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%Sujet aimablement fourni par François Cosmo
%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Antilles--Guyane juin 2007},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles-Guyane 
juin 2007~\decofourright }}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%Un commerçant vendant des produits biologiques propose quotidiennement des paniers légumes frais contenant 2~kg de légumes ou des paniers contenant 5~kg de légumes.
%
%35\,\% des clients qui achètent ces paniers ont au moins un enfant.
%
%Parmi ceux qui n'ont pas d'enfant, 40\,\% choisissent les paniers de 5~kg de légumes et les autres choisissent les paniers de 2~kg de légumes.
%
%On interroge au hasard un client qui achète un panier de légumes.
%
%On note $E$ l'évènement \og le client interrogé a au moins un enfant \fg{} ;
%
% on note $C$ l'évènement \og le client interrogé a choisi un panier de 5~kg de légumes\fg.
% 
%Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire.
%
%\emph{Tous les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au millième}.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité que le client interrogé n'ait pas d'enfant~?
35\,\% ont un enfant, donc 65\,\% n'en n'ont pas : la probabilité est donc égale à 
$p\left(\overline{E}\right) = 0,65$.
\item %Sachant que le client interrogé n'a pas d'enfant, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un panier contenant 5~kg de légumes~?
$p_{\overline{E}}(C) = 0,4$.
\item %Décrire l'évènement $\overline{E} \cap C$, et montrer que $p\left(\overline{E} \cap  C\right)=0,\!26$.
$\overline{E} \cap C$ est l'évènement : \og ne pas avoir d'enfant et prendre un panier de 5~kg \fg.

On a $p\left(\overline{E} \cap  C\right) = p\left(\overline{E}\right) \times p_{\overline{E}}(C) = 0,65 \times 0,4 = 0,26$.
\item %On sait de plus que 30\,\% des clients qui achètent des paniers choisissent des paniers de 5~kg.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $p(E \cap C)$.
On a donc $p(C) = 0,3 = p(C \cap E) + p\left(C \cap \overline{E}\right) \iff p(C \cap E) = 0,3 - p\left(C \cap \overline{E}\right)  = 0,3 - 0,26 = p(C) = 0,04$.
		\item %En déduire la probabilité conditionnelle de $C$ sachant que $E$ est réalisé.
On a $p_{E}(C) = \dfrac{p(E \cap C)}{p(E)} = \dfrac{0,04}{0,35} = \dfrac{4}{35} \approx 0,114$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}

\medskip

%La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle \mbox{$I = ]0~;~+\infty[$}. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $I$.
%
%Les axes $(Ox)$ et $(Oy)$ sont asymptotes à $\mathcal{C}$.
%
%La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points $A(1~;~-1)$ et $B\left(\dfrac{1}{\text{e}}~;~0\right)$ et admet une tangente parallèle à $(Ox)$ au point $A$.
%%\begin{figure}[ht]
%%çaption{Exercice 2 (non-spécialité)}
%\begin{center}
%%\footnotesize{
%%\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
%\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm}
%\begin{pspicture*}(-0.52,-1.76)(11.3,7.22)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=orange](0,-2)(11.3,7.22)
%\psset{algebraic=true,dotstyle=+,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt,xlabelPos=top ]{->}(0,0)(-0.52,-1.76)(11.3,7.)
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0.139}{11.3}{(-1-ln(x))/x}
%\psline{->}(1,-1)(1.86,-1)
%\psline{->}(1,-1)(0.14,-1)
%\uput[dl](0,0){$0$}
%\rput[tl](8.64,-0.5){$\mathcal{C}$}
%\psdots(1,-1)
%\rput[bl](1.08,-1.34){$A$}
%\psdots[linecolor=darkgray](0.37,0)
%\rput[bl](0.44,0.12){\darkgray{$B$}}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %En utilisant les données ci-dessus, déterminer sans justification :
	\begin{enumerate}
		\item %$f(1)$ et $f'(1)$.
On lit $f(1) = - 1$ et la tangente au poInt d'abscisse 1 est horizontale, donc 

$f'(1) = 0$.
		\item %$\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
L'axe (O$y$) est asymptote verticale, donc $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) = + \infty$ ;

L'axe (O$x$) est asymptote horizontale, donc $\displaystyle\lim_{x\to + \infty}f(x) = 0$. 
		\item %les solutions de l'inéquation $f(x)\geqslant 0$ et les solutions de l'inéquation $f'(x)\geqslant 0$.
$f(x) \geqslant 0 \iff 0 < x \leqslant \dfrac{1}{\text{e}}$ : les solutions sont les réels de l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{1}{\text{e}}\right]$.

$f'(x) \geqslant 0 \iff f $ est croissante $\iff x \geqslant 1$ : les solutions sont les réels de l'intervalle $[1~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item %On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $f(x)=\dfrac{a+b\ln x}{x}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $f'(x)$ en fonction des réels $a$ et $b$.
$f$ est dérivable sur I et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{b \times \frac{1}{x} \times x - 1(a + b\ln x)}{x^2} = \dfrac{b - a - b\ln x}{x^2}$.
		\item %Utiliser les résultats de la question 1. a. pour montrer que $a=-1$ et $b = -1$.
$\left\{\begin{array}{l c l}
f(1)&=&- 1\\f'(1)&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&- 1\\
b - a&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&- 1\\
b &=&- 1
\end{array}\right.$

Conclusion : sur I, $f(x) = - \dfrac{1 + \ln x}{x}$.
		\item %Retrouver les résultats de la question 1c par le calcul.
$\bullet~~$ Sur I, $f(x) \geqslant 0 \iff - \dfrac{1 + \ln x}{x}\geqslant 0 \iff - (1 + \ln x) \geqslant 0 \iff 1 + \ln x \leqslant 0 \iff $

$\ln x \leqslant - 1 \iff x \leqslant \text{e}^{- 1}  \iff x < \dfrac{1}{\text{e}}$ : on retrouve bien l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{1}{\text{e}}\right]$.

$\bullet~~$ Sur I, $f'(x) \geqslant 0 \iff \dfrac{\ln x}{x^2} \geqslant 0 \iff \ln x \geqslant 0 \iff \ln x \geqslant \ln 1 \iff x \geqslant 1$ : on retrouve bien l'intervalle $[1~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Dans un pays,  un organisme étudie l'évolution de la population. Compte tenu des naissances et des décès, on a constaté que la population a un taux d'accroissement naturel et annuel de 14 pour mille.
%
%De plus, chaque année, \np{12000}~personnes arrivent dans ce pays et \np{5000}~personnes le quittent.
%
%En 2005, la population de ce pays était de 75 millions d'habitants. On suppose que l'évolution ultérieure obéit au modèle ci-dessus.
%
%On note $P_{n}$ la population de l'année $2005 + n$ exprimée en milliers d'habitants.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer $P_{0}$, $P_{1}$ et $P_{2}$. La suite de terme général $P_{n}$ est-elle arithmétique~? géométrique~? Justifier la réponse.
$P_{0} = \np{75000}$.

L'année suivante l'accroissement est de 14 pour mille soit $14 \times \np{75000} = \np{1050000}$~personnes soit \np{1050}~milliers,  plus un solde entrants/sortants de \np{7000}~personnes soit 7 milliers.

On a donc $P_1 = \np{75000} + \np{1050} + 7 = \np{76057}$.

De même $P_2 = P_1 \times 1,014 + 7 = \np{77128,8}$ et 
$P_3 = P_2 \times 1,014 + 7 = \np{78215,6}$.

On voit tout de suite que la suite n'est pas arithmétique car $P_2 - P_1 \ne P_1 - P_0$ et qu'elle n'est pas non plus géométrique car  $\dfrac{P_2}{P_1} \ne \dfrac{P_1}{P_0}$.
\item %Expliquer pourquoi on obtient, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=1,\!014P_{n}+7.$
Augmenter d'une année sur l'autre de 14 pour mille ou de de 1,4 pour cent c'est multiplier par $1,014$ et chaque année le solde entrants/sortants est de + 7, donc $P_{n+1}= 1,014P_{n} + 7.$
\item %Démontrer que la suite $(U_{n})$ définie par $U_{n}=P_{n}+500$ pour tout entier naturel $n$ est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme.
On a $U_{n+1} = P_{n+1} + 500 = 1,014P_{n} + 7 + 500 = 1,014P_{n} + 507 = 1,014\left(P_{n} + \frac{507}{1,014}\right) = 1,014\left(P_n + 500\right)=$

$ U_{n+1} = 1,014U_n$.

L'égalité $U_{n+1}  = 1,014U_n$ montre que la suite $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,014$.

Son premier terme est $U_0 = P_0 + 500 = \np{75000} + 500 = \np{75500}$.
\item %Exprimer $U_{n}$ puis $P_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que pour tout naturel $n,\: U_n = U_0 \times 1,014^n = \np{75500}\times 1,014^n$.

Or $U_{n} = P_{n} + 500 \iff P_{n} = U_{n}  - 500 = \np{75500}\times 1,014^n - 500$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Combien d'habitants peut-on prévoir en 2010 ?
		2010 correspond au rang $n = 5$, ce qui donne $U_5 = \np{75500}\times 1,014^5 - 500 = \np{80435,1}$~milliers de personnes, soit environ \np{80435000} habitants.
		\item %Au bout de combien d'années la population aura-t-elle doublé par rapport à l'année 2005 ?
Il faut trouver le plus petit naturel $n$ vérifiant :
		
$\np{75500}\times 1,014^n - 500 \geqslant 2 \times \np{75000} \iff \np{75500}\times 1,014^n  \geqslant  \np{150500} \iff 1,014^n \geqslant  \frac{\np{155000}}{75500} \iff n \ln 1,014 \geqslant \ln \left(\frac{\np{155000}}{75500} \right) \iff n \geqslant \frac{\ln \left(\frac{\np{155000}}{75500} \right)}{\ln 1,014}$.

Or $\frac{\ln \left(\frac{\np{155000}}{75500} \right)}{\ln 1,014} \approx 49,6$.

Il faudra attendre d'après cette prévision 50 ans, soit en 2055.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Le tableau ci-dessous donne une estimation du montant des achats en ligne des ménages français, en millions d'euros, de 1998 à 2004.
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
%\hline
%Année 								&1998 	&1999 	&2000 	&2001 &2002 &2003 &2004\\\hline
%Rang de l'année $x_{i}$ 			&0 		&1 		&2		&3		&4	&5	&6\\\hline
%Montant en millions d'euros $y_{i}$&75		&260	&820	&\np{1650}	&2300&4000&5300\\\hline
%\end{tabular}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Calculer  l'augmentation relative entre 2001 et 2002 du montant des achats.
De 2001 à 2002, l'augmentation relative est égale à $\dfrac{\np{2300} - \np{1650}}{\np{1650}} = \np{0,3939}$ soit environ 39,4\,\%.
\item ~%Représenter par un nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques: 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2~cm pour \np{1000} millions d'euros sur l'axe des ordonnées).
\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.0014cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-500)(8,5500)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=500]{->}(0,0)(0,0)(8,5500)
\psdots(0,75)(1,260)(2,820)(3,1650)(4,2300)(5,4000)(6,5300)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.66}{7}{880 x mul 582 sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\item %\emph{Dans cette question, les calculs, effectués à la machine, ne seront pas justifiés et seront arrondis à l'unité}.

%Donner une équation de la droite d'ajustement affine $D$ de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.
La calculatrice donne après arrondis à l'unité $y = 880x - 582$.

%Représenter cette droite dans le repère précédent.
Voir ci-dessus
\item On propose  un deuxième ajustement de cette série statistique par la fonction $f$ définie, pour tout réel positif $x$, par :  $f(x) = 130x^2 + 100x + 68$.

Recopier et compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&1		&2		&3			&4			&5			&6\\\hline
$f(x)$	&68 &298  	&788 	&\np{1538} 	&\np{2548} 	&\np{3818} 	&\np{5348} \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

%Construire la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère précédent.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.001cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-500)(8,6500)
\multido{\n=0.0+0.5}{17}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,6500)}
\multido{\n=0+500}{14}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=1000]{->}(0,0)(0,0)(8,6500)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.7}{x dup mul 130 mul 100 x mul add 68 add}
\psdots(0,68)(1,298)(2,788)(3,1538)(4,2548)(5,3818)(6,5348)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.6}{7.5}{880 x mul 582 sub}
\uput[d](7,5500){\green $D$}
\uput[l](6.5,6100){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Le montant des achats en ligne en 2005 a été de \np{7700} millions d'euros. Lequel de ces deux ajustements vous paraît-il le plus conforme à la réalité ? Justifier votre réponse.
2005 correspond au rang $x = 7$.

Avec l'estimation affine on obtient $y = 880 \times 7 - 582 = \np{6160} - 582 = \np{5578}$.

Avec l'estimation par la parabole, on obtient $y = 130 \times 7^2 + 130 \times 7 + 68 = \np{7348}$ : c'est donc l'ajustement par la fonction $f$ qui est la meilleure.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x\text{e}^x-1$.
%
%Le tableau suivant est le tableau de variations de la fonction $g$.
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|ccccc|}
%\hline
%$x$ & $-\infty$ & $\qquad\qquad\qquad$ &$-1$&$\qquad\qquad\qquad$&$+\infty$\\
%\hline
%Signe de $g'(x)$ &&$-$&0&$+$&\\
%\hline
%&\rnode{a}{$-1$}& & & &\rnode{c}{$+\infty$}\\
%Variations de $g$& & & & & \\
%& & &\rnode{b}{$-\dfrac{1}{\text{e}-1}$}& & \\[2ex]
%\hline
%\end{tabular}
%\ncline[nodesep=2pt]{->}{a}{b}
%\ncline[nodesep=2pt]{->}{b}{c}
%\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On admet que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $a$ strictement positive. En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
Le tableau de variations montre que sur $]- \infty~;~a[, \: f(x) < 0$ ;

Sur $]a~;~+ \infty[$, \: $f(x) > 0$ et enfin $f(a) = 0$.
\item %On note $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)= \text{e}^x - ln x$.
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier la limite de $f$ en $0$. Donner une interprétation graphique du résultat.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0}\text{e}^x = 1$ et  $\displaystyle\lim_{x \to 0} ln x = - \infty$, donc 	$\displaystyle\lim_{x \to 0} = + \infty$.

Géométriquement ce résultat signifie que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la représentation graphique de $f$ au voisinage de zéro.	
		\item %Vérifier que, pour tout $x > 0$, $f'(x) =\dfrac{g(x)}{x}$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
$f$ est dérivable  sur $]0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \text{e}^x - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x\text{e}^x - 1}{x} = \dfrac{g(x)}{x}$.		
		\item %Étudier les variations de $f$ puis établir son tableau de variations en admettant que la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.
On a vu le signe de $g(x)$ qui est le même que celui de $f'(x)$ car $x > 0$, d'où :
		
$\bullet~~$sur $]a~;~+ \infty[$, \: $g(x) > 0$, donc $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $]a~;~+ \infty[$ ;

$\bullet~~$sur $]0~;~a[$, \: $g(x) < 0$, donc $f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur $]0~;~a[$ ;

$\bullet~~$$f'(a) = 0$. $f(a) = \text{e}^a - \ln a$ est le minimum de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item %Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

%Tracer la courbe $\mathcal{C}$ en prenant \np{0,57} comme valeur approchée de $a$.

%(\emph{Prendre $4$~cm pour unité sur l'axe des abscisses et $2$~cm sur l'axe des ordonnées}).
\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.15,-0.5)(2.5,7)
\multido{\n=0.00+0.25}{18}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,7)}
\multido{\n=0.0+0.5}{16}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(2.5,7)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{3}{2.71828 x exp x ln sub}
\uput[l](1.65,4.6){\blue $\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](0.57,0)(0.57,2.33)(0,2.330)
\uput[d](0.57,0){$a$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{2.71828 x exp x ln sub}
\psline(2,0)(1,0)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;y)$ du plan muni du repère ci-dessus tels que :

%\[1\leqslant x\leqslant 2\quad \text{ et }\quad 0\leqslant y\leqslant f(x).\]

	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer le domaine $\mathcal{D}$.
Voir la figure ci-dessus.
		\item %Vérifier que la fonction $H$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $H(x) = x\ln x - x$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x)=\ln x$.
La fonction $H$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$H'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$ : la fonction $H$ est donc une primitive de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x)=\ln x$.
		\item %En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
Du résultat précédent on déduit qu'une primitive sur $]0~;~+\infty[$ de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par :

$F(x)  = \text{e}^x  - ( x\ln x - x ) = \text{e}^x - x \ln x + x$.
		\item %Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$, en unités d'aire, puis donner une valeur en cm\up{2}, arrondie au dixième.
Des variations de $f$ on a vu que sur l'intervalle [1~;~2], $f(x) > 0$, donc l'aire du domaine $\mathcal{D}$ est égale en unité d'aire à l'intégrale :

$\displaystyle\int_1^2 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_1^2 = F(2) - F(1) = \text{e}^2 - 2 \ln 2 + 2 - \left(\text{e}^1 - 1 \ln 1 + 1 \right) = \text{e}^2 - \text{e} - 2 \ln 2 + 1$~(u. a.).

D'après l'énoncé l'unité d'aire vaut $4 \times 2 = 8$~cm$^2$, donc l'aire en cm$^2$ est égale à :

$8\left(\text{e}^2 - \text{e} - 2 \ln 2 + 1 \right) \approx 34,28 \approx 34,3$~cm$^2$. (ce que l'on peut vérifier approximativement en comptant les carreaux de 1~cm$^2$)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}