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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES  } 
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small novembre 2008} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}
\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Sud 
 novembre 2008~\decofourright}
\end{center} 

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte.
%
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
% 
%Aucune justification n'est demandée.
%  
%\emph{Barème : pour chaque question, une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève de point. Si la somme des points de cet exercice est négative, la note est ramenée à $0$.}
  
\medskip
  
%\parbox{0.4\linewidth}{Les deux parties sont indépendantes.
% 
%\medskip

\textbf{Première partie}
\begin{enumerate}
\item La tangente en $x = 3$ est horizontale donc $f'(3) = 0$.
\item Si $F$ est une primitive de $f$, alors $F'(x) = f(x)$. Un extremum de $F$ correspond à une annulation de sa dérivée donc de $f(x)$. Or $f$ s'annule en 0 et en 4,5 ; mais sur $[-1~;~4,5]$, \: $f(x) \geqslant 0$, donc la fonction $F$ est croissante et n'a pas d'extremum. Le seul extremum est donc en 4,5 et la fonction passant de plus à moins, donc $F$ est croissante puis décroissante : $F(4,5)$ est donc un maximum. 

\end{enumerate}

%\medskip
%
%Dans cette partie, on considère la courbe	représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-1~;~5]$ (voir ci-contre). On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
%
%\textbf{1.}  On peut affirmer que :
%\setlength\parindent{10mm} 
%\begin{itemize}
%\item[] Réponse A : $f'(4,5) = 0$ ;
%
%\item[] Réponse B : $f'(3) = 0$ ;
%
%\item[] Réponse C : $f'(3) = 4,5$.
%\end{itemize}}\hfill
%\parbox{0.55\linewidth}{\psset{xunit=1.1cm,yunit=0.8cm}\begin{pspicture}(-1.1,-4.5)(5.5,5) 
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange](-1,-4)(5,5)
%\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-1,-4.)(5.,5)
%\psplot[plotpoints=300,linewidth=1.5pt, linecolor=blue]{-1}{5}{x 2 exp 9 2 x mul sub mul 6 div}
%\psline[linewidth=2pt]{<->}(2.25,4.5)(3.75,4.5) 
%\psline[linewidth=0.43pt](2.25,4.5)(0,4.5)\psline[linewidth=2pt]{<->}(-0.75,0)(0.75,0)
%\uput[l](0,4.5){4,5} \uput[dl](4.6,0){4,5}
%\uput[d](4.9,0){$x$} \uput[l](-0.1,4.9){$y$}
%\end{pspicture}}
%
%\medskip

%\textbf{2.}  Soit $F$ une primitive sur l'intervalle $[-1~;~5]$ de la fonction $f$.  Alors : 
%\setlength\parindent{10mm} 
%\begin{itemize}
%\item[] Réponse A : $F$ est décroissante sur l'intervalle $[3~;~4,5]$ ;
%
%\item[] Réponse B : $F$ présente un minimum en $x = 0$ ; 
% 
%\item[] Réponse C : $F$ présente un maximum en $x = 4,5$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

%On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $\left]- \infty~;~- \dfrac{1}{3}\right[$	par
% 
%\[ h(x) = 9 + \ln \left(\dfrac{3x + 1}{x - 2} \right).\]
%
%\setlength\parindent{10mm} 

\begin{enumerate}
\item  %Dans un repère orthogonal du plan, la courbe représentative de la fonction $h$ admet pour asymptote la droite d'équation :

%\begin{itemize}
%\item[] Réponse A : $y = 9$ ;
%\item[] Réponse B : $y = - \dfrac{1}{3}$ ; 
%\item[] Réponse C : $y = 9 + \ln (3)$.
%\end{itemize}
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\dfrac{3x + 1}{x - 2} =  \displaystyle\lim_{x \to - \infty}\dfrac{x + \frac{1}{3}}{1 - \frac{2}{x}} = 3$, donc 
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\ln \left(\dfrac{3x + 1}{x - 2} \right) = \ln 3$.

Donc la droite d'équation $y = 9 + \ln (3)$ est asymptote horizontale au voisinage de moins l'infini.
\item  %Parmi les expressions suivantes de $h(x)$, l'une d'elles est fausse, laquelle ? 
 
%\begin{itemize}
%\item[]Réponse A : $h(x) = 9 + \ln(3x + 1) - \ln(x - 2)$ ;
%\item[]Réponse B : $h(x) = 9+ \ln \left(3 +\dfrac{7}{x - 2}\right)$ ;
%\item[]Réponse C : $h(x) = 9 - \ln \left(\dfrac{x -2}{3x + 1} \right)$.
%\end{itemize}
La première $h(x) = 9 + \ln(3x + 1) - \ln(x - 2)$ est fausse : on aurait d'après celle-ci par exemple :

$h(- 1) = 9 + \ln (- 2) - \ln (- 1)$, or $\ln (- 2)$ n'existe pas.
\end{enumerate}
\setlength\parindent{0mm} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Suite à une panne technique, un distributeur de boissons ne tient aucun compte de la commande faite par le client.
% 
%Cette machine distribue soit un expresso, soit du chocolat, soit du thé en suivant une programmation erronée.
%  
%Chaque boisson peut être sucrée ou non. 
%
%\setlength\parindent{10mm}    
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  La probabilité d'obtenir un expresso est $\dfrac{1}{2}$.
%\item[$\bullet~$]  La probabilité d'obtenir un thé sucré est $\dfrac{2}{9}$ .
%\item[$\bullet~$]  Si l'on obtient un expresso, la probabilité qu'il soit sucré est $\dfrac{5}{9}$.
%\item[$\bullet~$]  Si l'on obtient un chocolat, la probabilité qu'il soit sucré est $\dfrac{1}{3}$.
%\item[$\bullet~$]  La probabilité d'obtenir une boisson sucrée est $\dfrac{5}{9}$
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%
%On pourra considérer les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{10mm} 
%$T$ : \og On a obtenu un thé \fg. 
% 
%$E$ : \og On a obtenu un expresso \fg.
% 
%$C$ : \og On a obtenu un chocolat \fg.
% 
%$S$ : \og La boisson obtenue est sucrée \fg.
%\setlength\parindent{0mm} 
 
\begin{enumerate}
\item  ~%Construire un arbre probabiliste modélisant la situation.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$E$~}\taput{$\frac{1}{2}$}}
	{\TR{$S$}\taput{$\frac{5}{9}$}
	\TR{$\overline{E}$}\tbput{$\frac{4}{9}$}
	}
\pstree{\TR{$T$~}\taput{$$}}
	{\TR{$S$}\taput{}
	\TR{$\overline{E}$}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{$C$~}\tbput{$$}}
	{\TR{$S$}\taput{$\frac{1}{3}$}
	\TR{$\overline{E}$}\tbput{$\frac{2}{3}$}
	}
}
\end{center}

\medskip

\item  %Calculer la probabilité d'obtenir un espresso sucré.
On a $p(E \cap S) = p(E) \times p_E(S) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{5}{18}$.
\item  %Démontrer que la probabilité d'obtenir un chocolat sucré est $\dfrac{1}{18}$.
D'après la formule des probabilités totales, les évènements $E,\:C$ et $T$ formant une partition de l'univers, on a:

$p(S) = p(E \cap S)  + p(T \cap S) + p(C \cap S) \iff \dfrac{5}{9} = \dfrac{5}{18} + \dfrac{2}{9} + p(C \cap S) \iff p(C \cap S) = \dfrac{10  - 5 - 4}{18} = \dfrac{1}{18}$.
\item  %En déduire la probabilité d'obtenir un chocolat.
Donc $p(C \cap S)  = \dfrac{1}{18} \iff p(C) \times p_C(S) = \dfrac{1}{18}\iff p(C) = \dfrac{\frac{1}{18}}{p_C(S)} = \dfrac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{6}$.
\item  %Une personne obtient une boisson sucrée.

%Quelle est la probabilité que cette boisson soit un thé ?
Il faut trouver $p_S(T) = \dfrac{p(S \cap T)}{p(S)} = \dfrac{\frac{2}{9}}{\frac{5}{9}} = \dfrac{2}{5}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Laurent s'occupe de distribuer le courrier dans les bureaux d'une grande entreprise.
%
%Le graphe ci-dessous représente les différents parcours qu'il peut faire pour distribuer le courrier dans les bureaux A, B, C, D, E, F et G.
% 
%Le poids de chaque arête indique le nombre d'obstacles (portes, escaliers, machines à café... ) qui nuisent à la distribution du courrier.
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(7,7)
%\cnodeput(1.8,6.5){A}{A} \cnodeput(0.7,4.5){B}{B}
%\cnodeput(2.2,1.1){C}{C} \cnodeput(3.1,4.5){D}{D}   
%\cnodeput(5.6,5.9){E}{E} \cnodeput(6,4){F}{F}
%\cnodeput(4.6,2.7){G}{G}
%\ncarc{A}{B} \ncput*{5}  \ncarc{A}{E} \ncput*{6}
%\ncarc{A}{D} \ncput*{10} \ncarc{C}{B} \ncput*{5} 
%\ncarc{C}{D} \ncput*{7} \ncarc{C}{G} \ncput*{3}
%\ncarc{G}{F} \ncput*{2} \ncarc{D}{F} \ncput*{1}
%\ncarc{D}{E} \ncput*{3}  \ncarc{F}{E} \ncput*{5} 
%\ncarc{D}{G} \ncput*{4} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Laurent se voit confier par le bureau A un colis à livrer au bureau G. 
%
%Indiquer un parcours qui permette à Laurent de partir du bureau A pour arriver au bureau G en rencontrant le minimum d'obstacles.
On utilise l'algorithme de Dijskra :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&A	&B		&C		&D		&E		&F		&G		\\ \hline
		&	&5, A	&		&10, A	&6, A	&		&		\\ \hline
B, 5	&	&		&10, B	&		&		&		&		\\ \hline
E, 6	&	&		&		&9, E	&		&11, E	&		\\ \hline
D, 9	&	&		&16, D	&		&		&10, D	&13, D	\\ \hline
C, 10	&	&		&		&		&		&		&13, C	\\ \hline
F, 10	&	&		&		&		&		&		&12, F	\\ \hline
G, 12	&	&		&		&		&		&		&		\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

Le chemin comportant le moins d'obstacles est donc : A--E--D--F--G : 12 obstacles.
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Pris par le temps, il n'est pas rare de voir Laurent oublier de livrer le courrier du matin !
%
%On considère que :
%
%\setlength\parindent{10mm}  
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Si Laurent a distribué le courrier du matin un certain jour, la probabilité qu'il y pense le lendemain est de $0,7$.
%\item[$\bullet~$] Si Laurent a oublié de distribuer le courrier du matin un certain jour, la probabilité pour qu'il oublie à nouveau le lendemain est de $0,8$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%
%Le lundi matin 1\up{er} octobre, Laurent a bien distribué le courrier.
%
%On note $a_{n}$ la probabilité que Laurent distribue le courrier le $n$-ième jour de travail (on considère donc que le lundi 1\up{er} octobre est le premier jour et que $a_{1} = 1$).
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Traduire les données de cet exercice à l'aide d'un graphe probabiliste. Préciser la matrice de transition associée à ce graphe.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(7,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.1cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu,arrowsize=3pt 2}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{D}}}}
\cnodeput(6.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{$\overline{\text{D}}$}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.8}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.8}}
\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B} 
\ncarc[arcangle=20]{->}{B}{A}
\rput(3.5,1.75){$0,3$}\rput(0,1){$0,7$}\rput(7.2,1){$0,8$}
\rput(3.5,0.25){$0,2$} 
\end{pspicture}
\end{center}

La matrice de transition est donc $M = \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,2&0,8\end{pmatrix}$.
\item 	%Démontrer que, pour tout $n \geqslant 1$, on a : $a_{n+1} =  0,5 a_{n} + 0,2$.
Avec $P_n = \begin{pmatrix} a_n&1 - a_n\end{pmatrix}$ matrice de l'état à l'étape $n$ ($n$-ème jour de travail avec la relation matricielle $P_{n+1} = P_nM$, on obtient :

$a_{n+1} = 0,7a_n + 0,2\left(1 - a_n \right) = 0,5a_n + 0,2$.
\item 	%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie, pour tout $n \geqslant 1$, par $u_{n} = a_{n} - 0,4$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$. Calculer son premier terme.
Pour tout $n \geqslant 1$, \:$u_{n+1} = a_{n+1} - 0,4 = 0,5a_n + 0,2 - 0,4 = 0,a_n - 0,2 = 0,5\left(a_n - 0,4\right) = 0,5u_n$.

La relation $u_{n+1} = 0,5u_n$ montre que la suite 	$\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $u_1 = a_1 - 0,4 = 1 - 0,4 = 0,6$.	
		\item  %En déduire, pour tout $n \geqslant 1$, la valeur de $a_{n}$ en fonction de $n$.
On a donc pour tout $n \geqslant 1$, \: $u_n = u_1 \times 0,5^{n-1} = 0,6 \times 0,5^{n-1}$.

Or $u_{n} = a_{n} - 0,4 \iff a_n = u_n + 0,4$, donc $a_n = 0,4 +  0,6 \times 0,5^{n-1}$.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
	
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Depuis 1997, une collectivité territoriale s'intéresse à la quantité annuelle de déchets recyclés, en particulier l'aluminium.
%
%En 2008, cette collectivité dispose des données suivantes :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année								&1997	&1999	&2001		&2003		&2005\\ \hline
%Rang de l'année $x_{i}$				&	0	&2		&4			&6			&8\\ \hline
%Aluminium recyclé (en tonnes) $y_{i}$&	300	&850	&\np{1100}	&\np{1350}	&\np{1400}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %On a représenté ci-dessous le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal du plan.

%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.005cm}
%\begin{pspicture}(8.5,1600)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=200]{->}(0,0)(8.5,1600)
%\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](0,300)(2,850)(4,1100)(6,1350)(8,1400)
%\uput[u](8,0){$x$} \rput{90}(0.25,1500){tonnes}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.
		La calculatrice donne $y = 135x + 460$.
		\item %À l'aide de cet ajustement, estimer la quantité d'aluminium qui sera recyclée en 2008.
2008 correspond au rang $x = 11$, d'où un estimation de la quantité d'aluminium recyclé : $y = 135 \times 11 + 460 = \np{1945}$~(tonnes).
	\end{enumerate}
\item %Un responsable affirme que l'augmentation annuelle moyenne entre 2003 et 2005 a été d'environ 1,8\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier ce taux de 1,8\,\%.
Si $t$ est ce pourcentage d'augmentation moyen de 2003 à 2005, on a :

$(1 + t)^2 = \dfrac{\np{1400}}{\np{1350}} \iff 1 + t = \sqrt{\dfrac{\np{1400}}{\np{1350}}} \approx 1,0183$, d'où $t \approx 1,83 \approx 1,8\,\%$ au dixième près : le responsable a raison.
		\item %En utilisant ce taux, estimer, à une tonne près, la quantité d'aluminium qui sera recyclée en 2008.
En partant de 2005, on obtiendra avec ce taux de 1,8\,\% en 2008 :

$1400 \times 1,018^3 \approx \np{1476,97} \approx \np{1477}$.
		\item %Avec cette méthode, en quelle année peut-on estimer que plus de \np{1600}~tonnes d'aluminium seront recyclées ?
Il faut trouver $n$ entier tel que :

$\np{1400} \times 1,018^n > \np{1600} \iff 1,018^n > \dfrac{\np{1600}}{\np{1400}} \iff n \ln 1,018 > \ln \left(\dfrac{\np{1600}}{\np{1400}} \right) \iff  $

$n \ln 1,018 > \ln \left(\dfrac{8}{7}\right) \iff n > \dfrac{\ln \left(\frac{8}{7}\right)}{\ln 1,018}$.
Or $\dfrac{\ln \left(\frac{8}{7}\right)}{\ln 1,018} \approx 7,4$. Il faut prendre $n = 8$ donc attendre l'année 2013.		
		\end{enumerate}
		
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
\medskip
		
%En janvier 2008 sont publiés les résultats de l'année 2007. La quantité d'aluminium recyclé en 2007 est de \np{1500}~tonnes. Lorsque ce résultat paraît, une réunion des responsables de la collectivité est organisée pour ajuster les prévisions. Lequel des deux modèles précédents semble-t-il le plus adapté ?
2007 correspond au rang $x = 10$.

$\bullet~~$Avec l'ajustement affine la prévision pour 2007 est de 
$135 \times 10 + 460 = \np{1350} + 460 = \np{1810}$.

$\bullet~~$Avec une augmentation annuelle de 1,8\,\% la prévision pour 2007 est de 
$\np{1400} \times 1,018^2 \approx \np{1450,8} \approx \np{1450}$.

Conclusion : l'augmentation annuelle de 1,8\,\% semble la plus vraisemblable.
\end{enumerate}
		
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

%\medskip
%
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
%
%\[ f(x) = (8x + 6) \text{e}^{- 0,8 x}.\]
%
%On admet que la dérivée $f'$ de $f$ est donnée pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : $f'(x) = (-6,4x+3,2)\text{e}^{ - 0,8x}$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Donner une interprétation graphique de cette limite.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - 0,8x = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{X \to - \infty} \text{e}^{X} = 0$.

Or $f(x)  = 8x\text{e}^{- 0,8 x} + 6\text{e}^{- 0,8 x}$.

$8x\text{e}^{- 0,8 x} = - 10 \times (-0,8x) \text{e}^{- 0,8 x} = - 10 X \text{e}^{X}$ en posant $X = - 0,8x$.

or on sait que $\displaystyle\lim_{X \to -  \infty} X \text{e}^{X} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{X \to -  \infty}- 10 \times (-0,8x) \text{e}^{- 0,8 x}  = 0$ d'où finalement par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

Géométriquement ce résultat montre que l'axe des abscisses est asymptote à représentation graphique de la fonction $f$ au voisinage de plus l'infini.
\item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

%Dresser son tableau de variation.
La fonction est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = 8\text{e}^{- 0,8 x} + (8x + 6) \times ( - 0,8)\text{e}^{- 0,8 x} = \text{e}^{- 0,8 x}(8 - 6,4x - 4,8) = $

$(3,2 - 6,4x)\text{e}^{- 0,8 x} = 3,2(1 - 2x)\text{e}^{- 0,8 x}$.

Comme $3\text{e}^{- 0,8 x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - 2x$.

$\bullet~~$$1 - 2x > 0 \iff 1 > 2x  \iff x < \dfrac{1}{2}$, la dérivée est positive, la fonction $f$ est croissante de $f(0) = 6$ à $f\left(\frac{1}{2} \right) = (4 + 6)\text{e}^{-0,4} = 10\text{e}^{-0,4} \approx 6,7$.

$\bullet~~$$1 - 2x < 0 \iff 1 < 2x  \iff x > \dfrac{1}{2}$, la dérivée est négative, la fonction $f$ est décroissante de $f\left(\frac{1}{2} \right) = 10\text{e}^{-0,4}$ à 0 (limite en plus l'infini.

$\bullet~~$$1 - 2x = 0 \iff 1 = 2x  \iff x = \dfrac{1}{2}$ : $f\left(\frac{1}{2} \right)  = 10\text{e}^{-0,4}$ est le maximum de la fonction sur $[0~;~+ \infty[$.
\item %Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
Sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~+ \infty\right[$, la fonction $f$ est continue car dérivable, strictement décroissante d'environ 6,7 à 0 ; d'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un réel $\alpha$ unique de cet intervalle tel que $f(\alpha) = 1$.

La calculatrice donne :

$f(4) \approx 1,5$ et $f(5) \approx 0,8$, donc $4 < \alpha < 5$ ;

$f(4,7) \approx 1,02$ et $f(4,8) \approx 0,95$, donc $4,7 < \alpha < 4,8$.
\item %Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par \[F(x) = - 10(x + 2)\text{e}^{ -0,8x}\] est une primitive de la fonction $f$.
$F$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et sur cet intervalle :

$F'(x) = - 10\text{e}^{ -0,8x} - 10(x + 2)\times (- 0,8)\text{e}^{ -0,8x} = \text{e}^{ -0,8x}(- 10 + 8x + 16) = (8x + 6)\text{e}^{ -0,8x} = f(x)$ : donc $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~ +\infty[$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
%
%L'objet de cette partie est d'étudier les ventes d'un nouveau baladeur numérique.
%
%On considère que le nombre de baladeurs numériques vendus par un fabricant à partir du début des ventes jusqu'au temps $t$ est donné par \[B(t) = \int_{0}^t f(x)\:\text{d}x.\]
%
%Le temps $t$ est exprimé en année, le début des ventes (correspondant à $t = 0$) étant le 1\up{er} janvier 2000.
% 
%Le nombre de baladeurs numériques est exprimé en centaines de milliers.
%
%À l'aide de la partie A, décrire l'évolution du rythme des ventes au cours des années. En quelle année le nombre de baladeurs vendus dans le courant de l'année est-il devenu inférieur à \np{100000} ?
D'après la partie A, l'aire de la surface limitée par la représentation graphique de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = t$ est égale au nombre de baladeurs vendus au bout de $t$ années.

Avec la calculatrice on peut dresser le tableau suivant  avec 

$B(t) = \int_{0}^t f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_0^t = $
$- 10(t + 2)\text{e}^{- 0,8t} - \left[- 10(0 + 2)\text{e}^{- 0,8\times 0} \right] = - 10(t + 2)\text{e}^{- 0,8t}  + 20 = $

$10 \left[2 -  (t + 2)\text{e}^{- 0,8t}\right]$:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ (années)&$B(t)$&$B(t+1) - B(t)$\\ \hline
1&\np{652013}&\np{652013}\\ \hline
2&\np{1192414}&\np{540401}\\ \hline
3&\np{1546410}&\np{353996}\\ \hline
4&\np{1755427}&\np{209017}\\ \hline
5&\np{1871791}&\np{116374}\\ \hline
6&\np{1934162}&\np{62371}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On constate donc que la sixième année le nombre de baladeurs vendus dans l'année va pour la première fois être inférieur à \np{100000}. 

On peut remarquer que le nombre total de baladeurs produits va être inférieur à 2 millions limite de la fonction $B$ en plus l'infini.
\end{document}