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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
% pour le pied de page central
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 16 juin 2017}
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
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\begin{document}

\begin{center}\section*{{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ES Antilles-Guyane
~\decofourright\\[4pt]16 juin 2017}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{enumerate}
\item $A$ et $B$ sont deux évènements d’une expérience aléatoire.

On note $\overline{B}$ l’évènement contraire de $B$. 

On sait que :
$P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ et $P(A\cap B) = 0,42$. 
%On peut affirmer que :

$p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p_B} = \dfrac{0,42}{0,5}= 0,84$ : $\boxed{\textcolor{red}{p_B(A)=0,84}}$ (réponse c.)

\item Dans une station de ski, le temps d’attente à un télésiège donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [0~;~5].

$p (X > 2) = p(2 < X\leqslant 5)=\dfrac{5-2}{5-0}=\dfrac{3}{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p (X > 2) =\dfrac{3}{5}}}$ 

\item Une machine remplit des flacons dont le volume annoncé est de 100 mL. On admet que le volume contenu dans
le flacon peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d’espérance 100 mL et d’écart type 2 mL.

$p(96 \leqslant  Y \leqslant  104) = p(\mu - 2\sigma \leqslant X\leqslant \mu + 2\sigma)\boxed{\textcolor{red}{\approx 0,95}}$ (réponse c.)

\item Si $f$ représente la fréquence du caractère étudié dans un échantillon de taille $n$, alors si les condition sont vérifiées, l’intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\:\%, est donné par :

$I = \left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ qui a une amplitude de $A=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

On cherche donc un entier $n$ strictement positif tel que $\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leqslant  0,1$.

La fonction inverse étant décroissante sur $]0~;~+\infty]$, on en déduit $\dfrac{\sqrt{n}}{2}\geqslant \dfrac{1}{0,1} = 10$ qui donne $\sqrt{n}\geqslant 20$.

En appliquant la fonction carré croissante sur $[0~;~+\infty[$, on obtient : 
$\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 20^2 = \numprint{400}}}$. (réponse d.)


\item La fonction $f$ est la fonction densité de probabilité associée à la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0~;~1)$. La fonction
$g$ est la fonction de densité de probabilité associée à la loi normale de moyenne $\mu = 3$ et d’écart type $\sigma = 2$.

La fonction $f$ est la fonction de Gauss définie pr $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}$ donc $f(0) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx 0,4$ ce qui exclut la courbe c.

La courbe représentative de $g$ doit être symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu = 3$ ; cela exclut la courbe a.

On sait que $p(\mu - \sigma\leqslant X \leqslant \mu + \sigma) = p(1 \leqslant X \leqslant 5) \approx 0,68$.

Cela exclut la courbe $\mathscr{C}_g$ de la figure b., car l'aire correspondante entre $x = 1$ et $x = 5$ est visiblement supérieure à quatre carreaux, donc supérieure à $0,8$.

La réponse est donc la \textbf{\textcolor{red}{réponse d.}}
\end{enumerate}

\newpage

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  5 points}}

\textbf{Commun à tous/toutes les candidat/e/s}

\begin{enumerate}
\item $u_0 = 75$
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $u_1=\left(1-4\:\%\right)u_0+2=0,96\times 75+2=72+2=74$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_1=74}}$
		\item $u_2=\left(1-4\:\%\right)u_1+2=0,96\times 74+2=71,04+2=73,04$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_1=73,04}}$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $u_1-u_0 = - 1$ et $u_2 - u_1 = - 0,96$ ; la différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante, donc la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas arithmétique.
		\item $\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{74}{75}$ ; $\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{73,04}{74}=\dfrac{\np{7304}}{\np{7400}}=\dfrac{913}{925}\neq \dfrac{u_1}{u_0}$ ; le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant donc la suite n'est pas géométrique.
	\end{enumerate}
\item Pour tout $n$, $u_{n+1}\left(1-4\:\%\right)u_n+2=0,96u_n+2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=0,96u_n+2}}$.
\item Pour tout $n$, on pose $v_n=u_n-50$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $n$, $v_{n+1} = u_{n+1} - 50 = \left(0,96u_n+2\right) -50 = 0,96u_n - 48 = 0,96\left(u_n - 50\right) = 0,96v_n$.

On en déduit que la suite $\left(v_n\right)$ est \textcolor{red}{géométrique} de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=0,96}}$.
		\item Le premier terme est $v_0 = u_0-50 =75 - 50 = 25$.

On a alors : $v_n = v_0\times q^n = 25\times 0,96^n$ : $\boxed{\textcolor{red}{v_n = 25\times 0,96^n}}$.
		\item Pour tout $n$, $v_n=u_n-50$ donc $u_n=v_n+50$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{u_n=25\times 0,96^n+50}}$.
		\item $- 1 < 0,96 < 1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,96^n = 0$ ; par produit et par somme, on a : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n = 50}}$.

La quantité d'eau dans la piscine va se stabiliser à 50 m$^3$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Complétons l'algorithme :
\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l X|c|}\hline
Variables :	& $n$ est un nombre entier naturel 	& L1\\
 			& $u$ est un nombre réel 			& L2\\
Traitement :& $n$ prend la valeur 0 			& L3\\
			& $u$ prend la valeur 75 			& L4\\
			&Tant que $\textcolor{red}{u\geqslant 65}$& L5\\
			& \multicolumn{1}{@{\hspace{.5cm}}|l|}{$u$ prend la valeur $\textcolor{red}{0,96\times u+2}$} & L6\\
			& \multicolumn{1}{@{\hspace{.5cm}}|l|}{$n$ prend la valeur $n+1$} & L7\\
			& Fin Tant que 						& L8\\
Sortie :	& Afficher $n$ 						& L9\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item À la calculatrice, on trouve $u_{12}\approx 65,32$ et $u_{13}\approx 64,7$ donc l'algorithme affiche $\boxed{\textcolor{red}{n = 13}}$.
		\item Si on conserve ce réglage, le niveau de l'eau est suffisant pendant 12 jours.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice II \hfill  5 points}}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie A}}

\medskip

Le graphe ci-dessous représente le plan d'un centre de vacances. Les arêtes représentent les allées et les sommets, les carrefours. On a indiqué sur chaque arête la longueur en mètre des allées entre deux carrefours.

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-.2,-.25)(6.2,3.25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psset{linecolor=bleu,linewidth=1pt}
\psset{radius=.8mm,linecolor=bleu,fillstyle=solid,fillcolor=bleu}
\Cnode(0,1.5){A}\Cnode(1,3){B}\Cnode(1.5,0){C}\Cnode(3.5,3){D}\Cnode(3.5,0){E}\Cnode(4.5,1.5){F}\Cnode(6,1.5){G}
\sf{\footnotesize{
 \ncline{C}{A}\naput{110} \ncline{A}{B}\naput{75}
 \ncline{B}{C}\nbput{30} \ncline{C}{E}\naput{72}
 \ncline{E}{B}\nbput{42} \ncline{B}{D}\naput{50}
 \ncline{D}{F}\naput{103} \ncline{F}{E}\nbput{40}
 \ncline{E}{G}\nbput{93} \ncline{G}{F}\nbput{80}
\uput[l](0,1.5){A}\uput[u](1,3){B}\uput[d](1.5,0){C}\uput[u](3.5,3){D}\uput[d](3.5,0){E}\uput[l](4.5,1.5){F}\uput[r](6,1.5){G}
}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Le service d'entretien doit nettoyer toutes les allées. En partant du carrefour C, peut-on nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles ? Justifier la réponse.
Déterminons le degré des sommets
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Sommet	&A	&B	&C	&D	&E	&F	&G\\\hline
Degré	&2	&4	&3	&2	&4	&3	&2\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
Exactement deux sommets de ce graphe connexe ont un degré impair.

\textcolor{red}{Il existe donc une chaîne eulérienne}.
On peut donc nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d’elles.

\item %Existe-t-il un parcours permettant de nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d'elles et de revenir au point de départ ? Justifier la réponse.
Le graphe possède des sommets de degré impair.

Il n’existe donc \textcolor{red}{pas de cycle eulérien}.

Il n’existe donc pas de parcours permettant de nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d’elles et de revenir au point de départ.

\item %Déterminer le trajet le plus court pour aller du carrefour A au carrefour G.
Déterminons le trajet le plus court pour aller du carrefour A au carrefour G.

Pour cela,  nous allons utiliser l’algorithme de Dijkstra :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
A	&B		&C		&D		&E		&F		&G		&sommet\\\hline
0	&		&		&		&		&		&		&A\\\hline
	&75(A)	&110(A)	&		&		&		&		&B\\\hline
	&		&105(B)	&125(B)	&117(B)	&		&		&C\\\hline
	&		&		&125(B)	&117(B)	&		&		&E\\\hline
	&		&		&		&		&157(E)	&210(E)	&D\\\hline
	&		&		&		&		&157(E)	&210(E)	&F\\\hline
	&		&		&		&		&		&210(E)	&G\\\hline
\end{tabularx}
%\begin{itemize}
%\item \'{E}tape 1 : sélection de A
%\item \'{E}tape 2 : B:75 de A ; C:110 de A ; sélection de B
%\item \'{E}tape 3 : C:105 de B ; D:125 de B ; E:117 de B ; sélection de C
%\item \'{E}tape 4 : sélection de E
%\item \'{E}tape 5 : F:157 de E ; G:210 de E ; sélection de D
%\item \'{E}tape 6 : sélection de F
%\item \'{E}tape 7 : sélection de G
%\end{itemize}
%
%\begin{itemize}
%\item Plus courte chaîne entre A et B : A-B 
%\item Plus courte chaîne entre A et C : A-B-C 
%\item Plus courte chaîne entre A et D : A-B-D 
%\item Plus courte chaîne entre A et E : A-B-E 
%\item Plus courte chaîne entre A et F : A-B-E-F 
%\item Plus courte chaîne entre A et G : A-B-E-G 
%\end{itemize}

Le chemin le plus court est donc A -- B -- E -- G. Il mesure \textcolor{red}{210 mètres}.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B}}

\medskip
Dans ce centre de vacances, les vacanciers peuvent, chaque jour, déjeuner au restaurant du
centre ou à l'extérieur. On constate chaque jour que :

\begin{itemize}
\item 5 \% des vacanciers ayant déjeuné au centre de vacances ne se réinscrivent pas pour le lendemain ;
\item 20 \% des vacanciers ayant déjeuné à l'extérieur s'inscrivent pour déjeuner au centre de vacances le lendemain.
\end{itemize}

On note $D$ l'état \og Déjeuner au centre de vacances \fg{} et $E$ l'évènement \og Déjeuner à l'extérieur \fg.

\begin{enumerate}
\item %Construire un graphe modélisant cette situation.
Graphe correspondant à la situation :
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,1)
%\psgrid[subgriddiv=2](0,0)(-2,-6)(8,1)
\psnode(0,0){D}{\red \bf $D$}
\psnode(6,0){E}{\bf $E$}
\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}
\ncarc[linecolor=red]{->}{D}{E} \Aput{\red 0,05} 
\nccircle[angleA=60,linecolor=red]{->}{D}{.5cm} \Bput{\red 0,95}
\ncarc{->}{E}{D} \Aput{0,2}
\nccircle[angleA=-60]{->}{E}{.5cm} \Bput{0,8}
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Écrire la matrice de transition de ce graphe, les sommets étant rangés selon l'ordre alphabétique.
La matrice de transition de ce graphe, les sommets étant rangés selon l'ordre alphabétique, est : 
\[\boxed{\textcolor{red}{M=\begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,2&0,8\end{pmatrix}}}.\]

\item %Le premier jour, le quart des vacanciers a déjeuné au centre de vacances. Quel pourcentage de vacanciers déjeunera au centre de vacances le deuxième jour ? Le cinquième jour ?
On note $d_n$ et $e_n$ respectivement la proportion de vacanciers prenant leur déjeuner au centre de vacances et la proportion de vacanciers prenant leur déjeuner à l’extérieur le n-ième jour.

On note $P_n=\begin{pmatrix}d_n&e_n\end{pmatrix}$.

On a $P_1=\begin{pmatrix}0,25&0,75\end{pmatrix}$.

Le deuxième jour, on a $P_2=p_1\times M=\begin{pmatrix}0,25&0,75\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,95&0,05\\0,2&0,8\end{pmatrix}\\
=\begin{pmatrix}0,25\times 0,95+0,75\times 0,2&0,25\times 0,05+0,75\times 0,8\end{pmatrix}=\boxed{\textcolor{red}{\begin{pmatrix}\numprint{0,3875}&\numprint{0,6125})\end{pmatrix}}}$.

Le pourcentage de vacanciers qui mangent au centre le deuxième jour est $d_2=0,3875=38,75\:\%$.

De même, $P_5=P_1\times M^4\approx \boxed{\textcolor{red}{\begin{pmatrix}0,626&0,374\end{pmatrix}}}$ (calculé à la calculatrice).

Le pourcentage de vacanciers qui mangent au centre le cinquième jour est $d_5\approx 0,626=62,6\:\%$.

\item %L'état $\begin{pmatrix}0,5 &0,5\end{pmatrix}$ est-il stable ?
$\begin{pmatrix}0,5 &0,5\end{pmatrix}\times M=\begin{pmatrix}0,575&0,425\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}0,5 &0,5\end{pmatrix}$ donc l'état $\begin{pmatrix}0,5 &0,5\end{pmatrix}$ n'est pas stable.

\item %Peut-on affirmer qu'à terme, si les comportements des vacanciers restent les mêmes, 75~\% des vacanciers prendront leur déjeuner au centre ?
Déterminons l’état stable $P=\begin{pmatrix}d&e\end{pmatrix}$.
Il vérifie :

$\begin{cases}P=P\times M\\d+e=1\end{cases}\iff \begin{cases}d=0,95d+0,2e\\e=0,05d+0,8e\\e=1-d\end{cases}\iff \begin{cases}d=0,95d+0,2(1-d)\\e=1-d\end{cases}\iff \begin{cases}0,25d=0,2\\e=1-d\end{cases}\iff \begin{cases}d=0,8\\e=0,2\end{cases}$.

L’état stable est donc $\boxed{\textcolor{red}{P\begin{pmatrix}0,8&0,2\end{pmatrix}}}$.

Puisque la matrice $M$ est d’ordre 2 et ne comporte aucun 0, alors la suite $\left(P_n\right)$ converge vers la matrice $P$.

Sur le long terme, 80\:\% des vacanciers prendront leur déjeuner au centre.

L’affirmation est donc \textcolor{red}{fausse}.
\end{enumerate}

\newpage

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 7 points}}
%
\textbf{Commun à tous/toutes les candidat/e/s}

La courbe $\mathscr{C}$ ci-dessous est la courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l’intervalle [-4~;~10]. La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point A d’abscisse $-2$ est parallèle à l’axe des abscisses. Le domaine S grisé sur la figure est le domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses, la droite d’équation $x = 2$ et la droite d’équation 
$x = 4$.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(11,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+4)*EXP(-.5*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{2}{4}{\f} \gsave
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=prune](4,1.083)(4,0)(2,0)(2,2.207)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-1)(11,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-5,-1)(11,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{10}{\f}
\psset{linewidth=0.75pt, linecolor=prune}
\psline(4,1.083)(4,0)(2,0)(2,2.207)
\psline{<->}(-3.5,5.43656)(-.5,5.43656)
\psdot(-2,5.43656)
\uput[ul](-2,5.4){\footnotesize{\prune{$A$}}}\uput[u](6.5,.3){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{\textcolor{blue}{Partie A}}

\begin{enumerate}
\item %Déterminer, en la justifiant, la valeur de f ′(−2).
Puisque la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $-2$ est parallèle à l'axe des abscisses, on a : $\boxed{\textcolor{red}{f'(-2) = 0}}$.


\item %Par une lecture graphique, quel semble être le signe de f ′(4) ?
La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse 4 est \og{}dirigée vers le bas\fg{} donc le nombre dérivée $f'(4)$, coefficient directeur de cette tangente, est \textcolor{red}{négatif}.


\item %Déterminer, par une lecture graphique, un encadrement par deux entiers consécutifs de l’aire du domaine S grisé sur
%la figure.
L’aire du domaine S est comprise entre 3 et 4 unités d’aires.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B}}

La fonction $f$ précédente est définie sur l’intervalle [-4~;~10] par $f(x) = (x + 4) \mathrm{e}^{-0,5x}$.

\begin{enumerate}
\item 

\begin{enumerate}
\item %Montrer que f ′(x) = (−0,5x −1) e−0,5x .
La fonction $f$ est dérivable sur [-4~;~10].

La fonction $f$ est de la forme $uv$ donc de dérivée $u'v + uv'$ avec : 

$\begin{cases}u(x) = (x + 4)\\
v(x) =\mathrm{e}^{- 0,5x}\end{cases}$~;~$\begin{cases}u'(x)=1\\v'(x)= - 0,5\mathrm{e}^{-0,5x}\end{cases}$.

On en déduit : $f'(x) =1\times  \mathrm{e}^{-0,5x} +(x +4)\times (- 0,5)\mathrm{e}^{-0,5x}= (1 - 0,5x - 2)\times\mathrm{e}^{- 0,5x}$ donc 
\[\text{Pour tout }x\in[-4~;~10],~\boxed{\textcolor{red}{f'(x) = (- 0,5x - 1) \mathrm{e}^{- 0,5x}}}\]

\item Pour tout $x$, $\mathrm{e}^{-0,5x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $- 0,5x - 1$ et s'annule si $- 0,5x - 1 = 0$.

$-0,5x-1=0\iff -0,5x=1\iff x=-\dfrac{1}{0,5}=-2$.

$-0,5x-1>0\iff -0,5x>1\iff x<-2$ (en divisant par $- 0,5$, nombre négatif).

On en déduit que $f$ est décroissante sur $[-4~;~- 2]$ puis croissante sur $[- 2~;~10]$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&-4&&-2&&10\\
\filet
f'(x)&&+&\z&-&\\
\filet
\m{f(x)}&0&\c&\h{2\mathrm{e}}&\d&14\mathrm{e}^{-5}\\
\filet
\end{variations}
\end{center}


\item %Montrer que sur l’intervalle [ 1 ; 6 ] l’équation f (x) = 1,5 admet une unique solution. On notera α cette unique
%solution.
Sur $[1~;~6]$, $f$ est continue, $f(1)=5\mathrm{e}^{- 0,5}\approx 3,03 > 1,5$ et $f(6) = 10\mathrm{e}^{-3}\approx 0,5 < 1,5$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=1,5$ admet une solution sur $[1~;~6]$ ; celle-ci est unique dans cet intervalle, car $f$ est décroissante sur cet intervalle. On la note $\alpha$.

\item %Donner une valeur approchée à $10^{−2}$ de $\alpha$.
À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{\alpha\approx 3,11}}$.

\end{enumerate}

\item On admet que la dérivée seconde de $f$ est définie par $f''(x) = 0,25x\mathrm{e}^{-0,5x}$.

	\begin{enumerate}
		\item Étudions la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4~;~10]$.

$f$ est convexe sur un intervalle $[a~;~b]$ si, et seulement si, $f''(x)\geqslant 0$ sur cet intervalle.

Comme $\mathrm{e}^{0,5x}>0$, $f''(x) > 0\iff 0,25x > 0\iff x > 0$.

$f$ est donc \textbf{\textcolor{red}{convexe}} sur $[0~;~10]$.
		\item $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse 0. Les coordonnées du point d'inflexion sont donc $(0~;~4)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $F$ la fonction définie par $F(x)=(-2x+12)\mathrm{e}^{-0,5x}$. Pour montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[- 4~;~10]$, il suffit de montrer que $\boxed{\textcolor{red}{F'=f}}$.
		\item $S=\int_4^2f(x)\text{ d}x=F(4)-F(2)=-20\mathrm{e}^{-2}-\left(-16\right)\mathrm{e}^{-1}=\boxed{\textcolor{red}{16\mathrm{e}^{-1}-20\mathrm{e}^{-2}}}$.

$\boxed{\textcolor{red}{S\approx 3,18}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 3 points}}
\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ;1]$ par $f (x) = 4+ \mathrm{e}^{-5x}$.

On a tracé dans le repère orthogonal ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.

Le domaine $\mathcal{D}$ hachuré sur la figure est le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.

On veut partager le domaine hachuré en deux domaines de même aire par une droite d'équation $y = a$, parallèle à l'axe des abscisses, selon l'exemple donné ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=8cm,yunit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-.15,-.5)(1.3,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{4+EXP(-5*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f} \gsave
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=darkgray](1,0)(0,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=darkgray,hatchwidth=0.25pt] \grestore }
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=darkgray](1,0)(1,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-.15,-.5)(1.3,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
\psset{linewidth=0.75pt, linecolor=prune}
\psline(-.15,2.1)(1.3,2.1)
\psline[linecolor=red](0,3)(1,3)
\psline[linecolor=blue](0,5)(1,5)
\uput[ul](0,2.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[ul](1.3,2.1){\footnotesize{\prune{$y=a$}}} \uput[u](.2,4.4){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la valeur $a = 3$ ne convient pas.
Supposons que l'on prenne $a=3$ ; l'aire de la partie du plan comprise entre la droite d'équation y=3, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ vaut 3 (aire d'un rectangle).

L'aire de la partie du plan comprise entre la droite d'équation $y=3$, la courbe $\mathscr{C}$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ est inférieure à l'aire délimitée par les droites d'équations $y=3$ et $y=5$ qui vaut 2 (aire d'un rectangle).

Les deux aires sont donc différentes ; $a=3$ ne convient pas.

\item %Déterminer à $0,1$ près une valeur de $a$ qui convienne.
L'aire de la partie du plan comprise entre la droite d'équation $y=a$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ vaut $a$.

L'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ vaut donc $2a$.

Cette aire vaut $\int_0^1f(x)\text{ d}x$ avec $f(x)=4+ \mathrm{e}^{-5x}$.

Une primitive de $f$ est $F$ avec $F(x)=4x-\dfrac{1}{5}\mathrm{e}^{-5x}$ car $\mathrm{e}^{-5x} = - \dfrac{1}{5}\times (-5\mathrm{e}^{-5x})=-\dfrac{1}{5}u'(x)\mathrm{e}^{u(x)}$ en posant $u(x)=-5x$ dont une primitive est $-\dfrac{1}{5}\mathrm{e}^{-5x}$.

$\int_0^1f(x)\text{ d}x=F(1)-F(0) = 4 - \dfrac{\mathrm{e}^{-5}}{5}+\dfrac{1}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{21-\mathrm{e}^{-5}}{5}}}$.

On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{a=\dfrac{21-\mathrm{e}^{-5}}{10}\approx 2,1}}$ à 0,1 près
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  