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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{27 mai  2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Nord 27 mai  2011~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%\emph{L'exercice suivant est un Q. C. M. (questionnaire à choix multiples) Pour chaque proposition choisir l'unique bonne réponse sachant qu'une bonne réponse rapporte un point et que l'absence de réponse ou une réponse fausse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
% 
%\emph{Aucune justification n'est demandée.}
%
%\bigskip
% 
%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 
%
\[f(x) = x\text{e}^{-x}.\]
% 
%La courbe représentative de $f$ est tracée dans le repère ci-dessous : 
%
%\medskip
%
%\psset{unit=1.5cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture*}(-1.1,-2.2)(5.3,2.3)
%\uput[d](5.2,0){$x$}\uput[l](0,1.9){$y$} \uput[dl](0,0){O}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.85}{5.2}{x 2.71828 x exp div}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-1,-2)(6,2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(5.2,2)
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Pour tout réel $x,\, f'(x)$ est égale à :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~ $- \text{e}^{- x}$ &\textbf{b.}~~ $\text{e}^{- x}$ &\textbf{c.}~~ $(1 - x)\text{e}^{- x}$\\
%\end{tabularx}
Pour tout réel $x,\, f'(x) = \text{e}^{-x} - x\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(1 - x)$. Réponse \textbf{c.}
\medskip

\item  %La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0 a pour équation :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~ $y = x$&\textbf{b.}~~ $y = 2x$ &\textbf{c.}~~ $y = -x$\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
On a $f(0) = 0$ et $f'(0) = 1 \times (1 - 0) = 1$.

Une équation de la tangente au point d'abscisse $0$ est 

$y - f(0) = f'(0)(x - 0) \iff y - 0 = 1(x - 0) \iff y = x$. Réponse \textbf{a.}
\item  %Une primitive $F$ de $f$ est définie sur $\R$ par :
Avec $F(x) = - (1 + x)\text{e}^{- x}$, on obtient :

$F'(x) = - \text{e}^{- x} - (1 + x)(- 1)\text{e}^{- x} = - \text{e}^{- x} +  \text{e}^{- x} + x \text{e}^{- x} = x \text{e}^{- x} = f(x)$. Réponse \textbf{b.}
\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~ $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 \text{e}^{- x}$&\textbf{b.}~~  $F(x) = - (1 + x)\text{e}^{- x}$&\textbf{c.}~~ $F(x)= - x\text{e}^{- x}$ \\
%\end{tabularx}
%\medskip 

\item  %La valeur de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~ négative&\textbf{b.}~~  inférieure à 1&\textbf{c.}~~ supérieure à 3\\
%\end{tabularx}
D'après la question précédente :

$\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x = \left[- (1 + x)\text{e}^{- x}  \right]_0^2 = - (1 + 2)\text{e}^{- 2} - \left(- (1 + 0)\text{e}^{- 0} \right) = - 3\text{e}^{- 2} + 1 \approx 0,59$. Réponse \textbf{b.}
\medskip
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

%Le glacier d'Aletsch, classé à l'UNESCO, est le plus grand glacier des Alpes, situé dans le sud de la Suisse, il alimente la vallée du Rhône.
% 
%Pour étudier le recul de ce glacier au fil des années, une première mesure a été effectuée en 1900 : ce glacier mesurait alors $25,6$~km.
% 
%Des relevés ont ensuite été effectués tous les 20~ans : le recul du glacier est mesuré par rapport à la position où se trouvait initialement le pied du glacier en 1900.
%
%Les mesures successives ont été relevées dans le tableau ci-dessous. 
%On note $t$ la durée, en années, écoulée depuis 1900, et $r$ le recul correspondant, mesuré en kilomètres. 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année de mesure :					&1900 	&1920 	&1940 	&1960 	&1980 	&2000\\ \hline
%Durée $t$ écoulée (depuis 1900): 	&0 		&20 	&40 	&60 	&80 	&100\\ \hline 
%Recul $r$ (en km) : 				&0 		&0,3 	&0,6 	&1 		&1,6 	&2,3\\ \hline
%\multicolumn{7}{r}{Mesures déduites de : The Swiss Glaciers,}\\
%\multicolumn{7}{r}{Yearbooks of the Glaciological Commission of the Swiss}
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%Par exemple, en 1940 ($t = 40$), le recul du glacier par rapport à 1900 a été de 0,6~km : la longueur du glacier était donc de $25,6 - 0,6 = 25$km.
%
%\medskip
% 
%\textbf{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à \boldmath $10^{-3}$ près.}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A} Étude d'un modèle affine 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Tracer le nuage de points dans le repère donné en annexe (Durée $t$ en abscisse, distance $r$ en ordonnée).
Voir l'annexe 
\item %À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés de $r$ en fonction de $t$, puis tracer cette droite dans le repère précédent.
La calculatrice permet de trouver : $r = 0,023t - 0,162$ (coefficients au millième près). 
\item %À partir du modèle affine obtenu précédemment, estimer par le calcul : 
	\begin{enumerate}
		\item %Le recul puis la longueur du glacier en 2011. 
2011 correspond à $t = 111$ ; le recul sera donc de $r = 0,023 \times 111 - 0,162 = 2,391$.

La longueur du glacier sera alors : $25,6 - 2,391 = 23,209 \approx 23,2$~km.
		\item %L'année de disparition du glacier (arrondir à l'unité).
Le glacier disparaîtra quand $r = 25,6$~km, soit au bout d'une durée $t$ vérifiant :

$25,6 = 0,023t - 0,162 \iff 25,762 = 0,023t \iff t = \dfrac{25,762}{0,023} \approx \np{1120}$.

D'après ce modèle le glacier aura disparu en 3020.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B} 	Utilisation d'un modèle exponentiel

\medskip
 
%Le résultat du \textbf{3. b.} de la partie A étant peu en accord avec la plupart des autres études, les glaciologues considèrent un autre modèle : le modèle exponentiel. 
%
%\medskip
%
%On pose $y = \ln (r)$. On rappelle que $\ln (r)$ désigne le logarithme népérien du recul $r$. 
\begin{enumerate}
\item %Recopier puis compléter le tableau suivant sur votre copie (pour permettre le calcul de $y$, la durée 0 de l'année 1900 a été exclue du tableau.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Durée $t$ (à partir de 1900) 	&20 	&40 	&60 &80 	&100\\ \hline 
$y = \ln (r)$					&1,204	&0,511	&0	&0,470	&0,833\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés de $y$ en fonction de $t$.
La calculatrice livre : $y = 0,025t - 1,599$. 
		\item %Déduire que $r(t) = \text{e}^{0,025 t - 1,599}$.
Comme $y = \ln r =  0,025t - 1,599 \iff r = \text{e}^{0,025t - 1,599}$.

$r = \text{e}^{0,025t - 1,599}$ avec $t \geqslant 0$.
	\end{enumerate} 		 
\item %En utilisant le modèle obtenu précédemment, estimer par le calcul : 
	\begin{enumerate}
		\item %Le recul puis la longueur du glacier en 2011.
2011 correspond à $t = 111$, d'où un recul de $\text{e}^{0,025 \times 111 - 1,599} \approx 3,241$.

D'après ce modèle la longueur du glacier en 2011 sera $25,6 - 3,241 = 22,359 \approx 22,4$~km. 
		\item %L'année de disparition du glacier (arrondir à l'unité).
Le glacier aura disparu quand $r = 25,6$, soit pour une durée $t$ vérifiant :

$\text{e}^{0,025t - 1,599} = 25,6 \iff 0,025t - 1,599 = \ln 25,6 \iff 0,025t = 1,599 + \ln 25,6 \iff $

$t = \dfrac{1,599 + \ln 25,6}{0,025} \approx 193,6 \approx 194$~(ans).

Avec le modèle exponentiel le glacier aura disparu en 2094.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

%Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près. 
%
%\medskip
%
%On rappelle que si A et B sont deux évènements d'un ensemble probabiliste, avec A de probabilité non nulle, la probabilité de B sachant A est le réel noté $P_{\text{A}}(\text{B})$.
%
%\medskip
% 
%\emph{L'asthme est une maladie inflammatoire chronique des voies respiratoires en constante augmentation.\\ 
%En France les statistiques font apparaître que, parmi les adultes, environ $4$\,\% des hommes et $5$\,\% des femmes sont asthmatiques.} 
%
%\medskip
%
%Dans la population française, on considère l'ensemble des couples homme-femme.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A} Étude de l'état d'asthme du couple

\medskip
 
%On note : 
%\begin{description}
%\item[ ] H l'évènement : \og L'homme est asthmatique \fg,
%\item[ ] et F l'évènement : \og La femme est asthmatique \fg.
%\end{description}

\parbox{0.62\textwidth}{On admet que les évènements H et F sont indépendants. 
\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter  l'arbre de probabilités ci-contre.
Les évènements H et F sont indépendants, donc 

$p_{\text{H}}(\text{F}) = p(\text{F}) = 0,05$.
 
\item $p(\text{A}) = p\left(\overline{\text{H}} \cap  \overline{\text{F}}\right) = p\left(\overline{\text{H}}\right) \times p\left( \overline{\text{F}}\right) = 0,96 \times 0,95 = 0,912$.

$p(\text{C}) = p\left(\text{H} \cap  \text{F}\right) = p\left(\text{H}\right) \times p\left(\text{F}\right) = 0,04 \times 0,05 = 0,002$.

Puis $p(\text{C}) = 1 - p(\text{A}) - p(\text{B}) = 1 - 0,912 - 0,002 = 0,086$.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.34\textwidth}{\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{H}\taput{0,04}}
		{
		\TR{F}\taput{0,05}
		\TR{$\overline{\text{F}}$}\tbput{0,95}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{\text{H}}$}\tbput{0,96}}
		{
		\TR{F}\taput{0,05}
		\TR{$\overline{\text{F}}$}\tbput{0,95}
 		}
}
\end{center}
}

\bigskip

\textbf{Partie B} 	Étude de la transmission de l'asthme au premier enfant 

\medskip
 
\parbox{0.62\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item Voir ci-contre. 
\item Loi des probabilités totales :

$p(\text{E}) = p(\text{A} \cap \text{E}) + p(\text{B} \cap \text{E}) + p(\text{C} \cap \text{E})  =$

$ 0,912 \times 0,1 + 0,086 \times 0,3 + 0,002 \times 0,5 = $

$\np{0,0912} + \np{0,0258} + 0,001 = 0,118$.

La probabilité d'avoir un enfant asthmatique est un peu plus grande que 10\,\%. 
\item On a  $P_{\text{E}}(\text{A}) = \dfrac{P(\text{E} \cap P(\text{A})}{P(\text{E})} = \dfrac{\np{0,092}}{0,118} \approx 0,773$. 

La probabilité pour un enfant asthmatique d'avoir ses deux parents non asthmatiques est égale à 0,773.

On en déduit que  $P_{\text{E}}\left(\overline{\text{A}}\right) = 1 - P_{\text{E}}(\text{A}) = 1 - 0,773 = 0,227$.

La probabilité pour un enfant asthmatique d'avoir un de ses  parents  asthmatiques est égale à 0,227.
\item  L'évènement contraire est \og un enfant non asthmatique a ses deux parents non asthmatiques \fg{} ; sa probabilité est égale à 

$P_{\overline{\text{E}}}\left(\overline{\text{A}} \right) = 1 - P_{\overline{\text{E}}}(\text{A}) = 1 - \dfrac{P\left(\text{A} \cap \overline{\text{E}} \right)}{P\left(\overline{\text{E}} \right)}$.

On a $P\left(\text{A} \cap \overline{\text{E}} \right) = P_{\text{A}}\left(\overline{\text{E}} \right) \times P(\text{A}) = 0,9 \times 0,912 = \np{0,8208}$ et 

$P\left(\overline{\text{E}} \right) = 1 - 0,118 = 0,882$, donc 

$P_{\overline{\text{E}}}\left(\overline{\text{A}} \right)  = 1 - \dfrac{\np{0,8208}}{0,882} \approx 0,069$.

La probabilité qu'un enfant non asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques est un peu inférieure à 7\,\%.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.37\linewidth}{
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{A}\taput{0,912}}
		{
		\TR{E}\taput{0,1}
		\TR{$\overline{\text{E}}$}\tbput{0,9}
 		}
	\pstree{\TR{B}\taput{0,086}}
		{
		\TR{E}\taput{0,3}
		\TR{$\overline{\text{E}}$}\tbput{0,7}
 		}
	\pstree{\TR{C}\tbput{0,002}}
		{
		\TR{E}\taput{0,5}
		\TR{$\overline{\text{E}}$}\tbput{0,5}
 		}
}
\end{center}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

\textbf{Partie A} 	Étude d'un site

\medskip
 
\parbox{0.66\textwidth}{%Un site internet comporte 8 pages, notées A, B, C, D, E, F, G, H reliées entre elles suivant le graphe ci-contre.
 
%Ainsi, par exemple, à partir de la page A on peut directement 
%accéder aux pages B, C et D.
% 
%Par contre, la page A ne permet pas d'accéder directement à la page 
%F. 
\begin{enumerate}
\item %Le technicien souhaite tester les liens de pages. En partant de la page A, est-il possible de trouver un parcours passant une seule fois par tous les liens de pages ? Justifier la réponse.
Non : il faudrait qu'il y ait 0 ou 2 sommets de degré impair. Il y en a 3. 
\item %Pour marquer les changements de page, l'administrateur du site souhaite que deux pages reliées aient des couleurs différentes.
 
%On note $N$ le nombre minimum de couleurs nécessaires. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner un sous-graphe complet d'ordre maximal. 
L'ordre maximal d'un sous-graphe complet est égal à 3 (exemple A-B-C).
		\item %En utilisant la question 2. a. et à l'aide d'un algorithme, montrer, que $N = 3$.
C, E et F ont pour degré 4, donc $N$ nombre chromatique est tel que $N \leqslant 5$.

Un sous-graphe complet d'ordre maximal est d'ordre 3, donc 	$3 \leqslant N \leqslant 5$.

Donc une coloration est possible avec trois couleurs : $N = 3$. Voir ci-contre.
	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.32\textwidth}{\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(5,5)
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt}
%\rput{0}(2.5,2.5){\multido{\rA=90+51.4268,\n=0+1}{7}{\Cnode(2.5;\rA){S\n}}}
\rput{0}(2.5,2.5){{\Cnode[linecolor=red](2.5;295.707){S4}}}%H
\rput{0}(2.5,2.5){{\Cnode[linecolor=red](2.5;192.854){S2}}}%E
\rput{0}(2.5,2.5){{\Cnode[linecolor=red](2.5;90){S0}}}%A
\rput{0}(2.5,2.5){{\Cnode[linecolor=green](2.5;141.4268){S1}}}%B
\rput{0}(2.5,2.5){{\Cnode[linecolor=green](2.5;398.531){S6}}}%D
\rput{0}(2.5,2.5){{\Cnode[linecolor=green](2.5;244.28){S3}}}%G
\rput{0}(2.5,2.5){{\Cnode[linecolor=blue](2.5;347.134){S5}}}%F
%\rput{0}(2.5,2.5){{\Cnode[linecolor=blue](2.5;449.998){S7}}}%C
\Cnode[linecolor=blue](2.5,3){S7} 
\rput(S0){\small{A}}\rput(S1){\small{B}}\rput(S2){\small{E}}\rput(S3){\small{G}} \rput(S4){\small{H}} \rput(S5){\small{F}} \rput(S6){\small{D}} \rput(S7){\small{C}}
\ncline{S0}{S1}\ncline{S1}{S2}  \ncline{S2}{S3}  \ncline{S3}{S4}  \ncline{S4}{S5} \ncline{S5}{S6}  \ncline{S6}{S0}    
 \ncline{S7}{S0}   \ncline{S7}{S1}   \ncline{S7}{S2}  \ncline{S7}{S6} 
  \ncline{S2}{S5}  \ncline{S3}{S5} \end{pspicture}}

\medskip
\textbf{Partie B} 	Étude de propagation d'un virus d'un site à l'autre

\medskip
 
%Le  site précédent, appelé site \no 1, propose un unique lien vers un site partenaire, appelé Site \no 2, sans retour possible. De même, le site \no 2 propose un unique lien vers un site \no 3, sans retour possible et ainsi 
%de suite ... (voir le schéma ci-dessous) :
% 
%Site \no 1 $\longrightarrow$ Site \no 2 $\longrightarrow$ Site \no 3 $\longrightarrow$ ... $\longrightarrow$ Site \no $n$ $\longrightarrow$ Site \no $n+1$  ... 
%
%Le site \no 1 vient d'être infecté par un virus informatique qui utilise les liens entre les sites pour essayer de se propager, les autres sites n'étant pas encore touchés.
% 
%Face à ce nouveau virus, les antivirus ne sont efficaces qu'à 80\,\%. On note : 
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item V l'état \og le site est infecté par le virus \fg 
%\item S l'état \og le site est sain (non infecté par le virus) \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%On a dessiné ci-dessous le graphe probabiliste traduisant les risques de propagation du virus d'un site au suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
%\psgrid
\cnodeput(1.5,1){A}{V}\cnodeput(3.5,1){B}{S}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.4}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.4}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\rput(2.5,0.4){$0$}\rput(2.5,1.7){$0,8$}
\rput(0.4,1){$0,2$}\rput(4.4,1){$1$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Justifier la valeur $0$ indiquée sur le graphe probabiliste précédent, puis recopier et compléter ce graphe sur votre copie.
Un site étant sain la probabilité de contaminer le site suivant est nulle : 

$p_S(V) = 0$ et donc $p_S(S) = 1$.

Voir le graphe complété ci-dessus.
\item %Préciser la matrice de transition $M$ de ce graphe (première ligne pour V, deuxième ligne pour S)
La matrice de transition est $M = \begin{pmatrix}0,2&0,8\\0&1\end{pmatrix}$.

%Pour tout entier naturel non nul $n$, on note :
%
%$P_{n}$ la probabilité que le $n$-ième site soit infecté, $Q_{n}$ la probabilité que le $n$-ième site soit sain et $X_{n} = \left(P_{n} \quad Q_{n}\right)$.

%On a donc $X_{1} = (1\quad 0)$ (traduisant que le site \no 1 est infecté) et $X_{n+1} = X_{n}~M$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant la relation $X_{n+1} = X_{n}M$, montrer que $P_{n+1} = 0,2P_{n}$.
$X_{n+1} = X_{n}M \iff \begin{pmatrix}P_{n+1}&Q_{n+1}\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}P_{n}&Q_{n}\\0&1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,2&0,8\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,2P_n&0,8P_n + Q_n\end{pmatrix}$.

Donc en particulier $P_{n+1} = 0,2P_{n}$.
		\item %En déduire $P_{n}$ en fonction de $n$.
Le résultat précédent montre que la suite $\left(P_n \right)$ est une suite géométrique de raison 0,2, donc quel que soit le naturel $n$ non nul ,\:$P_n = 0,2^{n - 1}$.
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(P_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers plus l'infini.
Comme $0 < 0,2 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,2^{n-1} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} P_n = 0$.

Pour $n$ assez grand la probabilité de propager le virus se rapproche de zéro.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 
 
%Un supermarché souhaite acheter des fruits à un fournisseur.
% 
%Ce fournisseur propose des prix au kilogramme, dégressifs en fonction du poids de fruits  commandé.
% 
%Pour une commande de $x$ kilogrammes de fruit, le prix $P(x)$ en euros du kilogramme de fruits est donné par la formule :
%
%\[ P(x) = \dfrac{x + 300}{x + 100}	\quad \text{pour}\,  x \in  [100~;~+\infty[.\]
% 
%Par exemple si le supermarché achète $300$~kilogrammes de fruits, ces fruits lui sont vendus $P(300) = \dfrac{600}{400} = 1,50$~euros le kilogramme.
% 
%Dans ce cas, le supermarché devra payer $300 \times 1,5 = 450$~euro au fournisseur pour cette commande.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A} Étude du prix $P$ proposé par le fournisseur

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer 	$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} P(x)$.
En écrivant $P(x) = \dfrac{1 + \frac{300}{x}}{1 + \frac{100}{x}}$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{a}{x} = 0 \quad (A > )$, on a  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} P(x) = 1$.
\item %Montrer que $P'(x) = - \dfrac{200}{(x + 100)^2}$ sur $[100~;~+ \infty[$.
$P$ quotient de deux fonctions dérivables sur $[100~;~+ \infty[$, le dénominateur ne s'annulant pas est dérivable et pour $x \in [100~;~+ \infty[$,

$P'(x)  = \dfrac{1(x + 100) - 1(x + 300)}{(x + 100)^2} = \dfrac{- 200} {(x + 100)^2}$. 
\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $P$.
Comme $(x + 100)^2 > 0$ quelque soit $x \geqslant 0$, le signe de $P'(x)$ est celui du numérateur, donc sur $[100~;~+\infty[$, \:$P'(x) < 0$ : la fonction $P$ est décroissante de $P(100) = \dfrac{400}{200} = 2$ à $1$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B} Étude de la somme $S$ à dépenser par le supermarché 

\medskip

%On appelle $S(x)$ la somme en euros à dépenser par le supermarché pour une commande de $x$ kilogrammes de fruits (ces fruits étant vendus par le fournisseur au prix de $P(x)$ euros par kilogramme).
% 
%Cette somme est donc égale à $S(x) = xP(x)$ pour $x \in  [100~;~+ \infty[$. 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} S(x)$.
On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} P(x) = 1$, donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} S(x) = + \infty$.  
\item %Montrer que pour tout $x$ appartenant à $[100~;~+ \infty[$ : $S'(x) = \dfrac{x^2 + 200x + \np{30000}}{(x + 100)^2}$.
En dérivant le produit sur $[100~;~+ \infty[$ :

$S'(x) = P(x) + xP'(x) =  \dfrac{x + 300}{x + 100}	 + x \times  \dfrac{- 200} {(x + 100)^2} = \dfrac{(x + 300)(x + 100) - 200}{(x + 100)^2} =$

$ \dfrac{x^2 + 400x + \np{30000}- 200x}{(x + 100)^2} = \dfrac{x^2 + 200x + \np{30000}}{(x + 100)^2}$.
\item %Montrer que pour tout $x$ appartenant à $[100~;~+ \infty[$ :

%$S(x) = x + 200 - \np{20000} \times \dfrac{1}{x + 100}$.
On a $S(x) = \dfrac{x(x + 300)}{x + 100} = \dfrac{x(x + 100 + 200)}{x + 100}   = \dfrac{x(x + 100)}{x + 100} + \dfrac{x \times 200}{x + 100} = x + \dfrac{200x}{x + 100}$ ; 

Puis $S(x) = x + 200 - 200  + \dfrac{200x}{x + 100} = x + 200 + \dfrac{- 200x - \np{20000} + 200x}{x + 100} = x + 200 - \dfrac{\np{20000}}{x + 100}$.
\item %En déduire une primitive $T$ de $S$ sur $[100~;~+ \infty[$.
Sur $[100~;~+ \infty[$ on trouve aisément une primitive de chacun des trois termes de $S$, donc une primitive de $S(x)$ est la fonction :
$\dfrac{x^2}{2} + 200x - \np{20000}\ln (x + 100)$. 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie C } Étude de différentes situations

\medskip
 
%Les questions suivantes peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le magasin dispose d'un budget de 900~euros pour la commande de fruits.
 
%Préciser, au kilogramme près, le poids maximum de fruits que le magasin peut commander sans dépasser son budget. On justifiera la réponse.
Si $S(x) \leqslant 900$, alors $x \left(\dfrac{x + 300}{x + 100} \right) \leqslant 900 \iff x(x + 300) \leqslant 900(x + 100) \iff $

$x^2 + 300x \leqslant 900x + \np{90000} = 0 \iff x^2 - 600x -   \np{90000} \leqslant 0$.

Considérons l'équation $x^2 - 600x -   \np{90000}  = 0$. On a $\Delta = \np{360000} + \np{360000} = 2 \times \np{360000} = $

$\left(600\sqrt{2} \right)^2 > 0$ : il y a donc deux racines :

\[\dfrac{600 + 600\sqrt{2}}{2} = 300 + 300\sqrt{2} \quad \text{et} \quad 300 - 300\sqrt{2}\]

Le trinôme est négatif entre les racines et donc la plus grande valeur pour laquelle on a 

$x^2 - 600x -   \np{90000} \leqslant 0$ est $300 + 300\sqrt{2} \approx 724,2$.

Le magasin peut commander jusqu'à 724~kg de fruits avec 900~\euro. (724 fruits coûtent 899,73~\euro).
\item  %On rappelle que la valeur moyenne $M$ d'une fonction $f$ définie et continue sur un intervalle $[a~;~b]$ est donnée par la formule $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$. 

%Le supermarché estime acheter régulièrement entre 400 et 600~kilogrammes de fruits à ce fournisseur.
 
%Déterminer la valeur moyenne de $S$ sur [400~;~600] et donner le résultat arrondi à l'unité.
La valeur moyenne de $S$ sur l'intervalle  [400~;~600] est égale à :

$\dfrac{1}{600 - 400}\displaystyle\int_{400}^{600} S(x)\:\text{d}x = $ (d'après la partie B) 

$\dfrac{1}{200}\left[\dfrac{x^2}{2} + 200x - \np{20000}\ln (x + 100) \right]_{400}^{600} = \dfrac{1}{200}\dfrac{600^2}{2} + 200 \times 600 - \np{20000}\ln (600 + 100) - $

$\dfrac{1}{200}\left[\dfrac{400^2}{2} + 200 \times 400 - \np{20000}\ln (400 + 100) \right] = $

$\dfrac{1}{200}\left( \np{180000} + \np{120000} - \np{80000} - \np{80000} - \np{20000}\ln 700 + \np{20000}\ln 500\right) = $

$\dfrac{1}{200}\left( \np{140000} + \np{20000}\ln \dfrac{500}{700}\right) =   700 + \np{100}\ln \dfrac{5}{7} \approx \np{666}$~\euro.
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE \\(à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{Exercice 2} \end{flushleft} 

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.065cm,yunit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-10,-0.5)(170,3.5)
\uput[u](145,0){Durée (à partir de 1900)}
\uput[u](10,3.5){Recul (mesuré en km)}\uput[dl](0,0){O}
\multido{\n=0+10}{18}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-0.5)(\n,3.5)}
\multido{\n=0+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-10,\n)(170,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20]{->}(0,0)(0,0)(170,3.5)
\psdots[linecolor=blue](0,0)(20,0.3)(40,0.6)(60,1)(80,1.6)(100,2.3)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}