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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 16 novembre 2011}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Sud~\decofourright\\[4pt]16 novembre 2011} 
\end{center} 

\bigskip
 
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]- \infty~;~ 3[$.
% 
%On note $u'$ la dérivée de $u$. 
%
%On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{u}$ représentant la fonction $u$.
% 
%L'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 3$ sont deux asymptotes à $\mathcal{C}_{u}$.
% 
%La droite d'équation $y = \text{e}$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{u}$ en son point d'abscisse $1$.
% 
%La courbe $\mathcal{C}_{u}$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $- 1$ et lui est tangente au point d'abscisse $2$. 
%
%\medskip
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-5,-1)(4,7)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-5,-1)(4,7)
%\psaxes[labelsep=.75mm,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-5,-1)(4,7)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
%\psset{linecolor=blue,linewidth=1.25pt}
%\psbezier(-5,-0.08)(-2.5,-0.1)(-1.2,-.5)(-1,0)(-.6,1)(0.15,2.71828)(1,2.71828)(1.6,2.71828)(1.5,0.07)(2,0)(2.2,0)(2.6,0)(2.8,7)
%\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](3,-1)(3,7)
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,2.71828)(1,2.71828)
%\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0.5,2.71828)(1.5,2.71828)
%\rput(2.4,6.5){$\mathcal{C}_{u}$}
%\uput[l](0,2.71828){\footnotesize{$y = \mathrm {e}$}}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\emph{Cet exercice est un \og Vrai-Faux \fg. Voici huit affirmations. 
%Pour chacune d'entre elles, indiquer si elle est vraie ou fausse. On ne demande aucune justification.\\ 
%Chaque bonne réponse apporte $0,5$ point.} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $u'(1) = \text{e}$ est faux ; on a  $u'(1) = 0$ (tangente horizontale)
		\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} u(x) = 0$. Vraie   
		\item $\displaystyle\lim_{x \to 3} u(x) = + \infty$. Vraie
		\item L'équation $u(x) = 1$ admet exactement trois solutions. Vraie
	\end{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]-1~;~2[$ telle que $f = \ln(u)$.
 
On note $f'$ sa fonction dérivée.

On a donc $f'(x) = \dfrac{u'}{u}$.
	\begin{enumerate}
		\item Sur l'intervalle $]- 1~;~0[,\: f$ change de signe. $x$ varie de $- 1$ exclu à 0, donc $u$ varie de 0 à 2 ; donc $\ln u$ varie de $- \infty$ à $\ln (2) > 0$ en passant par $\ln 1 = 0$, donc effectivement en changeant de signe. Vraie. 
		\item $f^{\prime}(1) = \dfrac{1}{\text{e}}$. $f'(1) = \dfrac{u'(1)}{u(1)} = 0$. Fausse.
		\item L'équation $f(x) = 2$ n'admet aucune solution. $f(x) = 2 \iff \ln u = 2 \iff u = \text{e}^2 \approx 7,4 > 2$. Vraie
		\item $\displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = 0$. Fausse on a vu que  $\displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = - \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Dans un cadre économique, on appelle fonction de satisfaction une fonction $f$ définie et dérivable sur une partie de $\R$ et à valeurs dans l'intervalle [0~;~100].
% 
%On dit qu'il y a \og saturation\fg{} lorsque la fonction de satisfaction prend la valeur $100$.
% 
%La fonction $v$, dérivée de la fonction $f$, est appelée fonction \og envie \fg. On a donc $v = f^{\prime}$. 
%
%On dit qu'il y a \og envie \fg{} lorsque $v$ est positive, sinon on dit qu'il y a \og rejet \fg.
% 
%Charlotte doit rédiger un mémoire de recherche. Elle souhaite connaître la durée quotidienne de travail qui lui convient le mieux, sachant qu'elle a la possibilité d'y consacrer entre $0$ et $8$ heures par jour. En début de journée, elle est de plus en plus efficace, mais après un certain temps sa productivité ne la satisfait plus.
% 
%Elle modélise son taux de satisfaction en fonction du nombre d'heures $x$ passées quotidiennement à travailler.
% 
%La courbe représentant sa satisfaction $f$ est donnée ci-dessous.
% 
%La tangente à cette courbe au point d'abscisse $4$ est parallèle à l'axe des abscisses.
% 
%La courbe passe par l'origine du repère et la tangente en ce point passe par le point de coordonnées (1~;~50). 
%
%\medskip
%\psset{xunit=1cm,yunit=0.05cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-0.9,-15)(9,110)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=20,Ox=0]{->}(0,0)(-0.9,-15)(9,110)
%\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,110)}
%\multido{\n=0+20}{6}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)}
%%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.25pt]
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{6.25 x mul 8 x sub mul}
%\psplot{0}{1.3}{50 x mul }
%\psline[linestyle=dashed](0,50)(1,50)(1,0)
%\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(3,100)(5,100)
%\uput[u](9,0){$x$}\uput[l](0,110){$y$}
%\uput[l](0,50){50}\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item 

Par lecture graphique répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item %Pour quelle durée de travail quotidien y a-t-il \og saturation\fg ?
Il n'y a saturation que pour $x = 4$~heures de travail quotidiennes. 
		\item %Sur quel intervalle y a-t-il \og envie \fg{} ? 
La fonction est croissante, donc il y a envie sur [0~;~4[.
		\item %Sur quel intervalle y a-t-il \og rejet \fg{} ?
La fonction est décroissante, donc il y a rejet  sur l'intervalle ]4~;~8].
		\item %Donner $v(4)$. 
$v(4) = f'(4) 0$
	\end{enumerate} 
\item %On admettra que la fonction $v$ est ici une fonction affine définie sur l'intervalle [0~;~8]. 

%Expliquer pourquoi son expression est : $v(x) = - \dfrac{25}{2}x + 50$.
On a donc $v(x) = ax + b$ avec $a \in \R$ et $b \in \R$.

Mais $v = f'$ signifie que $f$ est une primitive de $v$.

Donc $f(x) = a\dfrac{x^2}{2} + bx  + c$, avec $c \in \R$.

Or $f(0) = 0 \iff c = 0$ ;

$f(4) = 100 \iff 8a + 4b = 100$ et 

$f(8) = 0 \iff 32a + 8b = 0$. Donc:

$\left\{\begin{array}{l c l}
8a + 4b &=& 100\\
32a + 8b &=& 0
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
16a + 8b &=& 200\\
32a + 8b &=& 0
\end{array}\right. \Rightarrow (\text{par différence})$

$ 16a = - 200 \iff a = - \dfrac{25}{2}$, puis $4b = 100 - 8a = 100 + 100 = 200 \iff b = 50$.

Finalement $v(x) = - \dfrac{25}{2}x + 50$.
\item %Sachant que $f(0) = 0$, déterminer $f(x)$ pour $x \in [0~;~8]$.
On a donc $f(x) = - \dfrac{25}{2}\dfrac{x^2}{2}  + 50x$


\item %En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles la satisfaction prend la valeur $75$.
Équation : $f(x) = 75 \iff - \dfrac{25}{2}\dfrac{x^2}{2}  + 50x = 75 \iff - 25x^2 +  200x = 300 \iff $

$-25x^2 + 200x - 300 = 0 \iff x^2 - 8x + 12 = 0$

Résolvons cette équation du deuxième degré : 
$\Delta = 64 - 48  = 16  = 4^2 > 0$.

Cette équation a donc deux solutions :

\[\dfrac{8 + 4}{2} = 6\quad \text{et}\quad  \dfrac{8 - 4}{2} = 2\]

Les 75\,\% de satisfaction sont atteints pour $x = 2$ et $x = 6$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\emph{Dans tout cet exercice on donnera la valeur exacte de chaque résultat.}
%
%\medskip
% 
%Grâce à un système de détecteur, une borne de péage automatique peut délivrer des tickets à deux hauteurs différentes selon le véhicule détecté afin que le conducteur ne soit pas obligé de sortir pour le saisir :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] s'il s'agit d'une voiture, d'une moto ou d'une camionnette, le ticket sort en bas; 
%\item[$\bullet~~$] s'il s'agit d'un camion, le ticket sort en haut.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%La société d'autoroute a modélisé le fonctionnement défectueux du détecteur de l'une de ces bornes :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] lorsqu'un camion passe, il n'est correctement détecté que deux fois sur trois; 
%\item[$\bullet~~$] lorsqu'un autre type de véhicule passe, son conducteur est contraint d'en sortir pour saisir son ticket une fois sur quatre.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On estime qu'à cette borne de péage 60\:\% des véhicules sont des camions. On considère les évènements suivants :
% 
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] C	:	\og Le véhicule qui se présente est un camion \fg 
%\item[$\bullet~~$] H	: 	\og Le ticket sort en haut \fg 
%\item[$\bullet~~$] B 	: 	\og Le ticket sort en bas \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Notation : pour tout évènement E et tout évènement F de probabilité non nulle, on note $p$(E) la probabilité de l'évènement E et $p_{\text{F}}(\text{E})$ la probabilité conditionnelle de E sachant F.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Donner les probabilités : $p$(C) ;
$p(C) = 0,60$ ;

 $p_{\overline{C}}(H) = \dfrac{2}{3}$ et $p_{\overline{C}}(B) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$. 
\item ~%Construire un arbre probabiliste présentant la situation. 
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~}\taput{0,6}}
		{\TR{$H$}\taput{$\frac{2}{3}$}
		\TR{$B$}\tbput{$\frac{1}{3}$}
		}
\pstree{\TR{$\overline{C}$~}\tbput{0,4}}
		{\TR{$H$}\taput{$\frac{1}{4}$}
		\TR{$B$}\tbput{$\frac{3}{4}$}
		}

}
\end{center}
\bigskip

\item %Calculer la probabilité que le ticket sorte en haut.
$p(H) = p(C \cap H) + p\left(\overline{C} \cap H\right) = 0,6 \times \frac{2}{3} + 0,4 \times \frac{1}{4} = 0,4 + 0,1 = 0,5$.
\item %Montrer que la probabilité qu'un conducteur ne soit pas obligé de sortir de son véhicule pour saisir le ticket vaut $0,7$. 
On calcule $p(C \cap H) + p\left(\overline{C} \cap B\right) = 0,4 + 0,4 \times \frac{3}{4} = 0,4 + 0,3 = 0,7$.
\item %Trois véhicules se présentent l'un après l'autre à cette borne de péage défectueuse. On modélise cette situation comme un tirage avec remise. 

%Calculer la probabilité qu'au moins l'un des conducteurs soit contraint de descendre de son véhicule pour saisir son ticket.
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p = 1 - 0,7 = 0,3$ probabilité de sortir de son véhicule.

La probabilité qu’aucun des trois ne sortent du véhicule est $0,7^3 = 0,343$.

Donc la probabilité  qu'au moins l'un des conducteurs soit contraint de descendre de son véhicule pour saisir son ticket est égale à $1 - 0,343 = 0,657$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Franck Geek est adepte de jeux vidéo en ligne. Afin de préserver son temps de travail scolaire, il essaye de se modérer. Il constate que :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] s'il a joué un jour, la probabilité qu'il ne le fasse pas le lendemain est de $0,6$ ; 
%\item[$\bullet~~$] s'il n'a pas joué un jour, la probabilité qu'il joue le lendemain est de $0,9$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Le jour de la rentrée (premier jour), Franck a décidé de ne pas jouer.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité que Franck joue le deuxième jour ? 
La probabilité que Franck joue le deuxième jour est 0,9.		
		\item %Quelle est la probabilité qu'il ne joue pas le deuxième jour ?
La probabilité qu'il ne joue pas le deuxième jour est 0,1.
	\end{enumerate} 
\item %On note D l'évènement: \og Franck a joué \fg{} et E l'évènement : \og Franck a su résister \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Modéliser cette situation par un graphe probabiliste.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{D}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{E}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\rput(-0.15,1){0,4} \rput(5.2,1){0,1}
\rput(2.5,2){0,6} \rput(2.5,0){0,9}
\end{pspicture}
\end{center}  
		\item %Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe.
La matrice de transition $M$ associée à ce graphe est $M = \begin{pmatrix}0,4&0,6\\0,9&0,1\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $n$ un entier naturel non nul. Soient $D_{n}$ l'évènement : \og Franck a joué le $n$-ième jour \fg{} et $E_{n}$ l'évènement : \og Franck a su résister le $n$-ième jour \fg.
 
%L'état probabiliste lors du $n$-ième jour est alors donné par la matrice ligne $P_{n} = \left(d_{n} \quad  e_{n}\right)$ où $d_{n}$ désigne la probabilité de l'évènement $D_{n}$ et $e_{n}$ celle de l'évènement $E_{n}$.
 
%On a ainsi $P_{1} = (0 \quad  1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $P_{2}$.
$P_2 = P_1 \times M =  (0 \quad  1)\times  \begin{pmatrix}0,4&0,6\\0,9&0,1\end{pmatrix} = (0,9\quad 0,1)$.
		\item %Donner la relation liant $P_{n+1}$ et $P_{n}$.
$P_{n+1} = P_n \times \begin{pmatrix}0,4&0,6\\0,9&0,1\end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix}d_{n+1}&e_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}d_{n}&e_{n}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,4&0,6\\0,9&0,1\end{pmatrix}\iff$

$\left\{\begin{array}{l c l}
d_{n+1}&=&0,4d_n + 0,9e_n\\
e_{n+1}&=&0,6d_n + 0,1e_n
\end{array}\right.$

		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: d_{n+1} = - 0, 5d_{n} + 0,9$.
En particulier donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
d_{n+1}&=&0,4d_n + 0,9e_n\\
d_n + e_n&=&1
\end{array}\right. \Rightarrow d_{n+1} = 0,4d_n + 0,9\left(1 - d_n \right) \iff d_{n+1} = - 0,5d_n + 0,9$.
	\end{enumerate} 
\item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $u_{n} = d_{n} - 0,6$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $u$ est une suite géométrique. 

%Préciser sa raison et la valeur de son premier terme.
On a donc $u_{n+1} = d_{n+1} - 0,6 = - 0,5d_n + 0,9 - 0,6 = - 0,5d_n + 0,3 = - 0,5\left(d_n - 0,6 \right) = - 0,5u_n$.

$u_{n+1} = - 0,5u_n$ signifie que la suite $u$ est une suite géométrique de raison $- 0,5$ de premier terme $u_1 = - 0,6$.
		\item %Exprimer alors $u_{n}$ puis $d_{n}$ en fonction de $n$.
On sait qu'alors pour tout naturel supérieur à zéro :

$u_n  = - 0,6 \times (- 0,5)^{n - 1} = \dfrac{- 0,6}{- 0,5}\times (- 0,5) \times (- 0,5)^{n - 1} = 1,2 \times (- 0,5)^n$.

Or $u_{n} = d_{n} - 0,6 \iff d_n = u_n + 0,6 = 1,2 \times (- 0,5)^n$.
		\item %Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} d_{n}$ et interpréter ce résultat.
Comme $- 1 < - 0,5 < 0$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} (- 0,5)^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0,6$.

À terme la probabilité que Franck joue est égale à 0,6.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Une substance médicamenteuse est injectée par voie intraveineuse. Dans les heures qui suivent l'injection, la substance est éliminée par les reins.
% 
%La quantité $q_{i}$ de substance présente dans le sang ($q_{i}$ en milligrammes) à l'instant $t_{i}$ ($t_{i}$ en heures) a 
%été mesurée par des prises de sang toutes les deux heures.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%$t_{i}$ (en heures)& 0&2&4&6&8\\ \hline
%$q_{i}$ (en mg)&9,9&7,5&5,5&3,9&3\\ \hline%
%\end{tabularx}
%\end{center} 

\textbf{Partie A - Modélisation par une fonction affine}

\medskip
 
%Le nuage de points associé à la série $\left(t_{i}~;~q_{i}\right)$, représenté dans un repère orthogonal, est donné sur la feuille annexe, à rendre avec la copie. 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $(D)$ d'ajustement affine de $q$ en $t$ par la méthode des moindres carrés. On donnera la valeur des coefficients arrondie au centième.
La calculatrice donne avec des coefficients au centième près 

$q = - 0,87t + 9,44$% 
\item %Tracer la droite $(D)$ sur la feuille annexe. 
Voir sur l’annexe.
\item %En supposant que ce modèle reste valable pendant 12~heures, donner une estimation de la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12~heures.
Avec $x = 12$, on obtient $q = 9,44 - 0,87 \times 12 = 9,44 - 10,44 = - 1$.

Ce résultat est stupide, donc si ce modèle est correct au bout de 12 heures  la quantité de médicament dans le corps est nulle.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Autre modélisation} 

%On pose $y_{i} = \dfrac{\ln \left(q_{i}\right)}{\ln (10)}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau de l'annexe. On arrondira les valeurs au centième.
Voir l’annexe. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la forme $y = at + b$ de la droite d'ajustement affine de $y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés. On arrondira $a$ à $10^{-3}$ et $b$ à l'unité.
		La calculatrice donne  $y = - 0,067t + 1$. 
		\item %Montrer que l'expression de $q$ en fonction de $t$ obtenue à partir de cet ajustement est de la forme : $q(t) = B\text{e}^{-At}$ (on donnera l'arrondi au centième de $A$ et la valeur de $B$ arrondie à l'unité).
		Ob a $y = -0,067t + 1 = \dfrac{\ln \left(q\right)}{\ln (10)} \iff \ln q = \ln 10 \times (- 0,067t +1) \iff q = \text{e}^{\ln 10 \times (- 0,067t +1)} \iff q = \text{e}^{\ln 10 \times (- 0,067t) + \ln 10} \iff q = \text{e}^{\ln 10} \times \text{e}^{\ln 10 \times (- 0,067t)} \iff q = 10\text{e}^{\ln 10 \times (- 0,067t)}$.
		
Or $\ln 10 \times (- 0,067) \approx 0,15$, donc finalement :

\[ q = 10\text{e}^{- 0,15t}. \]
	\end{enumerate} 
\item %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~12] par : 

%\[f(t) = 10\text{e}^{-0,15t}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
La fonction $t \longmapsto - 0,15t$ est décroissante et la fonction $u \longmapsto \text{e}^{u}$ est croissante, donc la composée est décroissante sur [0~;~12].

On peut aussi calculer $f’(t) = 10 \times (- 0,15)\text{e}^{- 0,15t} = - 1,5\text{e}^{- 0,15t} < 0$ : la dérivée est négative, la fonction est donc décroissante sur  [0~;~12].
		\item %On suppose que la quantité $q$ de substance présente dans le sang à l'instant $t$ ($t$ exprimé en heures) est donnée par $q(t) = f(t)$ pour $t$ variant de 0 à 12 heures.
		 
%Calculer à $10^{-1}$ près la quantité de substance présente dans le sang au bout de 12~heures.
On a $q(12) = f(12) = 10\text{e}^{-0,15\times 12} = 10 \text{e}^{- 1,8} \approx 1,7$. 
		\item %En comparant les réponses trouvées à la question précédente et à la question 3 de la partie A, dire lequel de ces deux modèles vous paraît le mieux adapté à la situation.
Si l’on pense qu’il reste encore du médicament dans le corps au bout de douze heures le deuxième modèle exponentiel est le plus adapté. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C - Valeur moyenne}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~12] par : 

%\[F(t) = - \dfrac{200}{3}\text{e}^{-0,15t}.\]

%Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur [0~;~12].
$F'(t) =  - \dfrac{200}{3} \times (- 0,15)\text{e}^{-0,15t} = 10\text{e}^{-0,15t} = f(t)$ : $F$ est donc une primitive de $f$ sur [0~;~12]. 
\item %Soit $I = \displaystyle\int_{0}^{10} f(t)\:\text{d}t$. 

%Calculer la valeur exacte de $I$, puis en donner une valeur approchée au centième près.
$I = \displaystyle\int_{0}^{10} f(t)\:\text{d}t = \left[F(t)  \right]_0^{10} = F(10) - F(0) = - \dfrac{200}{3}\text{e}^{-0,15\times 10} +  \dfrac{200}{3}\text{e}^{-0,15\times 0} =  \dfrac{200}{3} -  \dfrac{200}{3}\text{e}^{-1,5} = \dfrac{200}{3}\left(1 - \text{e}^{-1,5}\right) \approx 51,79$. 
\item %En déduire, à un dixième de milligramme près, la quantité moyenne de substance médicamenteuse présente dans le sang pendant les 10~heures qui suivent l'injection. 
La valeur moyenne $m$ de médicament dans le sang dans les 10 heures suivant l'injection est égale à :

\[m = \dfrac{1}{10 - 0}\displaystyle\int_{0}^{10} f(t)\:\text{d}t = \dfrac{1}{10}\times \dfrac{200}{3}\left(1 - \text{e}^{-1,5}\right) = \dfrac{20}{3}\left(1 - \text{e}^{-1,5}\right) \approx 5,2~\text{mg}.\]
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe de l'exercice 4}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\psset{unit=0.73cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(15.5,12.5)
\multido{\n=0.0+0.1}{156}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,12)}
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,12)}
\multido{\n=0.0+0.1}{121}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=cyan](0,\n)(15.5,\n)}
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](0,\n)(15.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(15.5,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots[dotstyle=square*,linecolor=blue](0,9.9)(2,7.5)(4,5.5)(6,3.9)(8,3)
\uput[d](13.5,-0.6){$t$ (en heures)}\rput(0.3,12.3){$q$ (en mg)}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{9.44 x 0.87 mul sub}
\end{pspicture}

\vspace{2cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ (en heures)&0&2&4&6&8\\ \hline%
$y_{i}$ (au centième près)&1&0,88&0,74&0,59&0,48\\ \hline%
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}