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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles-Guyane 20 juin 2011~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Nous pouvons représenter la situation à  l'aide d'un arbre pondéré :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$}\taput{0,2}}
		{\TR{$H$}\taput{$0,46$}
		\TR{$\overline{H}$}\tbput{$0,54$}
		}
\pstree{\TR{$C$}\tbput{0,5}}
		{\TR{$H$}\taput{$0,52$}
		\TR{$\overline{H}$}\tbput{$0,48$}
		}
\pstree{\TR{$S$}\tbput{0,3}}
		{\TR{$H$}
		\TR{$\overline{H}$}
		}
}
\end{center}
  
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $M \cap P$ est l'évènement suivant :  \og l'acquéreur a choisi la pose de moquette et a choisi la pose de papier peint \fg.
		\item  $p(M \cap P) = p(M)p(P/M) = 0,2 \times 0,46 = 0,092$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
\begin{itemize}
\item Comme le système $\{M,C,S\}$ est un système complet d'évènements,
  d après la formule des probabilités totales,  si l'on note $x =p(P/S) $ on a : 
  
  $p(P) = p(M \cap P) + p(C \cap P) + p(S \cap P)$ 
  
  $= p(M) p(P/M) + p(C) p(P/C) + p(S) p(P/S) $
  
  $= 0,2 \times 0,46 + 0,5 \times 0,52 + 0,3 x $
  
  Or $p(P) = 0,427$. Donc $0,2 \times 0,46 + 0,5 \times 0,52 + 0,3 x = 0,427$ d'où $0,3x = 0,427 - 0,092 - 0,26 $ donc $0,3x = 0,427 - 0,352$ d'où $0,3x= 0,075$.
  Par conséquent, $x = 0,25$
\item La probabilité que l'acquéreur ait choisi la pose de sol plastifié et de papier peint est $p(S \cap P) = p(S) p(P/S) = 0,3 \times 0,25 = 0,075$
\end{itemize}
		\item $p(P/S) = \dfrac{p(P \cap S)}{p(S)} = \dfrac{0,075}{0,3} = 0,25$
	\end{enumerate}
\item On interroge au hasard et de façon indépendante trois acquéreurs  parmi tous les clients du constructeur. On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
\begin{itemize}
  \item $n = 3$ épreuves répétées, identiques et indépendantes. Au cours de chacune d'elles on a 
  \item soit un succès : \og choisir le papier peint \fg{} avec comme probabilité $p = p(P) = 0,427$
  \item soit un échec : \og choisir la peinture \fg{} avec comme probabilité 
  
$q = 1 - p =1 - p(P) = 1 - 0,427 = 0,573$
  \item alors la variable aléatoire $X$ : \og le nombre de succès \fg{} suit la loi binomiale $B(n, p) = B(3~;~0,427)$ 
  \item alors l'ensemble des valeurs prises par $X$ est $X<\Omega> = \{0;1;2;3 \}$ et $\forall k \in X < \Omega>$ on a :
  $p([X = k ]) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^k(1 - p)^{n - k}$
  \item On rappelle que $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ est le nombre de sous-ensembles (ou de parties ou de combinaisons)  $k$  éléments que l'on peut extraire d'un ensemble  $n$ éléments et que 
  $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{k! (n - k)!}$
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item L'évènement contraire de au moins un des trois acquéreurs ait choisi le papier peint\fg{} est \og aucun des trois acquéreurs n'a chois le papier peint\fg{} donc
  
  $p_1 = p($\og au moins un des trois acquéreurs  ait choisi le papier peint \fg) $= 1 - p(X = 0) = 1 -  \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}p^0 (1-p)^{3 - 0} = 1 p^0 (1 -p)^3 = (1 - p)^3 = 0,573^3 = 0,188$
		\item  $p_2 = p($\og exactement deux des trois acquéreurs  ait choisi le papier peint\fg) $= p(X=2) =  \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}p^2 (1-p)^{3 - 2} = 3 p^2 (1 -p) = 3 (0,427)^2(0,573) = 0,313$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ \textsc{Exercice 2}}

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction dérivable définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{80}{1 + 4 \text{e}^{-0,3 x}}.\]

Dans un repère orthogonal, on note $C_F$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $D$ la droite d'équation $y = 7x$.

On admet que la courbe $C_f$ et la droite $D$ se coupent en un seul point d'abscisse $x_0$ et on donne $x_0 \approx 9,02$

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(10,9)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(10,9)
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.9,-9.9)(20,90)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{20}{(-0--7*x)/1}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=magenta,linewidth=1.25pt]{0.0}{20.0}{80/(1+4*EXP(-(0.3)*x))}
\uput[90](4,40){\magenta $\mathcal{C}_f$}
\uput[dr](0,0){0}
\uput[135](11,77){\blue $D$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item  \begin{itemize}
  \item $f(0) = \dfrac{80}{1 + 4 \text{e}^{-0,3 \times 0}} =  \dfrac{80}{1 + 4 \text{e}^{0}} =  \dfrac{80}{1 + 4 \times 1} =  \dfrac{80}{5} = 16$
  \item $f(20) =  \dfrac{80}{1 + 4 \text{e}^{-0,3 \times 20}} =  \dfrac{80}{1 + 4 \text{e}^{-6}} \approx 79,21$
\end{itemize}
  \item 
  \begin{itemize}
  \item $f$ est le quotient de $x \mapsto 80$ et de $x \mapsto 1 + 4 \text{e}^{- 0,3 x}$ 
  \item $x \mapsto 80$ est constante donc dérivable sur $\R$ donc sur $[0~;~+\infty[$
  \item $x \mapsto 1 + 4 \text{e}^{-0,3 x}$ ne s'annule jamais sur $\R$ donc sur $[0~;~+\infty[$ car $\text{e}^{-0,3 x} > 0 \ $ pour tout  $x \in \R$
  \item $x \mapsto 1 + 4 \text{e}^{-0,3 x}$ qui est dérivable sur $\R$ donc sur $[0~;~+\infty[$  
  \item Par conséquent $f$ est dérivable sur  $[0~;~+\infty[$ 
\end{itemize}
Alors en utilisant les formules suivantes $(\dfrac{1}{u})' = -\dfrac{u'}{u^2}$ et $\left(\text{e}^u\right)' = u'\text{e}^u$ donc $\forall x \in  [0~;~+\infty[$ on a : 

$f'(x) = 80 \times \dfrac{-4(-0,3\text{e}^{-0,3 x})}{(1 + 4 \text{e}^{-0,3 x})^2}=  \dfrac{96\text{e}^{-0,3 x}}{( 1 + 4 \text{e}^{-0,3 x})^2}>0$ puisque car 

$\text{e}^{-0,3 x} >0$ \ pour tout  $x \in \R$ et que $(1 + 4 \text{e}^{-0,3 x})^2 > 0$
 donc  la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item
\begin{itemize}
\item  $f(x) = \dfrac{N(x)}{D(x)}$
\item $\displaystyle{\lim_{x \mapsto +\infty} N(x) = 80}$
\item $\displaystyle{\lim_{x \mapsto +\infty} D(x) = 1}$ 
  puisque $\displaystyle{\lim_{x \mapsto +\infty}\text{e}^{-0,3 x} = 0}$ car $\displaystyle{\lim_{X \mapsto +\infty} - 0,3 x = -\infty}$ et  $\displaystyle{\lim_{X \mapsto -\infty}\text{e}^{X}= 0}$
\item donc $\displaystyle{\lim_{x \mapsto +\infty} f(x) = 80}$
\end{itemize}
 
On en déduit que la courbe $C_f$ admet une asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$, la droite d'équation $y = 80$
		\item $\text{e}^{-0,3 x} > 0$ donc $4\text{e}^{-0,3 x} > 0$ d'où $1 + 4\text{e}^{-0,3 x} > 1$. Par conséquent 
		
$\dfrac{1}{1 + 4 \text{e}^{-0,3 x}}< 1$ donc $\dfrac{80}{1 + 4 \text{e}^{-0,3 x}}< 80$.
  
On a donc démontré que pour tout $x$ appartenant  $[0~;~+\infty[$ on a 

$f(x) < 80$. On en déduit que la courbe $C_f$ reste toujours en dessous de la droite d'équation $y = 80$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		\item À l'aide du graphique, on peut déterminer, selon les valeurs de $x$ le signe de $7x - f(x)$ pour $x$ appartenant  l'intervalle $[0~;~+\infty[$ 

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{ |c|c*{3}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}c|}\hline
$x$    		& 0     &              &    $x_0$       &          & $+ \infty$  \\\hline
 D   		&       &est en  dessous  de  $C_f$&  coupe  $C_f$&est  au  dessus  de $C_f$ &\\\hline
$7x - f(x)$&      	&   $-$         &  0    &   $+$     &  \\\hline
\end{tabularx}\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Interprétation économique}

\begin{enumerate}
\item Le montant des \og coûts fixes \fg{} c'est-à-dire le montant des coûts lorsque la quantité produite est nulle est $f(0) = 16$ centaines d'euros = \np{1600} euros
\item Le coût total de production des thermomètres ne peut atteindre \np{8100} euros par jour car pour tout $x$ appartenant  $[0~;~+\infty[$ on a $f(x) < 80$ centaines d'euros. 
\item Le prix de vente d'un thermomètre est fix  $7$ euros. La recette journalière, exprimée en centaines d'euros, est donc donnée par $R(x) = 7x$.\\
  L'entreprise ralise un bénéfice lorsque $7x > f(x)$ c'est-à-dire $7x - f(x) >0$ c'est-à-dire $x > x_0 \approx 9,02$ centaines de thermomètres c'est--dire $x > 902$ thermomètres.
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{\textsc{ Exercice 3}}

\medskip

Une entreprise du secteur \og Bâtiments et Travaux Publics \fg{} doit réduire la quantité de déchets qu'elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale.

Elle s'engage,  terme,  rejeter moins de \np{30000}~tonnes de déchets par an.

En $2007$, l'entreprise rejetait \np{40000} tonnes de déchets.
 
Depuis cette date, l'entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu'elle rejette de $5 \%$ par rapport à la quantité rejetée l'année précédente, mais elle produit par ailleurs $200$ tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $r_n$ la quantité, en tonnes, de déchets pour l'année $(2007 + n)$. On a donc $r_0 = \np{40000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{itemize}
  \item $r_1 = r_0 - \dfrac{5}{100}r_0 + 200 = \dfrac{95}{100}r_0 + 200 = 0,95 r_0 + 200 = 0,95(\np{40000}) + 200 = \np{38200}$ 
  \item $r_2 =r_1 - \dfrac{5}{100}r_1 + 200 = \dfrac{95}{100}r_1 + 200 = 0,95 r_1 + 200 =(0,95)(\np{38200}) + 200 = \np{36490}$
		\end{itemize} 
		\item Comme l'entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu'elle rejette de $5 \%$ par rapport  la quantité rejetée l'année précédente et qu'elle produit par ailleurs $200$ tonnes de nouveaux déchets par an, alors pour tout entier naturel $n$ on a : $r_{n+1} = r_n - \dfrac{5}{100}r_n + 200 = 0,95 r_n + 200$
	\end{enumerate}
\item Soit $(s_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $s_n = r_n - \np{40000}$
	\begin{enumerate}
		\item $s_{n+1} = r_{n+1} - \np{40000} = 0,95 r_n + 200 - \np{40000} = 0,95 r_n - 3800 = 0,95(r_n - \np{40000}) = 0,95 s_n$
donc la suite $(s_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et de premier terme 
   
$s_0 = r_0 - \np{40000} = 40 000 - 4 000 = 36 000$
		\item Alors pour  tout entier naturel $n$,  $s_n = (0,95)^n s_0 = 36000 \ (0,95)^n $. 
  
 Donc  $r_n = s_n + \np{40000} = 36000 \ (0,95)^n + \np{40000}$
		\item $r_{n+1} - r_n = \np{36000} \ (0,95)^{n+1} + \np{40000} - (\np{36000} \ (0,95)^n + \np{40000}) = \np{36000}(0,95)^n(0,95 - 1) < 0$ donc la suite $(r_n)$ décroît. Par conséquent, la quantité de déchets rejetée diminue d'une année sur l'autre.
		\item Comme $-1 < 0,95 < 1$ alors $\displaystyle{\lim_{n \mapsto +\infty} (0,95)^n = 0}$ donc $\displaystyle{\lim_{n \mapsto +\infty} r_n = \np{40000}}$
		\item En $2011 = 2007 + 4$, une estimation, en tonnes et  une tonne près, de la quantité de rejets est $r_4 = \np{36000} \ (0,95)^4 + \np{40000} \approx \np{33322,2} \approx \np{33322}$ tonnes
	\end{enumerate}
\item Résolvons l'inéquation suivante d'inconnue $n \in \N$

$r_n < 30 000 \ssi 36000 \ (0,95)^n + \np{4000} < 30 000 \ssi \np{36000} \ (0,95)^n < \np{26000} \ssi (0,95)^n < \dfrac{\np{26000}}{\np{36000}} $

$\ssi (0,95)^n < \dfrac{26}{36} \ssi \ln \left((0,95)^n\right) < \ln \left(\dfrac{26}{36}\right) \ssi $

$n \ln (0,95) < \ln \left(\dfrac{26}{36}\right) \ssi n > \dfrac{\ln \left(\frac{26}{36}\right)}{\ln(0,95)}$ car $\ln (0,95) < 0$ puisque $0 < 0,95 < 1$
 Or $\dfrac{\ln \left(\frac{26}{36}\right)}{\ln(0,95)} \approx 6,34$ Donc à partir de l'année $2007 + 7 = 2014$  l'entreprise réussira à  respecter son engagement.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

$f$ une fonction $f$ est dérivable sur $\R$ donc est définie sur $\R$.  On donne ci-dessus le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
x 	& -\infty 	&     		& 3 &    		& +\infty \\\hline
	& 1 		& 			& 	& 			& +\infty  \\
f(x)&   		& \searrow 	&   & \nearrow 	&   \\
    & 			& 			& -1& 			& \\\hline
\end{array}\]

On donne de plus : $f(-2) = 0$ ; $f(5) = 0$ et $f(0) = 3$

À l'aide  des informations fournies ci-dessus, répondre aux questions suivantes.

\begin{enumerate}
\item On peut donc compléter le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c| c|c|c|c|c|c|}
  \hline
x 	& -\infty 	&		  & -2  &	& 3 	& 	& 5 	& 	& 10 	&		&+\infty \\\hline
	& 1 		&		  &     &	&    	&	&    	& 	&     	&   	& +\infty  \\
  	& 			&		  &     &   &    	&	&    	& 	&  3    &\nearrow&   \\
f(x)& 			&\searrow &     &	&   	& 	&   	&\nearrow&  &		&   \\
    & 			&		  &0   	& 	&   	& 	&0 		& 	&		& 		& \\
    & 			&  		  & 	&\searrow& 	&\nearrow&  & 	&     	& 		& \\
   	& 			&  		  &   	&  	& -1	& 	&		& 	&       & 		& \\\hline
\end{array}\]

On en déduit le tableau de signe de $f(x)$ :

\[\begin{array}{ |c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x 	& -\infty 	&    & 2   &   & 5  & 	& + \infty  \\\hline
f(x)&  			&  + & 0   & - & 0  &  +&  \\ \hline
\end{array}\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Comme $\displaystyle{\lim_{x \mapsto - \infty} f(x) = 1}$ alors la courbe $(C)$ admet au voisinage de $-\infty$ une asymptote horizontale la droite d'équation $y=1$.
		\item 
  \begin{itemize}
  \item $f$ est continue  sur l'intervalle $[3~;~10]$ car elle y est dérivable puisque $f$ est dérivable sur $\R$.
  \item $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[3~;~10]$ 
  \item Donc $f$ réalise une bijection de  l'intervalle $I = [3~;~10]$ sur l'image de cet intervalle par $f$ qui est l'intervalle $J = [-1~;~3]$
  \item Par conséquent, tout réel $y$ de $J$ admet un unique antécédent pour $f$ dans l'intervalle $I$
  \item Or $2 \in J$ donc $2$ admet un unique antécédent pour $f$ dans l'intervalle $I$
  \item Par conséquent, l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution sur l'intervalle $[3~;~10]$
	\end{itemize}
		\item Comme $f$ est dérivable sur $\R$ alors $f$ est continue sur $\R$ donc $f$ y admet une primitive $F$. Donc
    
\[\begin{array}{ |c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x 			& -\infty &           &2    &         & 5   &         & + \infty  \\\hline
F'(x) = f(x)&         & +         &0    &- 		  & 0   &  +      &  \\ \hline
\text{donc} \ F(x)&   &\nearrow   &  	&\searrow &   	&\nearrow & \\ \hline
\end{array}\]

	\end{enumerate}
\item On note $g$ la fonction définie sur $]-\infty~;~-2 [ \cup ]5~;~+ \infty[$ par $g(x) = \ln (f(x))$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
	\begin{enumerate}
		\item $g(x) = \ln(f(x))$ existe lorsque $f(x)$ existe et$f(x) > 0$ c'est-à-dire lorsque $x \in ]-\infty~;~-2[ \cup ]5~;~+\infty[$ donc la fonction $g$ n'est pas définie sur l'intervalle $[-2~;~5]$
		\item  
		\begin{itemize}
  		\item $\displaystyle{\lim_{x \mapsto +\infty} g(x) = + \infty}$ car 
  			\begin{itemize}
  			\item $\displaystyle{\lim_{x \mapsto +\infty} f(x) = + \infty}$
  			\item $\displaystyle{\lim_{X \mapsto +\infty} \ln (X) = + \infty}$
			\end{itemize}
  		\item $\displaystyle{\lim_{x \mapsto 5^+} g(x) = - \infty}$ car 
  			\begin{itemize}
  			\item $\displaystyle{\lim_{x \mapsto 5^+} f(x) = 0^+}$
  			\item $\displaystyle{\lim_{X \mapsto 0^+} \ln(X) = - \infty}$
			\end{itemize}
		\end{itemize}
\newpage
		\item Comme $\ln$ est une fonction croissante alors 
	\begin{itemize}
  		\item sur $]-\infty~;~-2[$   $g = \ln \ o \ f$ décroît car $f$ y est décroissante 
  		\item sur $]5~;~+\infty[$ $g = \ln \ o \ f$ croît car $f$ y est croissante
	\end{itemize}
 
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c c c|c|c|c|c|c|}
  \hline
x 	& -\infty 	& 			& - 2 &		&  	& 	& 5 &  			& 10&  	& +\infty \\\hline
	& 1        	& 			&     &  	&   & 	&   &  			&  	&  	& +\infty  \\
	&          	&    		&     &   	&   &   &  	& 			& 3	& \nearrow &   \\
f(x)& 			&\searrow 	&     &		&   & 	&   &\nearrow 	&   &   &   \\
	&          	&    		& 0   &  	&   & 	& 0 &  			&   & 	& \\\hline
	& 0       	&           &     & 	&   & 	&   &	 		&   &	& +\infty  \\
	& 	 		&			&     & 	&   & 	&   &			&\ln(3)&\nearrow &   \\
\ln(f(x))&    	& \searrow 	&     & 	&   & 	&   & \nearrow  &   &   &   \\
     	 &	& 	& - \infty  &	  &     &	&-\infty&			&   &	& \\\hline
\end{array}$$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}