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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{31 mai 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Nord  31 mai 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification.\\
%Une bonne réponse apporte $1$ point, une mauvaise enlève $0,5$ point.\\
%L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.\\
%Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à $0$.}
 
%\begin{center}
%\textbf{COMPLÉTER LE DOCUMENT RÉPONSE EN ANNEXE}
%\end{center}
 
%\textbf{Rappel : } La notation $P_{\text{A}}(\text{B})$ désigne la probabilité de l'évènement B sachant que l'évènement A est réalisé.
% 
%\medskip
% 
%\begin{tabular}{|p{8cm}|p{3,5cm}|}\hline
%Questions & \\ \hline
%\multirow{3}{8cm}{\textbf{1.} A et B sont deux évènements indépendants tels que $p$(A) = $0,7$ et $p$(B) = $0,2$.} &$\Box~~p(\text{A} \cap \text{B}) = 0,14$\\ \cline{2-2}
% & $\Box~~p(\text{A} \cup \text{B}) = 0,9$\\ \cline{2-2}
% &$\Box~~p_{\text{A}}(\text{B}) =  0,5$\\ \hline
%\multirow{3}{8cm}{\textbf{2.} Une pièce de monnaie est telle que la probabilité d'obtenir le c\^ote face est égale à $\dfrac{1}{3}$. On lance $4$ fois de	
%suite cette pièce.
%Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le c\^oté face ?}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}  $\Box~~\dfrac{18}{81}$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~\dfrac{72}{81}$\\\cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}  $\Box~~\dfrac{65}{81}$\\\hline 
%\multirow{3}{8cm}{\textbf{3.}  On considère l'arbre pondéré ci-dessous.\\
%Quelle est la probabilité de $P_{\text{H}}(\text{F})$ ?\\
%\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2pt]{\TR{}}
%{
%	\pstree{\TR{E}\taput{0,2}}
%	  { 
%		  \TR{G}\taput{0,6}
%		  \TR{H}\tbput{}	   
%	  }
%	\pstree{\TR{F}\tbput{}}
%	  {
%		  \TR{G}\taput{0,3}
%		  \TR{H}\tbput{}	  
%	  }
%}
%\end{center}}&\rule[-3mm]{0mm}{18mm} 	$\Box~~P_{\text{H}}(\text{F}) = 0,7$\\\cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{18mm}$\Box~~P_{\text{H}}(\text{F}) = 0,56$\\\cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{18mm}$\Box~~P_{\text{H}}(\text{F}) = 0,875$\\\hline
%\multirow{3}{8cm}{\textbf{4.} Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules	
%noires. On tire, avec remise, une boule au hasard, $n$ fois de suite (avec $n> 1$).\\ 
%Quelle est la probabilité d'obtenir des boules qui ne 
%soient pas toutes de la même couleur ?}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^n}$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^{n-1}}$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^{2n}}$\\ \hline
%\end{tabular} 
\begin{enumerate}
\item A et B sont indépendants donc $p(\text{A} \cap \text{B}) = p(\text{A}) \times p(\text{B}) = 0,2 \times 0,7 = 0,14$.
\item La probabilité d'avoir pile est $\dfrac{2}{3}$. La probabilité de n'avoir que des pile est 
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^4$, donc la probabilité d'avoir au moins une fois face est égale $1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{3^4 - 2^4}{3^4} = \dfrac{81 - 16}{81} = \dfrac{65}{81}$.
\item On a $p(\text{F}) = 1 - 0,2 = 0,8$

$p_{\text{E}}(\text{H}) = 1 - 0,6 = 0,4$ ; $p_{\text{F}}(\text{H}) = 1 - 0,3 = 0,7$ ;

$p(\text{E} \cap \text{H}) =  p_{\text{E}} \times p_{\text{E}}(\text{H}) = 0,2 \times 0,4 = 0,08$ ;

$p(\text{F} \cap \text{H}) =  p_{\text{F}} \times p_{\text{F}}(\text{H}) = 0,8 \times 0,7 = 0,56$.

Donc $p(\text{H}) = p(\text{E} \cap \text{H}) + p(\text{F} \cap \text{H}) = 0,08 + 0,56 = 0,64$.

Enfin $p_{\text{H}}(\text{F}) = \dfrac{p(\text{F} \cap \text{H})}{p(\text{H})} = \dfrac{0,56}{0,64} = \dfrac{56}{64} = \dfrac{7}{8} = 0,875$.
\item L'évènement contraire est : \og obtenir $n$ boules de la même couleur \fg.

La probabilité de tirer un boule blanche est $\dfrac{1}{2}$, donc la probabilité de tirer $n$ boules blanches est $\dfrac{1}{2^n}$.

La probabilité de tirer un boule noire est $\dfrac{1}{2}$, donc la probabilité de tirer $n$ boules noires est $\dfrac{1}{2^n}$.

Donc la probabilité de tirer $n$ noires ou $n$ blanches est : $\dfrac{1}{2^n} + \dfrac{1}{2^n} = \dfrac{2}{2^n} = \dfrac{1}{2^{n-1}}$.

Finalement la probabilité d'obtenir des boules qui ne soient pas toutes de la même couleur est égale à $1 - \dfrac{1}{2^{n-1}}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%La courbe ($\mathcal{C}$) ci-dessous représente une fonction $F$ définie et dérivable sur l'intervalle J $= \left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$.
%
%On sait que ($\mathcal{C}$) coupe l'axe des abscisses au point (3~;~0) et a une tangente horizontale au point $(1~;~- 2)$.
%
%On note $f$ la fonction dérivée de $F$.
%
%\bigskip
%
%\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-0.5,-4.5)(7.5,10.5)
%\psgrid[griddots=10,subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange](0,0)(-0,-4)(7,10)
%\multido{\n=0.0+0.5}{14}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,-4)(\n,10.)}
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=2]{->}(0,0)(-0.25,-4.5)(7.5,10.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=2](0,0)(0,0)(7.5,10.5)
%\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.501}{7.5}{2 x mul 1 sub 2 x mul 1 sub ln mul 2 div x sub 3 add 5 ln 5 mul 2 div sub}
%\end{pspicture}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %À l'aide du graphique, donner les variations de $F$ et en déduire le signe de $f$.
$F$ semble être décroissante sur [0,5~;~1] de $- 1,5$ à $- 2$, puis croissante sur $[1~;~+ \infty[$ de $- 2$ à plus l'infini. 
		\item  %Donner $f(1),\: F(1)$ et $F(3)$. Préciser le signe de $f(3)$.
$f(1) = F'(1)$ nombre dérivé en 1 de $F$, donc égal au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1, donc $f(1) = 0$.

$F(1) = - 2$ et $F(3) = 0$.
		\item  %Calculer $\displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x$.
Si $f$ est la dérivée de $F$, alors $F$ est une primitive de $f$, donc :

$\displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_1^3 = F(3) - F(1) = 0 - (- 2) = 2$~unités d'aire.
	\end{enumerate}
\item  %Trois fonctions $f_{1}~,f_{2}$ et $f_{3}$ sont définies sur l'intervalle J par :
%\[f_{1}(x) = (x^2 - x +1)\text{e}^{2x - 1},~	f_{2}(x) =  \ln (2x - 1 )~	\text{et}~f_{3}(x)  = - 1 + \dfrac{1}{2x - 1}.\]
%Une de ces trois fonctions est la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Étudier le signe de $f_{1}$ sur l'intervalle J. 
Comme $\text{e}^{2x - 1} > 0$, quel que soit le réel $x$, le signe de $f_1(x)$ est celui de $x^2 - x + 1$ ; c'est un trinôme du second degré ; $\Delta = 1 - 4 = - 3 < 0$, donc le trinôme n'a pas de racines : il est donc du signe de $a = 1$, soit positif pour tout réel de J. Donc sur J, $f_1(x) > 0$.
		\item  %Résoudre l'équation $f_{2}(x) = 0$ sur l'intervalle J.
$f_{2}(x) = 0 \iff \ln (2x - 1 ) = 0 \iff 2x - 1 = 1 \iff 2x = 2 \iff x = 1$. Donc $f_2(1) = 0$ 
		\item  %Calculer $f_{3}(1)$.
$f_3(1) = - 1 + \dfrac{1}{2 - 1} = - 1 + 1 = 0$.
		\item  %Calculer $\displaystyle\int_{1}^3 f_{3}(x)\:\text{d}x$.
$\displaystyle\int_{1}^3 f_{3}(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{1}^3 \left[- 1 + \dfrac{1}{2x - 1}\right]\:\text{d}x = \left[- x + \dfrac{1}{2}\ln (2x - 1)\right]_1^3 =$

$ - 3 + \dfrac{1}{2}\ln (2\times 3 - 1) - \left(- 1 + \dfrac{1}{2}\ln (2\times 1 - 1) \right) = - 3 + \dfrac{1}{2}\ln 5 + 1 = \dfrac{1}{2}\ln 5  - 2$ 
		\item  %En déduire la fonction $f$
$\bullet~~$$f_1$ ne peut être égale à $f$ car elle est positive et $f$ est négative sur [0,5~;~1].

$\bullet~~$$f_3$ ne peut être égale à $f$ car les intégrales de ces deux fonctions sur [1~;~3] ne sont pas égales.

$\bullet~~$Reste $f_2$ qui s'annule en 1, comme $f$.

De plus $\ln (2x - 1) > 0 \iff \ln (2x - 1) > \ln 1 \iff 2x - 1 > 1 \iff x > 1$ et de même 

$\ln (2x - 1) < 0 \iff \ln (2x - 1) < \ln 1 \iff 2x - 1 < 1 \iff x < 1$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\textbf{Première Partie : Étude d'un graphe}

%\begin{center}
%\begin{pspicture}(6,4)
%\dotnode(0,0.5){Y} \dotnode(0,2){Z}  \dotnode(1,2.5){A}  
%\dotnode(3,4){B}  \dotnode(2.5,1.8){C}  
%\dotnode(4,2){D}  \dotnode(3.5,0.5){G}  \dotnode(6,3){F}  
%\dotnode(5.5,1.5){E}  \dotnode(5,0){H}
%\ncarc{Z}{A} \ncarc{A}{B} \ncarc{B}{F} \ncarc{F}{E} 
%\ncarc{E}{H} \ncarc{E}{D} \ncarc{E}{B} \ncarc{H}{G} 
%\ncarc{G}{D} \ncarc{G}{C} \ncarc{C}{D} \ncarc{A}{C} 
%\ncarc{Y}{C} \ncarc{B}{D} \ncarc{A}{Y}
%\uput[l](0,0.5){Y}  \uput[l](0,2){Z}  \uput[ul](1,2.5){A}    \uput[u](3,4){B}  \uput[d](2.5,1.8){C}   \uput[dr](4,2){D}  \uput[d](3.5,0.5){G}  \uput[r](6,3){F}  \uput[r](5.5,1.5){E}  \uput[r](5,0){H}  \ncarc{Y}{G}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%On considère le graphe ci-dessus.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Ce graphe est-il connexe ?
		Le graphe est connexe car la chaîne Z--A--B--F--E--H--G--D--C--Y contient tous les sommets : il existe donc toujours un chemin reliant deux points quelconques du graphe.
		\item  %Déterminer le degré de chacun des sommets.
		
%On pourra donner le résultat sous forme de tableau.
On a le tableau suivant 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
sommets&A&B&C&D&E&F&G&H&Y&Z\\ \hline
degré&4&4&4&4&4&2&4&2&3&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item  %Justifier l'existence d'une chaîne eulérienne.
On sait qu'un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2.

Le graphe a deux sommets (Y et Z) de degré impair, donc il existe une chaîne eulérienne.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer un encadrement du nombre chromatique de ce graphe.
Soit $\gamma$ le nombre chromatique.
		
Comme le plus haut degré est 4, on a $\gamma \leqslant 5$.
		
De plus $\{$A,~C,~Y$\}$ est un sous-graphe complet d'ordre 3, donc $\gamma \geqslant 3$.

Finalement  : $3 \leqslant \gamma \leqslant 5$.
		\item  %Montrer que ce nombre chromatique est égal à 3.
On peut en fait trouver une coloration avec trois couleurs :
		
Couleur 1 : Z, B, C ;

Couleur 2 : A, E, G ;

Couleur 3 : D, F, Y. Donc $\gamma = 3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Deuxième Partie : Visite d'un musée}

\bigskip

%\psset{unit=1cm}
%\begin{center} \begin{pspicture}(10,5)
%\psframe(0,0)(3.3,3.4)%accueil
%\psframe(3.3,0)(7.5,1.8)%G
%\psframe(7.5,0)(10.6,1.8)%H
%\psframe(3.3,1.8)(5.2,3.4)%C
%\psframe(5.2,1.8)(9,3.4)%D
%\psframe(9,1.8)(10.6,3.4)%E
%\psframe(10.6,0)(12.1,5.2)%F
%\psframe(0,3.4)(2.3,4.5)%boutique
%\psframe(2.3,3.4)(6.5,5.2) %A
%\psframe(6.5,3.4)(10.6,5.2)%B
%\rput(1.1,3.8){Boutique} \rput(1.65,1.7){Accueil}
%\rput(4.3,4.3){A}  \rput(8.8,4.4){B}  \rput(4.3,2.5){C}  \rput(7.1,2.5){D}  \rput(9.9,2.5){E}  \rput(11.5,2.8){F}  \rput(5.6,0.9){G}  \rput(9,0.9){H}
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.4,3.4)(3.2,3.4)%accueil
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0.8)(0,2.2)%accueil
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,3.5)(0,4.4)%boutique gauche
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.3,3.6)(2.3,4.4)%boutique droite
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](6.5,3.9)(6.5,4.7)%A
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.3,0.4)(3.3,1.2)% accueil droit
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.3,2)(3.3,2.8)% accueil droit
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.3,2.2)(3.3,3)% accueil droit haut
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](5.2,2.2)(5.2,3)%C
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](9,2.2)(9,3)%D
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](7.8,3.4)(8.6,3.4)%D haut
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](10.6,2.2)(10.6,3)%E
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](7.5,0.4)(7.5,1.2)%G
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](6,1.8)(6.8,1.8)%G haut droit
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](4,3.4)(4.8,3.4)%C haut
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](4,1.8)(4.8,1.8)%C bas 
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](10.6,2.2)(10.6,3)%E droit
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](9.4,1.8)(10.2,1.8)%E bas
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](10.6,3.9)(10.6,4.7)%B droit
%\psframe[linewidth=3pt,linecolor=gray,fillstyle=solid,fillcolor=gray](9.4,3.4)(10.2,3.4)%H haut
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\medskip

%Voici le plan d'un musée : les parties grisées matérialisent les portes et les visiteurs partent de l'accueil, visitent le musée et doivent terminer leur visite la la boutique.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item  ~%Représenter la situation à l'aide d'un graphe en précisant ce que représentent arêtes et sommets.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,1.7)(10,8)
%\psgrid
\uput[ul](1,6){Bo}\uput[ul](2,7){A}\uput[u](5,7.5){B}\uput[ul](9,7){F}
\uput[d](3,4){C}\uput[ul](4,5){D}\uput[u](7,4){E}
\uput[l](1,2){Ac}\uput[u](5,3){G}\uput[ur](8,2){H}
\psdots(1,6)(2,7)(5,7.5)(9,7)(3,4)(4,5)(7,4)(1,2)(5,3)(8,2)
\psline(1,6)(2,7)(5,7.5)(9,7)(7,4)(5,7.5)(4,5)(7,4)(8,2)(5,3)(4,5)(5,7.5)
\psline(1,2)(3,4)(2,7)(1,2)(5,3)(3,4)(4,5)
\end{pspicture}
\end{center}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Pourquoi est-il possible de trouver un circuit où les visiteurs passent une fois et une seule par toutes les portes ?
On a vu qu'il existe une chaîne eulérienne, donc il est possible de passer chaque porte une seule fois. 
		\item  %Donner un exemple d'un tel circuit.
Ac--C--G--Ac--A--B--F--E--B--D--G--H--E--D--C--A--Bo
	\end{enumerate}
\item  %Comment colorier les salles y compris l'accueil et la boutique, en utilisant un minimum de couleurs, pour que deux salles qui communiquent par une porte aient des couleurs différentes ?
Le nombre chromatique est égal à 3, donc 3 couleurs suffisent.

Couleur 1 : Bo--B--C--H ;

Couleur 2 : A--E--G ;

Couleur 3 : Ac--D--F.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Dans tout l'exercice, le détail des calculs statistiques n'est pas demandé.\\Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.\\
%On rappelle que l'image d'un réel $x$ par la fonction exponentielle peut être notée }\\exp$(x) = \text{e}^x$.
%
%\medskip
%
%On veut étudier l'évolution des records de l'épreuve d'athlétisme du 100 mètres masculin. Pour cela, on cherche un ajustement des records pour en prévoir l'évolution.
%
%On donne dans le tableau suivant certains records, établis depuis 1900.
%
%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année 						&1900	&1912	&1921	&1930	&1964	&1983	&1991	&1999\\ \hline
%Rang de l'année, $x_{i}$	&0		&12		&21		&30		&64		&83		&91		&99\\ \hline
%Temps en secondes, $y_{i}$	&10,80	&10,60	&10,40	&10,30	&10,06	&9,93	&9,86	&9,79\\ \hline
%\end{tabularx}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Étude d'un modèle affine} 
	\begin{enumerate}
		\item  ~%Construire le nuage de points $M_{i}(x_{i}~;~y_{i})$, avec $i$ compris entre 1 et 8, associé à cette série statistique double. On prendra comme unité graphique 1~cm pour dix ans en abscisse et 1 cm pour un dixième de seconde en ordonnées. On commencera les graduations au point de coordonnées (0~;~9).
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(10.5,2)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,2)}
\multido{\n=0.0+0.1}{21}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=9,Dy=0.1](0,0)(0,0)(10.5,2)
\psdots(0,1.8)(1.2,1.6)(2.1,1.4)(3,1.3)(6.4,1.06)(8.3,0.93)(9.1,0.86)(9.9,0.79)
\uput[u](9,0){rang de l'année}
\uput[r](0,1.95){temps en secondes}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item  %Peut-on envisager un ajustement affine à court terme ? Cet ajustement permet-il des prévisions pertinentes à long terme sur les records futurs ?
Le nuage de points est allongé : on peut penser à un ajustement affine, mais la prévision à long terme n'est pas pertinente puisqu'elle conduirait à un temps nul pour parcourir 100~m, ce qui est est impossible.
	\end{enumerate}
\item  \textbf{Étude d'un modèle exponentiel}

%Après étude, on choisit de modéliser la situation par une autre courbe. On effectue les changements de variables suivants :
% 
%\[ X =  \text{e}^{-\np{0,00924}x}~\text{et}~ Y= \ln y.\]
%
%On obtient le tableau suivant :
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
% $X_{i} =  \text{e}^{-\np{0,00924}x_{i}}$&	1	&0,895 	&0,824 	&0,758 	&0,554 	&0,464 	&0,431&	0,401\\ \hline
%$Y_{i} = \ln y_{i}$& 	2,380& 	2,361& 	2,342&	2,332&	2,309&	2,296&	2,288&	2,281\\ \hline
%\end{tabularx}
% 
%\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  %Donner une équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ obtenue par la méthode des moindres carrés
La calculatrice donne $Y = 0,154X + 2,221$.
		\item  %En déduire que l'on peut modéliser une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme suivante : $y = \text{exp} (a \text{e}^{-\np{0,00924}x} + b)$ où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.
$Y = 0,154X + 2,221 \iff \ln y = 0,154\times \text{e}^{-\np{0,00924}x} + 2,221 \iff y = \text{e}^{0,154\times \text{e}^{-\np{0,00924}x} + 2,221}$.
		\item  %À l'aide de cet ajustement, quel record du 100 mètres peut-on prévoir en 2010 ?
2010 correspond au rang 110, d'où :

$y = \text{e}^{0,154\times \text{e}^{-\np{0,00924}\times 110} + 2,221} \approx \np{9,7448}$ soit au millième près 9,745~s.
		\item  %Calculer la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression suivante :

%\[f(t) = \text{exp}\left(0,154 \text{e}^{-\np{0,00924}x} + 2,221\right).\]
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} -\np{0,00924}x = - \infty$ et que $\displaystyle\lim_{X \to - \infty}\text{e}^{X} = 0$ et enfin $\displaystyle\lim_{X \to - \infty}0,154\text{e}^{X} = 0$.

Donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(t) = \text{exp}^{2,221}$.
		\item  %Que peut-on en conclure, en utilisant ce modèle, quant aux records du cent mètres masculin, à très long terme?
On peut donc conclure qu'à long terme le record du monde ne descendra pas en dessous de $\text{exp}^{2,221} \approx \np{9,2165}$, soit 9,217~secondes au millième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

%On considère une fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+\infty \right[$ par :
%
%\[ g(x) = - x^2 + a x - \ln (2x + b),~\text{où} \:a\:\text{et}\: b\: \text{sont deux réels.}\]
%
%Calculer $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de $g$ dans un plan muni d'un repère \Oij{} passe par l'origine du repère et admette une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$.
%
%\medskip
On doit donc avoir $g(0) = 0$ et $g'\left(\frac{1}{2}\right) = 0$.

Or $g$ est dérivable sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+\infty \right[$ et sur intervalle  :

$g'(x) = - 2x + a - \dfrac{2}{2x + b}$, d'où $g'\left(\frac{1}{2}\right) = - 1 + a - \dfrac{2}{1 + b}$.

On a donc le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
g(0) &=& 0\\
g'\left(\frac{1}{2}\right) &=& 0
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
- \ln b &=& 0\\
- 1 + a - \dfrac{2}{1 + b} &=& 0
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
b&=&1\\
- 1 + a - \dfrac{2}{1 + 1}&=&0
\end{array}\right. \iff$

$\left\{\begin{array}{l c l}
b&=&1\\
- 1 + a - 1&=&0
\end{array}\right.\iff
\left\{\begin{array}{l c l}
b&=&1\\
a&=&2
\end{array}\right.$

Conclusion : $g(x) = - x^2 + 2x - \ln (2x + 1)$.

\medskip

\textbf{Deuxième  partie}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+\infty \right[$ par :
%
%\[f(x) = - x^2 + 2x - \ln (2x+1).\]
%
%On admet que $f$ est dérivable et on note $f'$ sa dérivée.
%
%Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant :

\begin{center}
\begin{pspicture}(11.5,5)
\psframe(11.5,5)
\psline(0,3)(11.5,3) \psline(0,4)(11.5,4) 
\psline(2.5,0)(2.5,5) \psline(2.6,0)(2.6,4) \psline(2.65,0)(2.65,4)
\psline{->}(3.25,2.7)(5.2,0.3) \psline{->}(5.8,0.3)(7.8,2.7) \psline{->}(9.2,2.7)(11,0.4) 
\uput[u](1.25,4.25){$x$}   \rput(1.25,3.5){signe de $f'(x)$}
\rput(1.25,2.7){variations} \rput(1.25,2){de} \rput(1.25,1.3){$f$} 
\uput[u](2.7,4.25){$- \frac{1}{2}$}\uput[u](5.5,4.25){$0$} \uput[u](8.5,4.25){$\frac{1}{2}$} \uput[u](11,4.25){$+\infty$}  \uput[u](5.5,3.25){$0$}\uput[u](8.5,3.25){$0$}
\uput[u](4,3.25){$-$}  \uput[u](7,3.25){$+$}  \uput[u](10,3.25){$-$} 
\uput[d](2.9,3){$+ \infty$}  \uput[u](5.5,0){$0$} \uput[d](8.5,3){$\frac{3}{4} + \ln \left(\frac{1}{2}\right)$} \uput[u](11,0){$- \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.
On a $f(x) = g(x)$, donc $f'(x) = g'(x) = - 2x + 2 - \dfrac{2}{2x + 1} = \dfrac{(- 2x + 2)(2x + 1) - 2}{2x + 1} = $

$\dfrac{- 4x^2 - 2x + 4x + 2 - 2}{2x + 1} = \dfrac{2x - 4x^2}{2x + 1} = \dfrac{2x(1 - 2x)}{2x + 1}$.

Or sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+\infty \right[$, \: $2x + 1 > 0$, donc le signe de la dérivée est celui de son numérateur $2x(1 - 2x)$ ; ce trinôme du second degré est négatif sauf entre ses racines $0$ et $\frac{1}{2}$. On a donc :

$\bullet~~$sur $\left]- \frac{1}{2}~;~0\right[$ et sur $\left]\frac{1}{2}~;~+ \infty\right[$, \: $f'(x) < 0$ ; sur ces deux intervalles la fonction est décroissante ;

$\bullet~~$sur $\left]0~;~\frac{1}{2}\right[$, \: $f'(x) > 0$ ; sur cet intervalle la fonction est croissante.

$\bullet~~$$f'(0) = f'\left(\frac{1}{2} \right) = 0$ ; la fonction a deux extremums.

\textbf{Valeurs aux bornes des intervalles :}

On a $\displaystyle\lim_{x \to - \frac{1}{2}} - x^2 + 2x = - \frac{5}{4}$ et  $\displaystyle\lim_{x \to - \frac{1}{2}} \ln (2x + 1) = - \infty$ donc $\displaystyle\lim_{x \to - \frac{1}{2}} - \ln (2x + 1) = + \infty$ et finalement par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \frac{1}{2}}f(x) = + \infty$.

$f(0) = 0 + 0 - 0 = 0$ ;

$f\left(\frac{1}{2} \right) = - \frac{1}{4} + 1 - \ln (1 + 1) = \frac{3}{4} - \ln 2 = \frac{3}{4} + \ln \frac{1}{2}$.

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - x^2 + 2x = \displaystyle\lim_{x \to + \infty}x(2 - x) = -\infty$, par produit de limites ; $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln (2x+ 1) = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}- \ln (2x+ 1) = - \infty$ et enfin par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~1\right]$.
D'après le tableau de variations ci-dessus, la fonction $f$ continue sur $\left[\frac{1}{2}~;~1\right]$ car dérivable sur cet intervalle est strictement décroissante de $\frac{3}{4} + \ln \left(\frac{1}{2} \right) \approx 0,057$ à $\frac{3}{4} + \ln \left(\frac{1}{2} \right) \approx 0,057$ à $f(1) = - 1 + 2 - \ln 3 \approx - 0,098$ ; d'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe donc un réel unique $\alpha \in \left]\frac{1}{2}~;~1\right[$ tel que $f(\alpha) = 0$. 
		\item  %Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
La calculatrice donne :

$f(0,8) \approx 0,004$ et $f(0,9 \approx - 0,04$, donc $0,8 < \alpha < 0,9$ ;

$f(0,81) \approx 0,0007$ et $f(0,82) \approx -0,003$, donc $0,81 < \alpha < 0,82$.
	\end{enumerate}
\item  %Déterminer le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+\infty \right[$.
$\bullet~~$sur $\left]- \frac{1}{2}~;~\alpha\right[$, \: $f(x) > 0$ ; 

$\bullet~~$sur $]\alpha~;~+ \infty[$, \: $f(x) < 0$ ;

$\bullet~~$$f(0) = f(\alpha) = 0$.
\end{enumerate}

%\newpage
%
%\bigskip
%
%\textbf{ANNEXE \hfill À RENDRE AVEC LA COPIE}
%
%\bigskip
%
%\begin{tabular}{|p{8cm}|p{3,5cm}|}\hline
%Questions & \\ \hline
% \multirow{3}{8cm}{\textbf{1.} A et B sont deux évènements indépendants tels que $p$(A) = $0,7$ et $p$(B) = $0,2$.} &$\Box~~p(\text{A} \cap \text{B}) = 0,14$\\ \cline{2-2}
% & $\Box~~p(\text{A} \cup \text{B}) = 0,9$\\ \cline{2-2}
% &$\Box~~p_{\text{A}}(\text{B}) =  0,5$\\ \hline
%\multirow{3}{8cm}{\textbf{2.} Une pièce de monnaie est telle que la probabilité d'obtenir le c\^ote face est égale à $\dfrac{1}{3}$. On lance $4$ fois de	
%suite cette pièce.
%Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le c\^oté face ?}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}  $\Box~~\dfrac{18}{81}$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~\dfrac{72}{81}$\\\cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}  $\Box~~\dfrac{65}{81}$\\\hline 
%\multirow{3}{8cm}{\textbf{3.}  On considère l'arbre pondéré ci-dessous.\\
%Quelle est la probabilité de $P_{\text{H}}(\text{F})$ ?\\
%\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2pt]{\TR{}}
%{
%	\pstree{\TR{E}\taput{0,2}}
%	  { 
%		  \TR{G}\taput{0,6}
%		  \TR{H}\tbput{}	   
%	  }
%	\pstree{\TR{F}\tbput{}}
%	  {
%		  \TR{G}\taput{0,3}
%		  \TR{H}\tbput{}	  
%	  }
%}
%\end{center}}&\rule[-3mm]{0mm}{18mm} 	$\Box~~P_{\text{H}}(\text{F}) = 0,7$\\\cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{18mm}$\Box~~P_{\text{H}}(\text{F}) = 0,56$\\\cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{18mm}$\Box~~P_{\text{H}}(\text{F}) = 0,875$\\\hline
%\multirow{3}{8cm}{\textbf{4.} Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules	
%noires. On tire, avec remise, une boule au hasard, $n$ fois de suite (avec $n> 1$).\\ 
%Quelle est la probabilité d'obtenir des boules qui ne 
%soient pas toutes de la même couleur ?}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^n}$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^{n-1}}$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\Box~~1 - \dfrac{1}{2^{2n}}$\\ \hline
%\end{tabular} 
\end{document}