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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet Académie de la Guyane
% Corrigé : François Hache
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%%%%   Commandes perso FH
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 24 juin 2015}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles--Guyane 24 juin 2015 ~\decofourright}}
\end{center}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune
%justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
%plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\emph{Aucune justification n'était demandée dans cet exercice.}

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 + 6x^2$ est convexe sur l'intervalle :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $]- \infty~;~+\infty[$&\textbf{b.~~} $[- 2~;~+\infty[$ &\textbf{c.~~} $]-\infty~;~-2]$ &\textbf{d.~~} $[-6~;~+\infty[$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Réponse b.}

Une fonction deux fois dérivable est convexe sur les intervalles sur lesquels sa dérivée seconde est positive.

$f(x) = x^3 + 6x^2
\Longrightarrow
f'(x)=3x^2+12x
\Longrightarrow
f''(x)=6x +12
$;
$f''(x) \pg 0 \iff x\in\cd{}-2\,;\, +\infty\cd{}$ 

\item  Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = (x - 2)\e^{x}$.
L'équation $g(x) = 0$ admet sur $\R$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} aucune solution&\textbf{b.~~} une seule solution\\
\textbf{c.~~} exactement deux solutions&\textbf{d.~~} plus de deux solutions
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Réponse b.}

Pour tout $x$, $\e^{x}>0$. Donc $g(x)=0 \iff x-2=0 \iff x=2$.

\item  On pose : $I = \displaystyle\int_0^1 - 2x\e^{- x^2}\:\text{d}x$. La valeur de $I$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $1 - \text{e}^{-1}$ &\textbf{b.~~} $\text{e}^{-1} - 1$&\textbf{c.~~}$- \text{e}^{-1} $&\textbf{d.~~}$\text{e}^{-1}$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Réponse b.}

La fonction $x \longmapsto -2x\e^{-x^2}$ a pour primitive la fonction 
$x \longmapsto \e^{-x^2}$. 

Donc 
$I = \displaystyle\int_0^1 - 2x\e^{- x^2}\:\text{d}x
= \left [ \e^{-x^2}\right ]_{0}^1 = \e^{-1} - \e^{0} = \e^{-1}-1$

\item  La fonction $h$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = (2x + 4) \ln x$.

On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$.

Pour tout nombre $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$,\: $h'(x)$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{2}{x}$&\textbf{b.~~} $2\ln x + \dfrac{4}{x}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{2x + 4}{x}$
&\textbf{d.~~}$2\ln x + \dfrac{2x + 4}{x}$
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Réponse d.}

Formule de dérivation d'un produit:
$h'(x)=2\times \ln x + (2x+4)\times \dfrac{1}{x} = 2\ln x + \dfrac{2x+4}{x}$

\item  Le prix d'une action a augmenté chaque mois de 5\,\% et cela pendant 3 mois consécutifs.

Globalement, le prix de l'action a été multiplié par:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $1,05^3$ &\textbf{b.~~}  1,15&\textbf{c.~~}  $3 \times 1,05$ &\textbf{d.~~}  1,45
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Réponse a.}

Augmenter de 5\,\%, c'est multiplier par $1,05$; si on augmente de 5\,\% pendant 3 mois consécutifs, on multiplie par $1,05\times 1,05\times 1,05=1,05^3$.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif.
L'enquête révèle que 70\,\% des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 80\,\% pratiquent le tri sélectif.
Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 10\,\% qui pratiquent le tri sélectif.
On interroge un élève au hasard dans le lycée. 

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{description}
\item[ ]$S$ : L'élève interrogé est sensible au développement durable.
\item[ ]$T$ : L'élève interrogé pratique le tri sélectif.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

%\emph{Les résultats seront arrondis à } $10^{-2}$.

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
On construit un arbre pondéré décrivant la situation:

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nrot=:U,levelsep=3cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt, treesep=1cm]
{\Tr{}}
{
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$S$}\naput{$0,7$}}
	  { 
		  \TR{$T$}\naput{0,8}
		  \TR{$\overline{T}$}\nbput{\red $1-0,8=0,2$}
	  }
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline S$}\nbput{\red $1-0,7=0,3$}}
	  {
		  \TR{$T$}\naput{$0,1$}
		  \TR{$\overline{T}$}\nbput{\red $1-0,1=0,9$}
	  }
}
\end{center}

\medskip

\item% Calculer la probabilité que l'élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.
L'évènement \og{}l'élève interrogé est sensible au développement durable et pratique le tri sélectif\fg{} est l'évènement $S \cap T$.

$P(S \cap T)=P(S)\times P_S(T)=0,7\times 0,8=0,56$

\item% Montrer que la probabilité $P(T)$ de l'évènement $T$ est $0,59$.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(T)=P(S \cap T) + P(\overline S \cap T) = 
P(S)\times P_S(T) + P(\overline S)\times P_{\overline S}(T)=
0,56 + 0,3\times 0,1 = 0,59$ 


\item On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif.

%Peut-on affirmer que les chances qu'il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 10\,\% ?

On évalue si cet élève est sensible au développement durable, donc on cherche $P_{\overline T}(S)$:

$P_{\overline T}(S) = \dfrac{P(S \cap \overline T)}{P(\overline T)} = 
\dfrac{P(S \cap \overline T)}{1-P(T)} = 
\dfrac{0,7\times 0,2}{1-0,59}\approx 0,34$

Les chances qu'il se dise sensible au développement durable sont de 34\,\% donc ne sont pas inférieures à 10\,\%.

\item On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement.
Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves pratiquant le tri sélectif parmi les 4 élèves interrogés.

%Le nombre d'élèves de l'établissement est suffisamment grand pour que l'on considère que $X$ suit une loi binomiale.

	\begin{enumerate}

		\item% Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
La probabilité qu'un élève interrogé au hasard pratique le tri sélectif est 0,59.		
La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,59$.

Pour une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$, la probabilité d'obtenir $k$ succès est donnée par:

\hfill $P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}$\hfill\null

		\item% Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif.
La probabilité qu'aucun des quatre élèves ne pratique le tri sélectif est:

$P(X=0)= \dbinom{4}{0}\times 0,59^0 (1-0,59)^{4} = 0,41^4 \approx 0,03$

		\item% Calculer la probabilité qu'au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le tri sélectif.
La probabilité qu'au moins deux des quatre élèves pratiquent le tri sélectif est $P(X \pg 2)$.

$P(X \pg 2) =
P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)\\
\phantom{P(X \pg 2)} =
\dbinom{4}{2}\times 0,59^2 (1-0,59)^{4-2} + 
\dbinom{4}{3}\times 0,59^3 (1-0,59)^{4-3} + 
\dbinom{4}{4}\times 0,59^4 (1-0,59)^{4-4}\\
\phantom{P(X \pg 2)} \approx
\np{0,3511} + \np{0,3368} + \np{0,1212} \approx
0,81$

On peut aussi utiliser l'évènement contraire:

$P(X \pg 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1)) \approx 1 - (\np{0,0283} + \np{0,1627}) 
\approx 0,81$

	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une municipalité vient de mettre en place le service \og vélo en liberté \fg. Il s'agit d'un service de location de vélos à la journée.
Les vélos sont disponibles sur deux sites $A$ et $B$ et doivent être ramenés en fin de journée indifféremment dans l'un des deux sites.

Après une étude statistique, on considère que :

\begin{itemize}
\item si un vélo est loué sur le site $A$, la probabilité d'être ramené en $A$ est $0,6$ ;
\item si un vélo est loué sur le site $B$, la probabilité d'être ramené en $B$ est $0,7$.
 \end{itemize}
 
%Les résultats numériques seront arrondis à $10^{-2}$ près.
 
% \medskip
 
\begin{enumerate}

\item On note respectivement $A$ et $B$ les états \og le vélo est en $A$ \fg{} et \og le vélo est en $B$ \fg; on traduit les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$:

\begin{center}
%\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.5)(4,1)
\Rnode{A}{$A$} \hskip 4cm \Rnode{B}{$B$}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  différents paramètres
\ncarc{->}{A}{B} \Aput{$1-0,6=0,4$}%              arc pondéré partant de A
\ncarc{->}{B}{A} \Aput{$1-0,7=0,3$}%              arc pondéré arrivant à B
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{4mm}   \Bput{0,6}%    boucle autour de A
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{.4cm} \Bput{0,7}%    boucle autour de B
\end{pspicture}
\end{center}


\item  La matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l'ordre $A$, $B$ est:

\hfill $M=
\begin{pmatrix}
0,6 & 0,4\\
0,3 & 0,7
\end{pmatrix}$\hfill\null

\emph{Normalement, il n'y a pas lieu de justifier cette matrice; c'est du cours.}

\item  Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ (respectivement $b_n$) la probabilité qu'un vélo quelconque soit, après $n$ jours, sur le site $A$ (respectivement sur le site $B$).

On note $P_n$ la matrice $\begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ correspondant à l'état probabiliste après $n$ jours.

Le premier jour, tous les vélos sont distribués également sur les deux sites. On a donc
$P_0 = \begin{pmatrix}0,5& 0,5\end{pmatrix}$.

	\begin{enumerate}

		\item On donne :
$M^2 = \begin{pmatrix} 0,48& 0,52\\0,39& 0,61\end{pmatrix}$
		
%Calculer $P_2$ en donnant le détail des calculs matriciels.

D'après le cours, on sait que, pour tout $n\pg 1$, $P_n=P_0 M^n$; donc:

$P_2=P_0 M^2 = 
\begin{pmatrix}0,5& 0,5\end{pmatrix}
\times 
\begin{pmatrix} 0,48& 0,52\\0,39& 0,61\end{pmatrix}\\
\phantom{P_2}
=
\begin{pmatrix} 0,5\times 0,48 + 0,5\times 0,39 & 0,5\times 0,52+ 0,5\times  0,61\end{pmatrix}\\
\phantom{P_2}
=
\begin{pmatrix} 0,24+0,195 & 0,26+0,305\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0,435 & 0,565\end{pmatrix}
$


		\item% Calculer $P_4$ et interpréter le résultat dans le contexte du problème. 
On calcule à la calculatrice:
$P_4 = P_0M^4 = P_0M^2M^2 = P_2M^2 =
\begin{pmatrix}
\np{0,42915} & \np{0,57085}
\end{pmatrix}$		
		
En arrondissant au centième $P_4 \approx \begin{pmatrix}
\np{0,43} & \np{0,57}
\end{pmatrix}$.

Au bout de 4 jours, 43\,\% des vélos seront sur le site A.		
		\item% Déterminer l'état stable du graphe, noté $\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$.
On note $P=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$ l'état stable du graphe.

Pour que $P$ soit un état du graphe, il faut que $a + b = 1$.

Pour qu'en plus $P$ soit un état stable, il faut que $PM = P$:

$PM=P
\iff
\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix} 
\times
\begin{pmatrix} 0,6 & 0,4\\ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
0,6a+0,3b & a\\
0,4a+0,7b & b
\end{array}
\right. \\
\phantom{PM=P}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
-0,4a+0,3b & 0\\
0,4a-0,3b & 0
\end{array}
\right.
\iff
0,4a-0,3b=0$

L'état stable est donc solution de:
 
$\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
0,4a - 0,3b & 0\\
a+b & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
0,4a - 0,3(1-a) & 0\\
a+b & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
0,7a  & 0,3\\
a+b & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
a & \dfrac{3}{7}\\[8pt]
b& \dfrac{4}{7}
\end{array}
\right.
$

On prend $P=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{7} & \dfrac{4}{7} \end{pmatrix}$.
On vérifie que $PM=P$.

On peut donc en déduire que
$P=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{7} & \dfrac{4}{7} \end{pmatrix}$
est l'état stable du graphe. 

		\item Tous les mois, un véhicule est affecté à la redistribution des vélos afin de rétablir au mieux la répartition initiale qui était de $70$~vélos sur chaque site.
		
La municipalité envisage d'affecter un véhicule pouvant contenir $12$ vélos.
		
%Ce choix parait-il adapté à la situation ?

Au début, il y a 70 vélos sur chaque site, donc 140 en tout. 

Sur le site $A$, au bout d'un certain temps, il y  aura $\dfrac{3}{7}\times 140 = 60$ vélos; cela fait donc une différence de $70-60=10$ vélos.

Sur le site $B$, au bout d'un certain temps, il y en aura $\dfrac{4}{7}\times 140 = 80$ vélos; cela fait donc une différence de $80 - 70 = 10$ vélos.
 
Le choix par la municipalité d'un véhicule pouvant contenir 12 vélos  semble donc adapté.

	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

En 2010, un opérateur de téléphonie mobile avait un million de clients. Depuis, chaque année, l'opérateur perd 10\,\% de ses clients, mais regagne dans le même temps \np{60000}~nouveaux clients.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On donne l'algorithme suivant:% Expliquer ce que l'on obtient avec cet algorithme.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables :}	& $k$, NbClients\\
\textbf{Traitement :}	&Affecter à $k$ la valeur $0$\\
						&Affecter à NbClients la valeur 1 000 000\\
						&Tant que $k < 8$\\
						&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
								Affecter à $k$ la valeur $k + 1$\\
								Affecter à NbClients la valeur $0,9 \times \text{NbClients} +\np{60000}$\\
							 	Afficher NbClients\\
								\end{tabular}\\
						&Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Cet algorithme calcule et affiche le nombre de clients pour $k$ variant de 1 à 8  c'est-à-dire pour les années 2011 à 2018. 
		
		\item On complète le tableau  pour $k$ variant de $0$ jusqu'à $5$:
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{6}{c|}} \hline		
$k$			&0	&1	&2	&3	&4	&5 \\ \hline
NbClients	&\np{1000000}	& \np{960000}	& \np{924000}	& \np{891600}	& \np{862440}	& \np{836196}  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\item  En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite $\left(U_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par:
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
U_0		&\np{1000}\\
U_{n+1}	&0,9U_n + 60.
\end{array}\right.$

Le terme $U_n$ donne une estimation du nombre de clients, en millier, pour l'année $2010 + n$.

Pour étudier la suite $\left(U_n\right)$, on considère la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $V_n = U_n - 600$; on a donc $U_n = V_n + 600$

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la suite $\left(V_n\right)$ est géométrique de raison 0,9.
$V_{n+1}= U_{n+1}-600 = 0,9U_n +60 - 600 = 0,9(V_n+600) - 540 = 0,9V_n +540-540=0,9V_n$

$V_0=U_0-600 = \np{1000}-600=400$

Donc la suite $(V_n)$ est géométrique de premier terme $V_0=400$ et de raison $q=0,9$.

		\item%  Déterminer l'expression de $V_n$ en fonction de $n$.
La suite $(V_n)$ est géométrique de premier terme $V_0=400$ et de raison $q=0,9$ donc, pour tout $n$, $V_n=V_0q^n = 400 \times 0,9^n$.

		\item%  Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $U_n = 400 \times  0,9^n + 600$.
$\left. 
\begin{array}{@{} l !{=} c}
U_n &V_n+600\\
V_n &400 \times 0,9^n
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
U_n = 400 \times 0,9^n + 600$ pour tout entier naturel $n$.

		\item%  Montrer que la suite $\left(U_n\right)$ est décroissante. Interpréter le résultat dans le contexte de ce problème.
$U_{n+1}-U_n= (400 \times 0,9^{n+1} + 600) - (400 \times 0,9^n + 600)=
400\times 0,9^{n+1}-400\times 0,9^{n}\\
\phantom{U_{n+1}-U_n} = 400\times 0,9^n(0,9-1) =
- 400\times 0,9^n \times 0,1 <0$

Donc la suite $(U_n)$ est décroissante. 

Comme $U_n$ donne une estimation du nombre de clients, en millier, pour l'année $2010+n$, on peut déduire que ce nombre de clients diminue au fil des années.
	\end{enumerate}	
\item À la suite d'une campagne publicitaire conduite en 2013, l'opérateur de téléphonie observe une modification du comportement de ses clients.
Chaque année à compter de l'année 2014, l'opérateur ne perd plus que 8\,\% de ses clients et regagne \np{100000}~nouveaux clients.
On admet que le nombre de clients comptabilisés en 2014 était égal à \np{860000}.
	
%En supposant que cette nouvelle évolution se poursuive durant quelques années, déterminer le nombre d'années nécessaire pour que l'opérateur retrouve au moins un million de clients.

L'évolution depuis 2014 peut être modélisée par une suite $(W_n)$.
En 2014, l'année 0, il y a \np{860000} abonnés.
L'opérateur perd 8\,\% des abonnés, donc il en garde 92\,\%, et en acquiert \np{100000} nouveaux chaque année.

La suite $(W_n)$ est donc définie par:
$\left\lbrace 
\begin{array}{l!{=} l l}
W_0 & \np{860000} & \\
W_{n+1} & 0,92W_{n} + \np{100000} & \text{pour tout entier naturel }n
\end{array}
\right. $

On détermine à la calculatrice, à partir de quand le nombre d'abonnés dépasse \np{1000000}:

\begin{center}
\begin{tabular}{|*8{c|}}
\hline
Rang & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
Abonnés & \np{860000} & \np{891200} & \np{919904} & \np{946312} & \np{970607} & \np{992958} & \np{1013522} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Il faut donc 6 ans pour que l'opérateur retrouve plus d'un million d'abonnés.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip

%\emph{Les deux parties sont indépendantes}
%
%\medskip

Une machine permet le conditionnement d'un jus de fruit dans des bouteilles.

La quantité de jus injecté dans une bouteille par la machine, exprimée en ml (millilitre), est modélisée avec une variable aléatoire réelle $X$.

On admet que celle-ci suit une loi normale de moyenne $\mu = 500$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

On prélève une bouteille au hasard en fin de chaîne de remplissage.

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Déterminer $P(X \leqslant 496)$. Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.
\`A la calculatrice, on trouve:
$P(X \pp 496) \approx 0,02$


\item  La probabilité que la bouteille ait un contenu compris entre $497$ et $500$ millilitres est donné par la calculatrice: $P(497 \pp X \pp 500) \approx 0,43$ 
%Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.

\item%  Comment choisir la valeur de $\alpha$ afin que $P(500 - \alpha \leqslant X \leqslant  500 + \alpha)$ soit approximativement égale à $0,95$ à $10^{-2}$ près.
On sait d'après le cours que si la variable aléatoire $X$ suit la loi normale $\mathcal N(\mu\,;\,\sigma^2)$:\\
$P(\mu-2\sigma \pp X \pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$.

Il faut donc prendre $\alpha=2\sigma=4$ pour que $P(500 - \alpha \leqslant X \leqslant  500 + \alpha) \approx 0,95$.

\end{enumerate}
 
%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

Une association de consommateurs a testé un lot de $200$~bouteilles issues de cette chaine de production. Il a été constaté que $15$ bouteilles contiennent moins de $500$~ml de jus de fruit contrairement à ce qui est annoncé sur l'étiquetage; donc la fréquence observée de bouteilles contenant au moins $500$~ml de jus de fruit est  $f=\dfrac{200-15\rule{0pt}{10pt}}{200}= 0,925$.

L'entreprise qui assure le conditionnement de ce jus de fruit affirme que 97\,\% des bouteilles produites contiennent au moins $500$~millilitres de jus de fruit; donc la probabilité que la bouteille soit conforme est $p = 0,97$.

On va déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%; les conditions de détermination de cet intervalle sont
$n > 30$, $np > 5$ et $n(1 - p) > 5$.

Or $n = 200>30$,\: $np=200\times 0,97 = 194 > 5$ et $n(1 - p) = 200\times 0,03 = 6 > 5$

L'intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% est:

\[I=
\left [ p-1,96\dfrac{\ds\sqrt{p(1 - p)}}{\ds\sqrt{n}} \,;\, p + 1,96\dfrac{\ds\sqrt{p(1 - p)}}{\ds\sqrt{n}}\right ]\]

Donc:

\[I
=
\left [0,97-1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,97\times 0,03}}{\ds\sqrt{200}} \,;\, 0,97+1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,97\times 0,03}}{\ds\sqrt{200}}\right ]
\approx \cd{}0,94\,;\, 1\cg\]
 
$f=0,925 \not\in I$ donc le test réalisé par l'association remet en cause l'affirmation de l'entreprise.
%Le test réalisé par l'association remet-il en cause l'affirmation de l'entreprise?
\end{document}