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}
\item %Calculer le pourcentage de personnes favorables à la grève le 3\up{e} jour.
On a $P_3 = P_1 \times M^2 = \begin{pmatrix} 0,15&0,85\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,65&0,35\\0,33&0,67\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0,15&0,85\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,538&0,462\\\np{0,4356}&\np{0,5644}\end{pmatrix}^2 = $

$\begin{pmatrix}\np{0,45096}&\np{0,54904}\end{pmatrix}$.

Cela signifie que le 3\up{e} jour environ 45,1\,\% des membre du personnel seront favorables à la grève.
\item %Soit $P = (x~~y)$ l'état probabiliste stable (on rappelle que $x +y= 1$).
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $x$ et $y$ vérifient l'équation $x = 0,65 x + 0,33 y$.
Les termes de la matrice de transition n'étant pas nuls on sait que quel que soit l'état initial l'était $P_n$ converge vers un état stable $P= \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$, avec $x + y = 1$ qui vérifie : $P = P \times M$ soit :

$ \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 
0,65&0,35\\0,33&0,67\end{pmatrix} \Rightarrow  \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0,65x + 0,33y\\
y&=&0,35x + 0,67y
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,35x - 0,33y&=&0\\-0,35x + 0,33y&=&0
\end{array}\right.$

Ainsi on a : $x = 0,65x + 0,33y$.
		\item %Déterminer $x$ et $y$ (on arrondira les résultats à $10^{-3}$ près).
On a donc le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
0,35x - 0,33y&=&0\\x + y &=& 1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,35x - 0,33y&=&0\\y &=& 1 - x
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
0,35x - 0,33(1 - x)&=&0\\y &=& 1 - x
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,68x - 0,33&=&0\\y &=& 1 - x
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
0,68x &=&0,33\\y &=& 1 - x
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\frac{33}{68}\\y &=& 1 - \frac{33}{68}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\frac{33}{68}\\y &=& \frac{35}{68}
\end{array}\right..$

On a $x = \frac{33}{68} \approx 0,485$ et $y = \dfrac{35}{68} \approx 0,515$.
		\item %Interpréter le résultat.
Le résultat précédent montre que sur le long terme environ 48,5\,\% des membres du personnel continueront à souhaiter la grève.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Tous les résultats numériques seront arrondis à l'unité près sauf indication contraire.}
%
%Une machine est achetée \np{3000} euros.
%
%Le prix de revente $y$, exprimé en euros, est donné en fonction du nombre $x$ d'années d'utilisation par le tableau suivant :
%
%\[\begin{array}{|*{7}{c|}}\hline
%x_{i}&	0		&	1			&2			&3			&4			&5\\ \hline
%y_{i}&\np{3000}&\np{2400}		&\np{1920}	&\np{1536}	&\np{1229}	&983\\ \hline
%\end{array}\]
%
%\medskip

\textbf{A. Ajustement affine}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Représenter le nuage de points associé à la série statistique $(x_{i}~;~y_{i})$ dans un repère orthogonal du plan. Les unités graphiques seront de 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses et de 1 cm pour 200 euros sur l'axe des ordonnées.
\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.0025cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-150)(5.5,3200)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=500]{->}(0,0)(0,0)(5.5,3200)
\psdots(0,3000)(1,2400)(2,1920)(3,1536)(4,1229)(5,983)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.5}{2843 399 x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Calculer le pourcentage de dépréciation du prix de revente après les trois premières années d'utilisation.
Le pourcentage de dépréciation du prix de revente après les trois premières années d'utilisation est égal à $\dfrac{\np{3000} - \np{1536}}{\np{3000}}\times 100  = \dfrac{\np{1464}}{\np{3000}}\times 100 = 48,8\,\%$.
\item %Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.
%Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la
%méthode des moindres carrés.
La calculatrice donne $y = - 399x + \np{2843}$.
%Représenter la droite dans le repère précédent.
\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{B. Ajustement non affine}

\medskip

On pose $z =  \ln (y)$ et on admet qu'une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ est donnée par : $z = - 0,22x + 8,01$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer une expression de $y$ en fonction de $x$ de la forme $y = A^x  \times B$ où $A$ est un réel arrondi au centième près et $B$ est un réel arrondi à l'unité près.
On a $z = \ln y = - 0,22x + 8,01 \iff y = \text{e}^{- 0,22x + 8,01} = \text{e}^{- 0,22x} \times \text{e}^{8,01}$.

Or $\text{e}^{8,01} \approx \np{3010,9}$ soit à l'unité près \np{3011}.

Finalement $y  = \np{3011}\text{e}^{- 0,22x}$.

On a également $\text{e}^{- 0,22x} = \text{e}^{- 0,22^x} \approx 0,8^x$.

Donc on peut écrire $y = \np{3011} \times 0,80^x$.
\item %En admettant que $y = 0,80^x \times  \np{3011}$, déterminer après combien d'années d'utilisation le prix de revente devient inférieur ou égal à 500 euros.
Le prix de revente devient inférieur ou égal à 500 euros si 

$\np{3011}0,80^x \leqslant 500 \iff 0,80^x \leqslant \dfrac{500}{\np{3011}} \iff x \ln 0,8 \leqslant \ln \frac{500}{\np{3011}} \iff x \geqslant \dfrac{\ln \frac{500}{\np{3011}}}{\ln 0,8}$ (car $\ln 0,8 < 0$).

La calculatrice donne $\dfrac{\ln \frac{500}{\np{3011}}}{\ln 0,8} \approx 8,05$.

Il faudra donc attendre 9 ans pour que le prix de revente soit inférieur à 500~\euro.
\end{enumerate}
	
\textbf{C Comparaison des ajustements}

\medskip

%Après 6 années d'utilisation le prix de revente d'une machine est de 780 euros.
%Des deux ajustements précédents, quel est celui qui semble le mieux estimer le prix de revente après 6 années d'utilisation ? On argumentera la réponse.
Au bout de 6 ans le prix de revente :

-- avec l'ajustement affine est égal à $- 399 \times 6 + \np{2843} = 449$~\euro.

-- avec l'ajustement exponentiel $0,80^6 \times \np{3011} \approx 789$~(\euro).

C'est donc l'ajustement affine qui est le plus pertinent.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Soit une fonction $r$ définie sur [0 ; 12] par 
%
%\[r(x) = (900x)\text{e}^{-0,1(x - 2)}.\]

\textbf{A. Étude d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $f$ définie sur ]0~;~12] par 
%$f(x) =  \ln [r(x)]$.

%Démontrer que $f(x) = \ln (900) + \ln x -  0,1(x -2)$.
On a $f(x) =  \ln [r(x)]  = \ln \left[ (900x)\text{e}^{-0,1(x - 2)}\right] = \ln 900 + \ln x - 0,1(x - 2)$.
\item %On note $f$ la fonction dérivée de $f$ ;  démontrer que $f'(x) = \dfrac{10 - x}{10x}$.
La fonction $f$ est dérivable sur ]0~;~12] et sur cet intervalle 

$f'(x) = \dfrac{1}{x} - 0,1 = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{10 - x}{10x}$.
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de ]0~;~12] puis dresser le tableau de variations de $f$ sur ]0~;~12].
Comme $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $10 - x$, donc :

-- si $x < 10$, \:$f'(x) > 0$, donc la fonction est croissante sur [0~;~10[ ;

-- si $x > 10$, \: $f'(x) < 0$, donc la fonction est décroissante sur ]10~;~12]

-- $f'(10) = 0$, \: $f(10)$ est le maximum de $f$ sur [0~;~12].
\item %On désigne par $r'$ la fonction dérivée de $r$ ; exprimer $f'$ en fonction de $r'$ et de $r$ puis justifier que $r'(x)$ et $f'(x)$ ont le même signe pour tout $x$ de ]0~;~12].
Comme $f(x) =  \ln [r(x)]$, alors $f'(x) = \dfrac{r'(x)}{r(x)}$

Comme la fonction $r$ est positive sur [0~;~12], le signe de $f'(x)$ est le même que celui de $r'(x)$.
\item %En déduire les variations de $r$ sur ]0~;~12].
On a donc les variations suivantes de $r$ :

-- si $x < 10$, \:$r'(x) > 0$, donc la fonction est croissante sur [0~;~10[ ;

-- si $x > 10$, \: $r'(x) < 0$, donc la fonction est décroissante sur ]10~;~12]

-- $r'(10) = 0$, \: $r(10)$ est le maximum de $f$ sur [0~;~12].
\item %Déterminer pour quelle valeur $x_{0}$ la fonction $r$ atteint un maximum et calculer $x_{0}$ arrondi à l'unité près.
D'après le résultat précédent la fonction $r$ atteint un maximum pour $x_0 = 10$ et ce maximum est $r\left(x_0\right) = r(10) = 900 \times 10 \text{e}^{-0,1(10-2)} = \np{9000}\text{e}^{- 0,8} \approx \np{4043,96}$.
\end{enumerate}

\textbf{B. Calcul de la valeur moyenne}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la fonction $R$ définie par 

%\[R(x) = - \np{9000}(x + 10)\text{e}^{-0,1(x - 2)}\]

%est une primitive de la fonction $r$ sur [0 ; 12].
Sur [0~;~12], $R$ est dérivable et :

$R'(x) = - \np{9000}\text{e}^{- 0,1(x - 2)} - \np{9000}(x + 10)\times (- 0,1)\text{e}^{-0,1(x - 2)} = - \np{9000}\text{e}^{- 0,1(x - 2)} + 900(x + 10)\text{e}^{- 0,1(x - 2)} = $

$\np{900}\text{e}^{- 0,1(x - 2)}(- 10 + x + 10) = 900x\text{e}^{- 0,1(x - 2)} = r(x)$.
\item %Calculer la valeur moyenne $r_{m}$ de la fonction $r$ sur [0 ; 12] définie par

%\[r_{m} = \dfrac{1}{12}\displaystyle\int_{0}^{12} r(x)\:\text{d}x.\]

%On donnera d'abord la valeur exacte et ensuite une valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
$r_{m} = \dfrac{1}{12}\displaystyle\int_{0}^{12} r(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{12}[R(x)]_0^{12} = \dfrac{1}{12}\left[R(12) - R(0)\right] =$

$ \dfrac{1}{12}\left[- \np{9000}(12 + 10)\text{e}^{-0,1(12 - 2)} +  \np{9000}(0 + 10)\text{e}^{-0,1(0 - 2)} \right] =$

$\dfrac{1}{12}\left[- \np{9000}\times 22\text{e}^{-0,1\times(10)} +  \np{9000}\times 10\text{e}^{-0,1(- 2)} \right] = \np{1500}\left(5\text{e}^{0,2} - 11\text{e}^{- 11} \right)$.

On a $r_m \approx \np{3090,51}$.

\end{enumerate}

%\newpage
%
%\textbf{Annexe- Document réponse à rendre avec la copie}
%
%\medskip
%
%\textbf{Exercice 1 : questionnaire à  choix multiples} 
%
%\begin{center}
%
%\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
%\multicolumn{2}{|c|}{Questions}& 	\multicolumn{3}{|c|}{Réponses}\\ \hline
%Q1&Si $a \in ]0~;~1[$ alors	&$0$&$+ \infty$&$- \infty$\\  \cline{3-5} 
%	&$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} a^x$ est égale  à : & $\Box$	&$\Box$	&$\Box$	\\ \hline
%	&Une primitive sur $\R$ de& & & \\ 
%Q2	&la fonction&	$x \mapsto \text{e}^{x^2}$&$x \mapsto 2\text{e}^{x^2}$&$x \mapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2}$\\  \cline{3-5}	
%	&$x \mapsto x\text{e}^{x^2}$ est : 	&$\Box$&$\Box$&$\Box$\\ \hline
%	&	La dérivée sur $]0~;~+\infty[$&		&	&\\
%Q3	&	de la fonction&	$x \mapsto \dfrac{1}{x}$& $x \mapsto \ln x$&$x \mapsto \ln x + 1$\\ \cline{3-5}
%	&$x \mapsto x\ln x$ est :	&$\Box$	&$\Box$	&$\Box$ \\ \hline
%Q4	&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\text{e}^{- 2\ln 5}$  est égal à :&$\dfrac{1}{25}$&$-25$&$\dfrac{5}{2}$\\ \cline{3-5}
%	&	&$\Box$	&$\Box$	&$\Box$\\ \hline
%Q5	&L'équation $\text{e}^x = \dfrac{16}{\text{e}^x}$& Aucune solution& Une solution& Deux solutions \\
%	&admet sur $\R$&$\Box$	&$\Box$	&$\Box$\\ \hline
%	&L'ensemble des&		&		&\\
%Q6&	solutions de&		&		&\\
%	&l'inéquation&$\left[\frac{5}{\ln 0,2}~;~0\right[$&$\left]- \infty~;~\frac{5}{\ln 0,2}\right]$&$\left[\frac{5}{\ln 0,2}~;~+ \infty\right[$\\\cline{3-5} 
% 	&$x\ln (0,2) - 5 \geqslant 0$ est : &$\Box$	&$\Box$	&$\Box$\\ \hline
%\end{tabular}
%
%\bigskip
%
%Dans les questions 7, 8, 9 et 10, A et B sont deux évènements d'un univers
%	tels que  $P$(A)$=0,4,~ P$(B) $=0,3$ et $P(\text{A} C\cap \text{B}) =0,2$.
%
%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%Q7&	$P(\text{A} \cup \text{B}) =$&0,1 & 0,5 &0,7\\\cline{3-5}
%&&$\Box$&$\Box$&$\Box$\\ \hline
%Q8&$P\left(\text{A} \cap \overline{\text{B}}\right) =$&	0,1&	0,2&	0,4\\\cline{3-5}
%&&$\Box$&$\Box$&$\Box$\\ \hline
%Q9&$P\left(\overline{\text{A} \cap \text{B}}\right) =$&	0,3&	0,5&	0,8\\ \cline{3-5}
%&&$\Box$&$\Box$&$\Box$\\\hline
%Q10&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$P_{\text{A}}(\text{B})  =$&$\dfrac{2}{3}$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{3}{4}$\\\cline{3-5} 
%&&$\Box$&$\Box$&$\Box$\\\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\end{document} 