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%Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël et Johann Dolivet
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Amérique du Sud novembre 2014},
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% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entéte
% 6 fixe la distance entre l'entéte et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\renewcommand{\d}{\,\text{d}} 	%le d de différentiation
\newcommand{\e}{\text{\,e}\,} 	%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\,\text{i\,}} %le i des complexes
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\newcommand{\cd}{\texttt{[}}	%crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}		%supérieur ou égal à
\newcommand{\pp}{\leqslant}		%inférieur ou égal à
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 25 novembre 2015}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Sud
25 novembre 2015~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%\medskip 
%
%\emph{Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.\\ Les probabilités demandées seront données à $0,001$ près.}

\medskip

Une étude est menée par une association de lutte contre la violence routière. Des observateurs, sur un boulevard d'une grande ville, se sont intéressés au comportement des conducteurs d'automobile au moment de franchir un feu tricolore.

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip
%
%\emph{Dans cette partie, on s'intéresse au respect de la signalisation par les automobilistes.}
%
%\smallskip

Sur un cycle de deux minutes (120 secondes), le feu est à la couleur \og rouge \fg{} pendant 42 secondes,
\og orange\fg{} pendant 6 secondes et \og vert\fg{} pendant 72 secondes.

Par ailleurs, les observateurs notent que les comportements diffèrent selon la couleur du feu :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] lorsque le feu est rouge, 10\,\% des conducteurs continuent de rouler et les autres s'arrêtent ;
\item[$\bullet~~$] lorsque le feu est orange, 86\,\% des conducteurs continuent de rouler et les autres s'arrêtent;
\item[$\bullet~~$] lorsque le feu est vert, tous les conducteurs continuent de rouler.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On s'intéresse à un conducteur pris au hasard, et on observe son comportement selon la couleur du feu. On note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $R$ l'évènement \og le feu est au rouge\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $O$ l'évènement \og le feu est à l'orange\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement \og le feu est au vert\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $C$ l'évènement \og le conducteur continue de rouler \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

D'après ce qui est dit dans le texte: $p(R)=\dfrac{42}{120}=0,35$, $p(O)=\dfrac{6}{120}=0,05$ et $p(V)= \dfrac{72}{120}=0,6$\\[5pt]
De plus: $P_R(C)=0,1$, $p_O(C)=0,86$ et $p_V(C)=1$

%Pour tout évènement $A$, on note $p(A)$ sa probabilité, $p_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On modélise cette situation par un arbre pondéré:

\medskip

\begin{center}
{%\small
\psset{treesep=.75cm,levelsep=4cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm,nrot=:U}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$R$}\naput{0,35}}
	                        {
	                        \TR{$C$}\naput{0,1}
			                \TR{$\overline C$}\nbput{$\red 1-0,1=0,9$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$O$}\naput{0,05}}
	                        {
	                        \TR{$C$}\naput{0,86}
			                \TR{$\overline C$}\nbput{$\red 1-0,86=0,14$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$V$}\nbput{0,60}}
	                        {
	                        \TR{$C$}\naput{1}
%			                \TR{$\overline C$}\nbput{0}
	                        }	                        
      }
}% fin du \small
\end{center}

\bigskip

\item% Montrer que la probabilité que le conducteur continue de rouler au feu est $0,678$.
La probabilité que le conducteur continue de rouler est $p(C)$.

D'après la formule des probabilités totales:

$p(C)= p(R\cap C) + p(O \cap C) + p(V \cap C)
= p(R)\times p_R(C) + p(O)\times p_O(C)  + p(V)\times p_V(C)\\
\phantom{p(C)}
= 0,35 \times 0,1 + 0,05 \times 0,86 + 0,6 \times 1 = 0,678$


\item Sachant qu'un conducteur continue de rouler au feu, la probabilité que le feu soit vert est $p_C(V)$:

$p_C(V) = \dfrac{p(V \cap C)}{p(C)} = \dfrac{0,6\times 1}{0,678} \approx 0,885$

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

%\emph{Dans cette partie, on s'intéresse au trafic aux heures de pointe.}
%
%\smallskip

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de voitures par heure à proximité du feu évoqué dans la partie A.
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne \np{3000} et d'écart type $150$.

\medskip

\begin{enumerate}

\item À l'aide de la calculatrice, on détermine la probabilité de compter entre \np{2800} et \np{3200} voitures par heure à cet endroit, c'est-à-dire $p(\np{2800} \pp X \pp \np{3200})$; on trouve approximativement 0,818.

\item À l'aide de la calculatrice, on détermine la probabilité de compter plus de \np{3100} voitures par heure à cet endroit, c'est-à-dire $p(X\pg \np{3100})$; on trouve approximativement 0,252. 

\item% \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\smallskip

À un autre endroit du boulevard, à proximité d'un pont, la variable aléatoire $Y$ qui compte le nombre de voitures par heure suit la loi normale de moyenne \np{3000} et d'écart type $\sigma$ strictement supérieur à $150$.

Sur le graphique ci-dessous, la courbe correspondant à $X$ est en traits pleins et la courbe correspondant à $Y$ est en pointillés.

%Déterminer à quel endroit du boulevard, à proximité du feu ou du pont, la probabilité qu'il passe en une heure, entre \np{2800} et \np{3200} voitures, est la plus grande. Justifier à l'aide du graphique.

\begin{center}
\psset{xunit=0.003cm,yunit=500cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-500,-0.0015)(3000,0.015)
\multido{\n=0+500,\na=1500+500}{6}{\uput[d](\n,0){\np{\na}}}
\multido{\n=0+100}{31}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,0.0135)}
\multido{\n=0+0.0005,\na=0+0.002}{7}{\uput[l](0,\na){\np{\n}}}
\multido{\n=0+0.0005,\na=0+0.002}{7}{\psline[linestyle=dotted](0,\na,0)(3500,\na)}
\psline{->}(0,0)(0,0.0135)
%\psaxes[Ox=1500,Dx=500,Dy=0.005](0,0)(-300,-0.0001)(3500,0.0032)
\def\m{1500}% moyenne 
\def\s{150}% écart type
\def\f{1/(0.25*\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\def\inf{\xmin} \def\sup{160}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3400}{\f} % courbe de f sur 
\def\m{1500}% moyenne 
\def\s{300}% écart type
\def\g{1/(0.25*\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{3500}{\g} % courbe de f sur 
%\psGauss[sigma=150,\mue=1500,linecolor=red]{1500}{4500}
\uput[u](2900,0){$x$}
\uput[r](0,0.013){$y$}
\psline{->}(0,0)(3000,0)
\psline[linecolor=red](1300,0)(1300,0.008)
\uput*[l](1300,0.007){$\red x=\np{2800}$}
\uput{15pt}[d](1300,0){\red \np{2800}}
\psline[linecolor=red](1700,0)(1700,0.008)
\uput{15pt}[d](1700,0){\red \np{3200}}
\uput*[r](1700,0.007){$\red x=\np{3200}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On trace les droites d'équations $x = \np{2800}$ et $x = \np{3200}$; elles semblent couper les deux courbes en leurs points d'intersection.

\begin{list}{\textbullet}{D'après le cours:}
\item $p(\np{2800} \pp X \pp \np{3200}$ est l'aire $\mathcal A_1$  de l'ensemble des points compris entre la courbe en traits pleins, l'axe des abscisses et les deux droites verticales tracées;

\item $p(\np{2800} \pp Y \pp \np{3200}$ est l'aire $\mathcal A_2$ de l'ensemble des points compris entre la courbe en pointillés, l'axe des abscisses et les deux droites verticales tracées.

\end{list}

Graphiquement, $\mathcal A_1 > \mathcal A_2$, donc la probabilité qu'il passe en une heure, entre \np{2800} et \np{3200} voitures, est plus grande pour le lieu correspondant à l'aire $\mathcal A_1$, donc à proximité du feu.

\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points}

\medskip
 
%\emph{Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}
% 
%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ élément de l'intervalle \cd 1~;~7\cg{} par:
$f(x) = 1,5 x^3 - 9 x^2 + 24 x + 48$

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ sa dérivée seconde sur \cd 1~;~7\cg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle \cd 1~;~7\cg{}:
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x) = 1,5\times 3x^2 - 9\times 2x + 24 = 4,5 x^2 - 18x + 24$
		\item $f''(x) = 4,5 \times 2x - 18 = 9x - 18$
	\end{enumerate}
\item% Déterminer sur quel intervalle la fonction $f$ est convexe.
La fonction $f$ est convexe sur les intervalles sur lesquels sa dérivée première $f'$ est croissante, c'est-à-dire sur lesquels sa dérivée seconde $f''$ est positive.

$f''(x)\pg 0 \iff 9x-18 \pg 0 \iff 9x \pg 18 \iff x \pg 2$ 

La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle \cd 2\,;\, 7\cg.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

Une entreprise fabrique et commercialise un article dont la production est comprise entre \np{1000} et \np{7000} articles par semaine.
On modélise le coût de fabrication, exprimé en milliers d'euros, par la fonction $f$ définie dans la partie A où $x$ désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.

On note $c$ la fonction définie sur \cd 1~;~7\cg{} représentant le coût moyen par article fabriqué, exprimé en euros. On a, par conséquent, pour tout $x$ de \cd 1~;~7\cg{}:
$c(x) = \dfrac{f(x)}{x} = 1,5 x^2 - 9 x + 24 + \dfrac{48}{x}$

\smallskip

On admet que la fonction $c$ est dérivable sur \cd 1~;~7\cg. On note $c'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~7], on a : $c'(x) = \dfrac{ 3(x - 4)\left(x^2 + x + 4\right)}{x^2}$
$c'(x)= 1,5\times 2x -9 +0 +48\times \left (-\dfrac{1}{x^2}\right )
= 3x-9 -\dfrac{48}{x^2} = \dfrac{3x^3 - 9x^2 -48}{x^2}$

$\dfrac{ 3(x - 4)\left(x^2 + x + 4\right)}{x^2}
= \dfrac{3(x^3+x^2+4x-4x^2-4x-16)}{x^2}
= \dfrac{3(x^3-3x^2-16)}{x^2}
= \dfrac{3x^3-9x^2-48}{x^2}$

Donc, pour tout $x$ de $\cd 1\,;\,7\cg$, 
$c'(x)= \dfrac{ 3(x - 4)\left(x^2 + x + 4\right)}{x^2}$

\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Étudier les variations de la fonction $c$ sur l'intervalle [1~;~7].
\begin{list}{\textbullet}{On cherche le signe de $c'(x)$ sur l'intervalle $\cd 1\,;\,7\cg$.}

\item signe de $x-4$: $x - 4 > 0$ pour $x > 4$ donc sur $\cg 4\,;\, 7\cg$

\item signe de $x^2 + x + 4$ : $\Delta=1 - 16 = - 15 < 0$ donc $x^2 + x + 4 > 0$ pour tout $x$.

\end{list} 		

$c(1) = 64,5$, $c(4)=24$ et $c(7)\approx 41,4$

D'où le tableau de variation de la fonction $c$ sur $\cd 1\,;\, 7\cg$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 1 & \hspace*{\esp} & 4 & \hspace*{\esp} & 7 \\
 \hline
x-4 &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
 \hline
x^2+x+4 &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom 0 & \pmb{+} & \\ 
 \hline
x^2 &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom 0 & \pmb{+} & \\ 
 \hline
c'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ 
\hline
  & \Rnode{max1}{64,5}  &  &  &  & \Rnode{max2}{41,4}   \\
c(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{24} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

		\item% Déterminer, en milliers, le nombre d'articles à fabriquer pour que le coût moyen par article soit minimal.
Le minimum de la fonction $c$ est atteint pour $x = 4$ donc pour $\np{4000}$ articles à fabriquer; le coût moyen par article est alors de $c(4) = 24$ soit 24 euros.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $\Gamma$ définie sur l'intervalle \cd 1~;~7\cg{} par : $\Gamma(x) = 0,5 x^3 - 4,5 x^2 + 24 x + 1 + 48\ln x$	
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que $\Gamma$ est une primitive de $c$ sur l'intervalle [1~;~7].
La fonction $\Gamma$ est dérivable sur $\cd 1\,;\,7\cg$ et

$\Gamma'(x)= 0,5\times 3x^2 - 4,5 \times 2x +24 +0 +48\times \dfrac{1}{x}
= 1,5x^2 -9x+24 +\dfrac{48}{x} = c(x)$

Donc la fonction $\Gamma$ est une primitive de la fonction $c$ sur $\cd 1\,;\,7\cg$.
		\item% Calculer la valeur moyenne $\mu$ de $c$ sur l'intervalle [1~;~7]. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{- 2}$.
La valeur moyenne de la fonction $c$ sur $\cd 1\,;\, 7\cg$ est 
$M=\dfrac{1}{7-1} \ds\int_1^7 c(x) \d x = \dfrac{1}{6} \ds\int_1^7 c(x) \d x$

Or $\Gamma$ est une primitive de $c$ sur $\cd 1\,;\, 7\cg$ donc

$\ds\int_1^7 c(x) \d x = \Gamma(7)-\Gamma(1) = \left ( 0,5\times 343 -4,5\times 49 +24\times 7 +1 + 48\times \ln 7 \right ) - \left ( 0,5 - 4,5 +24+1+0\right )\\
\hphantom{\ds\int_1^7 c(x) \d x}
= (120 +48\ln 7) - 21 = 99 +48\ln 7$

La valeur moyenne est donc $M=\dfrac{99+48\ln 7}{6} \approx 32,07$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill {\small Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité, et candidats de L} \hfill 5 points}

\medskip 

Claudine est une passionnée de lecture abonnée à l'hebdomadaire littéraire \og La Lecture \fg. Elle se rend une fois par semaine à la bibliothèque et elle demande ou non l'avis du bibliothécaire sur le livre mis en valeur dans l'hebdomadaire \og La Lecture \fg. Son souhait de demander un avis change d'une semaine sur l'autre selon le plaisir qu'elle a eu à lire le livre et selon la pertinence du conseil donné par le bibliothécaire la semaine précédente. 

La première semaine, on suppose que la probabilité que Claudine demande un avis vaut $0,1$.

Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note $a_n$ la probabilité que Claudine demande un avis la $n$-ième semaine. On a ainsi $a_1 = 0,1$.

\smallskip

On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a : $a_{n+1} = 0,5a_n + 0,4$.

\begin{enumerate}
\item% Calculer la probabilité $a_2$ que Claudine demande un avis la deuxième semaine.
$a_2=0,5 a_1+0,4 = 0,5\times 0,1+0,4 = 0,45$

La probabilité que Claudine demande un avis la deuxième semaine est égale à 0,45.
\item Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on définit la suite $\left(v_n\right)$ par: $v_n = a_n - 0,8$.
	\begin{enumerate}	
		\item% Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$.
%		
%Préciser son premier terme $v_1$.
Pour tout $n \pg 1$, $v_n=a_n-0,8$ donc $a_n=v_n+0,8$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item $v_{n+1} = a_{n+1} - 0,8 = 0,5 a_n + 0,4 - 0,8 = 0,5(v_n+0,8) - 0,4 = 0,5v_n +0,4-0,4 = 0,5v_n$

\item $v_1=a_1 - 0,8 = 0,1-0,8 = -0,7$

\end{list}

Donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q = 0,5$ et de premier terme $v_1 = - 0,7$.
		\item% Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a :
%		\[a_n = 0,8 - 0,7 \times  0,5^{n-1}.\]
		
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 0,5$ et de premier terme $v_1 = - 0,7$ donc, d'après le cours, pour tout $n\pg 1$, $v_n = v_1\times q^{n-1} = -0,7\times 0,5^{n-1}$.

Comme $u_n = v_n + 0,8$, on en déduit que, pour tout $n\pg 1$, $u_n = 0,8 - 0,7\times 0,5^{n-1}$.	
		\item% Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,5$; or $0 < 0,5 < 1$ donc la suite $(v_n)$ est convergente et a pour limite 0.
		\item% En déduire la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter ce résultat.
\ \\[-24pt]

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{n\to +\infty} v_n = 0\\
a_n = v_n+0,8
\end{array}
\right\rbrace 
\implies
\ds\lim_{n\to +\infty} a_n = 0,8
$

Cela signifie que, quand le nombre de semaines deviendra très grand, Claudine va demander un avis 8 fois sur 10.
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :
	
	\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
VARIABLES :	&$A$ est un réel\\
 			&$N$ est un entier naturel\\
			&$L$ est un réel strictement compris entre $0,1$ et $0,8$\\ \hline
INITIALISATION : &$A$ prend la valeur $0,1$\\
			&$N$ prend la valeur 1\\ \hline
TRAITEMENT:	&Tant que $A \leqslant L$\\
			&\hspace{0,4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
			&\hspace{0,4cm}$A$ prend la valeur $0,5 \times A + 0,4$\\ 
			&Fin du Tant que\\\hline
SORTIE :	&Afficher $N$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Pour la valeur $L = 0,7$, on complète les colonnes du tableau suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de $N$& 1 &2& 3 & 4\\
\hline 
Valeur de $A$& 0,1& 0,45 & 0,625 & \np{0,7125}\\
\hline
Condition $A \leqslant L$& vraie& vraie & vraie & \textcolor{red}{fausse}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item L'affichage de $N$ obtenu en sortie d'algorithme quand la valeur de $L$ est $0,7$ est donc 4.		
		\item% Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment on peut interpréter le nombre $N$ obtenu en sortie de l'algorithme quand le nombre $L$ est compris strictement entre $0,1$ et $0,8$.
Le nombre $N$ obtenu par l'algorithme quand le nombre $L$ est compris entre 0,1 et 0,8 est le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis est supérieur à $L$.
	\end{enumerate}
\item% \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	
%Déterminer le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieure à $0,799$.

On cherche $n$ tel que $a_n > 0,799$ :

$\begin{array}{@{} l !{\iff} r c l l}
a_n>0,799 & 0,8 - 0,7 \times 0,5^{n-1} & > & 0,799 & \\
 & 0,001 & > & 0,7\times 0,5^{n-1} & \\[5pt]
 & \dfrac{0,001}{0,7} & > & 0,5^{n-1} & \\[8pt]
 & \ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right ) & > & \ln\left (0,5^{n-1} \right ) & \text{croissance de la fonction ln} \\[8pt]
 & \ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right ) & > & (n-1)\ln 0,5 & \text{propriété de la fonction ln} \\[8pt]  
 & \dfrac{\ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right )}{\ln 0,5} & < & n-1 & \text{car } \ln 0,5<0\\[8pt]
 & \dfrac{\ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right )}{\ln 0,5} +1 & < & n & 
\end{array}$

Or $\dfrac{\ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right )}{\ln 0,5} +1 \approx 10,5$ donc le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis est supérieur à 0,799 est 11.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

\medskip 

Claudine est une passionnée de lecture abonnée à l'hebdomadaire littéraire \og La Lecture \fg. Elle se rend une fois par semaine à la bibliothèque et demande ou non l'avis de la bibliothécaire sur le livre mis en valeur dans l'hebdomadaire \og La Lecture \fg.

Lorsque Claudine demande à la bibliothécaire son avis, la probabilité qu'elle le demande de nouveau la semaine suivante est $0,9$.

Lorsque Claudine ne demande pas à la bibliothécaire son avis, la probabilité qu'elle ne le demande pas non plus la semaine suivante est $0,6$.

La première semaine, on suppose que la probabilité que Claudine demande un avis vaut $0,1$.

Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité que Claudine demande un avis à la bibliothécaire la $n$-ième semaine;
\item[$\bullet~~$] $b_n$, la probabilité que Claudine ne demande pas d'avis à la bibliothécaire la $n$-ième semaine;
\item[$\bullet~~$] $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste la $n$-ième semaine.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On a ainsi $a_1 = 0,1$ et $b_1 = 0,9$ et donc
$P_1 = \begin{pmatrix}
0,1 & 0,9\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On illustrer la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B:% A représente l'état \og Claudine demande un avis à la bibliothécaire\fg{}; B représente l'état \og Claudine ne demande pas d'avis à la bibliothécaire \fg.
		
\hspace*{2cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1.2)
\Rnode{U}{A} \hskip 4cm \Rnode{V}{B}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{U}{V} \Aput{0,1}%                 arc pondéré partant de U
\ncarc{->}{V}{U} \Aput{0,4}%                 arc pondéré arrivant à V
\nccircle[angleA=90]{->}{U}{4mm}   \Bput{0,9}%   boucle autour de U
\nccircle[angleA=-90]{->}{V}{.4cm} \Bput{0,6}%  boucle autour de V
\end{pspicture}		
		
		\item% Indiquer la matrice de transition $M$ associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l'ordre (A,B).
D'après le texte, on a:
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,9 a_n + 0,4 b_n\\
b_{n+1} & 0,1 a_n + 0,6 b_n
\end{array}
\right.
$

ce qui donne sous forme matricielle:
$\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix}
$

Donc la matrice de transition de ce graphe est
$M =
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix}$

	\end{enumerate}
\item% Montrer que l'on a $P_2 = \begin{pmatrix}0,45& 0,55\end{pmatrix}$.
$P_2=P_1M = 
\begin{pmatrix}
0,1 & 0,9
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,1 \times 0,9 + 0,9 \times 0,4 &  0,1 \times 0,1 + 0,9 \times 0,6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,45 & 0,55
\end{pmatrix}
$
\item
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que l'état stable de la répartition du choix de la demande d'avis est $P = \begin{pmatrix}0,8& 0,2\end{pmatrix}$.
L'état stable est l'état 
$P=\begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}$
tel que 
$\left\lbrace 
\begin{array}{l}
a+b=1\\
PM=P
\end{array}
\right. $

$PM=P \iff 
\begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}
\iff
\begin{pmatrix}
0,9 a +0,4 b & 0,1 a + 0,6b
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}\\
\phantom{PM=P}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
0,9 a + 0,4 b & a\\
0,1 a + 0,6 b & b
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
-0,1 a + 0,4 b & 0\\
0,1 a - 0,4 b & 0
\end{array}
\right.
\iff
a - 4 b = 0
$

Donc  $\left\lbrace 
\begin{array}{l}
a+b=1\\
PM=P
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
a+b & 1\\
a-4b & 0
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
a+b & 1\\
5b & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
a & 0,8\\
b & 0,2
\end{array}
\right.
$

L'état stable est donc 
$P=\begin{pmatrix}
0,8 & 0,2
\end{pmatrix}$.
		\item% Interpréter ce résultat.
Si la répartition est de 80\,\% - 20\,\% pour les états A et B la semaine $n$, cette répartition restera la même la semaine $n+1$ et toutes les suivantes.
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a :
$a_{n+1} = 0,5a_n + 0,4$.
	
On considère l'algorithme suivant :
	
	\begin{center}
	\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l X|}\hline
VARIABLES : 	&$A$ est un réel et $N$ est un entier naturel\\ \hline
INITIALISATION :	&$A$ prend la valeur $0,1$\\
				&$N$ prend la valeur 1\\ \hline
TRAITEMENT :		&Tant que $A \leqslant 0,79$\\
				&\hspace{0.4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
				&\hspace{0.4cm}$A$ prend la valeur $0,5 \times A + 0,4$\\
				&Fin du Tant que\\ \hline
SORTIE :		&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%Préciser ce que cet algorithme permet d'obtenir. (On ne demande pas de donner la valeur de $N$ affichée en sortie d'algorithme.)
Dans cet algorithme, la variable $A$ désigne le terme $a_n$ dont le rang est donné par $N$.
 
Cet algorithme permet d'obtenir, si elle existe, la première valeur de $n$  pour laquelle $a_n$ est strictement supérieur à 0,79.
\item% \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a:
$a_n = 0,8 - 0,7 \times  0,5^{n-1}$.

On cherche $n$ tel que $a_n>0,799$:

$\begin{array}{@{} l !{\iff} r c l l}
a_n>0,799 & 0,8 - 0,7 \times 0,5^{n-1} & > & 0,799 & \\
 & 0,001 & > & 0,7\times 0,5^{n-1} & \\[5pt]
 & \dfrac{0,001}{0,7} & > & 0,5^{n-1} & \\[8pt]
 & \ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right ) & > & \ln\left (0,5^{n-1} \right ) & \text{croissance de la fonction ln} \\[8pt]
 & \ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right ) & > & (n-1)\ln 0,5 & \text{propriété de la fonction ln} \\[8pt]  
 & \dfrac{\ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right )}{\ln 0,5} & < & n-1 & \text{car } \ln 0,5<0\\[8pt]
 & \dfrac{\ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right )}{\ln 0,5} +1 & < & n & 
\end{array}$

Or $\dfrac{\ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right )}{\ln 0,5} +1 \approx 10,5$ donc le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis est supérieur à 0,799 est 11.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points}

%\medskip 
%
%\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\smallskip
%
%\emph{Les probabilités sont données à $0,001$ près.}

\smallskip

Pour la fête du village de Boisjoli, le maire a invité les enfants des villages voisins.

Les services de la mairie ayant géré les inscriptions dénombrent $400$ enfants à cette fête ; ils indiquent aussi que 32\,\% des enfants présents sont des enfants qui habitent le village de Boisjoli.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre d'enfants issus des villages voisins est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 128 & \fbox{\textbf{b.~~} 272} &\textbf{c.~~} 303 &\textbf{d.~~} 368
\end{tabularx}

\smallskip

Il y a 32\,\% d'enfants de Boisjoli, donc 68\,\% d'enfants des villages voisins; $\dfrac{68}{100}\times 400 = 272$.
\end{enumerate}

Lors de cette fête, huit enfants sont choisis au hasard afin de former une équipe qui participera à un défi sportif. On admet que le nombre d'enfants est suffisamment grand pour que cette situation puisse être assimilée à un tirage au hasard avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d'enfants de l'équipe habitant le village de Boisjoli.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}

\item La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $n = 400$ et $p = 0,32$ & \fbox{\textbf{b.~~} $n = 8$ et $p = 0,32$}\\
\textbf{c.~~} $n = 400$ et $p = 8$ &\hspace*{2pt} \textbf{d.~~} $n = 8$ et $p = 0,68$
\end{tabularx}

\smallskip

La probabilité qu'un enfant soit de Boisjoli est de 0,32 puisqu'il y a 32\,\% d'enfants de ce village. On choisit 8 enfants donc $n=8$.

\medskip
\item La probabilité que dans l'équipe il y ait au moins un enfant habitant le village de Boisjoli est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,125 &\textbf{b.~~} 0,875 & \fbox{\textbf{c.~~} 0,954} &\textbf{d.~~} 1
\end{tabularx}

\smallskip

On cherche $P(X\pg 1)$ c'est-à-dire $1-P(X=0)=1-(1-0,32)^8 \approx 0,954$.

\medskip
\item L'espérance mathématique de $X$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \np{1,7408} & \fbox{\textbf{b.~~} 2,56} &\textbf{c.~~} 87,04 &\textbf{d.~~} 128
\end{tabularx}

\smallskip

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ est\\
$E(X) = np = 8\times 0,32 = 2,56$.

\medskip
\end{enumerate}
\end{document}