\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp,colortbl}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-node,pstricks-add,pst-func}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
% Tapuscrit Denis Vergès
% Corrigé François Hache
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {TES Antilles-Guyane},
pdftitle = {6 septembre 2018},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 6 septembre 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesseptembre}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
%\textbf{Durée : 3 heures }
%
%\vspace{0,5cm}
%
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ES/L Antilles-Guyane
~\decofourright\\[5pt]
 6 septembre 2018}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%\emph{Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.}
%
%\medskip

Une grande enseigne souhaite étudier l'évolution du chiffre d'affaires des ventes de ses produits
\og bio \fg. Les données collectées ces dernières années sont les suivantes:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années 								&2012 	&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017\\ \hline
Chiffre d'affaires (millier d'euros)&330 	&361 	&392 	&432 	&489 	&539\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution en pourcentage du chiffre d'affaires entre 2012 et 2013 est

$\dfrac{361-330}{330}\times 100$ soit 9\,\% en arrondissant à l'unité.
\item Un cabinet d'étude avait, en 2012, conduit une étude et modélisé le chiffre d'affaires
des ventes de produits bio par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ représentait le chiffre d'affaires, exprimé en millier d'euros, de l'année $2012 + n$.

Dans cette modélisation, on suppose que le chiffre d'affaires augmente de 9\,\% chaque
année à partir de 2012 et on construit un algorithme donnant en sortie le terme $u_n$
pour un entier naturel $n$ donné par l'utilisateur.
	\begin{enumerate}
		\item Dans les algorithmes ci-dessous, $N$ est un entier, donné par l'utilisateur, qui désigne
le nombre d'années écoulées depuis l'année 2012 et $U$ un nombre réel qui
désigne le chiffre d'affaires en $2012 + N$.
		
%Justifier que les algorithmes A et C ne conviennent pas.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.2cm}|X|m{0.2cm}|X|m{0.2cm}}\cline{1-1}\cline{3-3} \cline{5-5}	
\textbf{Algorithme A}& &\textbf{Algorithme B}&& \textbf{Algorithme C}\\ \cline{1-1}\cline{3-3} \cline{5-5}
$U \gets 330$

Pour $i$ variant de $1$ à $N$

\hspace{0.4cm}$W \gets 1,09 \times U$

Fin Pour&&
$U \gets 330$

Pour $i$ variant de $1$ à $N$

\hspace{0.4cm}$U \gets 1,09 \times U$

Fin Pour&&
Pour $i$ variant de $1$ à $N$

\hspace{0.4cm}$U \gets 330$

\hspace{0.4cm}$U \gets 1,09 \times U$

Fin Pour\\ \cline{1-1}\cline{3-3} \cline{5-5}
\end{tabularx}

\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Dans l'algorithme A, le calcul $1,09\times U$ est affecté à une variable $W$ qui ne signifie rien; donc on peut éliminer l'algorithme A.
\item Dans l'algorithme C, on attribue à $U$ la valeur 330 à l'intérieur de la boucle, donc quelle que soit la valeur de $N$, la valeur de $U$ en sortie de la boucle sera $1,09\times 330$ soit $359,7$; l'algorithme C ne convient donc pas.

\end{list}

On admet que l'algorithme B convient.

		\item Pour la valeur 5 de $N$ saisie dans l'algorithme B, on complète  le tableau ci-dessous en arrondissant les valeurs obtenues à l'unité:

\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l *6}{|X|}}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
valeur de $i$&&1& 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
valeur de $U$ &330 & 360 & 392 & 427 & 466 & 508  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

		\item% Justifier, qu'au vu de ces résultats, le cabinet d'étude conclut que ce modèle n'est pas pertinent dès 2016.
L'année 2016 correspond à $n=4$. Selon ce modèle, le chiffre d'affaire serait de 466 milliers d'euros, alors que la valeur réelle du chiffre d'affaire est de 485 milliers d'euros. Le modèle proposé ne convient donc pas.		
		
 	\end{enumerate}
\item Le cabinet d'étude décide de modéliser ce chiffre d'affaires, exprimé en millier d'euros, par la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0 = 432$ et $v_{n+1} = 0,9 v_n + 110$ pour tout entier naturel $n$.
	
Le terme $v_n$ représente alors ce chiffre d'affaires en $2015 + n$.
	\begin{enumerate}
		\item $v_1 = 0,9 v_0 + 110 = 0,9\times 432 + 110 =498,8 \approx 499 $
		
		$v_2 = 0,9 v_1 + 110 = 0,9\times 498,8 + 110  \approx 559$
		
		\item On pose $w_n = v_n - \np{1100}$ pour tout entier naturel $n$, donc $v_n=w_n+\np{1100}$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $w_0=v_0 -\np{1100} = 432  -\np{1100} = -668$
\item $w_{n+1}=v_{n+1} -\np{1100} = 0,9 v_n +110  -\np{1100} = 0,9\left (w_n +\np{1100} \strut\right )-990 = 0,9 w_n +990 - 990 \\
\phantom{w_{n+1}}
= 0,9 w_n$
\end{list}

Donc la suite $(w_n)$ est géométrique de premier terme $w_0=-668$ et de raison $q=0,9$.
	
		\item Pour tout entier naturel $n$, on a $w_n = w_0\times q^n = -668\times 0,9^n$.
		
Or $v_n = w_n+\np{1100}$ donc on déduit que $v_n = \np{1100} - 668 \times 0,9^n$ pour tout entier naturel $n$.

		\item %Ce modèle permet-il d'envisager que le chiffre d'affaires dépasse un jour $2$~millions d'euros ?
Pour tout entier naturel $n$, $668\times 0,9^n>0$ donc $\np{1100} -668\times 0,9^n<\np{1100}$.

Donc le chiffre d'affaire sera toujours inférieur à $\np{1100}$ milliers d'euros, soit $1,1$ million d'euros, donc il ne dépassera jamais 2 millions d'euros.


	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

%\medskip
%
%\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.}

\medskip

Une compagnie aérienne a mis en place pour une de ses lignes un système de surréservation
afin d'abaisser les coûts.

Les réservations ne peuvent se faire qu'auprès d'une agence ou sur le site Internet de la compagnie.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude réalisée par la compagnie a établi que, sur cette ligne, pour une réservation en agence, 5\,\% des clients ne se présentent pas à l'embarquement alors que, pour une réservation par Internet, 2\,\% des clients ne se présentent pas à l'embarquement.

Les réservations en agence représentent 30\,\% de l'ensemble des réservations.

Pour un embarquement donné et une réservation prise au hasard, on considère les évènements
suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og la réservation a été faite en agence \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $I$ : \og la réservation a été faite par Internet\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $E$: \og le passager se présente à l'embarquement \fg.
\end{itemize}
On notera $\overline{E}$ l'événement: \og le passager ne se présente pas à l'embarquement \fg{}. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On construit un arbre pondéré traduisant cette situation.

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$}\naput{$0,3$}}
 	  { 
 		  \TR{$E$}\naput{\red $1-0,05=0,95$}
 		  \TR{$\overline{E}$}\nbput{$0,05$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$I$}\nbput{\red $1-0,3=0,7$}}
 	  {
 		  \TR{$E$}\naput{\red $1-0,02=0,98$}
          \TR{$\overline{E}$}\nbput{$0,02$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}


\item La probabilité qu'un client ne se présente pas à l'embarquement est $P\left (\overline{E}\right )$.

D'après la formule des probabilités totales, on a:

$P\left (\overline{E}\right ) = P\left (A \cap \overline{E}\right ) + P\left (I \cap \overline{E}\right ) 
= P(A)\times P_{A}\left (\overline{E}\right ) + P(I)\times P_{I}\left (\overline{E}\right )
= 0,3 \times 0,05 + 0,7 \times 0,02 = 0,029$. 

\item Sachant que le client ne s'est pas présenté à l'embarquement, la probabilité que la réservation ait été faite en agence est
$P_{\overline{E}}(A) = \dfrac{P\left ( A \cap \overline{E}\right )}{P\left (\overline{E} \right )}
= \dfrac{0,3\times 0,05}{0,029} \approx 0,517$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur cette ligne, la compagnie affrète un appareil de $200$ places et a vendu $202$ réservations.

On suppose que le nombre de clients se présentant à l'embarquement peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n = 202$ et $p = 0,971$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que tous les clients se présentent à l'embarquement est 

$P(X=202) = \ds\binom{202}{202}\times 0,971^{202} \times 0,029^0 = 0,971^{202} \approx \np{0,003}$.

\item La probabilité qu'un seul client parmi les $202$ qui ont réservé ne se présente pas à l'embarquement est la probabilité que $201$ clients se présentent à l'embarquement, c'est-à-dire

$P(X=201) = \ds\binom{202}{201}\times 0,971^{201} \times 0,029^1  \approx 0,016$.

\item La compagnie se trouve en situation de surréservation si le nombre de clients se présentant à l'embarquement est de 202 ou de 201, donc avec une probabilité de

$P(X=202) + P(X=201) \approx 0,019$.

\smallskip

\textbf{Remarque} -- En donnant les résultats des questions \textbf{1.} et \textbf{2.} arrondies au dix-millième, on obtient $P(X=202)\approx \np{0,0026}$, $P(X=201)=\np{0,0158}$ ce qui donne
$P(X=202) + P(X=201) \approx \np{0,0184}$ dont une valeur arrondie au millième est $0,01{\red 8}$. 

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Cette compagnie affirme que 98\,\% de ses clients sont satisfaits, ce qui signifie que la compagnie fait l'hypothèse que la probabilité qu'un client soit satisfait est $p=0,98$.

Sur les $400$ réponses à une enquête de satisfaction, il y a $383$~réponses exprimant leur satisfaction.
%Ce résultat contredit-il l'affirmation de la compagnie ?

On va donc tester l'hypothèse de la compagnie sur un échantillon de taille $n=400$.

$n=400\geqslant 30$, $np=400\times 0,98 = 392 \geqslant 5$ et $n(1-p) = 400 \times 0,02 = 8 \geqslant 5$ donc les conditions sont vérifiées pour que l'on établisse un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de clients satisfaits.

\medskip

$I=\left [ p-1,96 \ds\dfrac{\ds\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}\;;\; p+1,96 \ds\dfrac{\ds\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}\right ]
= \left [ 0,98-1,96 \ds\dfrac{\ds\sqrt{0,98\times 0,02}}{\sqrt{400}}\;;\; 0,98+1,96 \ds\dfrac{\ds\sqrt{0,98\times 0,02}}{\sqrt{400}} \vphantom{ \ds\dfrac{\ds\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\sqrt{n}}}\right ]\\[5pt]
\phantom{I}
= \left [ \np{0,96628}\;;\;\np{0,99372}\strut\right ]$

\medskip

Dans l'échantillon considéré, la fréquence de clients satisfaits est $f=\dfrac{383}{400} = \np{0,9575}$.

Or $f \notin I$ donc on peut dire, avec un risque d'erreur de 5\;\%,  que le résultat dans cet échantillon contredit l'affirmation de la compagnie.

%\vspace{0.5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  4 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un laboratoire en botanique étudie l'évolution d'une espèce végétale en fonction du temps.

Cette espèce compte initialement 2 centaines d'individus.

Au bout de 2 semaines, l'espèce végétale compte 18 centaines d'individus.

Au bout de 3 semaines, l'espèce végétale prolifère et s'élève à 30,5 centaines d'individus.

Au bout de 10 semaines, on en compte 90 centaines.

On modélise cette évolution par une fonction polynomiale $f$ donnant le nombre d'individus
de l'espèce, exprimé en centaine, en fonction du temps écoulé $x$, exprimé en semaine.

Ainsi $f(2) = 18$ ; $f(3) = 30,5$ et $f(10) = 90$.

On admet que $f(x)$ peut s'écrire $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, où $a$, $b$, $c$ et $d$, sont des réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Justifier que $d = 2$.
$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ donc $f(0)=d$. \\
Cette espèce compte initialement 2 centaines d'individus donc $f(0)=2$. \\
On peut donc en déduire que $d=2$.

\item% Montrer que $a$, $b$ et $c$ sont solutions du système: 
$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 2$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $f(2)=18 \iff 8a +4b +2c +2=18 \iff 8a +4b +2c = 16$
\item $f(3)=30,5 \iff 27a + 9b + 3c + 2 = 30,5 \iff 27a + 9b + 3c  = 28,5$
\item $f(10)=90 \iff \np{1000}a + 100b + 10c + 2 = 90 \iff \np{1000}a + 100b + 10c  = 88$
\end{list}

Donc les nombres $a$, $b$ et $c$ sont solutions du système
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
8a + 4b + 2c 				&16\\
27a+9b+3c				&28,5\\
\np{1000}a + 100b + 10c 	& 88
\end{array}\right.$

\item %Déterminer les matrices $A$, $X$ et $B$ qui permettent d'écrire le système précédent sous la forme $AX = B$.
On définit les matrices suivantes:
$A= \begin{pmatrix}
8 & 4 & 2\\
27 & 9 & 3 \\
\np{1000} & 100 & 10
\end{pmatrix}$,
$X= \begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}$
et
$B= \begin{pmatrix}
16 \\ 28,5 \\ 88
\end{pmatrix}$.

Alors le système précédent est équivalent à $AX=B$.

\item %Résoudre le système.
$AX=B \iff X = A^{-1}B$

%Pour 
%$A= \begin{pmatrix}
%8 & 4 & 2\\
%27 & 9 & 3 \\
%\np{1000} & 100 & 10
%\end{pmatrix}$,
%on trouve à la calculatrice
%$A^{-1}= \begin{pmatrix}
%\frac{210}{\np{3360}} & -\frac{160}{\np{3360}} & \frac{6}{\np{3360}}\\[7pt]
%-\frac{\np{2730}}{\np{3360}} & \frac{\np{1920}}{\np{3360}}  & -\frac{30}{\np{3360}}  \\[7pt]
%\frac{\np{6300}}{\np{3360}} & -\frac{\np{3200}}{\np{3360}} & \frac{36}{\np{3360}}
%\end{pmatrix}$.

On trouve à la calculatrice
$A^{-1}B = 
\begin{pmatrix}
-0,2 \\ 2,5 \\ 3,8
\end{pmatrix}$
donc $a=-0,2$, $b=2,5$ et $c=3,8$.

On a donc $f(x)=-0,2x^3 + 2,5x^2 + 3,8x +2$.

\item %En supposant que l'évolution suit, sur l'intervalle [0~;~13], le modèle décrit par la fonction $f$, déterminer au bout de combien de temps la quantité de l'espèce étudiée sera maximale (arrondir à la semaine près).
$f(x)=-0,2x^3 + 2,5x^2 + 3,8x +2$ donc $f'(x)=-0,2\times 3x^2 + 2,5\times 2x + 3,8
= -0,6x^2 + 5x + 3,8$

Pour déterminer le signe de $f'(x)$, on résout l'équation $f'(x)=0$.

$\Delta = 5^2 - 4\times (-0,6)\times 3,8 = 34,12>0$

Donc l'équation admet deux solutions $x_1=\dfrac{-5 + \sqrt{34,12}}{2\times (-0,6)} \approx -0,7$ et $x_2=\dfrac{-5 - \sqrt{34,12}}{2\times (-0,6)} \approx 9$.

On en déduit le signe de $f'(x)$:

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{9}{c} |} 
\hline
x  & -\infty & \esp & x_1 & 0 &  \esp & x_2 & 13 & \esp & +\infty \\
\hline
f'(x) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} &  & \pmb{-} &\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0\;;\;x_2]$, et la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[x_2\;;\;13]$.

La quantité de l'espèce étudiée sera maximale au bout de $x_2$ semaines soit environ 9 semaines.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le laboratoire en botanique possède un parc d'étude dans lequel est observée l'évolution de
différentes espèces d'arbres.

\parbox{0.48\linewidth}{Les agents chargés du nettoyage circulent dans le parc depuis le local technique (L) jusqu'aux différentes parcelles plantées d'arbres : C, E, F{}, M, O, P, R et S.

Les sommets du graphe ci-contre représentent les différentes parcelles, et les arêtes marquent les allées permettant de se déplacer dans le parc. Les étiquettes rapportent la distance en mètre entre les parcelles.} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.95cm}
\scalebox{0.8}{\hfill
\begin{pspicture}(9,4.6)
%\psgrid
\uput[u](0.2,3.9){S} \uput[l](1,2.4){L} \uput[d](2,0.3){R}
\uput[u](3.2,3.2){C} \uput[d](4.3,2){F} \uput[u](5.1,3.8){E}
\uput[d](6.1,1.4){M} \uput[u](7.6,3){P} \uput[r](8.4,1.7){O}
\psdots(0.2,3.9)(1,2.4)(2,0.3)(3.2,3.2)(4.3,2)(5.1,3.8)(6.1,1.4)(7.6,3)(8.4,1.7)
\psline(0.2,3.9)(1,2.4)(2,0.3)(4.3,2)(6.1,1.4)(8.4,1.7)(7.6,3)(5.1,3.8)(3.2,3.2)(0.2,3.9)
\psline(1,2.4)(3.2,3.2)
\psline(5.1,3.8)(4.3,2)(7.6,3)(6.1,1.4)(5.1,3.8)
\rput(0.3,3){300} \rput(1.8,3.8){80} \rput(2,2.4){310} \rput(4,3.7){150} 
\rput(1.2,1.3){280} \rput(3.2,0.9){110} \rput(4.4,2.9){60} \rput(5.6,3.3){90} 
\rput(5.1,1.4){70} \rput(6.1,2.3){260} \rput(7,2){50} \rput(8.2,2.5){40} 
\rput(7.2,1.3){100} \rput(6.4,3.6){190} 
\end{pspicture}
}% fin du scalebox
}% fin du parbox

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Existe-t-il un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique (L) et en y revenant ?  Si oui, donner un tel parcours.
D'après le théorème d'Euler, pour qu'il existe un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique (L) et en y revenant, il faut et il suffit que les degrés des sommets soient tous pairs.

On détermine les degrés des sommets.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline
Sommet & L & C & E & F & M & O & P & R & S\\
\hline
Degré & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 2 & 4 & 2 & 2\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Il y a deux sommets de degrés impairs donc il n'existe pas de \og cycle eulérien \fg{}, c'est-à-dire  un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois.

		\item %Existe-t-il un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique (L) et sans nécessairement y revenir? Si oui, donner un tel parcours.
Il y a deux sommets de degré impair égal à 3, L et C, donc, d'après le théorème d'Euler, il existe des parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique L et en arrivant à C.

Par exemple:
L - C - S - R - F - M - O - P - M - E - P - F - E - C
		
	\end{enumerate}
\item On détermine un parcours de distance minimale joignant le local technique à la parcelle O en utilisant l'algorithme de Dijkstra.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small%%% \scriptsize
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}%%%    surlignage
\newcommand{\cgr}{\cellcolor{lightgray!50}}%%%                               cellule grisée
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline 
L &  C  &  E  &  F  &  M   &   O   &   P   &  R & S  &{On garde} \\ 
\hline 
\sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  $\infty$ & L \\
\hline
\cgr & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } &  \sout{ $\infty$ } &  \\[-3pt]
\cgr &   310 & & & & & & \sur{280 L} & 300 & R \\
\hline
\cgr & 310 & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & \cgr &  \sur{300 R} &  \\[-3pt]
\cgr &        &                 & 390& & & & \cgr &  & S \\
\hline
\cgr & \sur{310 R} & $\infty$ & 390 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & \cgr &  \cgr &  \\[-3pt]
\cgr & \sout{380} &                 &         &                &                &                 & \cgr &  \cgr &  C\\
\hline
\cgr & \cgr & \sout{ $\infty$ } & \sur{390 R} & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & \cgr &  \cgr &  \\[-3pt]
\cgr & \cgr & 460                       &                     &                 &                &                & \cgr &  \cgr &  F\\
\hline
\cgr & \cgr & \sout{460} & \cgr & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } & \cgr &  \cgr &  \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \sur{450 F} & \cgr & 460                     &                  & 650 & \cgr &  \cgr & E  \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \sur{460 F} & $\infty$ & \sout{650} & \cgr &  \cgr &  \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr & \cgr &                      &                & 640             & \cgr &  \cgr &  M \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \sout{ $\infty$ } & \sout{640} & \cgr &  \cgr &  \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & 560                      &  \sur{510 M}& \cgr &  \cgr & P \\
\hline
\cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \sout{560} & \cgr & \cgr &  \cgr &  \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \cgr & \sur{550 P} & \cgr & \cgr &  \cgr & O  \\
\hline
\end{tabularx} }
\end{center} 

Le parcours de distance minimale est:
L $\stackrel{280}{\longrightarrow}$ 
R $\stackrel{110}{\longrightarrow}$
F $\stackrel{70}{\longrightarrow}$
M $\stackrel{50}{\longrightarrow}$
P $\stackrel{40}{\longrightarrow}$ O;\\
il est de longueur 550 m.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  3 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;\;+\infty[$ par 
$f(x) = x - \ln (x)$.

\smallskip

On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère \Oij{} et $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x = 3$.
}
\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(6,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.02}{6}{x x ln sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{1}{6}{x 2 mul 3 div  1 add  3 ln sub}
\uput[u](1,1){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[d](1,0.6){$T$}
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,1.901)
\end{pspicture}
}% fin du parbox

%Cette tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ passe- t -elle par l'origine du repère ?

La tangente au point de la courbe d'abscisse $a$ a pour équation
$y=f'(a)\left (x-a\right ) + f(a)$.

Pour $a=3$, on a $f(3)=3-\ln(3)$.

$f'(x)= 1-\dfrac{1}{x}$ donc $f'(3)=1-\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$
donc la droite $T$ a pour équation

$y=\dfrac{2}{3} \left (x-3\right ) + 3-\ln(3)$
c'est-à-dire
$y=\dfrac{2}{3}\,x - \dfrac{2}{3}\times 3 + 3 - \ln(3)$
ou encore
$y= \dfrac{2}{3}\,x +1-\ln(3)$.

Pour $x=0$, $y=1-\ln(3) \neq 0$ donc la droite $T$ ne passe pas par l'origine.
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4\hfill  4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}
%
%\medskip
%
%\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}
%
%\medskip
%
%\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}
%
%\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = - 7 x\e^x.\]

Cette fonction admet sur $\R$ une dérivée $f'$ et
une dérivée seconde $f''$.

On donne ci-contre la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative
de la fonction $f$.}
\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{
\scalebox{0.8}
{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-2)(1,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-7,-2)(1,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000]{-3}{0}{7 x mul 2.71828 x exp mul neg}
\psplot[plotpoints=4000]{0}{-3}{0}
\closepath
}
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=gray,gridlabels=0pt]
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7}{0.2276}{7 x mul 2.71828 x exp mul neg}
\uput[u](-3.5,0.8){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $F$ une primitive de $f$ sur $\R$, une expression de $F(x)$ peut être :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $(-7 - 7x)\e^x$ &\textbf{b.~~} $-7\e^x$ &\textbf{c.~~} $- 7x\e^x$ &\textbf{d.~~} \fbox{ $(- 7x + 7)\e^x$ }
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}} | p{0.9\linewidth}}
Si $F(x)=(- 7x + 7)\e^x$, alors \\
$F'(x)=(-7)\times \e^{x} + (-7x+7) \times \e^{x} = (-7 -7x +7)\e^{x} = -7\e^{x} = f(x)$.
\end{tabular}

\medskip

\item Soit $A$ l'aire, exprimée en unité d'aire, comprise entre la courbe représentative de $f$,
l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - 3$ et $x = 0$ . On a :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$3 < A < 4$ &\textbf{b.~~}\fbox{ $5 < A < 6$ } &\textbf{c.~~}$A < 0$ &\textbf{d.~~}$A > 7$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}} | p{0.9\linewidth}}
L'aire est celle de la région grisée sur le graphique; en comptant les carreaux, on encadre cette aire entre 5 et 6 unités d'aire.

En calculant $F(0)-F(-3)$ avec la fonction $F$ trouvée à la question \textbf{1.}, on trouve $A\approx 5,6$.
\end{tabular}


\medskip
\item On a:
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ est positive sur l'intervalle $[-6~;~0]$ ;
		\item $f$ est convexe sur l'intervalle $[-1~;~0]$ ;
		\item $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion pour $x = - 1$ ;
		\item \fbox{ $f''$ change de signe en $x = -2$ }
	\end{enumerate}
	
\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}} | p{0.9\linewidth}}
On peut procéder par élimination.

\begin{enumerate}
\item La fonction est décroissante sur $[-1\;;\;0]$ donc $f'<0$ sur $[-1\;;\;0]$; on peut éliminer la réponse \textbf{a.}
\item $f$ est concave sur $[-1\;;\;0]$ donc on peut éliminer la réponse \textbf{b.}
\item $\mathcal{C}_f$ ne traverse pas sa tangente en $x=1$ donc elle n'admet pas de point d'inflexion en ce point; on peut éliminer la réponse \textbf{c.}
\end{enumerate}

On peut le vérifier en calculant  $f'(x)=\left (-7x-7\right ) \e^{x}$ et $f''(x)=\left (-7x-14\right ) \e^{x}$;\\ $f''(x)$ s'annule et change de signe quand $x=-2$.
\end{tabular}
\end{enumerate}	

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la loi normale $X$ de paramètres $\mu = 19$ et $\sigma = 5$.

Les résultats de cette partie sont trouvés à la calculatrice.

\begin{enumerate}[resume]
\item La meilleure valeur approchée de $P(19 \leqslant X \leqslant 25)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \fbox{ $0,385$ } &\textbf{b.~~}$0,084$ &\textbf{c.~~}$0,885$ &\textbf{d.~~}$0,5$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité $P(X \geqslant 25)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$p \approx 0,885$ &\textbf{b.~~} \fbox{ $p \approx 0,115$ } &\textbf{c.~~} $p \approx 0,385$ &\textbf{d.~~} $p \approx 0,501$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Le nombre entier $k$ tel que $P(X > k) \approx 0,42$ à $10^{-2}$ près est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $k = 19$ &\textbf{b.~~} $k = 29$ &\textbf{c.~~} \fbox{ $k = 20$ } &\textbf{d.~~} $k = 14$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}} | p{0.9\linewidth}}
Dans cette question, on peut tester à la calculatrice chacun des résultats proposés pour trouver le bon.

Si on utilise la fonction \og inverse normale \fg{} présente sur la plupart des calculatrices, on utilisera le résultat suivant: $P(X>k)=0,42$ équivaut à $P(X \leqslant  k) = 1-0,42$ c'est-à-dire $P(X \leqslant  k) = 0,58$.
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{document}