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%Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Amérique du Sud 23 novembre 2017},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 23 novembre 2017}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Amérique du Sud~\decofourright\\[4pt]
23 novembre 2017} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip 
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\
%Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\cg 0~;~+ \infty\cd$ par $f(x) = 11 + 5 \ln (x)$.

Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y = 5x + 11$ &\textbf{b.~~} \fcolorbox{red}{white}{$y = 5x + 6$} &\textbf{c.~~} $y = 11x - 6$  &\textbf{d.~~} $y = 5x + 16$
\end{tabularx}
\medskip

\emph{Explications}

\begin{quote}
La tangente à la courbe représentant la fonction $f$ au point $x=a$ a pour équation \\
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

$f(x)=11+5\ln(x)$ donc $f'(x)= \dfrac{5}{x}$; pour $x=1$, $f'(1)=5$ et $f(1)= 11$.

La tangente a donc pour équation $y=5(x-1)+11$ soit $y=5x+6$.
\end{quote}

\medskip

\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\cg 0~;~+ \infty\cd$ par $f(x) = 11 + 5 \ln (x)$.

L'équation $f(x) = 0$ d'inconnue $x$ a pour solution :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- \dfrac{\text{e}^{11}}{5}$&\textbf{b.~~} $- \ln \left(\dfrac{11}{5}\right)$&\textbf{c.~~} \fcolorbox{red}{white}{$\e^{\frac{-11}{5}}$} & \textbf{d.~~} $\dfrac{\text{e}^{- 11}}{5}$
\end{tabularx}
\medskip

\emph{Explications}

\begin{quote}
$f(x)=0 \iff 11+5\ln(x)=0 \iff \ln(x)= \dfrac{-11}{5} \iff x=\e^{\frac{-11}{5}}$
\end{quote}

\medskip

\item On lance cinq fois de suite un dé équilibré à six faces.

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de $6$ qu'on obtient.

La probabilité $p(X = 1)$ d'obtenir exactement un $6$, arrondie à $10^{-2}$, est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,08 &\textbf{b.~~} 0,17  &\textbf{c.~~} \fcolorbox{red}{white}{$0,40$} &\textbf{d.~~} 0,80
\end{tabularx}
\medskip

\emph{Explications}

\begin{quote}
La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{1}{6}$:

$p(X=1)=\ds\binom{5}{1} \left (\dfrac{1}{6}\right )^1 \left (1-\dfrac{1}{6}\right ) ^{5-1} \approx 0,40$
\end{quote}

\medskip

\item \begin{multicols}{2}
On considère une variable aléatoire $T$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\cd 2~;~7\cg$.

La fonction de densité de $T$ est représentée ci-contre.

\columnbreak

\begin{flushright}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(9,0.3)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,0.3)}
\multido{\n=0.0+0.1}{4}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=cyan](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(9,0.3)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](2,0.2)(7,0.2)
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{multicols}

La probabilité conditionnelle $P_{(T\geqslant 3)}(T \leqslant 5)$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \fcolorbox{red}{white}{$\dfrac{1}{2}$} &\textbf{b.~~} $\dfrac{3}{5}$  &\textbf{c.~~} $\dfrac{2}{5}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{3}{4}$
\end{tabularx}
\medskip

\newpage

\emph{Explications}

\begin{quote}
On sait que si la variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $\cd 2~;~7\cg$, pour $2 \pp a \pp b \pp 7$, on a $P(a \pp T \pp b) = \dfrac{b-a}{7-2} = \dfrac{b-a}{5}$.

\smallskip

$P_B(A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ donc $P_{(T\geqslant 3)}(T \leqslant 5) = \dfrac{P\left ( (T\geqslant 3) \cap (T \leqslant 5)\right )}{P(T\geqslant 3)}$.

\smallskip

$\left.
\begin{array}{@{} l}
P\left ( (T\geqslant 3) \cap (T \leqslant 5)\right ) = P(3 \pp T \pp 5) = \dfrac{5-3}{5}=\dfrac{2}{5}\\
P(T\geqslant 3) = P(3 \pp T \pp 7) = \dfrac{7-3}{5} = \dfrac{4}{5}
\end{array}
\right\rbrace
\text{ donc } P_{(T\geqslant 3)}(T \leqslant 5) = \dfrac{\frac{2}{5}}{\frac{4}{5}} = \dfrac{1}{2}.
$
\end{quote}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série~L}

\medskip 

Mathieu dispose d'un capital de \np{20000}~euros qu'il veut placer. Sa banque lui propose de choisir entre deux contrats d'épargne.

\smallskip

%Contrat A : Le capital augmente chaque année de 4\,\%.
%
%Contrat B : Le capital augmente chaque année de 2,5\,\% et une prime annuelle fixe de 330 euros est versée à la fin de chaque année et s'ajoute au capital.
%
%\smallskip

On note $a_n$ le capital, en euro, acquis au bout de $n$ années si Mathieu choisit le contrat A;

$\phantom{\text{On note}}$ $b_n$ le capital, en euro, acquis au bout de $n$ années si Mathieu choisit le contrat B.

On a donc $a_0 = b_0 = \np{20000}$ et, pour tout entier naturel $n$,
$a_{n+1} = 1,04 a_n$ et $b_{n+1} = 1,025 b_n + 330$.

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat A.
	\begin{enumerate}
		\item% Calculer la valeur, arrondie à l'euro, du capital disponible au bout de 10 ans.
La suite $(a_n)$ est géométrique de premier terme $a_0=\np{20000}$ et de raison $q=1,04$; donc, pour tout $n$, on a $a_n= a_0\times q^n = \np{20000}\times 1,04^{n}$.

Donc $a_{10}= \np{20000}\times 1,04^{n} \approx \np{29605}$.

Le capital disponible au bout de 10 ans est, arrondi à l'euro, $\np{29605}$~\euro.

		\item% Déterminer le pourcentage d'augmentation du capital entre le capital de départ et celui obtenu au bout de $10$ ans. Arrondir le résultat à 1\,\%.
Le pourcentage d'augmentation est donné par la formule

$\dfrac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}} \times 100$ donc ici:
$\dfrac{\np{29605} - \np{20000}}{\np{20000}}\times 100 \approx 48$.

Le pourcentage d'augmentation en 10 ans a pour valeur arrondie à l'unité $48\,\%$.

	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat B.
	
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n$ par 
$u_n = \np{13200} + b_n$; donc $b_n=u_n-\np{13200}$.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,025$ et calculer son premier terme $u_0$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_{n+1}= \np{13200} + b_{n+1} = \np{13200} + 1,025 b_n + 330 = \np{13530} + 1,025(u_n-\np{13200})\\
\phantom{u_{n+1}}
= \np{13530} + 1,025 u_n - \np{13530} = 1,025 u_n$
\item $u_0=\np{13200} + b_0 = \np{13200} + \np{20000} = \np{33200}$
\end{list}		

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=\np{33200}$ et de raison 

$q=1,025$.		
		
		\item% Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
On en déduit que, pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = \np{33200}\times 1,025^n$.

		\item% En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a 
$b_n=u_n -\np{13200}$ donc, pour tout $n$, $b_n=	 \np{33200}\times 1,025^n - \np{13200}$.
	
		\item% Déterminer au bout de combien d'années le capital disponible devient supérieur à \np{40000} euros.
Le capital devient supérieur à $\np{40000}$ pour $n$ tel que $b_n >\np{40000}$; on résout cette inéquation:

$b_n >\np{40000}
\iff \np{33200}\times 1,025^n - \np{13200} > \np{40000}
\iff \np{33200}\times 1,025^n > \np{53200}
\iff 1,025^n > \dfrac{\np{53200}}{\np{33200}}
\iff \ln \left (1,025^n\right ) > \ln \left ( \dfrac{\np{532}}{\np{332}}\right )
\iff
n\times \ln \left ( 1,025\right ) > \ln \left ( \dfrac{\np{532}}{\np{332}}\right )
\iff$
 
$n > \dfrac{\ln \left ( \frac{\np{532}}{\np{332}}\right )}{\ln(1,025)}
\dfrac{\ln \left ( \frac{\np{532}}{\np{332}}\right )}{\ln(1,025)} \approx 19,1$ donc le capital devient supérieur à $\np{40000}$~\euro{} au bout de 20 ans.

	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables}\\
$A$ est un nombre réel\\
$B$ est un nombre réel\\
$N$ est un nombre entier naturel\\
\textbf{Traitement}\\
$A$ prend la valeur \np{20 000}\\
$B$ prend la valeur \np{20 000}\\
$N$ prend la valeur $0$\\
Tant que $A \leqslant B$\\
\hspace{1cm}$A$ prend la valeur $1,04 \times A$\\
\hspace{1cm}$B$ prend la valeur $1,025 \times B + 330$\\
\hspace{1cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $N$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Le tableau ci-dessous traduit l'exécution pas à pas de l'algorithme.
		
On complète ce tableau en arrondissant les valeurs de $A$ et de $B$ à l'unité:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\centering \arraybackslash}X}\hline		
Valeur de $A$				& \np{20000} 	& \np{20800} & \np{21632} & \np{22497} & \np{23397} & \np{24333} & \np{25306}  \\ 
\hline
Valeur de $B$				& \np{20000} 	& \np{20830}  & \np{21681} & \np{22553} & \np{23446} & \np{24362} & \np{25301}      \\ 
\hline
Valeur de $N$				& 0 	&1 &2 & 3 & 4 & 5 & 6  \\ 
\hline
Condition $A \leqslant B$	& vraie	& vraie	& vraie	& vraie	& vraie	& vraie	& \textcolor{red}{fausse}	\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item %Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
La valeur affichée en fin d'algorithme est 6. \\
Si Mathieu veut faire un placement d'une durée inférieure à 6 ans, il vaut mieux qu'il prenne le contrat A, sinon il vaut mieux prendre le contrat B.		
		
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

%\emph{Les parties \emph{A} et \emph{B} de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour les déplacements entre les principales villes d'une région, les habitants peuvent acquérir soit la carte d'abonnement bus (PassBus), soit la carte d'abonnement train (PassTrain), toutes les deux étant valables un an.

Une étude récente montre que le nombre global d'abonnements reste constant dans le temps et que, chaque année, la répartition des abonnements évolue de la manière suivante :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 10\,\% des abonnements PassBus sont remplacés par des abonnements PassTrain ;
\item[$\bullet~~$] 15\,\% des abonnements PassTrain sont remplacés par des abonnements PassBus.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On représente la situation par un graphe probabiliste de sommets B et T où le sommet B représente l'état \og abonné PassBus \fg{} et T l'état \og abonné PassTrain \fg:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.8)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

\newrgbcolor{colorG}{1 0 0}% couleur du sommet de gauche
%%% mettre 0 0 0 pour le noir

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{B}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{T}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{$0,10$}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{$0,15$}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{$0,90$}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{$0,85$}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
           %   définition des sommets
\ncarc[linecolor=colorG]{->}{G}{D} 
      \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} 
      \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}

\item% Déterminer la matrice de transition de ce graphe en respectant l'ordre B, T des sommets.
D'après le texte, si on appelle $b_n$ le pourcentage d'abonnements PassBus et $t_n$ le pourcentage d'abonnements PassTrain, on a:
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
b_{n+1} & 0,90\,b_n + 0,15\,t_n\\
t_{n+1} & 0,10\,b_n + 0,85\,t_n
\end{array}
\right .$

Ce qui s'écrit sous forme de matrice colonne:
$\begin{pmatrix}
b_{n+1} \\ t_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,90 & 0,15 \\ 0,10 & 0,85
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{n} \\ t_{n}
\end{pmatrix}$

La matrice de transition de ce graphe est donc
$M=\begin{pmatrix}
0,90 & 0,15 \\ 0,10 & 0,85
\end{pmatrix}$.

\newpage


\emph{Remarque du correcteur}

\begin{quote}
Le plus souvent, l'état à l'instant $n$ est représenté par une matrice \textbf{ligne}; dans ce cas, en conservant l'ordre alphabétique des sommets, on obtient pour matrice de transition la transposée de celle ci-dessus, soit
$\begin{pmatrix}
0,90 & 0,10 \\ 0,15 & 0,85
\end{pmatrix}$.

Le choix a été fait d'utiliser des matrices colonnes dans ce corrigé car ce sont les seules qui sont au programme actuel de la série ES.
\end{quote}

\item En 2016, les abonnements PassBus représentaient 25\,\% de l'ensemble des abonnements, tandis que les abonnements PassTrain en représentaient 75\,\%.

Si l'année 2016 correspond à $n=0$, l'année 2019 correspond à $n=3$; il faut donc chercher $b_3$ et, pour cela, on va chercher la matrice $\begin{pmatrix} b_3 \\ t_3 \end{pmatrix}$.

D'après le texte, on a $\begin{pmatrix} b_0 \\ t_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  0,25 \\ 0,75  \end{pmatrix}$.

$\begin{pmatrix} b_1 \\ t_1 \end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix} 0,90 & 0,15 \\ 0,10 & 0,85 \end{pmatrix}
\times 
\begin{pmatrix} 0,25 \\ 0,75 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \np{0,3375} \\ \np{0,6625} \end{pmatrix}$
\hfill
$\begin{pmatrix} b_2 \\ t_2 \end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix} 0,90 & 0,15 \\ 0,10 & 0,85 \end{pmatrix}
\times 
\begin{pmatrix} \np{0,3375} \\ \np{0,6625} \end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix} 0,403 \\ 0,597 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} b_3 \\ t_3 \end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix} 0,90 & 0,15 \\ 0,10 & 0,85 \end{pmatrix}
\times 
\begin{pmatrix} b_2 \\ t_2 \end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix} 0,90 & 0,15 \\ 0,10 & 0,85 \end{pmatrix}
\times 
\begin{pmatrix} 0,403 \\ 0,597 \end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix} 0,452 \\ 0,548 \end{pmatrix}$

La part, en 2019, des abonnements PassBus dans l'ensemble des abonnements sera d'environ $45,2\,\%$. 
%
%Donner le résultat en pourcentage arrondi à $0,1$\,\%.
\item L'état stable du graphe probabiliste est représenté par la matrice $\begin{pmatrix} b \\ t \end{pmatrix}$ telle que \\
$\begin{pmatrix} b \\ t \end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix} 0,90 & 0,15 \\ 0,10 & 0,85 \end{pmatrix}
\times 
\begin{pmatrix} b \\ t \end{pmatrix}$ et $b+t=1$.

$\begin{pmatrix} b \\ t \end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix} 0,90 & 0,15 \\ 0,10 & 0,85 \end{pmatrix}
\times 
\begin{pmatrix} b \\ t \end{pmatrix}
 \iff
 \left\lbrace
 \begin{array}{@{} l !{=} l}
 b & 0,90 b + 0,15 t\\
 t & 0,10 b + 0,85 t
 \end{array}
 \right.
  \iff
 \left\lbrace
 \begin{array}{@{} l !{=} r}
 0 & -0,10 b + 0,15 t\\
 0 & 0,10 b - 0,15 t
 \end{array}
 \right.\\
 \phantom{\begin{pmatrix} b \\ t \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 0,90 & 0,15 \\ 0,10 & 0,85 \end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix} b \\ t \end{pmatrix}}
 \iff  0,10b-0,15t=0
 \iff 10 b - 15 t = 0
 $

On résout donc le système:

$ \left\lbrace
 \begin{array}{@{} l !{=} l}
 b+t & 1\\
 10 b - 15 t & 0
 \end{array}
 \right.
 \iff
 \left\lbrace
 \begin{array}{@{} l !{=} l}
 10b+10t & 10\\
 10 b - 15 t & 0
 \end{array}
 \right.
 \iff
 \left\lbrace
 \begin{array}{@{} r !{=} l}
  b+t & 1\\
 25t & 10
 \end{array}
 \right.
 \iff
 \left\lbrace
 \begin{array}{@{} r !{=} l}
  b& 0,6\\
 t & 0,4
 \end{array}
 \right.$

Donc le système va se stabiliser vers la situation suivante: 60\,\% de PassBus et 40\,\% de PassTrain.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le réseau ferroviaire de la région est schématisé par le graphe ci-dessous.

Les sommets représentent les villes et les arêtes représentent les voies ferrées.

Sur les arêtes du graphe sont indiquées les distances exprimées en kilomètre entre les villes de la région.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(14,6.7)
\psframe(14,6.7)
%\psdots(1,4.2)(4.2,6)(4.2,3.5)(9.7,6)(9.7,2.9)(5.7,0.7)(11.2,1.8)(13.2,4.2)%ABCDEFGH
\uput[l](1,4.2){A} \uput[u](4.2,6){B} \uput[d](4.2,3.5){C} \uput[u](9.7,6){D} 
\uput[ur](9.7,2.9){E} \uput[d](5.5,0.7){F} \uput[dr](11.2,1.8){G} \uput[r](13.2,4.2){H} 
\cnode*(1,4.2){0.1cm}{A}
\cnode*(4.2,6){0.1cm}{B}
\cnode*(4.2,3.5){0.1cm}{C}
\cnode*(9.7,6){0.1cm}{D}
\cnode*(9.7,2.9){0.1cm}{E}
\cnode*(5.7,0.7){0.1cm}{F}
\cnode*(11.2,1.8){0.1cm}{G}
\cnode*(13.2,4.2){0.1cm}{H}
\ncline{A}{B}\ncput*{20}
\ncline{A}{C}\ncput*{28}
\ncline{A}{F}\ncput*{80}
\ncline{B}{C}\ncput*[npos=0.6]{26}
\ncline{B}{D}\ncput*{82}
\ncline{B}{E}\ncput*{78}
\ncline{B}{F}\ncput*[npos=0.7]{54}
\ncline{C}{E}\ncput*{70}
\ncline{D}{E}\ncput*{20}
\ncline{D}{H}\ncput*{36}
\ncline{E}{F}\ncput*{20}
\ncline{E}{G}\ncput*{16}
\ncline{F}{G}\ncput*{40}
\ncline{H}{G}\ncput*{24}
\end{pspicture}
\end{center}

En utilisant l'algorithme de Dijkstra, on détermine le trajet le plus court pour aller de la ville A à la ville H. 

\medskip

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small%%% \scriptsize
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}%%%    surlignage
\newcommand{\cgr}{\cellcolor{lightgray!50}}%%%                               cellule grisée
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline 
A &  B  &  C  &  D  &  E   &   F   &   G   &  H     &{On garde} \\ 
\hline 
\sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  A \\
\hline
\cgr & \sur{20 A} & 28 A &  $\infty$ & $\infty$ & 80 A & $\infty$ & $\infty$ &  B \\
\hline
\cgr & \cgr & \sur{28 A} &                &           & \sout{80 A} & $\infty$ & $\infty$ &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \sout{46 B} &  102 B & 98 B & 74 B               &                 &                 &  C \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr &  102 B &   98 B           & \sur{74 B} & $\infty$ & $\infty$ &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &             & \sout{98 C} &                     &                 &                 &  F \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr &  102 B &   \sout{98 B} & \cgr  &            & $\infty$ &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &             &     \sur{94 F}                 & \cgr & 114 F &                 &  E \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr &  \sur{102 B}    &   \cgr & \cgr  &  \sout{114 F} &  $\infty$ &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &  \sout{114 E} &    \cgr & \cgr &              110 E  &                 &  D \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr &  \cgr   &   \cgr & \cgr  &  \sur{110 E} &             &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &  \cgr   &    \cgr & \cgr &                        &  146 D &  G \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr &  \cgr   &   \cgr & \cgr  &  \cgr &   \sout{146 D}  &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &  \cgr   &    \cgr & \cgr &   \cgr&  \sur{134 G}     &  H \\
\hline
\end{tabularx} }
\end{center} 

Le trajet le plus court est:
A $\stackrel{20}{\longrightarrow}$ 
B $\stackrel{54}{\longrightarrow}$
F $\stackrel{20}{\longrightarrow}$
E $\stackrel{16}{\longrightarrow}$
G $\stackrel{24}{\longrightarrow}$ H;
il a une longueur de 134 km.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Une entreprise d'élevage de poissons en bassin a constaté qu'une partie de sa production est infectée par une nouvelle bactérie.

Un laboratoire a réalisé deux prélèvements, l'un au mois de janvier et l'autre au mois de juin, afin d'étudier l'évolution de l'infection.

\smallskip

%\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Au mois de janvier, lors du premier test, le laboratoire a prélevé au hasard \np{1000}~poissons parmi l'ensemble des poissons du bassin.

La fréquence de poissons infectés par la bactérie dans cet échantillon est $f_1 = 5$\,\%.

Au mois de juin, le laboratoire a prélevé de nouveau \np{1000} poissons.

Pour ce second test, la fréquence de poissons infectés est $f_2 = 10$\,\%.

La fréquence de poissons infectés dans les deux échantillons ayant doublé en cinq mois, le laboratoire préconise d'arrêter la vente des poissons de l'entreprise.

On note $p_1$ la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de janvier et $p_2$ la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de juin.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer les intervalles de confiance au niveau de confiance 95\,\% de la proportion $p_1$ puis de la proportion $p_2$. 
Pour une fréquence $f$ donnée et un échantillon de taille $n$, l'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% est donné par 
$I = \left [ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right ]$. 

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $f_1=5\,\% = 0,05$ et $n=\np{1000}$ donc l'intervalle de confiance de $p_1$ est \\
$I_1 = \left [ 0,05-\dfrac{1}{\sqrt{\np{1000}}}~;~0,05+\dfrac{1}{\sqrt{\np{1000}}} \right ]
\approx \cd 0,018~;~0,082\cg$. 

\item $f_2=10\,\% = 0,1$ et $n=\np{1000}$ donc l'intervalle de confiance de $p_2$ est \\
$I_2 = \left [ 0,1-\dfrac{1}{\sqrt{\np{1000}}}~;~0,1+\dfrac{1}{\sqrt{\np{1000}}} \right ]
\approx \cd 0,068~;~0,132\cg$. 
\end{list}

\item Il y a 95\,\% de chances que l'intervalle $\cd 0,018~;~0,082\cg$ contienne la proportion $p_1$, et il y a 95\,\% de chances que l'intervalle $\cd 0,068~;~0,132\cg$ contienne la proportion $p_2$.

Donc l'entreprise pourrait dire qu'il y a 95\,\% de chances que l'intervalle $I_1 \cap I_2 = \cd 0,068~;~0,082\cg$ contienne la proportion de poissons infectés en janvier ET en juin, ce qui justifierait la poursuite de la vente. 

%On arrondira les bornes des intervalles à $10^{-3}$.
%Quel argument pourrait donner l'entreprise pour éviter l'arrêt de la vente ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour déterminer la fréquence de poissons infectés dans un prélèvement, le laboratoire dispose d'un test de dépistage dont les résultats sont les suivants :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] sur des poissons infectés par la bactérie, le test est positif dans 60\,\% des cas ;
\item[$\bullet~~$] sur des poissons non infectés par la bactérie, le test est positif dans 10\,\% des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour un poisson prélevé au hasard, on note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $B$  l'évènement : \og le poisson est infecté par la bactérie \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $T$  l'évènement : \og le test du poisson est positif \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $\overline{B}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires de $B$ et $T$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $x$ la probabilité qu'un poisson soit infecté par la bactérie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre pondéré traduisant cette situation:

\begin{center}
\psset{treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt}
\pstree{\TR{}}
{
  \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$B$}\taput{$x$}}
     {
     \TR{$T$} \taput{$0,6$}
     \TR{$\overline{T}$} \tbput{$0,4$}
     }
  \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{B}$}\tbput{$1 - x$}}
     {
     \TR{$T$} \taput{$0,1$}
     \TR{$\overline{T}$} \tbput{$0,9$}
     }
}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que $p(T) = 0,5x + 0,1$.
D'après la formule des probabilités totales:

$p(T) = p(B \cap T) + p\left(\overline{B} \cap T\right)  = p(B)\times p_B(T) + p\left(\overline{B}\right)\times p_{\overline{B}}(T) = x \times 0,6 + (1 - x)\times 0,1\\
\phantom{p(T)}
 = 0,6 x + 0,1 -0,1 x = 0,5x + 0,1$
		
		\item Le laboratoire a constaté que $12,5$\,\% des poissons d'un prélèvement ont eu un test positif.
		
%Quelle estimation de la proportion de poissons infectés le laboratoire va-t-il proposer pour ce prélèvement ?

On a donc $p(T)=0,125 \iff 0,5x + 0,1 = 0,125 \iff 0,5x = 0,025 \iff x=0,05$.

On peut donc estimer à 5\,\% la proportion de poissons infectés que le laboratoire va proposer.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Un traitement antibiotique permet de guérir les poissons infectés par la bactérie.

Le temps de guérison d'un poisson infecté, exprimé en jours, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu = 21$ et d'écart-type $\sigma = 5$.

%\smallskip
%
%\emph{Les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la probabilité $p(14 < X < 28)$.
En utilisant la calculatrice, on trouve $p(14 < X < 28) \approx 0,838$.

\item La probabilité qu'un poisson infecté ne soit pas encore guéri après $5$ semaines de traitement antibiotique, soit 35 jours, est
$p(X>35) \approx 0,003$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Le graphique ci-dessous représente, dans un repère orthonormal, la courbe représentative 
$\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2].

On suppose que $f$ est deux fois dérivable et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip

On sait que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le point A(0~;~1) appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
\item[$\bullet~~$] la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point B d'abscisse $0,25$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.35)(2.5,1.75)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,labelFontSize=\scriptstyle,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(2.4,1.75)
\def\f{4 x mul 1 add 2.71828 2 x mul exp div}
\pscustom[fillstyle=vlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{0}{2}{\f}
\psplot{2}{0}{0}
\closepath % indispensable !
}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(2.49,1.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{\f}
\uput[dl](0,1){A} \uput[u](0.25,1.213){B}\uput[u](1.8,0.25){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline{<->}(0.05,1.213)(0.45,1.213)
\uput[d](2.3,0){$x$}
\uput[l](0,1.7){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

%\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip
\def\interA{\cd 0~;~2\cg}

\textbf{Partie A}

\medskip

On suppose que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\interA$ par $f(x) = (ax + b)\e^{-2x}$  où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.

\medskip

\begin{enumerate}
\item%En utilisant le graphique et les données de l'énoncé, déterminer $f(0)$ et $f'(0,25)$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le point A\,$(0~;~1)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$ donc
$f(x_{\text A}) =y_{\text A}$, autrement dit $f(0)=1$.
\item La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point B d'abscisse $0,25$ est parallèle à l'axe des abscisses donc le coefficient directeur de cette tangente est nul, ce qui signifie que $f'(0,25)=0$.
\end{list} 

\item% Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
$f(x)=(ax+b)\e^{-2x}$ donc $f'(x)=a\times \e^{-2x} + (ax+b) \times (-2)\e^{-2x} = (-2ax+a-2b)\e^{-2x}$

\item% Déduire des deux questions précédentes les valeurs des réels $a$ et $b$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $f(0)=1 \iff (0+b)\e^{0} = 1 \iff b=1$
\item $b=1$ et $f'(x)=(-2ax+a-2b)\e^{-2x}$ donc $f'(x) = (-2ax+a-2)\e^{-2x}$
\item $f'(0,25)=0 \iff (-2a\times 0,25 + a - 2)\e^{-2\times 0,25} = 0
\iff -0,5 a +a -2 = 0 \iff 0,5a = 2\iff a=4$
\end{list}

Donc $f(x)=(4x+1)\e^{-2x}$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\interA$ par $f(x) = (4x + 1)\text{e}^{-2x}$.

On admet par ailleurs que $f'(x) = (2 - 8x)\e^{-2x}$ et $f''(x) = (16x - 12)\e^{-2x}$ où $f''$ désigne la dérivée seconde de la fonction $f$ sur l'intervalle $\interA$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Étudier le signe de $f'$ sur [0~;~2] puis en déduire les variations de $f$ sur [0~;~2].
Pour tout $x$, $\e^{-2x}>0$ donc $f'(x) = (2 - 8x)\e^{-2x}$ est du signe de $2-8x$. Donc:

\textbullet~~$f'(x)>0$ sur $\cd 0~;~0,25\cd$;\hfill
\textbullet~~$f'(x)=0$ pour $x=0,25$;\hfill
\textbullet~~$f'(x)<0$ sur $\cg 0,25~;~2\cg$.

\smallskip

On en déduit les variations de la fonction $f$ sur $\interA$:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $f$ est strictement croissante sur $\cd 0~;~0,25\cg$;
\item $f$ admet un maximum local pour $x=0,25$;
\item $f$ est strictement décroissante sur $\cd 0,25~;~2\cg$.
\end{list}

\item La courbe $\mathcal{C}_f$ admet, sur l'intervalle $\interA$, un point d'inflexion en un point dont l'abscisse $x$ vérifie $f''(x)=0$; or $f''(x)=(16x-12)\e^{-2x}= 0 \iff 16x-12=0 \iff x=0,75$.

La courbe $\mathcal{C}_f$ admet donc, sur l'intervalle $\interA$, un point d'inflexion d'abscisse $0,75$.

\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $\interA$ par 
$F(x) = (- 2x - 1,5)\e^{-2x}$.

	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur [0~;~2].
$F$ est dérivable sur $\interA$ et \\
$F'(x)= (-2)\times \e^{-2x} + (-2x-1,5)\times (-2)\e^{-2x} = (-2 +4x +3)\e^{-2x} = (4x+1)\e^{-2x}=f(x)$ donc\\
la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\interA$.

		\item Soit $D$ le domaine du plan situé entre $\mathcal{C}_f$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$; on appelle $\mathcal{A}$ son aire.
		
La fonction $f$ est positive sur $\interA$ donc

$\mathcal{A} = \ds\int_{0}^{2} f(x) \d x = F(2)-F(0)=-5,5 \e^{-4} -(-1,5) = 1,5-5,5\e^{-4}$ unités d'aire.		
		
		\item La valeur moyenne, arrondie à $10^{-1}$, de la fonction $f$ sur l'intervalle $\interA$ est
		
$\dfrac{1}{2-0} \ds\int_{0}^{2} f(x) \d x = \dfrac{1}{2} \left ( 1,5-5,5\e^{-4} \right )\approx 0,7$.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}