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%Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël
%Tapuscrit : François Hache
%Corrigé : Denis Vergès et François Hache
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 13 novembre 2019}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 13 novembre 2019~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 1\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\index{Q. C. M.}\\
%Pour chacune des questions
%suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une bonne réponse
%rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse
%à une question ne rapporte ni n'enlève de point. \\
%Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée.}
%
%\smallskip

Pour les questions 1 et 2, on considère une entreprise qui produit des plaquettes de beurre de 250 grammes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %La masse des plaquettes est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 250$ et d'écart type $\sigma = 1$.\index{loi normale}

%Alors, à $10^{-3}$ près, on a :

%\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|}
%\hline
%\qquad A. \quad $P(X < 250) \approx 0,459$ &  \qquad B. \quad $P(X > 249) \approx 0,659$\\
%\hline
%\qquad C. \quad $P(X < 249) \approx 0,159$ & \qquad  D. \quad $P(X < 252) \approx 0,997$\\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Réponse C.
\item  %Pour être conformes, ces plaquettes de beurre doivent avoir une masse nette comprise entre $248$ et $252$ grammes.

%Un contrôleur prélève au hasard un échantillon de $900$ plaquettes et constate que $864$ sont conformes.

%L'intervalle de confiance, au seuil de confiance de $95\,\%$, de la proportion de plaquettes de beurre conformes est, avec les bornes données à $10^{-3}$ près:\index{intervalle de confiance}

%\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|}
%\hline
%\qquad A. \quad $[0,91~;~1,01]$ &  \qquad  B. \quad $[0,926~;~0,994]$\\
%\hline
%\qquad C. \quad $[0,245~;~0,255]$ & \qquad  D. \quad $[0,958~;~0,962]$\\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
La fréquence de tablettes conformes est $\dfrac{864}{900}$.

L'intervalle de confiance est $\left[\dfrac{864}{900} - \dfrac{1}{\sqrt{900}}~;~\dfrac{864}{900} + \dfrac{1}{\sqrt{900}}  \right] \approx [0,926~;~0,994]$ : réponse B.

\item  %Lors d'une tombola, les organisateurs affirment que $20\,\%$ des tickets sont gagnants. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ de la fréquence observée des tickets gagnants pour un échantillon de $200$ tickets tirés au hasard est, avec des valeurs approchées des bornes données à $10^{-3}$ près:\index{intervalle de fluctuation asymptotique}

%\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|}
%\hline
%\qquad A. \quad $[0,150~;~0,250]$ &  \qquad  B. \quad $[0,195~;~0,205]$\\
%\hline
%\qquad C. \quad $[0,182~;~0,218]$ & \qquad  D. \quad $[0,144~;~0,256]$\\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ de la fréquence observée des tickets gagnants pour un échantillon de $200$ tickets tirés au hasard est :

\[\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} \right] \approx [0,144~;~0,256]\;; \text{réponse D.}\]
\item  Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[0~;~30]$ par:
$f(x) = x^3 - 39x^2 + 315x + 45.$

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. 

%\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|}
%\hline
%\qquad A. \quad $f$ est convexe sur l'intervalle $[0~;~30]$\\
%\hline
%\qquad B. \quad $f$ est concave sur l'intervalle $[5~;~21]$\\
%\hline
%\qquad C. \quad $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 13\\
%\hline
%\qquad D. \quad \parbox[t]{\linewidth}{Si $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$, alors $f'$ est croissante sur \\l'intervalle $[0~;~5]$ et sur l'intervalle $[21~;~30]$\rule[-7pt]{0pt}{0pt}}\\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Sur l'intervalle $[0~;~30]$, on a $f'(x) = 3x^2 - 78x + 315$, puis 

$f''(x) = 6x - 78 = 6(x - 13)$ qui est du signe de $x - 13$ :

$\bullet~~$si $x < 13, \:x - 13 < 0$ ; $f''(x) < 0$ sur $[0~;~13[$ ;

$\bullet~~$si $x > 13, \:x - 13 > 0$ ; $f''(x) > 0$ sur $]13~;~30[$

$\bullet~~$si $x = 13$, \:$x - 13 = 0$ ; $f''(13) = 0$.

La dérivée seconde s'annule en changeant de signe  donc $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 13. Réponse C.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\begin{list}{\textbullet}{Au 1\ier{} janvier 2018, un arboriculteur possède \np{5000} pommiers. Chaque année:}
%\item il arrache $4\,\%$ des pommiers car ils sont endommagés;
%\item il replante $300$ nouveaux pommiers.
%\end{list}
%
%On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de pommiers possédés par l'arboriculteur au 1\ier{} janvier de l'année $(2018 + n)$.\index{suite}
%
%\smallskip

On obtient ainsi une suite $\left(u_n\right)$ telle que: $u_0 = \np{5000}$ et $u_{n+1} = 0,96u_n + 300$, pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$ et $u_2$.
$\bullet~~$ $u_1 = 0,96\times \np{5000} + 300 = \np{5100}$ ;

$\bullet~~$ $u_2 = 0,96\times \np{5100} + 300 = \np{5196}$.

%Combien de pommiers possèdera l'arboriculteur au 1\ier{} janvier 2020?
Le 1\up{er} janvier 2020, l'arboriculteur aura \np{5196}~pommiers.
\item  On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - \np{7500}$, pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.\index{suite géométrique}.
		Quel que soit $n \in \N$, $v_{n+1} = u_{n+1} - \np{7500} = 0,96u_n  + 300 - \np{7500} =  0,96u_n   - \np{7200}  = 0,96\left(u_n - \frac{\np{7200}}{0,96}\right) = 0,96\left(u_n - \np{7500} \right) = 0,96v_n$.
		
		$v_{n+1} =  0,96v_n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,96 ; son premier terme est $v_0 = u_0 - \np{7500} = \np{5000} - \np{7500} = - \np{2500}$.
		\item  %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		On sait qu'alors quel que soit $n \in \N$,\:$v_n = v_0 \times 0,96^n = - \np{2500} \times 0,96^n$.
		\item  %En déduire que, pour tout entier naturel $n$: $u_n = \np{7500} - \np{2500} \times  0,96^n$.
		$v_n = u_n - \np{7500}$ entraîne $u_n = v_n + \np{7500} = - \np{2500} \times 0,96^n + \np{7500}$.
		
Donc quel que soit $n \in \N$, \: $u_n = \np{7500} - \np{2500} \times  0,96^n$.
 	\end{enumerate}
\item~  %La superficie des terrains de l'arboriculteur lui permet d'avoir au maximum \np{6000} pommiers. L'arboriculteur voudrait savoir en quelle année il devra acquérir un autre terrain pour pouvoir planter de nouveaux pommiers.

%On considère l'algorithme ci-dessous\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{3.cm}|p{3.5cm}|}
\hline
Ligne 1 & $ n\leftarrow 0$\\
Ligne 2 & $u\leftarrow \np{5000}$\\
Ligne 3 & Tant que {\red $u \leqslant \np{6000}$}\\
Ligne 4 & \qquad $n \leftarrow n+1$\\
Ligne 5 & \qquad $u \leftarrow {\red 0,96 \times u + 300}$\\
Ligne 6 & Fin tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Recopier et compléter les lignes 3 et 5 de cet algorithme afin qu'il  réponde à la problématique énoncée ci-dessus.
Voir ci-dessus en rouge.
		\item  %Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l'exécution de  l'algorithme? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
On aura $n = 13$.

Jusqu'à la 12\up{e} année ($ u_{12} \approx \np{5968}$) le nombre de pommiers est inférieur ou égal à \np{6000}.
 	\end{enumerate}
 	
\item %Si l'évolution se poursuit toujours selon ce modèle, vers quelle valeur va tendre à terme le nombre de pommiers de cet arboriculteur? Justifier la réponse.
Comme $0 < 0,96 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,96^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \np{2500} \times 0,96^n = 0$ et finalement $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = \np{7500}$.

Le nombre de pommiers va tendre vers \np{7500}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip 

%Lors d'une course cyclosportive, $70\,\%$ des participants sont licenciés dans un club, les autres ne sont pas licenciés.
%
%Aucun participant n'abandonne la course.
%
%\begin{list}{\textbullet}{}
%\item Parmi les licenciés, $66\,\%$ font le parcours en moins de 5 heures; les autres en
%plus de 5 heures.
%\item Parmi les non licenciés, $83\,\%$ font le parcours en plus de 5 heures; les autres
%en moins de 5 heures.
%\end{list}
%
%On interroge au hasard un cycliste ayant participé à cette course et on note:
%
%\begin{list}{\textbullet}{}
%\item $L$ l'évènement \og le cycliste est licencié dans un club\fg{} et $\overline{L}$ son évènement contraire,
%\item $M$ l'évènement \og le cycliste fait le parcours en moins de 5 heures\fg{} et $\overline{M}$ son évènement contraire.
%\end{list}

\begin{enumerate}
\item %À l'aide des données de l'énoncé préciser les valeurs de $P(L)$, $P_L(M)$ et $P_{\overline{L}}\left (\overline{M}\right )$.\index{probabilités}
L'énoncé donne $P(L) = 0,7$, \: $P_L(M) = 0,66$ et $P_{\overline{L}}\left (\overline{M}\right ) = 1 - 0,83 = 0,17$.
\item  On complète l'arbre pondéré suivant représentant la situation.

\begin{center}
{\bigskip
\psset{levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$L$}\naput{$0,7$}}
	                        {
	                        \TR{$M$}\naput{$0,66$}
			                \TR{$\overline{M}$}\nbput{$0,34$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{L}$}\nbput{$0,3$}}
	                        {
	                        \TR{$M$}\naput{$0,17$}
			                \TR{$\overline{M}$}\nbput{$0,83$}
	                        }
      }
}
\bigskip
\end{center}
\item  %Calculer la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de 5 heures.
On calcule $P(L \cap M) = P(L) \times P_L(M) = 0,7 \times 0,66 = 0,462$.
\item  %Justifier que $P(M) = 0,513$.
On calcule de même $P\left(\overline{L} \cap M\right) = P\left(\overline{L}\right) \times P_{\overline{L}}(M) = 0,3 \times 0,17 = 0,051$.

D'après la loi des probabilités totales :

$P(M) = P(L \cap M) + P\left (\overline{L} \cap M\right ) = 0,462 + 0,051 = 0,513$.
\item  %Un organisateur affirme qu'au moins $90\,\%$ des cyclistes ayant fait le parcours en moins de 5 heures sont licenciés dans un club. A-t-il raison? Justifier la réponse.
La probabilité d'avoir un licencié parmi ceux qui ont fait le parcours en moins de 5 heures est égale à :

$P_M(L) = \dfrac{P(M \cap L)}{P(M)} = \dfrac{0,462}{0,513} = \dfrac{462}{513} \approx \np{0,9006}$ soit effectivement un tout petit plus de 90\,\%.
\item  %Un journaliste interroge indépendamment dix cyclistes au hasard. On note $X$ la variable aléatoire qui donne, parmi les dix cyclistes interrogés, le nombre de cyclistes ayant fait le parcours en moins de cinq heures. On suppose le nombre de cyclistes suffisamment important pour assimiler le choix de dix cyclistes à un tirage aléatoire avec remise. L'organisateur a raison.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$?\index{loi binomiale}
		Les choix étant indépendants, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,513$.
		\item %Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'exactement quatre des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures.
		$P(X = 4) = \binom{10}{4}\times 0,513^4 \times (1 - 0,513)^{10-4} = \binom{10}{4}\times 0,513^4 \times 0,487^{6} \approx \np{0,194}$ au millième près.
		\item %Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'au plus trois des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures?
La probabilité, arrondie au millième, qu'au plus trois des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures est égale à :

$P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \\
= \binom{10}{0}\times 0,513^0 \times 0,487^{10} + \binom{10}{1}\times 0,513^1 \times 0,487^{9} + \binom{10}{2}\times 0,513^2 \times 0,487^{8} + \binom{10}{3}\times 0,513^3 \times 0,487^{7}\\
\approx \np{0,00075} + \np{0,0079} + \np{0,0375} + \np{0,1053}$ \\
soit environ \np{0,15138}, donc 0,151 au millième près.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{\large Exercice 3\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\medskip

%Une course cyclosportive propose deux parcours: un grand de 130 kilomètres et un petit de 70 kilomètres.
%
%L'étude ci-après porte sur les cyclistes fidèles qui participent tous les ans à cette épreuve.
%
%\smallskip
%
%En 2018, $42\,\%$ des cyclistes ont fait le grand parcours, les autres le petit.
%
%\smallskip
%
%\begin{list}{\textbullet}{Ces dernières années, les organisateurs ont constaté que:}
%\item $90\,\%$ des cyclistes ayant fait le grand parcours une année se réinscrivent pour ce même parcours l'année suivante; les autres s'inscrivent pour faire le petit parcours.
%\item $15\,\%$ des cyclistes ayant fait le petit parcours une année s'inscrivent sur le grand parcours l'année suivante; les autres restent fidèles au petit parcours.
%\end{list}
%
%On note G l'état: \og le cycliste fait le grand parcours\fg{}, S l'état: \og le cycliste fait le petit
%parcours\fg{} et 
%$P_n = \begin{pmatrix} g_n & s_n\end{pmatrix}$\index{matrice}
%désigne la matrice ligne donnant la probabilité, pour un cycliste, de participer respectivement au grand et au petit parcours lors de la course de l'année $(2018 + n)$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets G et S.\index{graphe}
Graphe probabiliste représentant la situation:

\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,1)
\psset{dotsize=0.2,labelsep=0.05,nodesep=0.1,unit=0.8,shortput=nab,arrows=->,arrowsize=0.3}
\dotnode(0,0){g} \uput[dr](0.05,-0.15){G}
\dotnode(5,0){d} \uput[dl](4.9,-0.1){S}
\ncarc[arcangle=20]{g}{d}^{\red{{\footnotesize $0,1$}}}
\ncarc[arcangle=20]{d}{g}^{\red{{\footnotesize $0,15$}}}
\nccircle[angle=90]{g}{.5cm}^{\red{{\footnotesize $0,9$}}}
\nccircle[angle=-90]{d}{0.5cm}^{\red{{\footnotesize $0,85$}}}
\end{pspicture} 
\end{center}

\item %Recopier et compléter la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre des sommets G puis S:
La matrice de transition est 
$M= \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{pmatrix}.$

\item  %Déterminer l'état initial $P_0$ et l'état $P_1$.
$P_0 = \begin{pmatrix} 0,42 & 0,58\end{pmatrix}$

$P_1 = P_0 M = 
 \begin{pmatrix} 0,42 & 0,58\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85 \end{pmatrix}
 =\begin{pmatrix} 0,42\times 0,9 + 0,58 \times 0,15 & 0,58 \times 0,85 + 0,42 \times 0,1\end{pmatrix} \\
\phantom{P_1}
 = \begin{pmatrix} 0,465&0,535\end{pmatrix}$.

%En déduire le pourcentage de cyclistes qui, selon ce modèle, participeront au grand parcours en 2019.
Donc 46,5\,\% des cyclistes participeront au grand parcours en 2019.

\item On note $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ la matrice associée à l'état stable de ce graphe.\index{état stable}
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $x$ et $y$ en résolvant un système.
Si $P$ est l'état stable, alors $P = PM$, soit 
$\left\{
\begin{array}{l !{=} l}
0,9x + 0,15y&x\\
0,1x + 0,85y&y
\end{array}
\right. \iff 
\left\{
\begin{array}{l !{=} l}
- 0,1x + 0,15y&0\\
0,1x - 0,15y&0
\end{array}
\right.$

On a donc $0,1x - 0,15y = 0$ ou $x - 1,5y = 0$ avec $x + y = 1$, on a $1 - y - 1,5y = 0 \iff 1 = 2,5y \iff y = \dfrac{1}{2,5} \iff y= 0,4$ et $x = 1 - y = 1 - 0,4 = 0,6$.

L'état stable est donc $P = \begin{pmatrix} 0,6 & 0,4 \end{pmatrix}$.
		\item %Selon ce modèle, peut-on dire qu'à long terme le grand parcours aura plus de succès que le petit ?
D'après ce modèle c'est à long terme le grand parcours qui sera le plus choisi (à 60\,\%).
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

%\begin{list}{\textbullet}{Au village départ de cette course cyclosportive, les différents stands présents sont:}
%\item le stand des vélos de routes (R),
%\item le stand des VTT (T),
%\item le stand des BMX (B),
%\item le stand de l'habillement (H),
%\item le stand des compteurs et GPS (C),
%\item le stand des accessoires et pièces détachées (A).
%\end{list}
%
%Le graphe ci-dessous représente le plan du village départ: les sommets correspondent aux stands et les arêtes aux allées qui les relient.

\begin{center}
\psset{,xunit=1.1cm,yunit=0.8cm,radius=5pt}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(6,6.5)
%%% sommets
\cnodeput(1,2){H}{H}
\cnodeput(1,6){B}{B}
\cnodeput(4,6){R}{R}
\cnodeput(3,0){C}{C}
\cnodeput(5.5,0.5){A}{A}
\cnodeput(5.5,4.5){T}{T}
%%% arêtes
\ncline{B}{H} \ncline{B}{R} \ncline{H}{C} \ncline{A}{H} \ncline{T}{H}
\ncline{A}{C} \ncline{C}{R} \ncline{R}{A} \ncline{A}{T} \ncline{R}{T}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item %Ce graphe est-il complet ? Est-il connexe ? Justifier les réponses.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Ce graphe n'est pas complet : pas d'arête entre A et B.
\item Ce graphe est connexe car il existe au moins une chaîne entre deux sommets quelconques: la chaîne A - C - H - B - R - T contient tous les sommets.
\end{list}

\item %Un cycliste peut-il visiter tous les stands en empruntant une et une seule fois chacune des allées ? Justifier la réponse. Si oui, donner un trajet possible en précisant le stand de départ et celui d'arrivée.
Les degrés des sommets sont respectivement :

A : 4\quad  B : 2\quad C : 3 \quad H : 4 \quad R : 4\quad T : 3

Tous les sommets sont de degré pair sauf 2, donc ce graphe connexe admet, d'après le théorème d'Euler, une chaîne eulérienne.

Les sommets C et T de degré impair sont les extrémités de la chaîne; par exemple la chaîne : \\
C -- R -- T -- A -- H -- C -- A -- R -- B -- H -- T.

\end{enumerate}
 
%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Partie A

\medskip

La courbe (C) ci-dessous, associée à une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~19],
représente l'audience journalière d'une chaîne de télévision entre le 1\up{er} janvier 2000
(année numéro $0$) et le 1\up{er} janvier 2019 (année numéro $19$), c'est-à-dire le nombre
quotidien de téléspectateurs, en milliers.

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(-1,-60)(19,1000)
\multido{\n=0+1}{20}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,1000)}
\multido{\n=0+100}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(19,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy = 100]{->}(0,0)(0,0)(19,1000)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{19}{x dup mul 20 mul 80 x mul sub 460 add 2.71828 x 0.1 mul exp div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{4.25}{460 126 x mul sub}
\psdots(0,460)(3,82)
\end{pspicture}
\end{center}
Ainsi, le 1\up{er} janvier 2000 la chaîne a été regardée par environ 460 000 téléspectateurs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Décrire l'évolution de l'audience journalière de cette chaîne de télévision entre le 1\up{er} janvier 2000 et le 1\up{er} janvier 2019.
De 2000 à 2003, l'audience a baissé de \np{460000} à \np{300000} téléspectateurs, puis de 2003 à 2019 a régulièrement progressé à plus de \np{900000}~téléspectateurs.
\item %Donner une valeur approchée du nombre de téléspectateurs le 1\up{er} janvier 2014.
On lit en 2014 environ \np{800000}~téléspectateurs.
\item  %La droite (AB), où les points A et B ont pour coordonnées A(0 ; 460) et B(3 ; 82), est la tangente à la courbe (C) au point A.

%Déterminer la valeur de $f'(0)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ représentée par $(C)$.
$f'(0)$ nombre dérivé de la fonction en $0$ est le coefficient directeur de la droite (AB), soit :

$f'(0) = \dfrac{y_{\text{B}} - y_{\text{A}}}{x_{\text{B}} - x_{\text{A}}} = \dfrac{82 - 460}{3 - 0} = \dfrac{-378}{3} = - 126$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On cherche maintenant à prévoir l'évolution de l'audience de cette chaîne de télévision
lors des dix prochaines années.

On considère que le nombre journalier (exprimé en milliers) de téléspectateurs de la
chaîne est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~29] par:

\[f(x) = \left(20x^2 - 80x + 460\right)\text{e}^{-0,1x}.\]

où $x$ représente le nombre d'années depuis 2000 (par exemple $x = 19$ pour l'année
2019).

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner une valeur approchée au millier du nombre de téléspectateurs de lachaîne le 1\up{er} janvier 2014.
2014 correspond à $x = 14$. D'où $f(14) = \left(20\times 14^2 - 80\times 14 + 460\right)\text{e}^{-0,1\times 14} \approx 803,906$ soit 804 milliers de téléspectateurs à un millier près.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~29].
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $f'$ est définie par:
$f$ est le produit de fonctions dérivables sur $\R$, donc sur [0~;~29] et sur cet intervalle :

$f'(x) = (2 \times 20x - 80)\text{e}^{-0,1x} +\left(20x^2 - 80x + 460\right)(-0,1)\text{e}^{-0,1x}\\
\phantom{f'(x)} = \left(40x - 80 - 2x^2 + 8x - 46 \right)\text{e}^{-0,1x} = \left(-2x^2 + 48x - 126 \right)\text{e}^{-0,1x}$.

\emph{Rem.} On peut vérifier que $f'(0) = - 126$ (cf. question \textbf{3.} de la partie A.)
		\item On considère l'équation : $-2x^2 + 48x - 126 = 0$.
		
$-2x^2 + 48x - 126 = 0 \iff - x^2 + 24x - 63 = 0$.

Pour ce trinôme : \\
$\Delta = 24^2  -4 \times (- 1) \times (- 63) = 576 - 252 = 324 = 4 \times 81 = 2^2 \times 9^2 = (2 \times 9)^2 = 18^2$.

$\Delta > 0$, donc l'équation du second degré a deux solutions :

\[x_1 = \dfrac{- 24 + 18}{2\times (- 1)} = 3\quad \text{et }\quad x_2 =  \dfrac{-24 - 18}{2\times (- 1)} = 21.\]

		
%Un logiciel de calcul formel donne:
%Instruction: Résultat:
%SolveC- 2x2 + 48x - 126 = 0) 3 et 21
%Retrouver ce résultat par le calcul.

		\item %En déduire le signe de f'(x) sur l'intervalle [0~;~29] et construire le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~29]. Arrondir les éléments du tableau à l'unité.
		
On sait que le trinôme est du signe de $a = - 1$ donc négatif sauf sur [3~;~21], où $f(x) \geqslant 0$.

La fonction est donc décroissante sauf sur l'intervalle [3~;~21] où elle est croissante.

On a $f(0) = 460$; $f(3) \approx 296$; $f(21) \approx 931$ et $f(29) \approx 826$. D'où le tableau de variations :

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7,3)
%\psframe(7,3)\psline(1,0)(1,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)
%\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){$0$} \uput[u](3,2.4){$3$} \uput[u](5,2.4){$21$} \uput[u](6.8,2.4){$29$}
%\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2,2.25){$-$}\rput(3,2.25){$0$}\rput(4,2.25){$+$}\rput(5,2.25){$0$}\rput(6,2.25){$-$} 
%\psline{->}(1.5,1.5)(2.5,0.5)\psline{->}(3.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(6.5,0.5)
%\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[d](1.3,2){460}\uput[u](3,0){296}\uput[d](5,2){931}\uput[u](6.7,0){826}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & 0 & \esp & 3 & \esp & 21 & \esp & 29 \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
  &   \Rnode{max1}{460} & &  & & \Rnode{max2}{931} & & \\
f (x) & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & & & \Rnode{min1}{296} & & & & \Rnode{min2}{826}  \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min1} 
\ncline{->}{min1}{max2}
\ncline{->}{max2}{min2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

		\item %Le nombre journalier de téléspectateurs de cette chaîne de télévision
%dépassera-t-il la barre du million avant l'année 2029 ? Justifier.
Le tableau de variations de la fonction $f$ montre que le maximum de téléspectateurs est de 931 milliers en 2021 ; la barre du million ne sera jamais atteinte entre 2000 et 2029.
 	\end{enumerate}
\item  %Montrer que l'équation $f(x) = 800 admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle
%[3~;~21]. Déterminer un encadrement d'amplitude 1 de $\alpha$.
On a vu que sur l'intervalle [3~;~21] la fonction est strictement croissante de $f(3) \approx 296$ à $f(2) \approx 931$, elle est continue sue cet intervalle donc d'après la propriété des valeurs intermédiaires comme $296 < 800 < 931$, il existe un réel unique $\alpha \in ]3~;~21[$ tel que $f(\alpha) = 800$.

La calculatrice donne $f(13) \approx 763$ et $f(14) \approx 804$, donc $13 < \alpha < 14$.

%Au cours de quelle année le nombre journalier de téléspectateurs de la chaîne
%de télévision dépassera-t-il \np{800000} ?
Comme à peu près \np{803000} téléspectateurs regarderont la chaîne le 1\up{er} janvier 2014, le nombre de \np{800000} sera atteint à la fin de la 13\ieme{} année; soit en 2013.
\item  %On admet que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0; 29] par: F(x) = e -200x2 - 3200x - 36 600)e-O,lX est une primitive de la fonction $f$.
	
%Déterminer à mille près l'audience journalière moyenne de téléspectateurs de
%la chaîne de télévision entre le 1\up{er} janvier 2018 et le 1\up{er} janvier 2019.
L'audience journalière moyenne de téléspectateurs de
la chaîne de télévision entre le 1\up{er} janvier 2018 et le 1\up{er} janvier 2019 est égale, en milliers, à la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[18~;~19]$.
C'est-à-dire:

$\dfrac{1}{19 - 18}\displaystyle\int_{18}^{19} f(x)\:\text{d}x = \left [F(x)\strut\right ]_{18}^{19} = F(19) - F(18)\\
\vphantom{\dfrac{1}{19 - 18}\displaystyle\int_{18}^{19} f(x)\:\text{d}x }\qquad
= \left(-200\times 19^2 - 3200 \times 19 - \np{36600}\right)\text{e}^{-0,1 \times 19} - \left[\left(-200\times 18^2 - 3200 \times 18 - \np{36600}\right)\text{e}^{-0,1 \times 18} \right]\\
{}\qquad
  \approx 915,7$

L'audience journalière moyenne est d'environ \np{916000} téléspectateurs. 
\end{enumerate}

\end{document}