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% remplacer answers par noanswers pour ne pas afficher les solutions
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%\newcommand{\entetecor}[4]{%
                  
%\rhead{#3}
%\chead{\shadowbox{Corrigé du baccalauréat S  #1 du #2}}
%\lfoot{Baccalauréat 2018}
%\rfoot{A. Detant}
%\setcounter{page}{1}
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           % \rfoot{#3}
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%                  }

 %** surlignage en jaune, rouge, vert ***
 \newcommand{\surj}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
 \newcommand{\surr}[1]{\fcolorbox{red}{red}{#1}}
 \newcommand{\surv}[1]{\fcolorbox{green}{green}{#1}}
 
 % % % % % % % % % % % % % %
 % COMMANDES MATHÉMATIQUES %
 % % % % % % % % % % % % % %
 
 %\input{tabvar} %** permet d'utiliser Pst+ pour les tableaux de variation et arbres (ATTENTION tabvar.tex doit être dans le répertoire de compilation du document)
 
 %** écrire un repère (hors environnement math)
 
 \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
 \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
 \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
  
 %** écrire une équivalence, une implication (dans un environnement math)
 
 \newcommand{\equi}{\Longleftrightarrow}
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 %** écrire une relation d'ordre (dans un environnement math)
 \newcommand{\pp}{\leqslant}
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 %*** Ensembles de nombres ***
 \newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
 \newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
 \newcommand{\D}{\mathbb{D}} 
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 %**** écrire un vecteur (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\,\,}}
 %**** écrire une variable aléatoire (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\binomiale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{B}\left(#1~;~#2 \right) }
 \newcommand{\expo}[1]{\hookrightarrow \mathcal{E}\left(#1 \right) }
 \newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) }
 %**** écrire un angle géométrique (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\anglg}[1]{$\widehat{#1\,\,}$}
 %**** écrire un angle orienté de vecteurs *****
 \newcommand{\anglor}[2]{$\left( ~\vect{#1}~;~\vect{#2}~\right) $}
 %***** Écrire un repère (en dehors de l'environnement math) *******
 \def\Oij{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
 \def\Oijk{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
 \def\Ouv{$\left(\text{O};~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
 %*** écrire i (dans un environnement mathématique)****
 \newcommand{\im}{\text{i}}
 %*** écrire e (dans un environnement mathématique)****
 
 \newcommand{\e}{\text{e}}
 %*** écrire une exponentielle (dans un environnement mathématique)****
 \renewcommand{\exp}[1]{\text{e}^{#1}}
 %*** écrire le symbole multiplié (dans un environnement mathématique)
 \newcommand{\x}{\times}
 %**** écrire un module (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\module}[1]{\left| #1\right| ~}
 %**** écrire un conjugué (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\conj}[1]{$\overline{~#1~}~$}
 %**** écrire une intégrale (dans un environnement math)*****
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 %**** écrire la valeur d'une intégrale (dans un environnement math)*****
   \newcommand{\valinteg}[3]{\left[ #3 \right]_{_{#1}}^{^{#2}}~}
  %**** écrire une somme (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\somme}[4]{\displaystyle \sum_{#1=#2}^{#1=#3} \left(#4\right) ~}
 %**** écrire des limites (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$}
 \newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$}
 \newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$}
 %\usepackage{fancyhdr}
 
 \newcommand{\entetecor}[4]{%
                   
 \rhead{#3}
 \chead{\shadowbox{\large Corrigé du baccalauréat ES  #1 du #2}}
 \lfoot{Baccalauréat 2019}
 \rfoot{A. Detant}
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            % \rfoot{#3}
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                   }
                   
\begin{document}
%\SetWatermarkText{Lycée Henri IV}
%\SetWatermarkScale{0.6}
%\entete{9}{vendredi 13 mai 2016}{TS 2}{2 heures}{B}
%\entetecor{Pondichéry}{4 mai 2018}{TS}{}
\entetecor{Antilles - Guyane}{18 juin 2019}{TES}{}


\titlespacing*{\subsubsection}
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{0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant
{0ex plus 0ex}%␣espace␣après
[0pt]%␣retrait␣à␣droite

\label{Exercice 1}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

%\medskip

\emph{La partie \rm C est indépendante des parties \rm A et \rm B.}

%\medskip

%Une grande enseigne décide d'organiser un jeu permettant de gagner un bon d'achat. Le jeu se déroule en deux étapes:

%\setlength\parindent{1.2cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]\textbf{Étape 1} : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de 1 à 50, chaque numéro ayant la même probabilité d'être découvert ;
%\item[$\bullet~~$]\textbf{Étape 2}:
%	\begin{itemize}
		%\item s'il découvre un numéro compris entre 1 et 15, il fait tourner une roue divisée en 10 secteurs de même taille dont 8 secteurs contiennent une étoile ;
		%\item sinon, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en $10$ secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile.
%	\end{itemize}
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}

%\medskip

%Un bon d'achat est gagné par le client si la roue s'arrête sur une étoile.

%\bigskip

\textbf{Partie A}

%\medskip

%Un client joue à ce jeu. On note:

%$N$ l'évènement \og Le client découvre un numéro entre 1 et 15\fg{};

%$E$ l'évènement \og Le client obtient une étoile \fg.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $P(N) = 0,3$ et que $P_N(E) = 0,8$.
		
		\begin{solution}
		
		On se trouve donc dans une situation d'équiprobabilité.
		
		$P(N)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}=\dfrac{15}{50}=0,3$
		
		De même, 8 secteurs de la roue parmi les 10 réalisent $E$, on a donc $P_N(E)=\dfrac{8}{10}=0,8$
		 	
		\end{solution}
		
		\item %Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
		
		\begin{solution}
		Avec la même méthode que précédemment on obtient $P_{\overline{N}}(E)=\dfrac{1}{10}=0,1$
				
		\begin{center}
		\bigskip
		  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=2.5cm,treesep=1cm]{\TR{}}
		 {
		 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$N$}\naput{$0,3$}}
		 	  { 
		 		  \TR{$E$}\naput{ $0,8$}
		 		  \TR{$\overline{E}$}\nbput{ $0,2$}	   
		 	  }
		 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{N}$}\nbput{ $0,7$}}
		 	  {
		 		  \TR{$E$}\naput{ $0,1$}
		          \TR{$\overline{E}$}\nbput{ $0,9$} 
		     }
		}
		\bigskip
		\end{center}		
		\end{solution}
				
	\end{enumerate}
\item %Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre 1 et 15 et une étoile.
		
\begin{solution}
On cherche $P(E\cap N)$

$p(E \cap N)=P_{N}(E)\x p\left( N\right)=0,8\x0,3=0,24$			
\end{solution}

\item %Justifier que la probabilité que le client gagne un bon d'achat est égale à $0,31$.
		
\begin{solution}
On cherche $P(E)$
				
$N$ et $\overline{N}$ forment une partition de l'univers donc, d'après les probabilités totales on a:
	
	$p(E)=p(E \cap N)+p\left(E \cap  \overline{N} \right)$
	
	$\hphantom{p(E)}=P_{N}(E)\x p\left( N\right)+P_{\overline{N}}(E)\x p\left( \overline{N}\right) $
	
	$\hphantom{p(E)}=0,24+0,1\x 0,7$
	
	$\hphantom{p(E)}=0,31$
	
	On a donc bien $p(E)=0,31$.							
				
\end{solution}


\item %Le client a gagné un bon d'achat. Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu un numéro entre 1 et 15 à la première étape ?
		
\begin{solution}
On cherche $p_{E}(N)$

$p_{E}(N)=\dfrac{p\left( N \cap E\right) }{p\left( E\right) }=\dfrac{0,24}{0,31}\approx 0,774$.				
				
\end{solution}


\end{enumerate}

%\bigskip

\textbf{Partie B}

%\medskip

%Le montant d'un bon d'achat est de 10 euros.

%Pour ce jeu, le directeur de l'hypermarché a prévu un budget de $250$~euros par tranche de $100$~clients y participant. Pour vérifier que son budget est suffisant, il simule $100$~fois le jeu d'un client à l'aide d'un logiciel.

%On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à $100$ jeux simulés, associe le nombre de bons d'achat gagnés. On admet que $X$ suit une loi binomiale.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Préciser les paramètres de $X$.
		
\begin{solution}
Il y a $n=100$ répétitions et la probabilité du \og succès\fg{} est $p=P(E)=0,31$.

$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,31$				
				
\end{solution}


\item %Calculer la probabilité pour qu'il y ait exactement $30$ clients gagnants.
		
\begin{solution}
On cherche $P(X=30)$

$P(X=30)=\begin{pmatrix}
100\\30
\end{pmatrix}\x0,31^{30}\x0,69^{70}\approx 0,085$				
				
\end{solution}


\item %Quel est le montant moyen de la somme totale offerte en bons d'achat ? Le budget prévisionnel est-il suffisant ?
		
\begin{solution}
L'espérance de $X$ suivant la loi binomiale de paramètre $n$ et $p$ est $\text{E}(X)=np$

Le nombre moyen de gagnants pour 100 clients participants est donc 
de $100\x0,31=31$.

Un bon d'achat est de 10\euro{}, le montant moyen de la somme totale offerte est de $31\x10=310$  \euro{}, le budget est donc insuffisant. 				
\end{solution}


\end{enumerate}

%\bigskip

\textbf{Partie C}

%\medskip

%La direction de l'hypermarché étudie le temps que les clients passent dans son magasin.

%On admet que le temps, exprimé en minute, passé dans ce magasin par un client peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 45$ et d'écart type $\sigma = 5$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste entre $30$ et $60$~minutes.
		
\begin{solution}
On cherche $P(30\pp Y \pp 60)$

$P(30\pp Y \pp 60)=P\left( \mu-3\sigma \pp Y \pp \mu+3\sigma\right) \approx 0,99$				

Cela signifie qu'environ 99\% des clients restent entre $30$ et $60$~minutes.

\vspace{0.3cm}
\textit{On pouvait évidemment utiliser directement la calculatrice pour trouver ce résultat}.				
\end{solution}


\item %Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste plus de $50$ minutes.
		
\begin{solution}
On cherche $P(Y \pg 50)$

$P\left( \mu-\sigma\pp Y\pp \mu+\sigma\right) \approx 0,68$ donc par symétrie, $P\left( \mu\pp Y \pp \mu+\sigma\right) \approx 0,34$. 

On en déduit que $P(45\pp Y \pp 50) \approx 0,34$


$P(Y \pg 50)=0,5-P(45\pp Y \pp 50) \approx 0,16$				

Cela signifie qu'environ 16\% des clients restent plus de $50$~minutes.				

\vspace{0.3cm}
\textit{On pouvait évidemment utiliser directement la calculatrice pour trouver ce résultat}.				
\end{solution}


\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\label{Exercice 2-Obli}
\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

%\medskip

%Un infographiste simule sur ordinateur la croissance d'un bambou. Il prend pour modèle un bambou d'une taille initiale de $1$~m dont la taille augmente d'un mois sur l'autre de 5\,\% auxquels s'ajoutent $20$~cm.

%Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_n$ la taille, exprimée en centimètre, qu'aurait le bambou à la fin du $n$-ième mois, et $u_0 = 100$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$ et $u_2$.
		
\begin{solution}
$u_1=u_0+\dfrac{5}{100}\x u_0+20=125$  ~~~et~~~ $u_2=u_1+\dfrac{5}{100}\x u_1+20=151,25$

 				
				
\end{solution}


\item %Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$, \:$u_{n+1} = 1,05 \times u_n + 20$.
		
\begin{solution}
En un mois, la taille augmente de 5\%, elle est donc multipliée par 1,05 puis on ajoute $20$~cm.

On a donc bien $\forall n \in \N~,~u_{n+1} = 1,05 \times u_n + 20$.				
				
\end{solution}


\item  %Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n = u_n + 400$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
				
		\begin{solution}
						
		$\forall n \in \N~,~v_{n+1}=u_{n+1}+400$
		
		$\hphantom{\forall n \in \N~,~v_{n+1}}=1,05u_{n}+420$
		
		$\hphantom{\forall n \in \N~,~v_{n+1}}=1,05\left( u_{n}+400\right) $
		
		$\hphantom{\forall n \in \N~,~v_{n+1}}=1,05v_n $
		
		On en déduit que $\left( v_n\right) $ est géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $v_0=u_0+400=500$
						
		\end{solution}
		
		
		\item  %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
				
		\begin{solution}
		$\forall n \in \N~,~v_{n}=v_0\x q^n=500\x 1,05^n$
		\end{solution}
		
		
		\item  %En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 500 \times 1,05^n - 400$.
				
		\begin{solution}
		$\forall n \in \N~,~v_{n}=v_0\x q^n=500\x 1,05^n$ or $v_n=u_n+400$
				
				On a donc bien $\forall n \in \N~,~u_{n}=500 \times 1,05^n - 400$								
						
		\end{solution}
		
		
		\item  %Calculer la taille du bambou, au centimètre près, à la fin du 7\up{e} mois.
				
		\begin{solution}
		$u_7=500 \times 1,05^7 - 400\approx 304$.
		
		À la fin du 7\up{e} mois, le bambou mesurera environ $303$~cm.				
						
		\end{solution}
		
		
 	\end{enumerate}
\item  %On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel $n$ est un entier naturel et $u$ est un nombre réel.
	
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
%$u \gets 100$\\
%$n \gets 0$\\
%Tant que $u < 200$ faire\\
%\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
%$u \gets 1,05 \times u + 20$\\
%$n \gets n+1$
%	\end{tabular}\\
%Fin Tant que \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item %Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme.
				
\begin{solution}
						

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Test $u < 200$& &vrai &vrai&vrai&vrai&faux\\ \hline
Valeur de $u$& 100&125&151,25&178,81&207,75& \\ \hline
Valeur de $n$& 0&1&2&3&4&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	
\end{solution}


		\item  %Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?

%Interpréter le résultat au regard de la situation étudiée dans cet exercice.
		
\begin{solution}
À la fin de l'exécution, la valeur de $n$ est 4. Cela signifie qu'il faut attendre la fin du 4\up{ème} mois pour le bambou mesure au moins $2$~m.				
				
\end{solution}


		\item  %Modifier les lignes nécessaires dans l'algorithme pour déterminer le nombre de mois qu'il faudrait à un bambou de $50$~cm pour atteindre ou dépasser $10$~m.
				
		\begin{solution}
						
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
		$u \gets {\red 50}$\\
		$n \gets 0$\\
		Tant que $u < {\red 1000}$ faire\\
		\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
		$u \gets 1,05 \times u + 20$\\
		$n \gets n+1$
			\end{tabular}\\
		Fin Tant que \\ \hline
		\end{tabularx}
		\end{center}
		
		\vspace{0.3cm}
		\textit{\textbf{\underline{Remarque}}: on ne le demande pas mais si on applique cet algorithme on trouve $n=24$ donc il faut attendre la fin du 24\up{e} mois, soit 2 ans, pour qu'un bambou de $50$~cm atteigne ou dépasse $10$~m}. 				
		\end{solution}
		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\label{Exercice 2-Spé}
\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip

%La mairie d'une ville propose une carte jeune annuelle donnant droit à des réductions sur les activités culturelles et de loisirs. La mairie espère que dans l'avenir, au moins 70\,\% de la population des 12-18~ans possèdent la carte et si oui, en quelle année cela se produirait.

%Ces dernières années, lors du renouvellement de la carte, on a constaté que 10\,\% des possesseurs de  la carte ne la rachètent pas. Dans le même temps, 30\,\% de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l'année précédente achètent la carte. On fait l'hypothèse que l'effectif de la population des 12-18 ans est constant et que l'évolution va rester la même pour les prochaines années.

%En 2018, 80\,\% des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte.

%On note, pour tout entier naturel $n$, $a_n$ la part de la population des 12-18 ans de la ville possédant la carte l'année $2018+ n$, et $b_n$ la part de la population des 12-18 ans ne la possédant pas.

%\bigskip

\textbf{Partie A}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B où le sommet A représente l'état \og posséder une carte jeune \fg{} et B l'état \og ne pas posséder une carte jeune \fg.
		
\begin{solution}
Soit $A_n$: \og Posséder une carte jeune l'année $2018+n$ \fg{} et $B_n$: \og Ne pas posséder une carte jeune l'année $2018+n$ \fg{}

L'énoncé donne $P_{A_n}\left(B_{n+1}\right)  =0,1$~,~$P_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=0,3$~et~$b_0=0,8$.

On en déduit $P_{A_n}\left(A_{n+1}\right)  =1-P_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=0,9$~,~$P_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=1-P_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=0,7$~et~$a_0=1-b_0=0,2$.

\vspace{0.3cm}				
\begin{center}
{
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,1)
%\psgrid[subgriddiv=2](0,0)(-2,-6)(8,1)
\psnode(0,0){A}{\bf A}
\psnode(6,0){B}{\bf B}

\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}

\ncarc{->}{A}{B} \Aput{ 0,1} 

\nccircle[angleA=90]{->}{A}{.5cm} \Bput{ 0,9}

\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,3}

\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{.5cm} \Bput{0,7}

\end{pspicture}
}
\end{center}
				
\end{solution}


\item %Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre A puis B des sommets.
		
\begin{solution}
$M=\begin{pmatrix}
0,9&0,1\\
0,3&0,7
\end{pmatrix}$				
\end{solution}


\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $a_2 = 0,552$ et $b_2 = 0,448$.
				
		\begin{solution}
		Soit $P_n=\left(a_n~;~b_n \right)$ l'état probabiliste à l'année $2018+n$.
		
		On $P_n=P_0M^n$ avec $P_0=\left( a_0~;~b_0\right) =(0,2~;~0,8)$
		
		 				
		$\left(a_2~;~b_2 \right)=P_2=P_0M^2=(0,2~;~0,8)\x \begin{pmatrix}
		0,84&0,16\\
		0,48&0,52
		\end{pmatrix}=(0,552~~~~~~0,448)$
		
		On a donc bien $a_2 = 0,552$ et $b_2 = 0,448$.				
		\end{solution}
		
		
		\item %Interpréter le coefficient $0,552$ dans le contexte de l'énoncé.
				
		\begin{solution}
		Cela signifie qu'en $2018+2=2020$, on peut estimer qu'environ 55,2\% des 12-18ans auront la carte jeune.				
						
		\end{solution}
		
		
 	\end{enumerate}
 	
\newpage
\item % On note $a$ et $b$ les coefficients de la matrice $P$ correspondant à l'état stable de ce graphe.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système $\left\{\begin{array}{r c l}
		%- 0,1a + 0,3b&=& 0\\
	%	a + \phantom{0,3}b&=&1
		%\end{array}\right.$
				
		\begin{solution}
		$P=(a~~~b)$ est l'état stable si et seulement si $\left\{\begin{array}{r c l}
				P&=& PM\\
				a +b&=&1
				\end{array}\right.$.
		
		$P=PM~\equi~(a~~~b)=(a~~~b)\x\begin{pmatrix}
		0,9&0,1\\
		0,3&0,7
		\end{pmatrix}$
		
		$\hphantom{P=PM}~\equi~(a~~~b)=(0,9a+0,3b~~~~~0,1a+0,7b)$ 
		
		$\hphantom{P=PM}~\equi~\begin{cases}
		0,9a+0,3b=a\\0,1a+0,7b=b
		\end{cases}$
		
		$\hphantom{P=PM}~\equi~\begin{cases}
				-0,1a+0,3b=0\\0,1a-0,3b=0
		\end{cases}$
				
		$\hphantom{P=PM}~\equi~-0,1a+0,3b=0$
		
		\vspace{0.2cm}
		Finalement on a bien $\left\{\begin{array}{r c l}
				- 0,1a + 0,3b&=& 0\\
				a + \phantom{0,3}b&=&1
				\end{array}\right.$ 				
						
		\end{solution}
		
		
		\item %Justifier que la mairie peut espérer qu'à l'avenir au moins 70\,\% de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
				
		\begin{solution}
						
		$\left\{\begin{array}{r c l}
		- 0,1a + 0,3b&=& 0\\
		a + \phantom{0,3}b&=&1
		\end{array}\right. ~\equi~
		\left\{\begin{array}{r c l}
		- 0,1a + 0,3(1-a)&=& 0\\
		b&=&1-a
		\end{array}\right.~\equi~
		\left\{\begin{array}{r c l}
		a&=& 0,75\\
		b&=&0,25
		\end{array}\right. $
		
		L'état stable est donc $P=(0,75~~~~~0,25)$ ce qui signifie qu'avec le temps la proportion de la population des 12-18 ans possédant la carte se stabilisera aux alentours de 75\%. L'objectif sera donc atteint.				
		\end{solution}
		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip

\textbf{Partie B}

%\medskip

%On admet que pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = 0,6 a_n + 0,3$ et que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On donne l'algorithme suivant dans lequel $A$ est un nombre réel et $N$ est un entier naturel.

%Recopier puis compléter les pointillés des lignes 3 à 5 de l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche le nombre d'années nécessaires à la mairie pour atteindre son objectif qu'au moins 70\,\% de la population des 12-18 ans possèdent la carte.

		
\begin{solution}
				
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$A \gets 0,2$\\
$N \gets 0$\\
Tant que {\red $A<0,7$}  faire\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
$A$ prend la valeur {\red $0,6A+0,3$}\\
$N$ prend la valeur {\red $N+1$}\\
\end{tabular}\\
Fin Tant Que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}				
\end{solution}


\item  %En quelle année l'objectif sera-t-il atteint ?
		
\begin{solution}
L'objectif sera atteint en $2018+5=2023$.

\textbf{\underline{Méthode 1}}: on programme l'algorithme qui va renvoyer $n=5$

\textbf{\underline{Méthode 2}}: on programme la suite $\left( a_n\right) $ que l'on sait croissante et on remarque que $a_4\approx 0,68<0,7$ et $a_5\approx 0,71>0,7$
				
				
\end{solution}


\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\label{Exercice 3}
\textbf{Exercice 3 \hfill  7 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

%\medskip
%Dans la figure ci-dessous sont représentés dans un repère orthogonal :

%\begin{itemize}
%\item la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10~;~5]$ ;
%\item la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $-5$ ;
%\item la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ ;
%\item le domaine $S$ situé entre la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$, grisé sur la figure.
%\end{itemize}


%\begin{center}
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=1.2cm}
%\begin{pspicture*}(-12,-2)(9,6.5)
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
%\psline(0,0)(5,5)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{4}{0}{2.71828 0.2 x mul exp x 5 sub mul 5 add}
%}
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1]
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-12,-1.9)(9,6.5)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-10}{5}{2.71828 0.2 x mul exp x 5 sub mul 5 add}
%\psplotTangent[linewidth=0.7pt,algebraic]{-5}{6}{(x-5)*2.71828^{0.2*x}+5}
%\psplot{-10}{3}{1.321 5 x add 0.367879 mul sub}
%\psline(-1.8,-1.8)(6,6)
%\psdots(-5,1.321)(5,5)\uput[ul](5,5){B}\uput[ur](-5,1.321){A}
%\uput[u](-10,3.2){$T$}
%\uput[d](-10,3){\red $\mathcal{C}$}
%\uput[dr](6,6){$\mathcal{D}$}

%\uput[dr](3,0){\blue P}


%\pspolygon[linecolor=blue,hatchcolor=blue,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.2](0,0)(5,5)(3,0)


%\end{pspicture*}
%\end{center}

%\bigskip

\textbf{Partie A}

%\medskip

%\emph{Dans cette partie les estimations seront obtenues par lecture graphique.}

%\smallskip

%Cette partie A est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
%Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.

%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les quatre valeurs ci-dessous, la meilleure valeur approchée du coefficient directeur de la tangente $T$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\surj{\textbf{a.~~} $- \dfrac{1}{3}$}	&\textbf{b.~~} $- 3$\\
\textbf{c.~~} $3$ 				&\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx}
%\medskip

		
\begin{solution}
\surj{Justification non demandée mais donnée ici à titre indicatif}
				
$T$ a évidemment un coefficient directeur négatif, ce qui élimine les réponses \textbf{c.} et \textbf{d.}	

$T$ est très proche de la droite (OA) et l'ordonnée de A est proche 1,5 donc le coefficient directeur de (AO) est d'environ $-\dfrac{1,5}{5}=-0,3$. Cette valeur est très éloignée de $-3$ ce qui élimine la réponse \textbf{b.}			
\end{solution}


\item La fonction $f$ semble :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~}concave sur $[-5~;~0]$		&\textbf{b.~~}concave sur $[-10~;~0]$\\ 
\textbf{c.~~}convexe sur $[-10~;~5]$	&\surj{\textbf{d.~~}convexe sur $[-5~;~5]$}
\end{tabularx}
%\medskip

		
\begin{solution}
\surj{Justification non demandée mais donnée ici à titre indicatif}
				
Sur $[-5~;~5]$, $\mathcal{C}_f$ semble être toujours au dessus de se tangentes.				
\end{solution}

\item  L'aire du domaine $S$, en unité d'aire, appartient à l'intervalle:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $[-4~;~-2]$	&\surj{\textbf{b.~~}[4~;~7]}\\
\textbf{c.~~} [0~;~3]		&\textbf{d.~~}$[7~;~10]$
\end{tabularx}
%\medskip

		
\begin{solution}
\surj{Justification non demandée mais donnée ici à titre indicatif}
				
La réponse \textbf{a.} est farfelue puisqu'une aire est positive.

Soit P(3~;~0) alors le triangle OPB a une aire nettement supérieure à celle du domaine $S$ (d'au moins 1 u.a.). 

Or $\mathcal{A}_{\text{OPB}}=\dfrac{15}{2}=7,5$ donc l'aire est inférieure à 6,5 ce qui élimine la réponse \textbf{d.}

Le domaine $S$ contient au minimum l'équivalent de 3 rectangles d'une unité d'aire donc on élimine aussi la réponse \textbf{c.}
				
\end{solution}

\end{enumerate}

%\bigskip

\textbf{Partie B}

%\medskip

%La fonction $f$ précédente, définie et dérivable sur l'intervalle $[-10~;~5 ]$, a pour expression
%\[f(x) = (x - 5)\text{e}^{0,2x} + 5.\]

\begin{enumerate}
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[-10~;~5]$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $f'(x) = 0,2x\text{e}^{0,2x}$.
		
				
		\begin{solution}
		
		$f=uv+5~~\imp f'=u'v+uv'$~~avec~~
			$\begin{cases}
			u(x)=x-5\\v(x)=\e^{0,2x}
			\end{cases}~~\imp~~
			\begin{cases}
			u'(x)=1\\v'(x)=0,2\e^{0,2x}
			\end{cases}$
			
			donc $f'(x)=\e^{0,2x}+0,2(x-5)\e^{0,2x}=\e^{0,2x}+0,2x\e^{0,2x}-\e^{0,2x}$
			
			On a donc bien $\forall x \in [-10~;~5 ]~,~f'(x)=0,2x\e^{0,2x}$.			
						
		\end{solution}
		
		\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [-10~;~5].
						
		\begin{solution}
							
$\e^{0,2x} > 0$ sur $\R$	donc $f'(x)$ est du signe de $x$ sur $[-10~;~5 ]$, on en déduit le tableau suivant:
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
			\begin{pspicture}(9,3)
			\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3)
			\uput[u](0.5,2.4){$x$} 
			\uput[u](1.4,2.4){$-10$} 
			\uput[u](4.9,2.4){$0$}
			\uput[u](8.5,2.4){$5$} 
			\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} 
			\rput(3.15,2.25){-}
			\rput(4.9,2.25){0}
			\rput(6.6,2.25){+}
			\uput[u](1.8,1.4){$5-15\e^{-2}$}
			\uput[u](4.9,0){$0$}
			\uput[u](8.4,1.4){$5$}
			\rput(0.5,1){$f(x)$}
			\psline{->}(2,1.4)(4.3,.3)
			\psline{->}(5.4,.3)(7.8,1.6)
			\end{pspicture}
\end{center}					
		\end{solution}
				
		
		\item %Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $-5$.
						
		\begin{solution}
$T$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $-5$ 
		 
Son coefficient directeur est $f'(-5)= 0,2\times (- 5)\e^{0,2\times (- 5)}= -\e^{-1}\approx - 0,368$.	
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\item  %Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants:
	
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline	
%1 	&$g(x) = 0,2x * \text{exp}(0,2x)$\\
%	&$\to  g(x) = \dfrac{1}{5} x \text{e}^{\frac{1}{5}x}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
%2	&Dérivée  $g'(x) = \dfrac{1}{25} x \text{e}^{\frac{1}{5}x} + \dfrac{1}{5}\text{e}^{\frac{1}{5}x}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant ces résultats, justifier que la dérivée seconde de $f$, notée $f''$, est définie par $f''(x) = (0,2 + 0,04x)\text{e}^{0,2x}$.
						
		\begin{solution}
							
Pour le logiciel, $g=f'$ donc $g'=f''$
		
On a alors  est $f''(x)=\dfrac{1}{25} x \text{e}^{\frac{1}{5}x} + \dfrac{1}{5}\text{e}^{\frac{1}{5}x}=0,04x\text{e}^{0,2x}+0,2 \text{exp}(0,2x)=(0,2 + 0,04x)\text{e}^{0,2x}$ 						
		\end{solution}
				
\newpage
		\item %Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~5]$.
		
		\begin{solution}
		$\text{e}^{0,2x}>0$ sur $\R$ donc $f''(x)$ est du signe de $(0,2 + 0,04x)$ sur $[-10~;~5]$, on en déduit le tableau suivant:
		
		\begin{center}
		\psset{unit=1cm}
		\begin{pspicture}(9,3)
		\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3)
		\uput[u](0.5,2.4){$x$} 
		\uput[u](1.4,2.4){$-10$} 
		\uput[u](4.9,2.4){$-5$}
		\uput[u](8.5,2.4){$5$} 
		\rput(0.5,2.25){$f''(x)$} 
		\rput(3.15,2.25){-}
		\rput(4.9,2.25){0}
		\rput(6.6,2.25){+}
		%\uput[u](1.8,1.4){$5-15\e^{-2}$}
		%\uput[u](4.9,0){$0$}
		%\uput[u](8.4,1.4){$5$}
		\rput(0.5,1){$f'(x)$}
		\psline{->}(2,1.4)(4.3,.3)
		\psline{->}(5.4,.3)(7.8,1.6)
		\end{pspicture}
		\end{center}								
		 \vspace{0.3cm}
		 
		 Ce tableau montre que $f$ est convexe sur $[-5~;~5]$ car $f'$ est croissante et que $f$ est concave sur $[-10~;~-5]$ car $f'$ est décroissante.	
		 
		 \textit{Ce résultat confirme la réponse à la question \textbf{2.} de la \textbf{partie A}}.							
		\end{solution}
						
 	\end{enumerate}
\item % On admet qu'une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-10~;~5]$ est la fonction $F$ définie par
	
%\[F(x) = (5x - 50)\text{e}^{0,2x} + 5x.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la valeur exacte de $I$ définie par $I = \displaystyle\int_0^5  f(x) \:\text{d}x$.
		
		\begin{solution}
									
		$I=\integ{0}{5}{f(x)}{x}=\valinteg{0}{5}{F(x)}=F(5)-F(0)=\left( -25\e +25\right) -\left( -50\right) =75-25\e$								
		\end{solution}
						
		\item %Montrer que l'aire du domaine du plan situé sous la droite $\mathcal{D}$, au-dessus de l'axe des abscisses et limité par la droite d'équation $x = 5$ vaut $12,5$ unités d'aire.
		
		\begin{solution}
		
		La droite $\mathcal{D}$ est d'équation $y=x$ donc l'aire cherchée est donnée par $\integ{0}{5}{x}{x}=\valinteg{0}{5}{\dfrac{1}{2}x^2}=12,5$ u.a.
		
									
		\end{solution}
						
		\item %En déduire une valeur approchée de l'aire du domaine $S$ en unité d'aire.
		
		\begin{solution}
									
		L'aire du domaine $S$ est donnée par $\mathcal{A}_{S}=\mathcal{A}_{\text{BON}}-I=12,5-(75-25\e)=25\e-62,5\approx 5,46$ unités d'aire.
		
		\textit{Ce résultat confirme la réponse à la question \textbf{3.} de la \textbf{partie A}}.								
		\end{solution}
						
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\label{Exercice 4}
\textbf{Exercice 4 \hfill  3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Afin de respecter l'accord signé sur la pollution de l'air, certaines entreprises, dès l'année 2014, ont été contraintes de diminuer chaque année la quantité de CO$_2$ qu'elles produisent.

%Une de ces entreprises émettait $15$ milliers de tonnes de CO$_2$ en 2014 et $14,7$ milliers de tonnes en 2015.

%On suppose que le taux de diminution annuel de CO$_2$ émis restera constant pendant les années suivantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux d'évolution de l'émission de CO$_2$ par cette entreprise entre 2014 et 2015.
		
\begin{solution}
$\dfrac{14,7-15}{15}\x 100=-2$
				
Entre 2014 et 2015, l'entreprise a diminué ses rejets de 2\%.				
\end{solution}


\item %L'accord prévoit que cette entreprise devra produire moins de $12$ milliers de tonnes de CO$_2$ par an. En détaillant la méthode employée, déterminer à partir de quelle année la quantité de CO$_2$ émise par cette entreprise passera en dessous de ce seuil de $12$~milliers de tonnes.
		
\begin{solution}
				
On considère que la baisse annuelle est constante à 2\% ce qui correspond à un coefficient multiplicateur de 0,98.

Soit $R_n$ la quantité de rejet de CO$_2$ en milliers de tonnes à l'année $2014+n$.

On sait que $\left( R_n\right) $ est géométrique de raison $q=0,98$ et de 1\up{er} terme $R_0=15$ 

Donc $\forall n \in \N~,~R_n=R_0\x q^n=15\x 0,98^n$.

On cherche $n$ tel que $R_n\pp 12$.

$R_n\pp 12~\equi~15\x 0,98^n\pp 12$

$\hphantom{R_n\pp 12}~\equi~ 0,98^n\pp 0,8$

$\hphantom{R_n\pp 12}~\equi~ \ln\left( 0,98^n\right) \pp \ln(0,8)$

$\hphantom{R_n\pp 12}~\equi~ n\ln\left( 0,98\right) \pp \ln(0,8)$

$\hphantom{R_n\pp 12}~\equi~ n \pg \dfrac{\ln(0,8)}{\ln\left( 0,98\right)}$~~~~~car~$\ln\left( 0,98\right)<0$

Or $\dfrac{\ln(0,8)}{\ln\left( 0,98\right)}\approx 11,04$, on en déduit que l'inégalité est vérifiée à partir de $n=12$.

On peut donc conclure qu'à ce rythme, l'objectif fixé sera atteint à partir de $2014+12=2026$.



 				
\end{solution}


\end{enumerate}
\end{document}