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% Tapuscrit Denis Vergès
% Relecture : Arié Yallouz
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 18 juin 2019}
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesjuin}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Correction du Baccalauréat  ES/L Antilles-Guyane 18 juin 2019
~\decofourright}}
\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  5 points}}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{La partie \rm C est indépendante des parties \rm A et \rm B.}

\medskip

Une grande enseigne décide d'organiser un jeu permettant de gagner un bon d'achat. Le jeu
se déroule en deux étapes:

\setlength\parindent{1.2cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]\textbf{Étape 1} : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de 1 à 50, chaque numéro ayant la même probabilité d'être découvert ;
\item[$\bullet~~$]\textbf{Étape 2}:
	\begin{itemize}
		\item s'il découvre un numéro compris entre 1 et 15, il fait tourner une roue divisée en 10 secteurs de même taille dont 8 secteurs contiennent une étoile ;
		\item sinon, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en $10$ secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile.
	\end{itemize}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

Un bon d'achat est gagné par le client si la roue s'arrête sur une étoile.

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip

Un client joue à ce jeu. On note:

$N$ l'évènement \og Le client découvre un numéro entre 1 et 15\fg{};

$E$ l'évènement \og Le client obtient une étoile \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $P(N) = 0,3$ et que $P_N(E) = 0,8$.
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $P(N)=\dfrac{15}{50}=\dfrac{3}{10}=\boxed{\textcolor{red}{0,3}}$

\item $P_N(E)=\dfrac{8}{10}=\boxed{\textcolor{red}{0,8}}$
\end{enumerate}

		\item %Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
		Arbre pondéré modélisant la situation :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$N$}\taput{ $0,3$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{ $0,8$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E}$}\tbput{ $0,2$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{N}$}\tbput{ $0,7$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{ $0,1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E}$}\tbput{ $0,9$}}}


\end{center}
	\end{enumerate}
	
\item %Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre 1 et 15 et une étoile.
$P(E \cap N)=P_N(E)\times p(N)=0,8\times 0,3=\boxed{\textcolor{red}{0,24}}$.
La probabilité que le client trouve un numéro entre 1 et 15 et une étoile est 0,24.

\item %Justifier que la probabilité que le client gagne un bon d'achat est égale à $0,31$.
$P(E)=P_N(E)\times p(N)+P_{\overline{N}}(E)\times P(\overline{N})$ (formule des probabiités totales)\\
$=0,24+0,1\times 0,7=0,24+0,07=0,31$ ; $\boxed{\textcolor{red}{P(E)=0,31}}$.\\
La probabilité que le client gagne un bon d'achat est égale à $0,31$.

\item Le client a gagné un bon d'achat. %Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu un numéro entre 1 et 15 à la première étape ?
$P_E(N)=\dfrac{P(E \cap N)}{P(E)}=\dfrac{0,24}{0,31}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{24}{31}}}$.
La probabilité qu'il ait obtenu un numéro entre 1 et 15 à la première étape sachant qu'il a gagné un bon d'achat est $\dfrac{24}{31}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip

Le montant d'un bon d'achat est de 10 euros.

Pour ce jeu, le directeur de l'hypermarché a prévu un budget de $250$~euros par tranche de $100$~clients y participant. Pour vérifier que son budget est suffisant, il simule $100$~fois le jeu d'un client à l'aide d'un logiciel.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à $100$ jeux simulés, associe le nombre de bons d'achat gagnés. On admet que $X$ suit une loi binomiale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Préciser les paramètres de $X$.
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $\boxed{\textcolor{red}{n=100}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{p=0,31}}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{X\hookrightarrow\mathscr{B}(100~;~0,31)}}$.

\item %Calculer la probabilité pour qu'il y ait exactement $30$ clients gagnants.
$P(X=30)=\binom{100}{30}\times 0,31^{30}\times 0,69^{70}\approx 0,085$ (calculé directement à la calculatrice).

\item %Quel est le montant moyen de la somme totale offerte en bons d'achat ?
%Le budget prévisionnel est-il suffisant ?
Puisque $X$ suit une loi binomiale, son espérance est $E(X)=np=100\times 0,31=31$.\\
En moyenne, par lot de 100 clients, 31 sont gagnant donc gagnent 310 \euro. Il doit donc prévoir 310 \euro{} ; la somme prévue est donc \textbf{\textcolor{red}{insuffisante}}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

La direction de l'hypermarché étudie le temps que les clients passent dans son magasin.

On admet que le temps, exprimé en minute, passé dans ce magasin par un client peut être
modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 45$ et d'écart type $\sigma = 5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste entre $30$ et $60$~minutes.
$P(30~;~Y~;~60)=P(\mu-3\sigma\leqslant Y\leqslant \mu+3\sigma)\approx \boxed{\textcolor{red}{0,997}}$ (d'après le cours).

\item %Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste plus de $50$ minutes.
On sait que $P(Y\geqslant 45)=P(Y\geqslant \mu)=0,5$ (courbe de Gauss symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$).\\
Par conséquent, $P(Y\geqslant 50)=0,5-P(45\leqslant Y\leqslant 50)=0,5-P(\mu\leqslant Y\leqslant \mu+\sigma)\\
=0,5-\dfrac{1}{2}\times p(\mu-\sigma\leqslant Y\leqslant \mu+\sigma)\approx 0,5-\dfrac{0,682}{2}=0,5-0,341=\boxed{\textcolor{red}{0,159}}$.\\
(on peut aussi calculer directement $p(X\geqslant 50)$ à la calculatrice)

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  5 points}}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

Un infographiste simule sur ordinateur la croissance d'un bambou. Il prend pour modèle
un bambou d'une taille initiale de $1$~m dont la taille augmente d'un mois sur l'autre de 5\,\% auxquels s'ajoutent $20$~cm.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_n$ la taille, exprimée en centimètre, qu'aurait le bambou à la fin du $n$-ième mois, et $u_0 = 100$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$ et $u_2$.
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 5\:\% est 1,05.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=1,05u_0+20=1,05\times 100+20=125$.

\item $u_2=1,05\times u_1+20=1,05\times 1,25+20=151,25$.
\end{enumerate}
$\boxed{\textcolor{red}{u_1 = 125}}\quad$ ; \quad $\boxed{\textcolor{red}{u_2=151,25}}$.

\item %Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$, \:$u_{n+1} = 1,05 \times u_n + 20$.
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 5\:\% est 1,05 donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1} = 1,05u_n+20}}$.

\item  Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n = u_n + 400$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
		Pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}+400=\left(1,05u_n+20\right)+400=1,05u_n+420=1,05\left(u_n+\dfrac{420}{1,05}\right)=1,05\left(u_n+400\right)=1,05v_n$.\\
		Pour tout $n\in\mathbb{N},~\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1}=1,05v_n}}$.\\
		On en déduit que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique, de raison $q=1,05$ et de premier terme $v_0=u_0+400=500$.
		
		\item  %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		Puisque $\left(v_n\right)$ est géométrique, pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a : $v_n=v_0q^n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_n=500\times 1,05^n}}$.
		
		\item % En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 500 \times 1,05n - 400$.
		Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n = u_n + 400$, donc $u_n=v_n-400=\boxed{\textcolor{red}{500 \times 1,05^n - 400}}$.
		
		\item  %Calculer la taille du bambou, au centimètre près, à la fin du 7\up{e} mois.
		À la fin du 7\ieme{} mois, la taille du bambou est $u_7\approx 303,55$ cm donc environ 3,03 m.
	\end{enumerate}
	
\item  On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel $n$ est un entier naturel et $u$ est un nombre réel.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$u \gets 100$\\
$n \gets 0$\\
Tant que $u < 200$ faire\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
$u \gets 1,05 \times u + 20$\\
$n \gets n+1$
	\end{tabular}\\
Fin Tant que \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item %Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Test $u < 200$& &vrai &vrai&vrai&\cellcolor{red!40}faux\\ \hline
Valeur de $u$& 100&125&131,25&178,81&207,75\\ \hline
Valeur de $n$& 0&1&2&3&\cellcolor{red!40}4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item  %Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
À la fin de l'exécution de l'algorithme, on a $n=4$.

%Interpréter le résultat au regard de la situation étudiée dans cet exercice.
La taille du bambou dépassera 2 m au bout de 4 mois.

		\item  %Modifier les lignes nécessaires dans l'algorithme pour déterminer le nombre de mois qu'il faudrait à un bambou de $50$~cm pour atteindre ou dépasser $10$~m.
		Modifions les lignes nécessaires dans l'algorithme pour déterminer le nombre de mois qu'il faudrait à un bambou de $50$~cm pour atteindre ou dépasser $10$~m.
		
		\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$u \gets 50$\\
$n \gets 0$\\
Tant que $u < \np{1000}$ faire\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
$u \gets 1,05 \times u + 20$\\
$n \gets n+1$
	\end{tabular}\\
Fin Tant que \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice II \hfill  5 points}}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

La mairie d'une ville propose une carte jeune annuelle donnant droit à des réductions sur
les activités culturelles et de loisirs. La mairie espère que dans l'avenir, au moins 70\,\% de la population des 12-18~ans possèdent la carte et si oui, en quelle année cela se produirait.

Ces dernières années, lors du renouvellement de la carte, on a constaté que 10\,\% des possesseurs de  la carte ne la rachètent pas. Dans le même temps, 30\,\% de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l'année précédente achètent la carte. On fait l'hypothèse que
l'effectif de la population des 12-18 ans est constant et que l'évolution va rester la même
pour les prochaines années.

En 2018, 80\,\% des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte.

On note, pour tout entier naturel $n$, $a_n$ la part de la population des 12-18 ans de la ville possédant la carte l'année $2018+ n$, et $b_n$ la part de la population des 12-18 ans ne la possédant pas.

\newpage

\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représentons cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B ; A représente l'état \og posséder une carte jeune \fg{} et B l'état \og ne pas posséder une carte jeune \fg.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,1)
%\psgrid[subgriddiv=2](0,0)(-2,-6)(8,1)
\psnode(0,0){A}{\red \bf A}
\psnode(6,0){B}{\bf B}

\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}

\ncarc[linecolor=red]{->}{A}{B} \Aput{\red 0,1} 
\nccircle[angleA=60,linecolor=red]{->}{A}{.5cm} \Bput{\red 0,9}

\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,3}
\nccircle[angleA=-60]{->}{B}{.5cm} \Bput{0,7}


\end{pspicture}

\end{center}

\item %Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre A puis B des sommets.
La matrice $M$ de transition est $M=\begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,3&0,7\end{pmatrix}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $a_2 = 0,552$ et $b_2 = 0,448$.
On a $\begin{pmatrix}a_0&b_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}$.
		
Alors $\begin{pmatrix}_2&b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_0&b_0\end{pmatrix}M^2=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,84&0,16\\0,48&0,52\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,552&0,448\end{pmatrix}$.\\
		On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{a_2=0,552}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{b_2=0,448}}$.
		
		\item %Interpréter le coefficient $0,552$ dans le contexte de l'énoncé.
		Cela signifie qu'en 2020, 55,2\:\% des 12-18 ans possèderont la carte.
	\end{enumerate}
	
\item  On note $a$ et $b$ les coefficients de la matrice $P$ correspondant à l'état stable de ce graphe.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système $\left\{\begin{array}{r c l} 		- 0,1a + 0,3b&=& 0\\
%		a + \phantom{0,3}b&=&1
%		\end{array}\right.$
On doit avoir $\begin{cases}P=PM\\a+b=1\end{cases}\iff \begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}=\begin{cases}\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,3&0,7\end{pmatrix}\\a+b=1\end{cases}\\
\iff \begin{cases}a=0,9a+0,3b\\b=0,1a+0,7b\\a+b=1\end{cases}\iff \begin{cases}-0,1a+0,3b=0\\0,1a-0,3b=0\\a+b=1\end{cases}\iff \begin{cases}0,1a-0,3b=0\\a+b=1\end{cases}$.\\

		\item %Justifier que la mairie peut espérer qu'à l'avenir au moins 70\,\% de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
		D'après la deuxième ligne, on a $b=1-a$. On remplace dans la première ligne ; on trouve :\\
$0,1a-0,3(1-a)=0\iff 0,4a=0,3\iff 0,4a=0,3\iff a=\dfrac{3}{4}=0,75$ et par conséquent, $b=0,25$.\\
À long terme, 75\:\% des 12-18 ans posséderont la carte, donc la mairie peut espérer qu'à l'avenir au moins 70\,\% de la population des 12-18 ans possèdent la carte.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip

On admet que pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = 0,6 a_n + 0,3$ et que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On donne l'algorithme suivant dans lequel $A$ est un nombre réel et $N$ est un entier naturel.


%Recopier puis compléter les pointillés des lignes 3 à 5 de l'algorithme ci-dessus pour
%qu'il affiche le nombre d'années nécessaires à la mairie pour atteindre son objectif
%qu'au moins 70\,\% de la population des 12-18 ans possèdent la carte.
Recopions puis compléter les pointillés des lignes 3 à 5 de l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche le nombre d'années nécessaires à la mairie pour atteindre son objectif  qu'au moins 70\,\% de la population des 12-18 ans possèdent la carte.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$A \gets 0,2$\\
$N \gets 0$\\
Tant que $A < 0,7$  faire\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
$A$ prend la valeur $A=0.6*A+0,3$\\
$N$ prend la valeur $N+1$\\
\end{tabular}\\
Fin Tant Que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  %En quelle année l'objectif sera-t-il atteint ?
La calculatrice donne :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $a_4=\numprint{0,67872}< 7$

\item $a_5=\numprint{0,707232}> 7$
\end{enumerate}.
L'objectif sera atteint en 2023.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  7 points}}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip
Dans la figure ci-dessous sont représentés dans un repère orthogonal :

\begin{itemize}
\item la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10~;~5]$ ;
\item la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $-5$ ;
\item la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ ;
\item le domaine $S$ situé entre la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$, grisé sur la figure.
\end{itemize}


\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-12,-2)(9,6.5)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psline(0,0)(5,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{4}{0}{2.71828 0.2 x mul exp x 5 sub mul 5 add}
}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-12,-1.9)(9,6.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-10}{5}{2.71828 0.2 x mul exp x 5 sub mul 5 add}
%\psplotTangent[linewidth=0.7pt,algebraic]{-5}{6}{(x-5)*2.71828^{0.2*x}+5}
\psplot{-10}{3}{1.321 5 x add 0.367879 mul sub}
\psline(-1.8,-1.8)(6,6)
\psdots(-5,1.321)(5,5)\uput[ul](5,5){B}\uput[ur](-5,1.321){A}
\uput[u](-10,3.2){$T$}
\uput[d](-10,3){\red $\mathcal{C}$}
\uput[dr](6,6){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip

\emph{Dans cette partie les estimations seront obtenues par lecture graphique.}

\smallskip

Cette partie A est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes,
une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence
de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Parmi les quatre valeurs ci-dessous, la meilleure valeur approchée du coefficient directeur de la tangente $T$ est:
%
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{a.~~} $- \dfrac{1}{3}$	&\textbf{b.~~} $- 3$\\
%\textbf{c.~~} $3$ 				&\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{3}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip
La tangente passe approximativement par les point A et C de coordonnées $A(-5~;~1,5)$ et $C(0~;~-0,5)$ donc a pour coefficient directeur environ $-\dfrac{2}{5}=-0,4$ ; la valeur approchée la plus proche est la réponse a.

%\item La fonction $f$ semble :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{a.~~}concave sur $[-5~;~0]$		&\textbf{b.~~}concave sur $[-10~;~0]$\\ 
%\textbf{c.~~}convexe sur $[-10~;~5]$	&\textbf{d.~~}convexe sur $[-5~;~5]$
%\end{tabularx}
%\medskip
La courbe $\mathscr{C}$ semble en-dessous de ses tangentes sur l’intervalle [-10~;~-5] et au-dessus sur [-5~;~5]. La fonction $f$ semble donc concave sur l’intervalle [-10~;~-5] et convexe sur l’intervalle [-5~;~5]. (réponse d.)

\item % L'aire du domaine $S$, en unité d'aire, appartient à l'intervalle:
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{a.~~} $[-4~;~-2]$	&\textbf{b.~~}[4~;~7]\\
%\textbf{c.~~} [0~;~3]		&\textbf{d.~~}$[7~;~10]$
%\end{tabularx}
%\medskip
L'aire du domaine $S$, en unité d'aire, appartient à l'intervalle [4~;~7] : (réponse b.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip

La fonction $f$ précédente, définie et dérivable sur l'intervalle $[-10~;~5 ]$, a pour expression
\[
f(x) = (x - 5)\text{e}^{0,2x} + 5.\]

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[-10~;~5]$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $f'(x) = 0,2x\text{e}^{0,2x}$.
$f=u\mathrm{e}^{v}+5$ avec $\begin{cases}u(x)=x-5\\v(x)=0,2x\end{cases}$.
		
Alors : $f'=\left(u\mathrm{e}^{v}\right)'=u'\mathrm{e}^{v}+u\left(\mathrm{e}^{v}\right)'=u'\mathrm{e}^{x+u\times v'\mathrm{e}^{v}}$ avec $\begin{cases}u'(x)=1\\v'(x)=0,2\end{cases}$.

On en déduit $f'(x)=\mathrm{e}^{0,2x}+0,2(x_5)\mathrm{e}^{0,2x} = \left(1+ 0,2(x-5)\right)\mathrm{e}^{0,2x}=\boxed{\textcolor{red}{0,2x\mathrm{e}^{0,2x}}}$.
		
		\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [-10~;~5].
		$\mathrm{e}^{0,2x}>0$ pour tout $x$ donc $f'(x)$ est du signe de $x$.\\
		\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation }}:
		\begin{center}
\begin{variations}
x		&-10			&	&0		&	&5\\
\filet
f'(x)	&				&-	&\z		&+	&\\
\filet
\m{f(x)}&\h{\approx 2,97}&\d&0		&\c	&\h{5}\\
\filet
\end{variations}
\end{center}

		\item %Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $-5$.
La valeur exacte du coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $-5$ est $f'(-5)=-\mathrm{e}^{-1}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{\mathrm{e}}}}$.
	\end{enumerate}
	
\item  Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants:
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline	
1 	&$g(x) = 0,2x * \text{exp}(0,2x)$\\
	&$\to  g(x) = \dfrac{1}{5} x \text{e}^{\frac{1}{5}x}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
2	&Dérivée  $g'(x) = \dfrac{1}{25} x \text{e}^{\frac{1}{5}x} + \dfrac{1}{5}\text{e}^{\frac{1}{5}x}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant ces résultats, justifier que la dérivée seconde de $f$, notée $f''$, est définie par $f''(x) = (0,2 + 0,04x)\text{e}^{0,2x}$.
		D'après ce qui précède, $f'(x)=g(x)$ donc $f''(x)=g'(x)=\left(\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{5}\right)\mathrm{e}^{\frac15x}= (0,2 + 0,04x)\text{e}^{0,2x}$.
		
		\item %Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~5]$.
		$f$ est convexe si $f''>0$.\\
		$f''(x)$ est du signe de (0,2 + 0,04x), donc positif pour $x\geqslant -\dfrac{0,2}{0,04}=-\dfrac{20}{4}=-5$.\\
		$f$ est convexe sur $[5~;~5]$.
	\end{enumerate}
	
\item  On admet qu'une primitive de $f$ sur l'intervalle $[-10~;~5]$ est la fonction $F$ définie par
	
\[F(x) = (5x - 50)\text{e}^{0,2x} + 5x.\]
	
	\begin{enumerate}
	
		\item %Déterminer la valeur exacte de $I$ définie par $I = \displaystyle\int_0^5  f(x) \:\text{d}x$.
		$I = \displaystyle\int_0^5  f(x) \:\text{d}x=F(5)-F(0)=\left(-25\mathrm{e}+25\right)-\left(-50\right)=75-25\mathrm{e}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{I=75-25\mathrm{e}}}$.
		
		\item %Montrer que l'aire du domaine du plan situé sous la droite $\mathcal{D}$, au-dessus de l'axe des abscisses et limité par la droite d'équation $x = 5$ vaut $12,5$ unités d'aire.
		L'aire cherchée est celle d'un triangle et vaut : $\mathscr{A}=\dfrac{5\times 5}{2}=\boxed{\textcolor{red}{12,5}}$.
		
		\item %En déduire une valeur approchée de l'aire du domaine $S$ en unité d'aire.
		L'aire du domaine $S$ est $\mathscr{A}(S)=\mathscr{A}-I=12,5-\left(75-25\mathrm{e}\right)=\boxed{\textcolor{red}{25\mathrm{e}-62,5\approx 5,46\text{ u.a.}}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  3 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Afin de respecter l'accord signé sur la pollution de l'air, certaines entreprises, dès l'année 2014, ont été contraintes de diminuer chaque année la quantité de CO$_2$ qu'elles produisent.

Une de ces entreprises émettait $15$ milliers de tonnes de CO$_2$ en 2014 et $14,7$ milliers de
tonnes en 2015.

On suppose que le taux de diminution annuel de CO$_2$ émis restera constant pendant les années suivantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux d'évolution de l'émission de CO$_2$ par cette entreprise entre 2014 et 2015.
Le taux d'évolution de l'émission de CO$_2$ entre 2014 et 2015 est $t=\dfrac{14,7-15}{15}=-\dfrac{0,3}{15}=-0,02\\
=-2\:\%$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{t=-2\:\%}}$.

\item %L'accord prévoit que cette entreprise devra produire moins de $12$ milliers de tonnes de CO$_2$ par an. En détaillant la méthode employée, déterminer à partir de quelle année la quantité de CO$_2$ émise par cette entreprise passera en dessous de ce seuil de $12$~milliers de tonnes.
On note $u_n$ la quantité produite au bout de $n$ années. Chaque année, la quantité est multipliée par $C=1+t=1-2\:\%=0,98$ avec $u_0=15$.\\
La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $C$ donc $u_n=u_0C^n=15\times 0,98^n$.\\
On cherche $n$ tel que $u_n\leqslant 12$ donc on résout l'inéquation $15\times 0,98^n\leqslant 12$.\\
On en déduit $0,98^n\leqslant \dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}=0,8$.\\
On applique la fonction logarithme qui est croissante :\\
On obtient $\ln\left(0,98^n\right)\leqslant \ln 0,8\iff n\ln(0,98)\leqslant \ln 0,8$.\\
Comme $\ln 0,98$ est négatif, on en déduit $n\geqslant \dfrac{\ln 0,8}{\ln ,98}\approx 11,05$ donc il faut $\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 12}}$.\\
\fbox{\textcolor{red}{L'objectif sera atteint au bout de 12 ans, en 2026}}.
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}