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% Tapuscrit Denis Vergès
% Correction : René Roux
%Relecture : François Hache
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {TES Antilles-Guyane},
pdftitle = {19 juin 2018},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 19 juin 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesjuin}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ES/L Antilles-Guyane 19 juin 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip
%
%\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}
%
%\medskip
%
%\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
%\item Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10~;~10]$ par $f(x) = (2x - 3)\text{e}^{-3x}$.
%
%L'équation $f(x) = 0$ admet sur l'intervalle $[-10~;~10]$ :
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
%\textbf{a.~~} 0 solution&\textbf{b.~~}1 solution\\
%\textbf{c.~~} 2 solutions&\textbf{d.~~}3 solutions ou plus
%\end{tabularx}
\item Pour tout $x\in \R$, $\text{e}^{-3x}>0$.\\
Donc, pour tout $x\in [-10~;~10]$, $f(x) = 0 \iff 2x-3=0 \iff x=\dfrac{3}{2}$.\hfill{\textbf{Réponse b.}}
\medskip

%\item  Dans un repère \Oij{} on considère la courbe représentative de la fonction $x \longmapsto \ln (x)$ ;l'équation de sa tangente au point d'abscisse $1$ est :
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $y= 1$ &\textbf{b.~~} $y = x-1$ &\textbf{c.~~} $y = 1- x$ &\textbf{d.~~} $y = x+ 1$
%\end{tabularx}
\item Pour tout $x\in ]0\,;\, +\infty[$, $f'(x)=\dfrac{1}{x}$. \\
La tangente au point d'abscisse $a=1$ a pour équation : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. \\
Or $f'(a)=f'(1)=1$ et $f(a)=f(1)=0$.\\
L'équation réduite de la tangente est donc : $y=1(x-1)+0$ soit $y=x-1$. \hfill{\textbf{Réponse b.}}

\medskip

%\item  Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu = 25$ et $\sigma = 3$.
%
%La meilleure valeur approchée du réel $t$ tel que $P(X > t) = 0,025$ est:
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $t \approx 0,97$ &\textbf{b.~~} $t \approx 19,12$ &\textbf{c.~~} $t \approx 28$ &\textbf{d.~~} $t \approx 30,88$
%\end{tabularx}
\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu = 25$ et $\sigma = 3$.\\
$P(X > t) = 0,025 \iff P(X\leqslant t)=1-0,025=0,975$. Avec la calculatrice, en utilisant la touche \og inversant la loi normale \fg, on trouve $t\approx 30,88$.\hfill{\textbf{Réponse d.}}
\medskip

%\item  Anne prévoit d'appeler Benoît par téléphone à un moment choisi au hasard entre
%8~h 30 et 10~h. Benoît sera dans un train à partir de 9~h pour un trajet de plusieurs
%heures.
%
%Quelle est la probabilité qu'Anne appelle Benoît alors qu'il est dans le train ?
\item On note $T$ la variable aléatoire indiquant à quelle heure l'appel est passé. $T$ suit une loi uniforme sur l'intervalle $[8,5\,;\,10]$.\\
Donc $P(T\geqslant 9)=\dfrac{10-9}{10-8,5}=\dfrac{1}{1,5}=\dfrac{2}{3}$. \hfill{\textbf{Réponse b.}}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}$\dfrac{60}{150}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{2}{3}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{6}{13}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{1}{3}$
%\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip

%\emph{Dans tout cet exercice les résultats seront arrondis au centième si nécessaire}
%
%\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone. Le but de ce jeu est d'affronter des obstacles à l'aide de personnages qui peuvent être de trois types: \og Terre \fg, \og Air\fg{} ou \og Feu \fg.
%
%Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage d'un des trois
%types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.
%
%Le jeu a été programmé de telle sorte que :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] la probabilité que la partie débute avec un personnage de type \og Terre\fg{} est $0,3$ ;
%\item[$\bullet~~$] la probabilité que la partie débute avec un personnage de type \og Air\fg{} est $0,5$ ;
%\item[$\bullet~~$] si la partie débute avec un personnage de type \og Terre \fg, la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,5$ ;
%\item[$\bullet~~$] si la partie débute avec un personnage de type \og Air\fg, la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,4$ ;
%\item[$\bullet~~$] si la partie débute avec un personnage de type \og Feu \fg, la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,9$.
%\end{itemize}
% 
%
%On note les évènements suivants :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $T$ : la partie débute avec un personnage de type \og Terre \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$] $A$ : la partie débute avec un personnage de type \og Air\fg{} ;
%\item[$\bullet~~$] $F$ : la partie débute avec un personnage de type \og Feu \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$] $C$ : Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.
%\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Ci-dessous, l'arbre de probabilités complété :

\begin{center}
\psset{treesep=.75cm,levelsep=4cm,labelsep=2pt,nodesepB=4pt, treesep=10mm,nrot=:U}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$T$~}\naput{$0,3$}}
	{\TR{$C$}\naput{$0,5$}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{\red $1-0,5=0,5$}
	}
\pstree{\TR{$A$~}\naput{$0,5$}}
	{\TR{$C$}\naput{$0,4$}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{\red $1-0,4=0,6$}
	}
\pstree{\TR{$F$~}\nbput{\red $1-0,3-0,5=0,2$}}
	{\TR{$C$}\naput{$0,9$}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{\red $1-0,9=0,1$}
	}		
}
\end{center}
\medskip
%\item Calculer la probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type \og Air \fg.
\item $P(A\cap C)=P(A)\times P_{A}(C)=0,5\times 0,4=0,20$.
%\item  Justifier que la probabilité que Victor conserve le personnage obtenu en début de partie est $0,53$.
\item Formule des probabilités totales : \\
$P(C)=P(T\cap C)+P(A\cap C)+P(F\cap C)=P(T)\times P_{T}(C) +P(A)\times P_{A}(C)+P(F)\times P_{F}(C)\\
\phantom{P(C)}=0,3\times 0,5+0,5\times 0,4+0,2\times 0,9=0,53$.
%\item  On considère une partie au cours de laquelle Victor a conservé le personnage obtenu
%en début de partie.
%Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type \og Air\fg{} ?
\item Formule de Bayes : $P_{C}(A)=\dfrac{P(A\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0,2}{0,53}\approx 0,38$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On considère $10$ parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres.
%On rappelle que la probabilité que Victor obtienne un personnage de type \og Terre\fg{} est $0,3$.
%
%$Y$ désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type \og Terre\fg{} obtenus au début de ses $10$ parties.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
%\item Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item  On répète de manière identique et indépendante (situation assimilée à un tirage avec remise) 10 fois de suite cette épreuve. Il s'agit d'un schéma de Bernoulli donc la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,3$.
%\item Calculer la probabilité que Victor ait obtenu exactement 3 personnages de type \og Terre\fg{} au début de ses $10$ parties.
\item $P(Y=3)= \dbinom {10} {3} \times 0,3^3\times (1-0,3)^{10-3}\approx 0,27$.
%\item Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type
\item $P(Y\geqslant 1)=1-P(Y<1)=1-P(Y=0)=\dbinom {10} {0} \times 0,3^0\times (1-0,3)^{10-0}=1-(1-0,3)^{10}\approx 0,97$.
%\og Terre\fg au début de ses $10$parties.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité, candidats de L}

\medskip

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes}

%\medskip
%
%Franck joue en ligne sur internet.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Après plusieurs semaines, des statistiques données par le logiciel lui permettent de dire que :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] quand il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est égale à $0,65$ ;
%\item[$\bullet~~$] quand il perd une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est égale à $0,42$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%On note G l'état : \og Franck gagne la partie \fg{} et P l'état : \og Franck perd la partie \fg.
%
%Sur une période donnée, on note, pour tout entier naturel $n$ non nul:
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $g_n$ la probabilité que Franck gagne la $n$-ième partie;
%\item[$\bullet~~$] $p_n$ la probabilité que Franck perde la $n$-ième partie.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%Dans cette période, Franck a gagné la première partie.

\medskip

\begin{enumerate}
%\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets notés G et P.
\item Le graphe probabiliste ci-dessous correspond à la situation décrite :
\begin{center}
	\psset{unit=1cm}
	\begin{pspicture}(-2,-1)(4,1.2)
	\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe
	
	\newrgbcolor{colorG}{1 0 0}% couleur du sommet de gauche
	%%% mettre 0 0 0 pour le noir
	
	%%%% G pour Gauche, D pour Droit
	%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
	\def\nomG{$G$}%   nom du sommet de gauche
	\def\nomD{$P$}%   nom du sommet de droite
	\def\valGD{$0,35$}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
	\def\valDG{$0,42$}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
	\def\valGG{$0,65$}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
	\def\valDD{$0,58$}% poids de la boucle autour du sommet droit
	
	%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous
	
	\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
	%   définition des sommets
	\ncarc[linecolor=colorG]{->}{G}{D} 
	\Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
	\ncarc{->}{D}{G} 
	\Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
	\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
	\Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
	\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
	\Bput{\valDD}%  boucle autour de D
	\end{pspicture}
\end{center}
\item  
	\begin{enumerate}
%		\item Écrire la matrice de transition $M$ dans l'ordre G-P.
		\item La matrice de transition du système est :$M=\begin{pmatrix} 0,65 & 0,35 \\ 0,42 & 0,58	\end{pmatrix}$
%		\item Calculer la probabilité que Franck gagne la troisième partie.
		\item Il gagne la première partie donc $P_1=\begin{pmatrix}	g_{1} & p_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}	1 & 0 \end{pmatrix}$.\\
		Calculons  $P_3$ : $P_3=\begin{pmatrix}	g_{3} & p_{3}\end{pmatrix}=P_1 \times M^2  =\begin{pmatrix}	1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,65 & 0,35 \\ 0,42 & 0,58	\end{pmatrix}^2= \begin{pmatrix}	\np{0,5695} & \np{0,4305} \end{pmatrix}$.\\
		Donc la probabilité de gagner la troisième partie est : $g_{3}= \np{0,5695}$.
 	\end{enumerate}
%\item  Déterminer l'état stable du système et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice,
\item L'état stable $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ vérifie d'une part $P\times M = P$, et d'autre part $x+y=1$.	

$P\times M = P \iff \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,65 & 0,35 \\ 0,42 & 0,58 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\\
\iff \left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
0,65\,x + 0,42\,y & x\\
0,35\,x + 0,58\,y & y
\end{array}
\right .\\[7pt]
%\phantom{P\times M = P}
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
0,35\,x - 0,42\,y & 0\\
-0,35\,x +0,42\,y & 0
\end{array}
\right .
\iff
0,35\,x - 0,42\,y = 0
\iff
x=\dfrac{0,42}{0,35}y
\iff x=\dfrac{6}{5}y$

On résout le système:

$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
 x& \dfrac{6}{5}y\\
x + y & 1
\end{array}
\right .
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
 x& \dfrac{6}{5}y\\
\dfrac{6}{5}y +y & 1\\
\end{array}
\right .
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x & \dfrac{6}{5}y\\
\dfrac{11}{5}y& 1
\end{array}
\right .
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x & \dfrac{6}{11}\\[7pt]
y & \dfrac{5}{11}
\end{array}
\right .$

L'état stable est donc 
$P=\begin{pmatrix}
\dfrac{6}{11} & \dfrac{5}{11}
\end{pmatrix}$.
 \end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
 \medskip
 
%Dans ce jeu vidéo, Franck circule dans des catacombes infestées de monstres qu'il doit combattre.
% 
%\smallskip
%
%\parbox{0.48\linewidth}{On a représenté ci-contre le graphe modélisant ces
%catacombes.
%
%Les sommets représentent les salles et les arêtes représentent les couloirs.
%
%Les étiquettes du graphe correspondent au nombre de monstres présents dans chaque couloir.}\hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(8,6)
%\psset{arcangle=20} \cnodeput(0,3){A}{A} \cnodeput(2,5){B}{B} \cnodeput(2.5,0.5){C}{C} \cnodeput(5,3){D}{D} \cnodeput(6,0.7){E}{E} \cnodeput(7,4.5){F}{F} \cnodeput(7.5,2){G}{G}
%\ncarc{A}{B} \ncput*{11}\ncarc{A}{C} \ncput*{12}\ncarc{B}{C} \ncput*{18}\ncarc{B}{D} \ncput*{7}\ncarc{B}{F} \ncput*{22}\ncarc{D}{E} \ncput*{4}\ncarc{D}{F} \ncput*{3}\ncarc{E}{F} \ncput*{11}\ncarc{E}{G} \ncput*{7}
%\ncarc{F}{G} \ncput*{5}\ncarc{C}{D} \ncput*{5}\ncarc{C}{E} \ncput*{19}
%\end{pspicture}}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
%		\item Justifier qu'il est possible, au départ d'une salle quelconque, d'y revenir après
%avoir parcouru tous les couloirs une et une seule fois.
		\item Effectuer un parcours qui part d'une salle pour y revenir et qui passe une et une seule fois par chaque couloir, c'est chercher si ce graphe est un cycle eulérien. 
		
		Le graphe est connexe car deux sommets quelconques peuvent être reliés par une chaîne.
		
\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c| *{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		Sommet & A & B & C & D & E & F & G \\
		\hline
		Degré & 2 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 2\\
		\hline
		\end{tabularx}
		\end{center}		
		
Tous les sommets sont de degré pair donc d'après le théorème d'Euler, il existe donc un cycle eulérien.
		
On peut donc partir de n'importe quel sommet et y revenir en passant une et une seule fois par tous les couloirs.
		\item Un exemple de chemin : A $\rightarrow$ B $\rightarrow$ F $\rightarrow$ G $\rightarrow$ E $\rightarrow$ F $\rightarrow$ D $\rightarrow$ E $\rightarrow$ C $\rightarrow$ D $\rightarrow$ B $\rightarrow$ C $\rightarrow$ A.
	\end{enumerate}
%\item Franck débute le jeu dans la salle A et doit atteindre l'adversaire final en salle G.
%	
%Existe-t-il un chemin permettant de se rendre de la salle A à la salle G en passant une
%et une seule fois par tous les couloirs ?
\item Effectuer un tel parcours c'est chercher s'il existe une chaîne eulérienne de A vers G.
%Pour qu'un graphe connexe admette un cycle eulérien, il faut que tous ses sommets soient de degré pair, ce qui est le cas ici.

Pour avoir une telle chaîne, il faudrait que les sommets A et G soient les seuls de degré impair ; ce n'est pas le cas  ; on ne peut donc pas aller de A à G en parcourant tous les couloirs.

%\item Une fois arrivé en salle G, Franck souhaite revenir en salle A en affrontant le moins de
%monstres possible afin de recommencer une nouvelle partie.
%	
%Déterminer ce trajet minimal et préciser le nombre de monstres affrontés.
\item En utilisant l'algorithme de Dijkstra :

\begin{center}
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}%%%    surlignage
		\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
			\hline 
			\  G\   &  F  	&  E  		&  D  		&  C   		&   B   	&   A   	&  Sommet choisi \\ 
			\hline
			\sur{\ 0\ } & $\infty$ & $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	&  G \\
			\hline
			 & \sur{5 (G)} & 7 (G) 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	&  F (G) \\
			\hline 
					&  		&  \sur{7 (G)}	                 &  	                & 	$\infty$ &            & $\infty$   & \\
					& 		    & \sout{16 (F)} 	    & 	 	8 (F)        & 		 	       & 27 (F) &	     	       &  E (G)  \\
			\hline 
					&  		& 	&	\sur{8 (F)}		            &               & 27 (F)  & $\infty$   &  \\
					& 		    & 	& 	\sout{11 (E)}	& 26 (E) 	& 		 	     & 		 	     &  D (F) \\
			\hline
					&  		& 		 	&				 & \sout{26 (E)}  	& \sout{27 (F)}   & $\infty$ &\\
					& 		    & 		 	& 		 		& \sur{13 (D)} 	                & 	15 (D)	         &     & C (D) \\
			\hline
					&  		& 		 	&			& 			 &		\sur{15 (D)}  	&   & B (D) \\
					& 		& 		 	& 		 	& 			&  	\sout{31 (C)}		& 25 (C) 	&  \\
			\hline
					& 		& 		 	& 		 	& 			&  			& \sur{25 (C)} 	&  A (C) \\
			\hline
		\end{tabular} 
\end{center} 

Le chemin le plus court sera : G $\stackrel{5}{\longrightarrow}$ F $\stackrel{3}{\longrightarrow}$ D $\stackrel{5}{\longrightarrow}$ C $\stackrel{12}{\longrightarrow}$ A et aura pour longueur 25.
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On définit deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n$
%
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%u_0 &=& 10\\
%u_{n+1}& =& u_n + 0,4
%\end{array}\right.\quad  \text{et} \quad  \left\{\begin{array}{l c l} v_0 &=& 8\\
%v_{n+1}& =& 1,028v_n\end{array}\right.\]
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
%		\item Parmi ces deux suites, préciser laquelle est arithmétique et laquelle est géométrique ; donner leurs raisons respectives.
		\item La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=0,4$. 
		
		La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,028$.
%		\item Exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
		\item Pour tout entier naturel, $n$, $u_{n}=u_0+nr=10+0,4n$ et $v_n=v_0\times q^n=8\times 1,028^n$. 
 	\end{enumerate}
%\item On donne l'algorithme suivant dans lequel $n$ est un entier naturel, et $U$ et $V$ sont des réels qui désignent respectivement les termes de rang $n$ des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ :
%	
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
%$n \gets 0$\\
%$U \gets 10$\\
%$V \gets 8$\\
%Tant que $U > V$\\
%\hspace{0.8cm}$U \gets U + 0,4$\\
%\hspace{0.8cm}$V \gets  V \times 1,028$\\
%\hspace{0.8cm}$n \gets n+1$\\
%Fin Tant que\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%En sortie de cet algorithme, $n$ a pour valeur 46.
%
%Interpréter ce résultat.
\item Pour tout entier naturel tel que $n<46$, $u_n>v_n$. 

À partir du rang 46, et pour tout entier naturel $n\geqslant 46$, $u_n \leqslant v_n$.
%\item En 1798, l'économiste anglais Thomas Malthus publie \og An essay on the principle of population \fg{} dans lequel il émet l'hypothèse que l'accroissement de la population, beaucoup plus rapide que celui des ressources alimentaires, conduira son pays à la famine.
%
%Il écrit :
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\og \emph{Nous pouvons donc tenir pour certain que, lorsque la population n'est arrêtée par aucun obstacle, elle va doublant tous les vingt-cinq ans, et croît de période en période selon une progression géométrique. [\ldots] Nous sommes donc en état de prononcer, en partant de l'état actuel de la terre habitée, que les moyens de subsistance, dans les circonstances les plus favorables de l'industrie, ne peuvent jamais augmenter plus rapidement que selon une progression arithmétique.}\fg \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\smallskip
%
%En 1800, la population de l'Angleterre était estimée à $8$ millions d'habitants et l'agriculture anglaise pouvait nourrir $10$ millions de personnes. Le modèle de Malthus admet que la population augmente de $2,8$\,\% chaque année et que les progrès de l'agriculture permettent de nourrir $0,4$~million de personnes de plus chaque année.
%
%On utilisera ce modèle pour répondre aux questions suivantes.
\item 
	\begin{enumerate}
%		\item Quelle aurait été, en million d'habitants, la population de l'Angleterre en 1810 ?
%		
%On arrondira le résultat au millième.
		\item D'après le modèle décrit, le terme $v_n$ donne le nombre de millions d'habitants pour l'année $1800+n$. Donc $v_{10}=8\times 1,028^{10} \approx 10,544$.	\\ Selon ce modèle, la population de l'Angleterre en 1810 était de 10,544 millions d'habitants environ.
%		\item À partir de quelle année la population de l'Angleterre aurait-elle dépassé 16 millions
%d'habitants?
		\item Cherchons à partir de quel rang $n$, on a : $v_n\geqslant 16$.\\
		$v_n\geqslant 16 \iff 8\times 1,028^{n}\geqslant 16 \iff 1,028^{n} \geqslant 2 \iff \ln(1,028^{n}) \geqslant \ln(2) \\ \iff n \times \ln(1,028) \geqslant \ln(2) \iff n \geqslant \dfrac{\ln(2)}{\ln(1,028)} $. Or $\dfrac{\ln(2)}{\ln(1,028)}\approx 25,1$ donc $n\geqslant 26$.\\
		C'est donc à partir de 1826 que la population aurait dépassé 16 millions d'habitants.
%		\item À partir de quelle année la population de l'Angleterre serait -elle devenue trop grande pour ne plus être suffisamment nourrie par son agriculture ?
		\item  La suite $(v_n)$ décrit le nombre d'habitants en Angleterre durant l’année $1800+n$ et la suite $(u_n)$ décrit le nombre d'habitants que l'agriculture peut nourrir.
		D’après la réponse à la question 2, nous savons que pour tout entier naturel $n$ supérieur à 46, $u_n<v_n$. c’est donc à partir de 1846 que la population de l’Angleterre serait devenue trop grande pour ne plus être suffisamment nourrie par son agriculture.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-2)(5.5,3)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-2)(5.5,3)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{5}{2 x mul x dup mul add 2.71828 x exp div}
%\uput[u](3,0.9){$\mathcal{C}_f$}
%\end{pspicture}&\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-2)(5.5,3)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{5}{2 x dup mul sub 2.71828 x exp div}
%\uput[d](3.5,-0.4){$\mathcal{C}_{f'}$}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-2)(5.5,3)
%\end{pspicture}&\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-2)(5.5,3)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-2)(5.5,3)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{5}{x dup mul 2 x mul  sub 2 sub  2.71828 x exp div}
%\uput[u](3.5,0.4){$\mathcal{C}_{f''}$}
%\end{pspicture}\\
%\textbf{Courbe} $\mathcal{C}_f$ &\textbf{Courbe} $\mathcal{C}_{f'}$ &\textbf{Courbe} $\mathcal{C}_{f''}$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%On donne ci-dessus la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative dans un repère donné d'une fonction $f$ définie
%et dérivable sur l'intervalle [0~;~5] ainsi que les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f'}$ et $\mathcal{C}_{f''}$ respectivement
%de la dérivée $f'$ et de la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Dans cette partie les réponses seront obtenues à l'aide de lectures graphiques.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
%\item Donner un encadrement par deux entiers consécutifs du nombre réel pour lequel la
%fonction $f$ semble atteindre son maximum.
\item En utilisant la première courbe et dans la limite de précision du graphique, la fonction $f$  atteint son maximum pour une valeur $x_0\in ]1\,;\,2[$ .

	\begin{enumerate}
%		\item Donner un intervalle défini par deux entiers sur lequel la fonction $f$ semble convexe.
		\item  En utilisant la troisième et dans la limite de précision du graphique, la fonction $f$ semble être convexe sur l'intervalle $[3\,;\,5]$.\\
		En effet, sur cet intervalle on peut voir que $f''(x)\geqslant 0$.
%		\item Expliquer pourquoi on peut conjecturer que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion.
%		
%Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de l'abscisse de ce point d'inflexion.
		En utilisant là-encore le troisième graphique, la dérivée seconde de la fonction $f$ s'annule et change de signe sur l'intervalle  $[0\,;\,5]$.\\
		La courbe représentative de la fonction$f$ admettra donc un point d'inflexion dont l'abscisse appartient à l'intervalle $]2\,;\,3[$
	\end{enumerate}
%\item Parmi les équations suivantes quelle est l'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ ?
%	
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}$y=x$&\textbf{b.~~} $y = 2x+ 1$&
%\textbf{c.~~} $y= 2x$&\textbf{d.~~} $y= \dfrac{3}{4}x$\\
%\end{tabularx}
%\end{center}
\item L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $0$ est : $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.\\
D'après le premier graphique, $f(0)=0$ ; et d'après le second, $f'(0)=2$. 

Donc l'équation réduite de la tangente est $y=2x$.

%\item On note $I = \displaystyle\int_0^1 f'(x)\:\text{d}x$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
%
%Comment s'interprète graphiquement ce nombre $I$ ?
\item L'intégrale $I$ correspond, en unités d'aire, à l'aire du domaine délimité par les droites verticales d'équation $x = 0$ et $x = 1$, l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction $f'$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur l'intervalle [0~;~5] par $f(x) = \left(x^2 + 2x\right)\text{e}^{-x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est définie par $f'(x) = \left(- x^2 + 2\right)\text{e}^{-x}$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~5].
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0\,;\,5]$. Pour tout $x\in [0\,;\,5]$, $f(x)$ est de la forme $u(x)\times v(x)$ avec $u(x)=\left(x^2 + 2x\right)$ et $v(x)= \text{e}^{-x}$.

En écrivant  $u'(x)=2x+2$ et $v'(x)= -\text{e}^{-x}$,

$f'(x) = (2x + 2)\times \text{e}^{-x}+ \left(x^2+2x\right)\times -\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x} \left(2x + 2 + (x^2 + 2x)\times (-1)\right)$
 
$\phantom{f'(x)} =\text{e}^{-x}\left(2x + 2 - x^2 - 2x\right) = \text{e}^{-x}\left(-x^2+2\right)$
%		\item Déterminer les variations de $f$ sur [0~;~5] et préciser l'abscisse de son maximum.
\item Pour tout $x\in [0\,;\,5]$, $f'(x)=\text{e}^{-x}\left(-x^2+2\right)=\text{e}^{-x}\left(-x+\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)$\\
Or sur l'intervalle $[0\,;\,5]$, $\text{e}^{-x}>0$ et $x+\sqrt{2}>0$, donc $f'(x)$ a le même signe que $-x+\sqrt{2}$.\\
$-x+\sqrt{2}\geqslant 0 \iff x\leqslant \sqrt{2}$. 

$f(0)=0$ \hfill{$f(\sqrt{2})=(\sqrt{2}^2+2\sqrt{2})\text{e}^{-\sqrt{2}}=(2+2\sqrt{2})\text{e}^{-\sqrt{2}}$} \hfill{$f(5)= \left(5^2+2\times 5\right)\text{e}^{-5} = 35\text{e}^{-5}$}

Le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle  $[0\,;\,5]$ est : 

\begin{center}
	{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
		\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
		\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
		\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
		$\begin{array}{|c|*5{c}|}
		\hline
		x & 0  & \esp & \sqrt{2} & \esp & 5 \\ 
		\hline
		f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
		\hline
		& &  &   \Rnode{max}{(2+2\sqrt{2})\text{e}^{-\sqrt{2}}}  &  &   \\  
		f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
		& \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{35\text{e}^{-5}} \rule{0pt}{\hauteur}    
		\ncline{->}{min1}{max} 
		\ncline{->}{max}{min2} 
		\\ 
		\hline
		\end{array} $
	}
\end{center}

%		\item Donner la valeur arrondie au millième du maximum de $f$.
\item Pour $x=\sqrt{2}$ la fonction $f$ atteint un maximum : $f\left(\sqrt{2}\right) = \left(2+2\sqrt{2}\right)\text{e}^{-\sqrt{2}}\approx 1,174$.
	\end{enumerate}
	\item %Avec un outil de calcul on obtient, pour $\displaystyle\int_0^1 f'(x)\:\text{d}x$ et $f(1)$, la même valeur approchée \np{1,10364}.
%	
%Ces deux valeurs sont-elles égales ?
Sur l'intervalle $[0\,;\,1]$, la fonction $f'$ est continue. Elle y admet donc une primitive. Or une primitive de la fonction $f'$ est la fonction $f$. Donc $\displaystyle\int_0^1 f'(x)\:\text{d}x = \left[f(x)\right]_0^1=f(1)-f(0)=f(1)$.\\ Les deux valeurs sont donc égales.
\end{enumerate}
\end{document}