\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fltpoint} %pour les calculs de z, à charger avant le reste,sinon erreur
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-math,pst-tree,pst-3dplot,pst-eucl}
%%% Mille remerciements à Philippe Camus pour la surface  %%%
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Antilles--Guyane septembre 2007},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 2007~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Pour chacune des affirmations suivantes, recopier la proposition qui vous semble exacte sur votre copie. Aucune justification n'est demandée.
%
%Barème : \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %La fonction $F :  x \longmapsto  \ln (2x + 4)$ est une primitive sur $[0~;~+ \infty[$ de la fonction $f$ définie par :
On a $F'(x) = \dfrac{2}{2x + 4} = \dfrac{1}{x + 2}$.
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%${\Huge \bullet~} f(x)=\dfrac{1}{x + 4}$&${\large \bullet~} f(x) =	\dfrac{1}{2x + 4}$&${\large \bullet~} f(x) = \dfrac{1}{x + 2}$\\
%\end{tabularx}
\item  %L'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1  3x\text{e}^{x^2}\:\text{d}x$ est égale à :
Une primitive de $x \longmapsto 2x\text{e}^{x^2}$ est la fonction $x \longmapsto \text{e}^{x^2}$, donc $\displaystyle\int_{0}^1  3x\text{e}^{x^2}\:\text{d}x = 3\left[\frac{1}{2}\text{e}^{x^2}  \right]_0^1 = $

$\frac{3}{2}\text{e}^{1^2} - \frac{3}{2}\text{e}^{0^2} = \frac{3}{2}(\text{e} - 1)$.
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%${\Huge \bullet~} 6(\text{e} - 1)$&${\Huge \bullet~} \dfrac{3}{2}(\text{e} - 1)$&${\Huge \bullet~} \dfrac{3}{2}\text{e}$\\
%\end{tabularx}

\item  %Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par : $f(x)= \dfrac{1}{x} - \ln x+1$.

%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

%La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ passe par le point de coordonnées :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%${\Huge \bullet~} (2~;~ 0)$&${\Huge \bullet~} (1~;~-1)$&${\Huge \bullet~} \left(2~;~\dfrac{3}{2} - \ln 2\right)$\\
%\end{tabularx}
On a $f'(x) = - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x} = - \dfrac{1 + x}{x^2}$.

Une équation de la tangente au point d'abscisse 1 a pour équation :

$y - f(1) = f'(1)(x - 1) \iff y - 2 = - \dfrac{2}{1}(x - 1) \iff y = 2 - 2x  + 2 \iff y = - 2x + 4$.

Pour $x = 2$, on a $y = 0$. Elle passe par le point (2~;~0).
\item  %Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : $f(x)= 2x+ \ln \left(\dfrac{x + 1}{2x}\right)$.

%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.
%
%La courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la droite d'équation :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%${\Huge \bullet~} y = 0$	&${\Huge \bullet~} y = 2x - \ln 2$	&${\Huge \bullet~} y=2x$.
%\end{tabularx}
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x + 1}{2x} = \dfrac{1}{2}$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln \left(\dfrac{x + 1}{2x}\right) = \ln \dfrac{1}{2} = - \ln 2$.

Donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} [f(x) - 2x] =  - \ln 2$.

Ceci signifie qu'au voisinage de plus l'infini la droite dont une équation est $y = 2x - \ln 2$ est asymptote à $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%On donne ci-dessous la proportion, en pourcentage, du nombre d'enfants nés hors mariage en France métropolitaine.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%Année $a_{i}$		&1980&1985&1990	&1995	&2000	&2003\\ \hline
%Proportion $y_{i}$	&11,4&19,6&30,1	&37,6	&42,6	& 45,2\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%On souhaite effectuer un ajustement de cette série statistique de la proportion en fonction de l'année.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Voir plus bas%Construire le nuage de points de coordonnées $(a_{i},~y_{i})$ dans le plan muni du repère orthogonal suivant
%\setlength\parindent{5mm}		
%\begin{itemize}
%\item  sur l'axe des abscisses, on placera 1980 à l'origine et on prendra comme unité $0,5$~cm,
%\item  sur l'axe des ordonnées, on placera $10$ à l'origine et on prendra comme unité $0,5$~cm. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(24,36)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=1980,Dx=4,Oy=10,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(24,36)
\psdots(0,1.4)(5,9.6)(10,20.1)(15,27.6)(20,32.6)(23,35.2)
\uput[u](22,0){Année} \uput[r](0,35){Proportion}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}
		\item  %Un ajustement affine semble-t-il adapté ?
Les points sont pratiquement alignés : un ajustement affine semble adapté.
	\end{enumerate}
\item  %On note $a$ l'année et $y$ la proportion, on pose $x = a - 1950$ et $t = \ln x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter sur la feuille annexe le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $a_{i}$				&1980	&1985	&1990		&1995		&2000	&2003\\ \hline
$x_{i} = a_{i} - 1950$		&30		&35		&40			&45			&50		&53\\ \hline
$t_{i}  = \ln x_{i}$		&3,401	&3,555	&3,689		&3,807		&3,912	&3,970\\ \hline
$y_{i}$						&11,4	&19,6	&30,1		&37,6		&42,6	&45,2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

%On donnera pour $t$ des valeurs arrondies au millième.
		\item %Exprimer $y$ en fonction de $t$ par une régression linéaire en utilisant la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième.
Après arrondi au dixième des coefficients trouvés grâce à la calculatrice on obtient 

$y = 61,3t - 197$.
		\item %En déduire la relation : $y = 61,3 \ln x - 197$.
On a $x > 0$, donc comme $t = \ln x$, on a $y = 61,3\ln t - 197$. 
		\item %Quel pourcentage du nombre d'enfants nés hors mariage (arrondi à $1$\,\%), peut-on prévoir en 2010 en utilisant cet ajustement ?
2010 correspond au rang $x = 60$, d'où une estimation $y = 61,3\ln 60 - 197	 \approx 53,983$ soit à l'unité près une proportion 	du nombre d'enfants nés hors mariage de 54\,\%.
		\item %À partir de quelle année peut-on prévoir que la proportion du nombre d'enfants nés hors mariage sera-t-elle supérieure à $60$\,\% ?
Il faut trouver le plus petit entier vérifiant  :
		
$61,3\ln n - 197 \geqslant 60 \iff 61,3\ln n \geqslant 257 \iff \ln n \geqslant \frac{257}{61,3} \iff n \geqslant \text{e}^{\frac{257}{61,3}}$.

Or $\text{e}^{\frac{257}{61,3}} \approx 66,2$. Il faut donc prendre $n = 67$ soit en 2017.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Une entreprise désire construire dans son hall d'entrée un aquarium ayant la forme d'un pavé droit de hauteur $5$~dm (décimètres).
%
%Ses deux autres dimensions, exprimées en dm, sont des entiers naturels $x$ et $y$ tels que
%\[x \in ]0~;~20[ \quad \text{et} \quad  y \in ]0~;~20[.\]
%La structure de cette construction est un bâti métallique correspondant aux $12$ arêtes du pavé droit et nécessitant des réglettes d'aluminium dont le prix de revient est de $0,8$~euro le dm.
%
%Les quatre parois verticales et le fond de cet aquarium sont construits en verre.
%
%\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

%On décide d'investir exactement $80$~euros pour la construction du bâti métallique.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que, pour cet investissement, les dimensions $x$ et $y$ sont liées par la contrainte $x + y =  20$.
Il faut 4 arêtes de longueur $x$, 4 de longueur $y$ et 4 de longueur 5, soit un coût de 

$(4x + 4y + 4\times 5) \times 0,8 = 80 \iff 4x + 4y + 20 = 100 \iff 4x + 4y = 80 \iff x + y = 20$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer en fonction de $x$ et $y$ le volume $V$, exprimé en dm$^3$, de cet aquarium.
Le volume est donc égal à $x \times y \times 5 = 5xy$~(dm$^3$.
		\item %En déduire le volume $V$ en fonction de $x$  sous la contrainte précédente.
La contrainte peut s'écrire $y = 20 - x$, donc $V = 5x(20 - x)$.
 	\end{enumerate}
\item  %On définit la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~ 20[$ par $f(x) = V$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $f$ admet un maximum sur $]0 ~;~ 20[$.
On a donc $f(x) = 100x - 5x^2$, trinôme du second degré fonction qui a son maximum pour $x = - \dfrac{b}{2a}$ avec $a = - 5$ et $b = 100$. 

Le maximum est donc atteint en $x = - \dfrac{100}{2 \times (- 5)} = 10$.  
		\item %En déduire les dimensions de l'aquarium peur que son volume soit maximal ainsi que la valeur de ce volume maximal.
Ce maximum est égal à $f(10) = 100 \times 10 - 5 \times 10^2 = \np{1000} - 500 = 500$~dm$^3$.

Les dimensions du bâti sont donc 10, 10 et hauteur 5 en dm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

%Soit $g$ la fonction définie pour tout $x \in ]0 ~;~ 20[$  et tout $y \in ]0 ~;~20[$ par :
%
%\[g(x~;~y) = xy + 10(x+y).\]
%
%On donne en annexe la représentation graphique de la surface d'équation $z =g(x,~y)$ dans un repère orthonormé \Oijk.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Quelle est la nature de la section de cette surface par le plan d'équation $x = 12$, parallèle au plan $\left(\text{O}~;~ \vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ ? Justifier la réponse.
Si $x = 12$, alors $z = 12y + 10(12 + y) = 12y + 120 + 10y = 22y + 120$ qui est l'équation d'un plan parallèle à l'axe des abscisses.

L'intersection des deux plans ensemble des points donc les coordonnées vérifient 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&12\\z&=&22y + 120
\end{array}\right.$ est une droite.
\item  %Montrer que $g(x~;~y)$ représente en fonction des dimensions $x$ et $y$ l'aire $S$, exprimée en dm$^2$, de la surface vitrée de l'aquarium.
La surface vitrée de l'aquarium se compose du :

-- du fond  rectangulaire de côtés $x$ et $y$, donc d'aire $xy$ ;

-- de deux parois rectangulaires de côtés $x$ et 5, donc d'aire $2 \times 5 \times x = 10x$ ;

-- de deux parois rectangulaires de côtés $y$ et 5, donc d'aire $2 \times 5 \times y = 10y$

La surface vitrée totale est égale à $xy + 10x + 10y = g(x~;~y)$.
\item  %On suppose pour cette question que $x = 12.$
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'aire de la surface vitrée de l'aquarium dans le cas où la contrainte de la partie A est respectée.
On a d'une part $x = 12$ et d'autre part $y = 20 - x = 20 - 12 = 8$, donc 
		
$g(12~;~8) = 12 \times 8 + 10\times(12 + 8) = 96 + 200 = 296$~dm$^2$.
		\item %Déterminer, à l'aide du graphique, les valeurs de $y$ pour lesquelles l'aire est comprise entre $400$ et $500$ dm$^2$.
On lit à peu près  $13 \leqslant y \leqslant 17$, donc $y \in \{13~;~14~;~15~;~16~;~17 \}$.
		\item %Vérifier le résultat précédent en utilisant le résultat de la question 1.
Avec $x = 12$, l'aire est égale à $g(12~;~y) = 22y + 120$.

Donc $400 \leqslant 22y + 120 \leqslant 500 \iff 280 \leqslant 22y \leqslant 380 \iff \frac{280}{22} \leqslant y \leqslant \frac{380}{22} \iff \frac{140}{11} \leqslant y \leqslant \frac{190}{11}$.

Or $\frac{140}{11} \approx 12,7$ et $\frac{190}{11} \approx 17,3$.

Les valeurs entières vérifiant l'encadrement sont donc 13 ; 14 ; 15 ; 16 et 17
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par
%
%\[f(x) = \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}\]
%
%dans un repère orthonormé du plan \Oij{} d'unité $2$~ cm.
% 
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=2cm}
%\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(5,3.75)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,griddots=10,gridwidth=1pt](0,0)(-0.25,-0.5)(5,4)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.25,-0.5)(5,4) \uput[dr](0,0){O}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 x 0.5 neg mul 1 add exp}
%\uput[ur](0,2.71828){e} \uput[u](4.5,0.27){$\mathcal{C}$}
%\end{pspicture} 
%\end{center} 
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est $y= - \dfrac{1}{2}x + 2$. Tracer $T$ sur le graphique de la feuille annexe.
Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est $y - f(2) = f'(2)(x - 2)$.

$\bullet~~$$f(2) = \text{e}^{- \frac{1}{2}\times 2 + 1}  = \text{e}^{0} = 1$ ;

$\bullet~~$$f'(x) = - \frac{1}{2}\text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}$, donc $f'(2) = - \frac{1}{2}\text{e}^{0} = - \frac{1}{2}$.

L'équation de la tangente est donc :

$y - 1 = - \frac{1}{2}(x - 2) \iff y = 1 -  \frac{1}{2}x + 1$ soit finalement :

$y = -  \frac{1}{2}x + 2$.
\item  %On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par : 

%\[g(x) = f(x) + \dfrac{1}{2}x	- 2.\]

	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~2] et croissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$.
La fonction $g$ est dérivable sur $[0~;~ + \infty[$ et sur cet intervalle :
	
$g'(x) = f'(x) + \dfrac{1}{2} = - \frac{1}{2}\text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\left[1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}\right]$. Le signe de $g'(x)$ est celui de la différence $1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}$.

On a $1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1} > 0 \iff 1 > \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1} \iff 0 > - \frac{1}{2}x + 1 \iff \frac{1}{2}x > 1 \iff x > 2$.

On trouve de même que $1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1} > 0 \iff x < 2$. Et $g'(2) = 0$.

La fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~2] et croissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$.
		\item  %Calculer $g(2)$. En déduire le signe de $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Interpréter graphiquement le résultat.
On a $g(2) = f(2) + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$ : donc le minimum de la fonction $g$ sur $[0~;~ + \infty[$ est $0$ ; on a donc sur $[0~;~ + \infty[$, $g(x) \geqslant 0$.

Or $g(x) \geqslant 0 \iff f(x) + \dfrac{1}{2}x	- 2 \geqslant 0 \iff f(x) \geqslant - \dfrac{1}{2}x + 2$ : géométriquement ce résultat signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de sa tangente $T$  au point d'abscisse 2.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Hachurer sur le graphique de la feuille annexe le domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$, la droite d'équation $x = 2$ et l'axe des ordonnées.
		\item  %Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ en cm$^2$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$.
L'aire du domaine $\mathcal{D}$ est égale à la différence de l'aire du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droite d'équation $x = 0$ $x = 2$ et de l'aire du trapèze dont les sommets sont les points de coordonnées (0~;~0), (2~;~0), (2~;~1) et(0~;~2).
		
La première est en unités d'aire égale à l'intégrale :
$\displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x$.

Or une primitive de la fonction $x \longmapsto \text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}$ est la fonction $x \longmapsto -2\text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1}$, donc 

$\displaystyle\int_0^2 f(x)\:\text{d}x = \left[-2\text{e}^{- \frac{1}{2}x + 1} \right]_0^2 = -2\text{e}^{- \frac{1}{2}\times 2 + 1} - \left(-2\text{e}^{- \frac{1}{2}\times 0 + 1} \right) = - 2 + 2\text{e} = 2(\text{e} - 1) \approx 3,437$.

D'autre part l'aire du trapèze est égale à $\dfrac{1 + 2}{2} \times 2 = 3$.

L'aire du domaine $\mathcal{D}$ est donc égale à $- 2 + 2\text{e} - 2 = 2\text{e} - 5 \approx 0,44$~unité d'aire.

L'unité d'aire valant $2 \times 2 = 4$~cm$^2$, l'aire du domaine $\mathcal{D}$ est approximativement 1,75~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Sur son trajet quotidien qui le conduit de son domicile à son lieu de travail, un automobiliste rencontre deux feux tricolores. Si, lorsqu'il parvient à leur niveau, le signal est vert, il passe, si le signal est orange ou rouge, il s'arrête.
%
%On note : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item A$_{1}$ l'évènement : \og l'automobiliste s'arrête au premier feu \fg.
%\item A$_{2}$ l'évènement: \og l'automobiliste s'arrête au deuxième feu \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%On note $\overline{\text{A}_{1}}$  et $\overline{\text{A}_{2}}$ les évènements contraires des évènements A$_{1}$ et A$_{2}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Lorsque l'automobiliste se présente au premier feu, la probabilité que le signal soit orange est $\dfrac{1}{6}$, la probabilité qu'il soit rouge est $\dfrac{1}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Quelle est la probabilité que l'automobiliste s'arrête au premier feu ?
La probabilité est égale à $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.$ 
		\item  %Quelle est la probabilité qu'il passe sans s'arrêter au premier feu ?
La probabilité qu'il passe sans s'arrêter au premier feu est donc $1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$.
	 \end{enumerate}
\item  %Si l'automobiliste s'est arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête également au deuxième feu est $\dfrac{1}2$ ;	s'il ne s'est pas arrêté au premier feu, la probabilité qu'il s'arrête au deuxième feu est $\dfrac{1}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item  ~%Illustrer cette situation par un arbre pondéré.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A_1$~}\taput{$\frac{1}{2}$}}
	{\TR{$A_2$}\taput{$\frac{1}{2}$}
	\TR{$\overline{A_2}$}\tbput{$\frac{1}{2}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A_1}$~}\tbput{$\frac{1}{2}$}}
	{\TR{$A_2$}\taput{$\frac{1}{3}$}
	\TR{$\overline{A_2}$}\tbput{$\frac{2}{3}$}
	}
}
\end{center}
\bigskip
 
		\item  %Démontrer que la probabilité que l'automobiliste ne s'arrête pas sur son trajet est $\dfrac{1}{3}$.
On a $P\left(\overline{A_1} \cap \overline{A_2}\right) = P_{\overline{A_1}}\left(\overline{A_2} \right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$.
		\item  %Calculer $P\left(A_{1} \cap  A_{2}\right)$ et $P\left(\overline{A_{1}} \cap  A_{2}\right)$ ;  en déduire $P\left(A_{2}\right)$.
La probabilité que l'automobiliste s'arrête aux deux feux est 

$P\left(A_{1} \cap  A_{2}\right) = P\left(A_{1} \right)\times P_{A_{1}}\left(A_{2} \right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$.

La probabilité que l'automobiliste s'arrête au second feu mais pas au premier est $P\left(\overline{A_{1}} \cap  A_{2}\right) = P\left(\overline{A_{1}}\right) \times P_{\overline{A_{1}}}\left(A_{2} \right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$.

D'après la loi des probabilités totales :

$P\left(A_{2}\right) = P\left(A_{1} \cap  A_{2}\right) + P\left(\overline{A_{1}} \cap  A_{2}\right) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3 + 2}{12} = \dfrac{5}{12}$.
		\item  %L'automobiliste s'est arrêté au deuxième feu. Quelle est la probabilité qu'il se soit également arrêté au premier feu ?
On a $P_{A_{2}}\left(A_{1} \right) = \dfrac{P\left(A_{2} \cap A_1\right)}{P\left(A_{2}\right)} = \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{4} \times \frac{12}{5} = \frac{3}{5} = 0,6$.
	 \end{enumerate}
\item  	%Si l'automobiliste effectue le trajet sans s'arrêter, celui-ci dure neuf minutes, s'il s'arrête une fois, douze minutes, et s'il s'arrête deux fois, quinze minutes.
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la loi de probabilité de la durée du trajet.
Soit $D$ la variable aléatoire durée du trajet  ; le tableau de sa loi de probabilité est le suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$D$	&9				&12				&15\\ \hline
$P$	&$\frac{1}{3}$	&$\frac{5}{12}$	&$\frac{1}{4}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item  %Déterminer la durée moyenne du trajet.
On a E$(D) = 9\times \frac{1}{3} + 12 \times \frac{5}{12} + 15 \times \frac{1}{4} = 3 + 5 + \dfrac{15}{4} = \dfrac{32 + 15}{4} = \dfrac{47}{4}$~min soit 11~min 45~s.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexes à rendre avec la copie}

%\vspace{1cm}
%
%\textbf{Enseignement obligatoire}
%
%\vspace{1cm}
%
%\textbf{Exercice 2}
%
%\vspace{1cm}
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année $a_{i}$			&1980	&1985	&1990	&1995	&2000	&2003\\ \hline
%$x_{i} = a_{i} - 1950$	&30		&		&		&		&		&\\ \hline
%$t_{i}  = \ln x_{i}$	&3,401	&		&		&		&		&\\ \hline
%$y_{i}$				&11,4	&		&		&		&		&  \\ \hline
%\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{1cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(5,3.75)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridwidth=0.3pt](0,0)(5,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.25,-0.25)(5,4) 
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 x 0.5 neg mul 1 add exp}
\uput[ur](0,2.71828){e} \uput[u](4.5,0.27){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{4}{2 0.5 x mul sub}
\uput[ur](4,0){\green $T$}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 x 0.5 neg mul 1 add exp}
\psline(2,1)(0,2)}
\end{pspicture} 
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(30,24)
%\SpecialCoor
\psset{Beta=12,Alpha=165}
%\psset{Beta=90,Alpha=180}% pour tests
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=22,yMax=22,zMax=800,drawing=false] 
%la boîte
%à noter : le repère du sujet original (Excel like ?) n'est pas direct. Il faut donc inverser les x et les y
\pstThreeDPut(10,0,-1){$y$} \pstThreeDPut(22,10,0){$x$}
\pstThreeDPut(-2.5,0,8){$z$}
\pstThreeDLine(0,20,0)(0,20,16)
\multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.5){\n}}
\multido{\n=0+2}{9}{\fpMul{\z}{\n}{50}\pstThreeDPut(-1,0,\n){\z}}
\multido{\n=0+4}{6}{\pstThreeDPut(21,\n,0){\n}}
\multido{\n=0+2}{9}{\pstThreeDLine(0,0,\n)(0,20,\n)(20,20,\n)}
\multido{\n=0+1}{21}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,20,0)(\n,20,16)}
\multido{\n=0+2}{11}{\pstThreeDLine(20,\n,0)(0,\n,0)(0,\n,16)}
%courbes de niveaux 
%z=0-100
\newgray{gris}{0.45}
\parametricplotThreeD(0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](10,0){t 0 t 5 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve](0,10){0 t t 5 div}}
%z>=100
\newgray{gris}{0.15}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(10,0,2)(20,0,4)
\pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16)
\pstThreeDLine(20,20,16)(0,20,4)
\pstThreeDLine(0,20,4)(0,10,2)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,10){t 100 t 10 mul sub t 10 add div 2}
}
%z>=200
\newgray{gris}{0.85}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,0,4)(20,20,16)(0,20,4)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](0,20){t 200 t 10 mul sub t 10 add div 4}
}
%z>=300
\newgray{gris}{0.65}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,3.3333,6)(20,20,16)(3.3333,20,6)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,60){t 3 div 900 t 10 mul sub t 30 add div 6}
}
%z>=400
\newgray{gris}{0.45}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,6.66667,8)(20,20,16)(6.66667,20,8)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](20,60){t 3 div 1200 t 10 mul sub t 30 add div 8}
}
%z>=500
\newgray{gris}{0.3}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,10,10)(20,20,16)(10,20,10)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](10,20){t  500 t 10 mul sub t 10 add div 10}
}
%z>=600
\newgray{gris}{0.15}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,13.33333,12)(20,20,16)(13.33333,20,12)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](40,60){t 3 div 1800 t 10 mul sub t 30 add div 12}
}
%z>=700
\newgray{gris}{0.75}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\pstThreeDLine(20,16.66667,14)(20,20,16)(16.66667,20,14)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,liftpen=1](50,60){t 3 div 2100 t 10 mul sub t 30 add div 14}
}
%surface
\psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=20,xPlotpoints=20,linewidth=0.5pt](0,20)(0,20){x y mul  x y add 10 mul add 50 div} %50div pour que cela rentre 
%la légende
\psframe[linewidth=0.5pt](25.5,6)(29.8,14)
\psset{linewidth=0.5pt, fillstyle=solid}
\newgray{gris}{0.45}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,6.5)(26,6.8)  \rput[l](26.5,6.65){0-100}
\newgray{gris}{0.15}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,7.5)(26,7.8)  \rput[l](26.5,7.65){100-200}
\newgray{gris}{0.85}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,8.5)(26,8.8)  \rput[l](26.5,8.65){200-300}
\newgray{gris}{0.65}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,9.5)(26,9.8)  \rput[l](26.5,9.65){300-400}
\newgray{gris}{0.45}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,10.5)(26,10.8)  \rput[l](26.5,10.65){400-500}
\newgray{gris}{0.3}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,11.5)(26,11.8)  \rput[l](26.5,11.65){500-600}
\newgray{gris}{0.15}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,12.5)(26,12.8)  \rput[l](26.5,12.65){600-700}
\newgray{gris}{0.75}
\psframe[ fillcolor=gris](25.7,13.5)(26,13.8)  \rput[l](26.5,13.65){700-800}
\end{pspicture}
\par\end{center}
\end{document}