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%Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël et Johann Dolivet
%Tapuscrit : François Hache, relecture v
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Amérique du Sud -- 14 novembre 2018},
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
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\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 14 novembre 2018}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Amérique du Sud~\decofourright\\[5pt]
 14 novembre 2018} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

$f$ est la fonction définie sur [0~;~12] par  $f(x) = 2x\e^{-x}$. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|X|}\hline
 1	&Dériver$(2*x*\text{exp}(-x))$\\ \hline     
	&\multicolumn{1}{r|}{$-2*x*\text{exp}(-x)+2*\exp(-x)$}\\ \hline   
2	&Factoriser$(-2*x*\text{exp}(-x)+ 2*\text{exp}(-x))$ \\ \hline    
  	&\multicolumn{1}{r|}{$2*(1-x)*\text{exp}(-x)$}\\ \hline  
3	&Dériver$(2*(1-x)*\text{exp}(-x))$\\ \hline     
	&\multicolumn{1}{r|}{$2*x*\text{exp}(- x) - 4*\text{exp}(- x)$}\\ \hline   
4	&Factoriser$(2 *x*\text{exp}(-x) - 4*\text{exp}(-x))$\\ \hline     
 	&\multicolumn{1}{r|}{$2 *(x - 2)*\text{exp}(- x)$}\\ \hline
 \end{tabularx}
 \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier le résultat de la ligne 1 donné par le logiciel de calcul formel. 
$f(x) = 2x\e^{-x}$ donc 
$f'(x)= 2\times \e^{-x} + 2x\times (-1)\e^{-x} = -2x\e^{-x} +2\e^{-x}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~12], on cherche le signe de $f'(x)$ sur cet intervalle;
		$f'(x) = -2x\e^{-x} +2\e^{-x} = 2\left (1-x\right )\e^{-x}$

Pour tout réel $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-x$ donc s'annule et change de signe pour $x=1$.

$f(0)=0$; $f(1)=2\e^{-1}\approx 0,74$ et $f(12) = 24\e^{-12} \approx 1,5 \times 10^{-4}$

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 1 & \esp & 12 \\ 
\hline
1-x &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{2\e^{-1}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{24\e^{-12}} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}		
	
		\item% Démontrer que l'équation $f(x) = 0,5$ admet deux solutions dans [0~;~12]. 
$f(0) = 0 < 0,5$, $f(1)\approx 0,74 >0,5$ et $f(12) \approx 1,5 \times 10^{-4} < 0,5$

On complète le tableau de variations de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 1 & \esp & 12 \\ 
%\hline
%1-x &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
%\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{2\e^{-1}>0,5}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{24\e^{-12}<0,5} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
  \rput*(-8.3,0.75){\Rnode{zero}{\blue 0,5}}
\rput(-8.3,2.4){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
\rput*(-2.8,0.75){\Rnode{zero2}{\red 0,5}}
\rput(-2.8,2.4){\Rnode{beta}{\red \beta}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2}
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

On en déduit que l'équation $f(x)=0,5$ admet deux solutions sur l'intervalle [0;\,12].

%Donner à l'aide de la calculatrice une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions. 
	
À l'aide du solveur de la calculatrice, on trouve pour valeurs approchées au centième des solutions de l'équation $f(x)=0,5$ les nombres $0,36$ et $2,15$.	
	
	\end{enumerate}
\item La convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~12] dépend du sens de variations de la fonction dérivée $f'$ donc du signe de la fonction dérivée seconde $f''$.

D'après le logiciel de calcul formel, on peut dire que $f''(x)=2\left (x-2\right )\e^{-x}$ qui est du signe de $x-2$.
Donc:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item sur l'intervalle $[0\,;\,2[$, $f''(x)<0$ donc la fonction $f$ est concave.
\item sur l'intervalle $]2\,;\,12]$, $f''(x)>0$ donc la fonction $f$ est convexe.
\end{list}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Le taux d'alcoolémie d'une personne pendant les $12$ heures suivant la consommation d'une certaine quantité d'alcool est modélisé par la fonction $f$ : 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$x$ représente le temps (exprimé en heure) écoulé depuis la consommation d'alcool; 
\item[$\bullet~~$]$f(x)$ représente le taux d'alcoolémie (exprimé en g/L) de cette personne. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Décrire les variations du taux d'alcoolémie de cette personne pendant les 12 heures suivant la consommation d'alcool. 
D'après la partie A, le taux d'alcoolémie va croître la première heure, puis décroître les 11~heures suivantes.
	
		\item Comme vu dans la partie A, le taux d'alcoolémie de cette personne est maximal au bout d'une heure; il vaut alors $f(1)$ soit environ $0,74$~g/L.

%Quelle est alors sa valeur ? Arrondir au centième. 
	\end{enumerate}
	
\item  Le Code de la route interdit toute conduite d'un véhicule lorsque le taux d'alcoolémie est supérieur ou égal à 0,5 g/L. 

Une fois l'alcool consommé, on cherche au bout de combien de temps le taux d'alcoolémie de l'automobiliste reprend une valeur conforme à la législation; il faut que $f(x)$ redevienne inférieur à $0,5$ donc que le temps soit supérieur à $2,15$ heures soit 2~h 9~min.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm} 

\textbf{Exercice 2\hfill 6 points}

\medskip 

%\textbf{Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.}
%
%\smallskip

%\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.}
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Une entreprise produit des valises de deux types: des valises à deux roues et des valises à quatre roues. Sur chacun des deux modèles, on effectue des tests afin d'évaluer leur solidité. 

On dispose des informations suivantes sur le stock de production de cette entreprise: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le stock contient 30\:\% de valises à deux roues ; 
\item[$\bullet~~$] 98\:\% des valises à deux roues réussissent les tests; 
\item[$\bullet~~$] 95\:\% des valises à quatre roues réussissent les tests.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard une valise de ce stock. On considère les évènements suivants: 

%\setlength\parindent{9mm}
%\begin{itemize}
\textbullet~~$D$ : \og La valise a deux roues \fg{};\hfill{} 
\textbullet~~$R$ : \og La valise réussit les tests \fg.\hfill{} 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item L'arbre pondéré ci-dessous illustre cette situation. 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$D$} \naput{$0,30$}}
	{\TR{$R$}\naput{$0,98$} 
	\TR{$\overline{R}$}\nbput{\blue $1-0,98=0,02$}}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{D}$} \nbput{\blue $1-0,30=0,70$}}
	{\TR{$R$}\naput{$0,95$} 
	\TR{$\overline{R}$}\nbput{\blue $1-0,95=0,05$}}	
}
\end{center}

\item La probabilité que la valise choisie réussisse les tests est $P(R)$.

D'après la formule des probabilités totales:

$P(R)= P\left ( D \cap R \vphantom{\overline{D}}\right )+ P\left ( \overline{D} \cap R\right )
= P\left ( D \right )\times P_{D}(R) + P\left ( \overline{D} \right )\times P_{\overline D}(R)
= 0,30\times 0,98 + 0,70 \times 0,95\\
\phantom{P(R)}
 = 0,294 + 0,665 = 0,959$.  

 
\item Sachant que la valise réussit les tests, la probabilité que ce soit une valise à quatre roues est

$P_{R}\left (\overline{D}\right )=\dfrac{P\left ( \overline{D} \cap R\right )}{P(R)}
= \dfrac{0,70 \times 0,95}{0,959} \approx 0,693$ au millième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Parmi les tests de solidité effectués, l'un d'eux consiste à charger la valise et à la faire rouler sur une piste bosselée. On appelle \og durée de vie \fg{} de la valise, le nombre de kilomètres parcourus avant d'atteindre une certaine usure des roues. 

\smallskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque valise à deux roues, associe sa durée de vie en kilomètre. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 41$ et d'écart-type $\sigma = 6$. 

\smallskip

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque valise à quatre roues, associe sa durée de vie en kilomètre. On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu' = 52$ et d'écart-type $\sigma' = 10$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité qu'une valise à deux roues ait une durée de vie supérieure à $52$ kilomètres est
$P(X > 52)\approx 0,033$.
 
\item On a représenté ci-dessous les densités associées aux variables aléatoires $X$ et~$Y$. 

L'axe de symétrie de la courbe 1 est la droite d'équation $x=41$ donc cette courbe correspond à la variable aléatoire $X$.

On colorie en bleu l'aire sous la courbe 1 correspondant à $P(X \geqslant 50)$.

La courbe 2 correspond donc à la variable aléatoire $Y$. On hachure en rouge l'aire correspondant à $P(Y\geqslant 50)$.



%À l'aide de ce graphique, déterminer pour quel type de valise (à deux roues ou à quatre roues) la probabilité que la durée de vie soit supérieure ou égale à 50 kilomètres est la plus grande. Expliquer. 

\begin{center}
\psset{xunit=0.12cm,yunit=100cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-5,-0.005)(100,0.075)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.01](0,0)(0,0)(100,0.075)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](41,0)(41,0.07)
\pscustom[fillstyle=solid,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, fillcolor=blue!50]
{
\psGauss[linewidth=0pt,mue=41,sigma=6]{50}{72}
\psplot{72}{50}{0}
\closepath 
}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,mue=41,sigma=6]{10}{72}
\uput[r](46,0.05){\blue courbe 1 : $X$}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,linecolor=red]
{
\psGauss[linewidth=0pt,mue=52,sigma=10]{50}{94}
\psplot{94}{50}{0}
\closepath 
}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=red,mue=52,sigma=10]{10}{94}
\uput[r](58,0.035){\red courbe 2 : $Y$}
\end{pspicture}
\end{center}

L'aire hachurée en rouge est supérieure à l'aire colorée en bleu, donc c'est pour les valises à 4 roues que la probabilité que la durée de vie soit supérieure à 50~kilomètres est la plus grande.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

L'entreprise souhaite commercialiser un nouveau modèle de valises. Afin de mieux connaître les attentes des consommateurs, elle réalise un sondage auprès de \np{2000} ~personnes. Parmi elles, $872$ déclarent que la solidité est le principal critère pris en compte lors de l'achat (devant la légèreté, le prix, la couleur ... ). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Estimer par un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\:\% la proportion de consommateurs pour lesquels la solidité est le principal critère de choix. 
Dans l'échantillon de taille $n=\np{2000}$, la proportion de personnes déclarant que la solidité est le principal critère d'achat est de $f=\dfrac{872}{\np{2000}} = 0,436$.

$n=\np{2000} \geqslant 30$, $nf = 872 \geqslant 5$ et $n\left (1-f\right ) = \np{1128} \geqslant 5$ donc les conditions sont réunies pour que l'on puisse établir un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\:\% de la proportion de consommateurs pour lesquels la solidité est le principal critère de choix. 

$I = \left [ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}\;;~f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}  \right ]
= \left [ 0,436-\dfrac{1}{\ds\sqrt{\np{2000}}}\;;~0,436+\dfrac{1}{\ds\sqrt{\np{2000}}}  \right ]
\approx \left [ 0,413\;;~0,459  \strut\right ]$

\item% Quelle aurait dû être la taille de l'échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude égale à $0,04$ ? 
L'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\ds\sqrt{n}}$; on cherche donc $n$ pour que $\dfrac{2}{\ds\sqrt{n}} = 0,04$.

$\dfrac{2}{\ds\sqrt{n}} = 0,04 \iff \dfrac{2}{0,04} = \ds\sqrt{n} \iff 50 = \ds\sqrt{n} \iff n=\np{2500}$

Il faut donc un échantillon de taille $n=\np{2500}$ pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude égale à $0,04$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm} 

\textbf{Exercice 3\hfill 5 points}

\textbf{Série ES : Enseignement obligatoire -- Série L : Enseignement de spécialité}

\medskip  

On s'intéresse à l'ensemble des ascenseurs d'une grande ville en 2017. Pour chacun d'eux, un contrat annuel d'entretien doit être souscrit. 
Deux sociétés d'ascensoristes, notées $A$ et $B$, se partagent ce marché. En 2017, la société $A$ entretient 30\:\% de ces ascenseurs. 

On estime que, chaque année: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 3\:\% des ascenseurs entretenus par la société $A$ seront entretenus par la société $B$ l'année suivante; 
\item[$\bullet~~$] 5\:\% des ascenseurs entretenus par la société $B$ seront entretenus par la société $A$ l'année suivante; 
\item[$\bullet~~$] les autres ascenseurs ne changeront pas de société d'ascensoristes l'année suivante. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On étudie l'évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d'entretien de ces ascenseurs entre les sociétés $A$ et $B$. 

On note $a_n$ la proportion d'ascenseurs entretenus par la société $A$ pendant l'année $(2017 + n)$. De même, on note $b_n$ la proportion d'ascenseurs entretenus par la société $B$ lors de l'année $(2017 + n)$. 

On a donc $a_0 = 0,3$ et $b_0 = 0,7$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item
		
En 2017 la proportion d'ascenseurs entretenus pas la société $A$ est de $0,3$, et la proportion d'ascenseurs entretenus pas la société $B$ est $0,7$.		
		
On sait que 3\:\% des ascenseurs entretenus par la société $A$ seront entretenus par la société $B$ l'année suivante donc il en reste 97\,\% entretenus par $A$ en 2018, soit une proportion de $0,97\times 0,3 = 0,291$.

On sait que 5\:\% des ascenseurs entretenus par la société $B$ seront entretenus par la société $A$ l'année suivante, ce qui fera en 2018 une proportion de $0,05\times 0,7 = 0,035$.

On aura donc $a_1=0,291 + 0,035 = 0,326$.

On peut alors estimer qu'en 2018 la société $A$ va entretenir $32,6\,\%$ des ascenseurs.
%Interpréter le résultat. 
	
		\item% Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1} = 0,97a_n + 0,05b_n$ puis en déduire que $a_{n+1} = 0,92a_n + 0,05$. 
Concernant les ascenseurs entretenus par $A$, la société $A$ en garde 97\,\% donc on garde $0,97 a_n$.

Concernant ceux qui passent de $B$ à $A$, la société en aura $0,05\,\%$ donc on garde $0,05 b_n$.

Donc, pour tout $n$, $a_{n+1} = 0,97 a_n + 0,05 b_n$.	

D'après le contexte, $a_n+b_1$ donc $b_n=1-a_n$.

On en déduit que $a_{n+1} = 0,97a_n + 0,05\left (1-a_n\right )
= 0,97 a_n + 0,05- 0,05a_n
= 0,92 a_n + 0,05 $.

Pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = 0,92a_n + 0,05$.
		
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le directeur de la société $A$ constate que la proportion d'ascenseurs entretenus par sa société augmente au cours des années et se stabilise à $62,5$\:\%. 
Un des 3 algorithmes suivants donne l'année à partir de laquelle cette proportion dépasse 50\:\%. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.05cm}|X|p{0.05cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
Algorithme 1				&& Algorithme 2&& Algorithme 3\\\cline{1-1} \cline{3-3}\cline{5-5}
$A \gets 0,3$				&&$A \gets 0,3$&&$A \gets 0,3$\\
$N \gets 0$					&&$N \gets 0$&&$N \gets 0$\\
Tant que $A \leqslant 0,5$&&Tant que $A > 0,5$&&Tant que $A \leqslant 0,5$\\
\hspace{0.5cm}$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$\\
\hspace{0.5cm}$N \gets N+1$&&$N\gets N+1$&&Fin Tant que\\
Fin Tant que&&Fin Tant que&&$N\gets N+1$\\
Afficher $2017 + N$&&Afficher $2017 + N$&&Afficher $2017 + N$\\\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Dans l'algorithme 2, la condition est \og Tant que $A>0,5$ \fg{}; or la variable $A$ est initialisée à $0,3$ donc on n'entre jamais dans la boucle.

On peut éliminer l'algorithme 2.

\item Dans l'algorithme 3, l'instruction \og $N \gets N+1$ \fg{} est exécutée en dehors de la boucle donc elle n'est exécutée qu'une seule fois; la valeur de $N$ en sortie d'algorithme sera toujours de $1$.

On peut éliminer l'algorithme 3.
 
\end{list}

Donc  l'algorithme~1 donne l'année à partir de laquelle cette proportion dépasse 50\,\%. 

		\item On exécute l'algorithme 1 en arrondissant au millième les résultats 
		
\begin{center}
$\begin{array}{|@{\hspace*{1cm}}r@{\hspace*{1cm}}|@{\hspace*{1cm}}l@{\hspace*{1cm}}|}
\hline
N  &   A                 \\\hline
0  & 0,3                  \\\hline
1 & 0,326                 \\\hline
2 & 0,350                 \\\hline
3 & 0,372                 \\\hline
4 & 0,392                 \\\hline
5 & 0,411                 \\\hline
6 & 0,428                 \\\hline
7 & 0,444                 \\\hline
8 & 0,458                 \\\hline
9 & 0,472                 \\\hline
10 & 0,484                 \\\hline
11 & 0,495                 \\\hline
12 & \textcolor{blue}{0,506}                 \\\hline
\end{array}$
\end{center}		

On obtient $N=12$ donc il s'affiche $2017+12$ soit $2029$ en fin d'algorithme.

	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = a_n - 0,625$. Donc $a_n=u_n+0,625$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_{n+1} = a_{n+1}- 0,625 = 0,92 a_n + 0,05 -0,625 = 0,92\left ( u_n+0,625 \right ) - 0,575\\
\phantom{u_{n+1}}
= 0,92 u_n + 0,575 - 0,575 = 0,92 u_n$
\item $u_0=a_0 - 0,625 = 0,3 - 0,626 = - 0,325$
\end{list}

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,92$ et de premier terme $u_0=-0,325$.
		
		\item% En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[a_n = - 0,325 \times 0,92n + 0,625.\]
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,92$ et de premier terme $u_0=-0,325$ donc, pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = - 0,375 \times 0,92^n$.

Comme $a_n=u_n+0,625$, on déduit que pour tout $n$, $a_n= -0,325 \times 0,92^n + 0,625$.
		
		\item% Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter le résultat.
$0 < 0,92 < 1$ donc, d'après le cours, 
$\ds\lim_{n \to +\infty} \left (0,92\right )^n=0$.
On en déduit que $\ds\lim_{n \to +\infty} a_n= 0,625$.

Cela signifie que la proportion d'ascenseurs entretenus par la société $A$ va tendre vers 62,5\:\%.
		
	\end{enumerate}
\item On résout l'inéquation $a_n \geqslant 0,5$.

$\begin{array}{@{} l !{\iff} l !{\iff} l }
a_n \geqslant 0,5 
   & -0,325 \times 0,92^n + 0,625 \geqslant 0,5 
   & 0,125 \geqslant 0,325 \times 0,92^n\\[5pt]
  &  \dfrac{0,125}{0,325} \geqslant 0,92^n 
   & \ln\left (\dfrac{0,125}{0,325}\right ) \geqslant \ln\left (0,92^n\right )\\[7pt]
 & \ln\left (\dfrac{0,125}{0,325}\right ) \geqslant n \times \ln\left (0,92\right )
 & \dfrac{\ln\left (\frac{0,125}{0,325}\right )}{\ln(0,92)} \leqslant n
\end{array}$ 

\smallskip

%Quel résultat antérieur retrouve-t-on ?

Comme $\dfrac{\ln\left (\frac{0,125}{0,325}\right )}{\ln(0,92)} \approx 11,5$, on retrouve le nombre $N=12$ obtenu à la fin de l'exécution de l'algorithme.

\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

%\medskip  
%
%\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

On s'intéresse à l'ensemble des ascenseurs d'une grande ville en 2017. Pour chacun d'eux, un contrat annuel d'entretien doit être souscrit.
Deux sociétés d'ascensoristes, notées $A$ et $B$, se partagent ce marché.
En 2017, la société $A$ entretient 30\;\% de ces ascenseurs.

On estime que, chaque année :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]3\:\% des ascenseurs entretenus par la société $A$ seront entretenus par la société $B$ l'année suivante;
\item[$\bullet~~$]5\:\% des ascenseurs entretenus par la société $B$ seront entretenus par la société $A$ l'année suivante;
\item[$\bullet~~$]les autres ascenseurs ne changeront pas de société d'ascensoristes l'année suivante.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On étudie l'évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d'entretien de ces ascenseurs entre les sociétés $A$ et $B$.

Pour un ascenseur choisi au hasard, et pour tout entier naturel $n$, on note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$a_n$ la probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société $A$ lors de l'année $(2017 + n)$ ;
\item[$\bullet~~$]$b_n$ la probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société $B$ lors de l'année $(2017 + n)$ ;
\item[$\bullet~~$]$P_n = \begin{pmatrix}a_n &b_n\end{pmatrix}$ l'état probabiliste de l'année $(2017 + n)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,3 &0,7\end{pmatrix}$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On représente la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

\newrgbcolor{colorG}{0 0 1}% couleur du sommet de gauche
%%% mettre 0 0 0 pour le noir

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{$A$}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{$B$}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{$0,03$}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{$0,05$}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{$0,97$}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{$0,95$}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
           %   définition des sommets
\ncarc[linecolor=colorG]{->}{G}{D} 
      \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} 
      \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}		
	
		
		\item% Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
D'après le texte, on a:
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,97\,a_n + 0,05\,b_n\\
b_{n+1} & 0,03\,a_n + 0,95\,b_n
\end{array}
\right .$

Ce qui s'écrit sous forme matricielle:
$\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,97 & 0,03 \\ 0,05 & 0,95
\end{pmatrix}$ 

La matrice de transition de ce graphe est donc 
$M=
\begin{pmatrix}
0,97 & 0,03 \\ 0,05 & 0,95
\end{pmatrix}$
et on a pour tout $n$, $P_{n+1} = P_n\times M$.
		
	\end{enumerate}
\item La probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société $A$ en 2018 est $a_1$.

$P_1=P_0\times M = 
\begin{pmatrix}
0,3 & 0,7
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0,97 & 0,03 \\ 0,05 & 0,95 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,3\times 0,97 + 0,7 \times 0,05 & 0,3\times 0,03 + 0,7 \times 0,95 
\end{pmatrix}\\
\phantom{P_1}
=
\begin{pmatrix}
0,326 & 0,674 
\end{pmatrix}$

La probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société $A$ en 2018 est $a_1=0,326$.

\item Soit $P = \begin{pmatrix}0,625& 0,375\end{pmatrix}$.% est un état stable de la matrice et interpréter le résultat.

$0,625 + 0,375 = 1$ donc $P$ est un état du système.

$P\times M = 
 \begin{pmatrix}0,625& 0,375\end{pmatrix}
 \times
\begin{pmatrix} 0,97 & 0,03 \\ 0,05 & 0,95 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
0,625\times 0,97 + 0,375 \times 0,05 & 0,625\times 0,03 + 0,375 \times 0,95 
\end{pmatrix}\\
\phantom{P\times M}
=
 \begin{pmatrix}0,625& 0,375\end{pmatrix} = P$
 
 Donc $P= \begin{pmatrix}0,625& 0,375\end{pmatrix}$ est un état stable du système.

\item% Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1} = 0,92a_n + 0,05$.
On a vu que pour tout $n$, $a_{n+1} = 0,97\,a_n + 0,05\,b_n$.

D'après le contexte, pour tout $n$, $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$.

On en déduit que $a_{n+1} = 0,97a_n + 0,05\left (1-a_n\right )
= 0,97 a_n + 0,05- 0,05a_n
= 0,92 a_n + 0,05 $.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le directeur de la société $A$ constate que la proportion d'ascenseurs entretenus par sa société augmente au cours des années et se stabilise à 62,5\:\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On cherche lequel des algorithmes suivants donne l'année à partir de laquelle cette proportion dépasse 50\,\%. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.05cm}|X|p{0.05cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
Algorithme 1				&& Algorithme 2&& Algorithme 3\\\cline{1-1} \cline{3-3}\cline{5-5}
$A \gets 0,3$				&&$A \gets 0,3$&&$A \gets 0,3$\\
$N \gets 0$					&&$N \gets 0$&&$N \gets 0$\\
Tant que $A \leqslant 0,5$&&Tant que $A > 0,5$&&Tant que $A \leqslant 0,5$\\
\hspace{0.5cm}$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$\\
\hspace{0.5cm}$N \gets N+1$&&$N\gets N+1$&&Fin Tant que\\
Fin Tant que		&&Fin Tant que&&$N\gets N+1$\\
Afficher $2017 + N$	&&Afficher $2017 + N$&&Afficher $2017 + N$\\\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Dans l'algorithme 2, la condition est \og Tant que $A>0,5$ \fg{}; or la variable $A$ est initialisée à $0,3$ donc on n'entre jamais dans la boucle.

On peut éliminer l'algorithme 2.

\item Dans l'algorithme 3, l'instruction \og $N \gets N+1$ \fg{} est exécutée en dehors de la boucle donc elle n'est exécutée qu'une seule fois; la valeur de $N$ en sortie d'algorithme sera toujours de $1$.

On peut éliminer l'algorithme 3.
 
\end{list}

Donc  l'algorithme~1 donne l'année à partir de laquelle cette proportion dépasse 50\,\%. 

		\item On exécute l'algorithme 1 en arrondissant au millième les résultats 
		
\begin{center}
$\begin{array}{|@{\hspace*{1cm}}r@{\hspace*{1cm}}|@{\hspace*{1cm}}l@{\hspace*{1cm}}|}
\hline
N  &   A                 \\\hline
0  & 0,3                  \\\hline
1 & 0,326                 \\\hline
2 & 0,350                 \\\hline
3 & 0,372                 \\\hline
4 & 0,392                 \\\hline
5 & 0,411                 \\\hline
6 & 0,428                 \\\hline
7 & 0,444                 \\\hline
8 & 0,458                 \\\hline
9 & 0,472                 \\\hline
10 & 0,484                 \\\hline
11 & 0,495                 \\\hline
12 & \textcolor{blue}{0,506}                 \\\hline
\end{array}$
\end{center}		

On obtient $N=12$ donc il s'affiche $2017+12$ soit $2029$ en fin d'algorithme.	
	\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = a_n - 0,625$. Donc $a_n=u_n+0,625$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_{n+1} = a_{n+1}- 0,625 = 0,92 a_n + 0,05 -0,625 = 0,92\left ( u_n+0,625 \right ) - 0,575\\
\phantom{u_{n+1}}
= 0,92 u_n + 0,575 - 0,575 = 0,92 u_n$
\item $u_0=a_0 - 0,625 = 0,3 - 0,626 = - 0,325$
\end{list}

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,92$ et de premier terme $u_0=-0,325$.
		
		\item% En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[a_n = - 0,325 \times 0,92n + 0,625.\]
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,92$ et de premier terme $u_0=-0,325$ donc, pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = - 0,375 \times 0,92^n$.

Comme $a_n=u_n+0,625$, on déduit que pour tout $n$, $a_n= -0,325 \times 0,92^n + 0,625$.
		
		\item% Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter le résultat.
$0 < 0,92 < 1$ donc, d'après le cours, 
$\ds\lim_{n \to +\infty} \left (0,92\right )^n=0$.
On en déduit que $\ds\lim_{n \to +\infty} a_n= 0,625$.

Cela signifie que la proportion d'ascenseurs entretenus par la société $A$ va tendre vers 62,5\:\%.
		
	\end{enumerate}
\item On résout l'inéquation $a_n \geqslant 0,5$.

$\begin{array}{@{} l !{\iff} l !{\iff} l }
a_n \geqslant 0,5 
   & -0,325 \times 0,92^n + 0,625 \geqslant 0,5 
   & 0,125 \geqslant 0,325 \times 0,92^n\\[5pt]
  &  \dfrac{0,125}{0,325} \geqslant 0,92^n 
   & \ln\left (\dfrac{0,125}{0,325}\right ) \geqslant \ln\left (0,92^n\right )\\[7pt]
 & \ln\left (\dfrac{0,125}{0,325}\right ) \geqslant n \times \ln\left (0,92\right )
 & \dfrac{\ln\left (\frac{0,125}{0,325}\right )}{\ln(0,92)} \leqslant n
\end{array}$ 

\smallskip

%Quel résultat antérieur retrouve-t-on ?

Comme $\dfrac{\ln\left (\frac{0,125}{0,325}\right )}{\ln(0,92)} \approx 11,5$, on retrouve le nombre $N=12$ obtenu à la fin de l'exécution de l'algorithme.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm} 

\textbf{Exercice 4  \hfill 4 points}

%\medskip 
%
%\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Les quatre affirmations sont indépendantes.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un caractère est présent dans une population selon une proportion $p = 0,1$.

Dans un échantillon de $400$ personnes, on observe ce caractère sur $78$ individus. 

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} Au seuil de 95\:\%, cet échantillon est représentatif de la population totale pour ce caractère. 

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}}|m{0.93\linewidth}}
La proportion est $p=0,1$ et la taille de l'échantillon est $n=400$.

$n=400\geqslant 30$, $np=40 \geqslant 5$ et $n(1-p) = 360 \geqslant 5$ donc les conditions sont vérifiées pour que l'on puisse établir un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de ce caractère:

\smallskip

$I = \left[p - 1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]$\\[7pt]
$\phantom{I}
= \left[0,1 - 1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}}~;~0,1 + 1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,1\times 0,9}{400}}\right] 
= \left [ \np{0,0707}\,;\, \np{0,1294}\strut \right ]$

\smallskip

Dans l'échantillon considéré, la fréquence du caractère est $f=\dfrac{78}{400} = 0,195$.

Cette fréquence n'appartient pas à l'intervalle calculé donc on peut considérer, au risque de 5\,\%, que l'échantillon n'est pas représentatif de la population totale pour ce caractère.

\smallskip

\textbf{Affirmation 1 fausse}
\end{tabular}

\medskip

%\emph{Rappel : Lorsque la proportion $p$ d'un caractère dans la population est connue, l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95\:\% d'une fréquence de ce 
%caractère obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par:} 
%
%\[I = \left[p - 1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\] 

\item Dans une gare, le temps d'attente à un guichet donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [1~;~7]. 

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} Le temps d'attente moyen à ce guichet est de $4$ minutes. 

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}}|m{0.93\linewidth}}
Si le temps d'attente à un guichet est modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[a\;;\;b]$ .Le temps d'attente moyen à ce guichet est 
$E(X)=\dfrac{a+b}{2}$.

Donc si la variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle $[1~;~7]$, l'espérance mathématique qui donne le temps d'attente moyen est 
$E(X)= \dfrac{1+7}{2}=4$.

\smallskip

\textbf{Affirmation 2 vraie}
\end{tabular}

\medskip

\item La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x) = x^2$. 

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :} La valeur moyenne de $g$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$ est égale à $\dfrac{16}{3}$. 

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}}|m{0.93\linewidth}}
 La valeur moyenne de $g$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$ est égale à 
 
 $\dfrac{1}{2-(-2)} \ds\int_{-2}^{2} x^2 \d x = \dfrac{1}{4} \left [\dfrac{x^3}{3} \right ]_{-2}^{2}
 = \dfrac{1}{4} \left [\dfrac{2^3}{3} - \dfrac{(-2)^3}{3} \right ]
 = \dfrac{1}{4} \left [ \dfrac{8}{3} - \dfrac{-8}{3}\right ]
 = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{16}{3}
 = \dfrac{4}{3} \neq \dfrac{16}{3}$
 
 \smallskip
 
 \textbf{Affirmation 3 fausse}
\end{tabular}

\medskip

\item  $x$ désigne un nombre réel négatif. 

\medskip

\textbf{Affirmation 4 :} $\ln \left(\e^{x + 1}\right) - \ln \left(\e^x\right)$ est un nombre positif quel que soit le nombre réel $x$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}}|m{0.93\linewidth}}
Pour tout $x$, $\ln \left(\e^{x + 1}\right) - \ln \left(\e^x\right) = \ln \dfrac{\e^{x+1}}{\e^{x}}
= \ln \e^{1} = 1 >0$

\textbf{Affirmation 4 vraie}
\end{tabular}

\end{enumerate}
\end{document}