\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{tabularx}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=2.5cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Antilles-Guyane septembre 2008},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}   
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2008}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles--Guyane ~\decofourright\\septembre 2008}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
exemple \index{exemple} 
%Une boîte de chocolats contient 50\,\% de chocolats au lait, 30\,\% de chocolats noirs et 20\,\% de chocolats blancs. Tous les chocolats de la boîte sont de même forme et d'emballage identique. 
%
%Ils sont garnis soit de praliné soit de caramel et, parmi les chocolats au lait, 56\,\% sont garnis de praliné.
% 
%On choisit au hasard un chocolat de la boîte. On suppose que tous les choix sont équiprobables.
%
%On note :
% 
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $L$ : l'évènement \og le chocolat choisi est au lait \fg{} ; 
%\item[$\bullet~$] $N$ : l'évènement \og le chocolat choisi est noir \fg{} ; 
%\item[$\bullet~$] $B$ : l'évènement \og le chocolat choisi est blanc \fg{} ; 
%\item[$\bullet~$] $A$ : l'évènement \og le chocolat choisi est garni de praliné \fg{} ; 
%\item[$\bullet~$] $\overline{A}$ : l'évènement \og le chocolat choisi est garni de caramel \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Tous les résultats seront donnés sous forme décimale. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Traduire les données du problème à l'aide d'un arbre de probabilité.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$L$~}\taput{0,5}}
	{\TR{$A$}\taput{0,56}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{0,44}
	}
\pstree{\TR{$N$~}\taput{0,3}}
	{\TR{$A$}\taput{\red 0,7}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\red 0,3}
	}
\pstree{\TR{$B$~}\tbput{0,2}}
	{\TR{$A$}\taput{\red 0,55}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\red 0,45}
	}
}
\end{center} 
\medskip

\item %Donner la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c'est un chocolat au lait.
On a $p_L(A) = 0,56$ (énoncé). 
\item %Déterminer la probabilité  que le chocolat choisi soit au lait et garni de praliné. 
$p(L \cap A) = p(L) \times p_L(A) = 0,5 \times 0,56 = 0,28$.
\item %Dans la boîte, 21\,\% des chocolats sont noirs et garnis de praliné. 

%Montrer que la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné, sachant que c'est un chocolat noir, est égale à $0,7$.
On a donc $p(N \cap A) = 0,21$.

$p_N(A) = \dfrac{p(N \cap A)}{p(N)} = \dfrac{0,21}{0,3} = \dfrac{21}{30} = \dfrac{7}{10} = 0,7$. 
\item %Dans la boîte, 60\,\% des chocolats sont garnis de praliné.
On a donc  $p(A) = 0,6$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné.
D'après la loi des probabilités totales :

$p(A) = p(L \cap A)  + p(N \cap A)  + p(B \cap A) \iff 0,6 = 0,28 + 0,21 + p(B \cap A) \iff p(B \cap A) = 0,6 - 0,49 = 0,11$. 
		\item %En déduire la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c'est un chocolat blanc.
$p_B(A) =  \dfrac{p(B \cap A)}{p(B)} = \dfrac{0,11}{0,2} = \dfrac{11}{20} = 0,55$.
	\end{enumerate}
\item On a une loi binomiale de paramètres $n = 2$ et $p = p(A) = 0,6$.

La probabilité qu'il y ait un seul chocolat garni de praliné est :
$2 \times 0,6 \times (1 - 0,6 ) = 2 \times 0,6 \times 0,4 = 0,48$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 
%\[f(x) = (1 - x) \text{e}^{x}.\]
%
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal (\emph{figure ci-dessous}). 
%
%\medskip
%
\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(2.25,2.5)
\begin{psclip}{\psframe(-3.5,-2.5)(2.25,2.5)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt](0,0)(-4,-4)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3.5,-2.5)(2.25,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3.5}{1.6}{2.71828 x exp 1 x sub mul}
\uput[d](2.15,0){$x$} \uput[l](0,2.25){$y$}
\psframe[linecolor=cyan](-1,0)(0,1)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1}{0}{2.71828 x exp 1 x sub mul}
\psline(0,0)(-1,0)}
\end{psclip}
\end{pspicture}
\end{center}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Calculer la limite de $f$ en $- \infty$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$). 
$f(x) = (1 - x) \text{e}^{x} = \text{e}^{x} - x\text{e}^{x}$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$ par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.
%Interpréter graphiquement le résultat.

Géométriquement cela signifie que l'axe des abscisses est asymptote à  $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
\item  %Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
On a  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  (1 - x) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, d'où par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
\item  %Déterminer le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel $x$.
Comme $\text{e}^x > 0$  quel que soit le réel $x$, le signe de $f(x)$ est celui de $1 - x$.

$\bullet~~$$1 - x > 0 \iff x < 1$ : $f(x) > 0$ sur $]- \infty~;~1[$ ;

$\bullet~~$$1 - x < 0 \iff x > 1$ : $f(x) < 0$ sur $]1~;~+ \infty[$ ;

$\bullet~~$$1 - x = 0 \iff x = 1$ : $f(1) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Soit $F$ la fonction définie pour tout réel $x$ par 
%
%\[F(x) = (- x + 2)\text{e}^x.\]

\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
$F$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : 

$F'(x) = -1 \text{e}^x + (- x + 2)\text{e}^x = \text{e}^x(- 1 - x + 2) = \text{e}^x(- x + 1) = f(x)$ : $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item  %On appelle $\mathcal{A}$ l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les  droites d'équation $x = -1$ et $x = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier l'égalité : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x$.
On a vu que pour $x < 1, \: f(x) > 0$, donc l'aire de la surface  délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les  droites d'équation $x = -1$ et $x = 0$ est égale à l'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x$.
		\item %À l'aide du graphique ci-dessus, justifier que : $0 < \displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x  < 1$.
On voit sur le graphique que l'aire $\mathcal{A}$ est inférieure à celle du carré de côté 1 en couleur, donc :
$0 < \displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x  < 1$. 
		\item %Déterminer, en unités d'aire, la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis sa valeur décimale arrondie au centième.
On a donc  :
		$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{-1}^0 = F(0) - F(- 1) = (- 0 + 2)\text{e}^0 - \left[(- (- 1) + 2)\text{e}^{-1} \right] = 2 - 3\text{e}^{- 1} \approx 0,896 \approx 0,90$ unité d'aire au centième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%Une association caritative a constaté que, chaque année, 20\,\% des donateurs de l'année précédente ne renouvelaient pas leur don mais que, chaque année, $300$ nouveaux donateurs effectuaient un don. 
%
%On étudie l'évolution du nombre de donateurs au fil des années. 
%
%Lors de la première année de l'étude, l'association comptait \np{1000}~donateurs. 
%
%On note $u_{n}$ le nombre de donateurs lors de la $n$-ième année ; on a donc $u_{1} = \np{1000}$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$.
$u_{2} = \np{1000} - 0,2 \times \np{1000} + 300 = \np{1000} - 200 + 300 = \np{1100}$ ;

$u_3 = \np{1100} - 0,2 \times \np{1100} + 300 = \np{1100} - 220 + 300 = \np{1180}$. 
\item  %Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $u_{n+1} = 0,8 \times  u_{n} + 300$.
Enlever 20\,\% c'est multiplier par 0,8. Donc d'une année sur l'autre l'effectif est multiplié par 0,8 puis augmenté de 300, soit  :

$u_{n+1} = 0,8 \times  u_{n} + 300$. 
\item  ~%Dans un repère orthonormal d'unité graphique $1$~cm pour 100 (on prendra l'origine du repère en bas à gauche de la feuille), représenter les droites d'équation 
%$y = x$ et $y = 0,8 x + 300$. 

%À l'aide d'une construction graphique, émettre une conjecture sur le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ quand $n$ tend vers l'infini. 
\begin{center}
\psset{unit=0.0045cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-100)(2000,1800)
\multido{\n=0+100}{21}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,1800)}
\multido{\n=0+100}{19}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=cyan](0,\n)(2000,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=500,Dy=500]{->}(0,0)(0,0)(2000,1800)
\psline(1800,1800)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1875}{0.8 x mul 300 add}
\psline[ArrowInside=->](1000,0)(1000,1100)(1100,1100)(1100,1180)(1180,1180)
\end{pspicture}
\end{center}

En partant du point (\np{1000}~;~0) et en allant \og vers le haut \fg{} jusqu'à la droite $y = 0,8 x + 300$ et \og vers la droite \fg{} jusqu'à la droite $y = x$, on constate que la suite semble converger vers l'abscisse  du point commun aux deux droites donc vers \np{1500}.
\item %Afin de démontrer cette conjecture, on introduit la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$, par $v_{n} = 1500 - u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. 
Pour tout entier naturel non nul $n,\: v_{n+1} = \np{1500} - u_{n+1} = \np{1500} - \left(0,8u_n + 300 \right) = $

$\np{1200} - 0,8u_n = 0,8\left(\frac{\np{1200}}{0,8} - u_n \right) = 0,8\left(\np{1500} - u_n\right) = 0,8v_n$.

L'égalité vraie pour tout entier naturel non nul $n,\: v_{n+1} = 0,8v_n$ montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 0,8, de premier terme $v_1 = \np{1500} - u_1 = \np{1500} - \np{1000} = 500$. 
		\item %Calculer la limite de 	$\left(v_{n}\right)$ ; en déduire la limite de 	$\left(u_{n}\right)$.
		
On a pour tout naturel non nul :

$v_n = 0,8^{n-1}v_1 =  500 \times 0,8^{n-1}$

Comme $0 < 0,8 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,8^{n-1} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = 0$.		
%Que peut-on en déduire pour l'évolution du nombre de donateurs de l'association ?

Or $v_n = \np{1500} - u_n \iff u_n  = \np{1500} - v_n$, donc :

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \np{500}$ : le nombre de donateurs va se stabiliser vers \np{1500}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à  tous les candidats}


%Le tableau ci-dessous indique le nombre $y$ d'exploitations agricoles en France entre 1955 et 2005.
%
%On appelle $x$ le rang de l'année. 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3,5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année					&1955	&1970 		&1988		&2000	&2005\\ \hline
%Rang $x_{i}$			&0 		&15			&33 		&45		&50 \\  \hline
%Nombre d'exploitations
% $y_{i}$ (en milliers)	&2280	&\np{1588}	&\np{1017}	&664 	&545\\ \hline
%\multicolumn{6}{r}{(Source INSEE)}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
 
\textbf{Partie A : un ajustement affine}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  ~%Tracer le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 1~cm pour 5~années sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 200~milliers d'exploitations sur l'axe des ordonnées ; (\emph{on placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille}).

\begin{center}
\psset{xunit=0.18cm,yunit=0.002cm}
\def\pshlabel#1{\footnotesize#1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize#1}
\begin{pspicture}(-0.5,-100)(52,2400)
\multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,2400)}
\multido{\n=0+250}{10}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=cyan](0,\n)(52,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=250]{->}(0,0)(0,0)(52,2400)
\psdots(0,2280)(15,1588)(33,1017)(45,664)(50,545)(28.6,1218.8)
\uput[ur](28.6,1218.8){G}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{52}{2196 34 x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer G sur le graphique.
On trouve G(28,6~;~\np{1218,8}). Voir la figure.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement $D$  de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{les coefficients seront arrondis à l'unité}).
		On obtient comme équation de la droite d'ajustement : $y = - 34x + \np{2196}$.
		\item %Tracer la droite $D$ sur le graphique.
Voir le graphique plus haut.
	\end{enumerate} 
\item %Calculer le nombre  d'exploitations agricoles que l'on peut prévoir pour 2008 en utilisant cet ajustement (\emph{le résultat sera arrondi au millier}).
2008 correspond au	 rang 53, d'où $y =  - 34 \times 53 + \np{2196} = 394$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : une autre estimation}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le pourcentage de diminution du nombre d'exploitations agricoles entre 2000 et 2005 (\emph{le résultat sera arrondi au dixième}). 
Le pourcentage de diminution du nombre d'exploitations agricoles entre 2000 et 2005 est égal à $\dfrac{664 - 545}{664} \times 100 \approx 17,92$ soit au dixième près 17,9\,\%.
\item %On suppose qu'entre 2000 et 2005, le pourcentage annuel de diminution du nombre d'exploitations agricoles est constant. 

%Vérifier que ce pourcentage est environ de 3,87\,\%.
On calcule : $664 \times (1 - 0,0387)^5 \approx 545,03$ soit environ 545 à l'unité près.
\item  %On suppose que le pourcentage annuel de diminution reste constant et est égal à 3,87\,\% entre 2005 et 2008. 

%Quel est le nombre d'exploitations agricoles que l'on peut prévoir en 2008 (\emph{le résultat sera arrondi au millier}) ? 
Le nombre d'exploitations agricoles que l'on peut prévoir en 2008 est égal à 

$545 \times (1 - 0,0387)^3 \approx 484,1$ soit environ 484 à l'unité près soit \np{484000} exploitations agricoles.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~20] par :
% 
%\[f(x) = \dfrac{1}{2} x + 4 + \dfrac{3}{4} \ln (4x + 10) - 3\ln x.\] 
%
%On appelle $\mathcal{C}$ la courbe ci-dessous représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. 
%
%\medskip
%
%\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.3cm}\begin{pspicture}(-1,-2)(21,18) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-1,-2)(21,18) 
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=4]{->}(0,0)(-1,-2)(21,18) 
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.075}{20}{x 2 div 4 add x 4 mul 10 add ln 3 mul 4 div add x ln 3 mul sub}
%\uput[u](15,6.6){$\mathcal{C}$}
%\uput[d](21,0){$x$}\uput[l](0,17.5){$y$}
%\end{pspicture}} \hfill
%\parbox{0.4\linewidth}{\textbf{Partie A}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $f$ en $0$. Quelle interprétation graphique peut-on en donner ?
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{2} x = 0$,  \:$\displaystyle\lim_{x \to 0}\ln (4x + 10) = \ln 10$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} = - \infty$, d'où par somme de limites : 

$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.

Géométriquement ce résultat signifie que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro.
\item %Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~20],$
 
%$f'(x ) = \dfrac{x^2 - 2x - 15}{x(2x + 5)}$.
La fonction $f$ est dérivable sur  $]0~;~20]$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4}\times 4 \times \dfrac{1}{4x + 10} - 3\times \dfrac{1}{x}  = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4x + 10} -  \dfrac{3}{x} =$

$ \dfrac{x(4x + 10) + 6x - 6(4x + 10)}{2x(4x + 10)} = \dfrac{4x^2 + 10x + 6x  - 24x - 60}{x(4x + 10)} = \dfrac{4x^2 - 8x - 60 } {2x(2x + 5)} = \dfrac{2x^2 - 4x - 30}{2x(2x + 5)} =$

$ \dfrac{x^2 - 2x - 15}{x(2x + 5)}$.
\item   %Déterminer les variations de la  fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~20]$ et dresser son tableau de variations.
Comme $x > 0, \: 2x + 5 > 0$ : le dénominateur est positif : le signe de $f'(x)$ est donc celui du numérateur ; celui-ci est un trinôme : il est positif (car $a = 1 > $) sauf entre ses  racines.

Or $\Delta = 4 + 60 = 64 = 8^2 > $. Les racines sont $x_1 = \dfrac{2 + 8}{2} = 5$ et $x_2 = \dfrac{2 -   8}{2} = - 3$.

Donc $2x^2 - 4x - 30 < 0$ sur $]0~;~5[$ et $2x^2 - 4x - 30 > 0$ sur $]5~;~20[$.

La fonction est donc décroissante sur $]0~;~5[$ et croissante sur  $]5~;~20[$.
\end{enumerate}}

\medskip

%On admet que l'équation $f(x) = 6$ possède exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ dans l'intervalle $]0~;~20]$ telles que $\alpha \approx 1,242$ et $\beta \approx 13,311$. 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Une entreprise produit au maximum \np{20000}~objets par jour.
% 
%On note $x$ le nombre de milliers d'objets produits chaque jour travaillé : $x \in ]0~;~ 20]$.
% 
%On admet que le coût moyen de fabrication, exprimé en euros, d'un objet est égal à $f(x)$, où $f$ est la fonction définie ci-dessus. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Pour combien d'objets produits le coût moyen de fabrication est-il minimal ?
On a vu dans la question précédente que $f(5)$ est le minimum de $f$ sur [0~;~30].

Le coût moyen de fabrication est donc  minimal  pour une production de \np{5000}~objets.
		\item %Déterminer ce coût moyen minimal, arrondi au centime.
$f(5) =  = \dfrac{1}{2} \times 5 + 4 + \dfrac{3}{4} \ln (4\times 5 + 10) - 3\ln 5 = \dfrac{13}{2} + \dfrac{3}{4} \ln (30) - 3\ln 5 \approx 4,222$ soit environ 4,22~\euro{} quand on produit \np{5000} objets.
	\end{enumerate}
\item %Le prix de vente d'un objet est de 6~\euro. Pour quelles productions journalières l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?
On a admis que l'équation  $f(x) = 6$  a deux solutions $\alpha \approx 1,242$ et  
$\beta \approx 13,311$. Les productions journalières sont donc respectivement \np{1242} et \np{13311}.

Sur l'intervalle $\alpha~;~5]$, \: $f(x) < 6$ : le coût est inférieur au prix de vente il y a bénéfice.

Sur l'intervalle $[5~;~\beta[$, \: $f(x) < 6$ : il y a bénéfice.

Conclusion : il y a bénéfice quand l'usine produit entre \np{1242} et \np{13311}~objets.

\item %Déterminer le bénéfice journalier, arrondi à la centaine d'euros, pour une production de \np{5000}~objets par jour. 
Si $x = 5$, alors le bénéfice est :

$\np{5000}(6 - 4,22) = \np{5000} \times 0,78 = \np{8900}$~\euro.
\item %L'année suivante, le coût moyen augmente de 2\,\%. Le prix de vente est alors augmenté de 2\,\%. Le bénéfice journalier reste-t-il identique ? Justifier. 
L'année suivante le coût moyen est $1,02f(x)$ fonction qui a les mêmes variations  que $f$, donc le même minimum en $x = 5$.
Le nouveau prix de vente est $1,02 \times 6$.

Le bénéfice est donc $1,02 \times 6 - 1,02f(x) = 1,02\left[6 - f(x) \right]$ ce qui montre que le bénéfice augmente de 2\,\%.
%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} 
\end{enumerate}





\end{document}