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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{Juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles--Guyane~\decofourright\\juin 2009}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{PARTIE A: aucune justification n'est demandée}

\smallskip

%\emph{
%Cette partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. \textbf{Une seule} de ces réponses est exacte.\\
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
%Une réponse exacte rapporte \nombre{0,5} point.\\
%Une réponse fausse enlève \nombre{0,25} point.\\
%L'absence de réponse en rapporte ni n'enlève aucun point.\\
%Si le total des points de la partie A est négatif, la note attribuée à   cette partie est ramenée à zéro.}
%
%\smallskip
%
%On note $\R$ l'ensemble des réels.
%
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
%
%\[f(x) = (-x + 2)\text{e}^{-x}.\]
%
%\begin{alterqcm}[lq=6cm,nosquare=true]
%\AQquestion{La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à:}
%{
%{\textbf{a.~~} $-\infty$},
%{\textbf{b.~~} $0$},
%{\textbf{c.~~} $+\infty$}
%}
%\AQquestion{L'équation $f(x)=0$:}
%{
%{\textbf{a.~~} n'admet aucune solution dans $\R$},
%{\textbf{b.~~} admet une seule solution dans $\R$},
%{\textbf{c.~~} admet deux solutions dans $\R$}
%}
%\AQquestion{L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$ est:}
%{
%{\textbf{a.~~} $y=-3x+2$},
%{\textbf{b.~~} $y=-x+2$},
%{\textbf{c.~~} $y=x+2$}
%}
%\AQquestion{Le minimum de $f$ sur $\R$ est:}
%{
%{\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{e^3}$},
%{\textbf{b.~~} $\dfrac{-1}{e^3}$},
%{\textbf{c.~~} $\dfrac{-1}{e^{-3}}$}
%}
%\end{alterqcm}
\begin{enumerate}
\item On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{-x} = 0$ et que  $\displaystyle\lim_{X \to - \infty} X \text{e}^X = 0$, donc par composition en posant $X = - x$, \: $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - x \text{e}^{- x} = 0$.

Puisque $f(x) = - x \text{e}^{- x} + 2\text{e}^{- x}$, on a donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.
\item Puisque $\text{e}^{- x} > $ quel que soit $x$, $f(x) = 0 \iff - x + 2 = 0 \iff x = 2$. Une seule solution.
\item Un e équation de la tangente au point d'abscisse $0$ est : $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$.

Or $f(0) = 2\text{e}^{- 0} = 2$.
D'autre part $f'(x) = - \text{e}^{- x} - (- x + 2)\text{e}^{- x} = \text{e}^{- x}(- 1 + x - 2) = \text{e}^{- x}(x - 3)$. Donc $f'(0) = - 3$.

L'équation de la tangente est donc : $y - 2 = - 3(x - 0) \iff y = - 3x + 2$.
\item On a vu que sur $\R$, \:$f'(x) = \text{e}^{- x}(x - 3)$. Le signe de la dérivée est celui de $(x - 3)$, d'où :

si $x < 3, \: f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante ;

si $x >3, \: f'(x) > $ : la fonction est croissante.

$f(3)$ est donc le minimum de la fonction sur $\R$ et $f(3) = (- 3 + 2)\text{e}^{- 3} = - \text{e}^{- 3} = \dfrac{- 1}{\text{e}^3}$.
\end{enumerate}


\smallskip

\textbf{PARTIE B : la réponse devra être justifiée.}

\smallskip

%La fonction $f$ est celle définie dans la partie A. On note $C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. Étudier la position relative de la courbe $C$ et de la droite $\Delta$ d'équation $y = -x + 2$ sur l'intervalle $]0~;~2[$.
Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par :

$d(x) = f(x) - (- x + 2) = (- x + 2)\text{e}^{- x} - (- x + 2) = (- x + 2)\left(\text{e}^{- x} - 1\right)$.

On a $\text{e}^{- x} - 1 > 0 \iff \text{e}^{- x} > 1 \iff - x > \ln 1 \iff x < 0$ et 

$\text{e}^{- x} - 1 < 0 \iff \text{e}^{- x} < 1 \iff - x < \ln 1 \iff x > 0$.

Le signe de $d(x)$ s'obtient par un tableau des signes de chacun de ses facteurs :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.5)
\psframe(8,3.5)\psline(0,1)(8,1)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,3)(8,3)
\psline(2,0)(2,3.5)
\uput[u](1,2.9){$x$} \uput[u](2.5,2.9){$- \infty$} \uput[u](4,2.9){$0$} \uput[u](6,2.9){$2$} \uput[u](7.5,2.9){$+ \infty$}
\rput(1,2.5){$(- x + 2)$}\rput(3,2.5){$+$}\rput(5,2.5){$+$}\rput(6,2.5){$0$}\rput(7,2.5){$-$}
\rput(1,1.5){$\text{e}^{- x} - 1$}\rput(3,1.5){$+$}\rput(4,1.5){$0$}\rput(5,1.5){$-$}\rput(7,1.5){$-$}
\rput(1,0.5){$f'(x)$} \rput(3,0.5){$+$}\rput(4,0.5){$0$}\rput(5,0.5){$-$}\rput(6,0.5){$0$}
\rput(7,0.5){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}

Donc sur $]- \infty~;~0[$ et sur $]2~;~+ \infty[, \: d(x) > 0 \iff f(x) > - x + 2$ : ceci signifie que la courbe est au dessus de la droite $\Delta$ ;

sur $]0~;~2[, \: d(x) < 0 \iff f(x) < - x + 2$ : la courbe est au dessous de la droite $\Delta$ ;

pour $x = 0$ et pour $x = 2$ la droite et la courbe ont un point commun. 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

%\smallskip
%
%On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ dont on donne la représentation graphique $(C)$ dans le repère ci-dessous.
%\begin{center}
%\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm}
%\begin{pspicture*}(-0.38,-0.44)(5.24,3.16)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.38,-0.44)(5.24,3.16)
%\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%{\small
%\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.38,-0.44)(5.24,3.16)
%}
%\pscustom[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]{\psplot{1}{2.72}{x-2*ln(x)}\lineto(2.72,0)\lineto(1,0)\closepath}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.264513746427897E-6}{5.244081763282716}{x-2*ln(x)}
%\psplot{-0.38}{5.24}{(--2-1*x)/1}
%\uput[-90](2.718,0){$e$}
%\uput[0](0.3,3){$(C)$}
%\uput[-135](0.5,1.5){$(T)$}
%\psdots(1,1)
%\rput[bl](1.04,1.05){$A$}
%\end{pspicture*}
%
%\end{center}
%
%On admet que :
%\begin{itemize}
%\item  le point $A$ de coordonnées $(1~;~1)$ appartient à la courbe $(C)$;
%\item la tangente $(T)$ en $A$ à la courbe $(C)$ passe par le point de coordonnées $(2~;~0)$;
%\item la courbe $(C)$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 2;
%\item l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe de la fonction $f$.
%\end{itemize}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner, par lecture graphique ou en utilisant les données de l'énoncé, les valeurs de $f(1)$, $f'(1)$, et $f'(2)$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
On a $f(1) = 1$.

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente en A ; il est égal à $\dfrac{0 - 1}{2 - 1} = - 1$ ; $f'(1) = - 1$.

$f'(2) = 0$ (énoncé : tangente horizontale pour $x = 2$).
\item %On admet que l'expression de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ est:

\[f(x) = ax + b + c\ln x\]

%où $a$ ; $b$ et $c$ sont des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$ en fonction de $x$ et de $a$, $b$ et $c$.
$f'(x) = a + c \times \dfrac{1}{x} = a + \dfrac{c}{x}$.
\item %Démontrer que les réels $a$, $b$ et $c$ vérifient le système
%$\left\{\begin{array}{rcl}
%a+b&=&1\\
%a+c&=&-1\\[0.5ex]
%a+\dfrac{c}{2}&=&0
%\end{array}\right.$
Les trois résultats de la question \textbf{1.} se traduisent par le système :

$\left\{\begin{array}{rcl}
f(1)	&=&1\\
f'(1) 	&=&- 1\\
f'(2)	&=&0
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{rcl}
a + b + 0	&=&1\\
a + c 	&=&- 1\\
a + \frac{c}{2}	&=&0
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{rcl}
a + b &=&1\\
a + c &=&- 1\\
2a + c&=&0
\end{array}\right.$.
\item %Déduire de la question précédente les valeurs de $a$, $b$ et $c$ puis l'expression de $f(x)$.
On termine la résolution du système :

$\left\{\begin{array}{rcl}
a + b &=&1\\
a + c &=&- 1\\
2a + c&=&0
\end{array}\right. \Rightarrow 
\left\{\begin{array}{rcl}
a + b &=&1\\
a + c &=&- 1\\
a &=&1
\end{array}\right.$ puis $c = - 2$ et enfin $b = 1 - a = 0$.

Donc $f(x) x - 2\ln x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie pour tout réel $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$ par:

\[f(x) = x - 2\ln x.\]

\begin{enumerate}
\item %Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de $f$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)  = - \infty$ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe représentative de $f$ au voisinage de zéro.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$ définie pour tout réel $x\in ]0~;~+\infty[$ par :

\[ g(x) = x\ln x-x.\]

On a $g'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$.

La fonction $g$ est donc une primitive de la fonction logarithme népérien de $x$.
		\item %En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
Une primitive de $x \longmapsto x$ est la fonction $x \longmapsto \dfrac{x^2}{2}$, donc une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie par :

$F(x) =  \dfrac{x^2}{2} - 2(x\ln x - x)$.		
		\item %Déterminer la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire du domaine grisé sur le graphique ci-dessus, délimité par la courbe $(C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x = \text{e}$.
		La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[1~;~\text{e}]$, donc l'aire de la surface du domaine est égale à l'intégrale :
		
$\displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_1^{\text{e}} = F(\text{e}) - F(1) = \dfrac{\text{e}^2}{2} - 2(\text{e}\ln \text{e} - \text{e}) - \left[\dfrac{1^2}{2} - 2(1\ln 1 -  1) \right] = \dfrac{\text{e}^2}{2} - 2\text{e} + 2\text{e} - \dfrac{1}{2} - 2 = \dfrac{\text{e}^2}{2} -  \dfrac{5}{2} \approx 1,2 $. (ce que l'on peut vérifier sur la figure)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Au tennis, le joueur qui \og est au service~\fg{}joue une première balle.
%
%\begin{itemize}
%\item Si elle est jugée \og bonne\:\fg, il joue l'échange et peut gagner ou perdre.
%\item Si elle est jugée \og faute\:\fg, il joue une deuxième balle.
%	\begin{itemize}
%		\item Si cette deuxième balle est jugée \og bonne\:\fg, il joue l'échange et peut gagner ou perdre.
%		\item Si cette deuxième balle est jugée \og faute\:\fg, il perd.
%	\end{itemize}
%\end{itemize}
%On désigne par:
%
%\begin{description}
%\item[$S_{1}$:] l'évènement \og la 1\up{re} balle de service est \og bonne~\fg{};
%\item[$S_{2}$:] l'évènement \og la 2\up{e} balle de service est \og bonne~\fg{};
%\item[$G$:] l'évènement \og le point est gagné par le joueur qui est au service~\fg.
%\end{description}
%
%Pour le joueur Naderer qui est au service, on dispose des données suivantes :
%
%\begin{itemize}
%\item sa première balle de service est jugée \og bonne~\fg{} dans 40~\% des cas;
%\item sa deuxième balle de service est jugée \og bonne~\fg{} dans 95~\% des cas;
%\item si sa première balle de service est jugée \og bonne~\fg, il gagne l'échange dans 80~\% des cas;
%\item si sa deuxième balle de service est jugée \og bonne~\fg, il gagne l'échange dans 60~\% des cas.
%\end{itemize}
%Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire.

\begin{enumerate}
\item ~%Recopier et compléter l'arbre suivant:
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\Tp}
{
\pstree{\TR{$S_{1}$}^{$0,4$}}
	{\TR{$G$}^{$0,8$} 
		\TR{$\overline{G}$}_{$0,2$}}
		\pstree{\TR{$\overline{S_{1}}$}_{$0,6$}}
	{
		\pstree{\TR{$S_{2}$}^{$0,95$}}{\TR{$G$}^{$0,6$} \TR{$\overline{G}$}_{$0,4$}}
		\pstree{\TR{$\overline{S_{2}}$}_{$0,05$}}{\TR{$\overline{G}$}^1}
	}
}
\end{center}
\medskip

\item %Calculer $p(S_{1}\cap G)$.
$p\left(S_{1}\cap G\right) = p\left(S_1\right) \times p_{S_1}(G) = 0,4 \times 0,8 = 0,32$.
\item %Montrer que la probabilité que le joueur Naderer gagne l'échange est de \np{0,662}.
On a $p(G)  = p\left(S_{1}\cap G\right) + p\left(\overline{S_1} \cap  S_2 \cap G\right) = 0,32 + 0,6 \times 0,95 \times 0,6 = 0,32 + 0,342 = 0,662$.
\item %Sachant que le joueur Naderer a gagné l'échange, calculer la probabilité que sa première balle de service ait été jugée \og bonne~\fg. Le résultat sera arrondi au millième.
On a $p_G\left(S_1\right) = \dfrac{p\left(S_1 \cap G \right)}{p(G)} = \dfrac{0,32}{0,662} \approx {0,4883}$ soit 0,483 au millième près.
\item %Calculer la probabilité que le joueur Naderer gagne quatre échanges consécutifs. On donnera le résultat arrondi au millième.
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 4$ et $p = p(G) = 0,662$.

La probabilité que le joueur Naderer gagne quatre échanges consécutifs est égale à :

$0,662^4 \approx \np{0,1920}$ soit environ 0,192 au millième près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip 

%D'après l'INSEE, l'indice du chiffre d'affaires du secteur du Bâtiment gros {\oe}uvre (base 100 en 2000) a évolué entre 2000 et 2007 de la manière suivante : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.8cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 & 2005& 2006& 2007\\ \hline
%Rang de l'année $x_{i},\; 0\leqslant i \leqslant 7$& 0 &1 &2 &3 &4& 5& 6& 7 \\ \hline
%Indice $y_{i},\; 0\leqslant i \leqslant 7$& 100 &105,6 &106,9 &110,8 &121,3 &132,5 &145,5&161,8 \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie 1 : Un ajustement affine est-il possible ?}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  ~%Dans un repère orthogonal, représenter le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)\; 0 \leqslant i \leqslant 7$ (unités graphiques : 2~cm pour 1~année sur l'axe des abscisses ; 2~cm pour 10~unités d'indice sur l'axe des ordonnées, en graduant ce dernier à partir de $y = 90$).

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.125cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(8,75)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=90,Dy=20]{->}(0,0)(-0.5,-5)(8,75)
\psdots[linecolor=blue](0,10)(1,15.6)(2,16.9)(3,20.8)(4,31.3)(5,32.5)(6,55.5)(7,71.8)
\uput[d](7.8,0){$x$} \uput[l](0,74.8){$y$}\uput[l](0,0){$90$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{2.71828 0.07 x mul exp 95.5835 mul 90 sub}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Expliquer pourquoi un ajustement affine de ce nuage de points ne parait pas approprié.
Les 6 premiers points sont sensiblement alignés mais pas les deux derniers.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie 2 : On essaie un autre ajustement}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Recopier et compléter le tableau ci-dessous ; on donnera les résultats à $10^{-2}$

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i},\; 0\leqslant i \leqslant 7$& 0 &1 &2 &3 &4& 5& 6& 7 \\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}, \; 0\leqslant i \leqslant 7$&4,61&4,66&4,67&4,71&4,80&4,89&4,98&5,09\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés : les coefficients seront arrondis au centième.
		La calculatrice donne avec des coefficients arrondis au centième : $z = 0,07x + 4,56$. 
	\item %En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = A \times  \text{e}^{Bx}$ où $A$ et $B$ sont des réels.
On a $z = \ln y =  0,07x + 4,56 \iff  y = \text{e}^{0,07x + 4,56} = \text{e}^{0,07x} \times \text{e}^{4,56}$.
	
Or $\text{e}^{4,56} \approx 95,58 \approx 95,6$ au dixième près.

Donc $y = 95,6\text{e}^{0,07x}$
	\item %Dans le repère précédent, représenter la fonction $f$ définie par 
	
%$f(x) = 95,6 \times  \text{e}^{0,07x}$.
Voir ci-dessus.
	\item %À l'aide de ce modèle, donner une estimation de l'indice du chiffre d'affaires du secteur du Bâtiment gros {\oe}uvre pour l'année 2009.
2009 correspond au rang $x = 9$, donc on peut estimer  le chiffre d'affaires en 2009 à :

$95,6 \times  \text{e}^{0,07 \times 9} = 95,6 \times  \text{e}^{0,63} \approx 179,5$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 3 : Ce nouvel ajustement permet-il de prévoir l'avenir ?}

\medskip
 
%{\small \og  Baisse des permis de construire et donc des mises en chantier, stocks de logements neufs trop importants, hausse des taux d'intérêts, des coûts des matériaux et de la main d'{\oe}uvre ... À en croire le numéro 1 de l'assurance crédit en France, qui publiait jeudi son étude intitulée \og \emph{Immobilier, construction : à quand la sortie de crise ?} \fg, le BTP français donne des signes de faiblesse. Et doit s'attendre selon l'assureur, tout d'abord à une dégradation de sa rentabilité. \fg}

%\medskip
% 
%À la lecture de cette analyse faite en avril 2008, peut-on utiliser le modèle exponentiel de la partie 2 pour pronostiquer le chiffre d'affaires du secteur bâtiment gros {\oe}uvre en 2009 ? 
Le modèle exponentiel est un système de croissance  ; s'il y a une baisse de l'activité ce modèle ne sera pas valable après 2008.
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%On considère le graphe G suivant:
%
%\begin{center}
%\psmatrix[mnode=circle,colsep=3,rowsep=1]
%B 	&    & F\\
%   	& E  \\
%   	& C    \\
%A 	&    & D
%\endpsmatrix
%\psset{shortput=nab,labelsep=3pt}
%\ncline{1,1}{1,3}
%\ncline{1,1}{4,1}
%\ncline{1,1}{2,2}
%\ncline{1,1}{3,2}
%\ncline{4,1}{3,2}
%\ncline{4,1}{4,3}
%\ncline{4,3}{3,2}
%\ncline{4,3}{1,3}
%\ncline{4,3}{2,2}
%\ncline{1,3}{2,2}
%\ncline{2,2}{3,2}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Le graphe G est-il connexe~? Expliquer la réponse.
Il y a une chaîne contenant tous les sommets : B-F-D-E-C-A par exemple, donc le graphe est connexe.
\item %Le graphe G admet-il des chaînes eulériennes ? Si oui, en préciser une.
Il y a exactement deux sommets de degré impair  A et F. Comme le graphe est connexe il existe une chaîne eulérienne partant de l'un des deux et finissant à l'autre, par exemple la chaîne A-B-C-D-E-F
\item %Justifier la non-existence d'un cycle eulérien pour le graphe G. Quelle arête peut-on alors ajouter à ce graphe pour obtenir un graphe contenant un cycle eulérien ?
Comme il existe deux sommets de degré impair il n'existe pas de cycle eulérien.

Pour que tous les sommets soient de degré pair il suffit de rajouter un chemin de A à F. On aura alors un cycle eulérien.
\item %Déterminer un encadrement du nombre chromatique du graphe G. Justifier la réponse.
Soit $c$ le nombre chromatique  ; comme le plus haut degré est 4 on a $c \leqslant 5$.

Mais le sous-graphe \{A~;~B~;~C\} est complet, donc $c \geqslant 3$.

Conclusion  : $3 \leqslant c \leqslant 5$.
\item %Déterminer alors ce nombre chromatique, en explicitant clairement la démarche.
On utilise l'algorithme de Welsh : on part de sommets de plus haut degré par exemple B et D à qui on donne la même couleur, on donne une seconde couleur à C et F et enfin une troisième couleur à A et E.

On peut donc faire une coloration à trois couleurs : le nombre chromatique est égal à 3.
\item %Déterminer la matrice $M$ associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique).
On a $M = \begin{pmatrix}0&1&1&1&0&0\\
1&0&1&0&1&1\\
1&1&0&1&1&0\\
1&0&1&0&1&1\\
0&1&1&1&0&1&\\
0&1&0&1&1&0\end{pmatrix}$.
\item %On donne $M^3=\begin{pmatrix}
%4	&10	&8	&10	&6	&5\\
%10	&6	&11	&6	&11	&10\\
%8	&11	&8	&11	&11	&6\\
%10	&6	&11	&6	&11	&10\\
%6	&11	&11	&11	&8	&8\\
%5	&10	&6	&10	&8	&4
%\end{pmatrix}$.\\
%Déterminer le nombre de chaînes de longueur 3 partant du sommet A et aboutissant au sommet F. Citer alors toutes ces chaînes.
Le terme correspondant à A et F est dans la première ligne et la sixième colonne ; il est égal à 5 nombre de chemins reliant A à F :

A-B-E-F ; A-C-B-F ; A-C-D-F ; A-C-E-F ; A-D-E-F. 
\end{enumerate}
\end{document}