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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Antilles--Guyane septembre 2010},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2010}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Le tableau suivant donne l'évolution du chiffre d'affaires du commerce équitable en France, exprimé en millions d'euros.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 
%Rang de l'année :
% $x_{i}\quad   1 \leqslant i \leqslant 8$  &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8
%\\ \hline 
%Chiffre d'affaires du
% commerce équitable en millions d'euros : $y_{i} \quad  1 \leqslant i \leqslant 8$ &12 &21 &37 &70 &120 &166 &210 &256\\ \hline 
%\multicolumn{9}{r}{(Source : \emph{M. H. leader du commerce équitable mondial})}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %En 2007, le commerce de détail en France a généré un chiffre d'affaires de 447~milliards d'euros. (Source : INSEE). En 2007, quelle est la part du chiffre d'affaires du commerce équitable par rapport à celui du commerce de détail ? (on donnera le résultat en pourcentage arrondi à 0,001\,\%).
$\dfrac{0,21}{447} \approx \np{0,00047}$ :  la part du chiffre d'affaires du commerce équitable par rapport à celui du commerce de détail est d'environ 0,047\,\% du chiffre d'affaires du commerce de détail.
		\item %Calculer le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires du commerce équitable en France entre 2005 et 2008 (on donnera le résultat en pourcentage arrondi à 1\,\%).
On est passé de 120 à 256 soit une augmentation de $\dfrac{256 - 120}{120}\times 100 \approx 113,3$ soit à l'unité près une augmentation de 113\,\%.
\bigskip
	\end{enumerate}

%\emph{Dans la suite de l'exercice, on souhaite estimer en quelle année le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de $2007$.}	 
\item  Ajustement affine 
	\begin{enumerate}
		\item %Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$
		
%$(1 \leqslant i \leqslant 8)$ dans un repère orthogonal du plan (on prendra 1~cm pour une année en abscisse et 1~cm pour 20~millions d'euros en ordonnée ; l'origine du repère sera prise dans le coin gauche de la feuille de papier millimétré). 
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite $D$ d'ajustement de $y$ en $x$. Les coefficients seront arrondis au dixième. Tracer la droite D dans le repère précédent.
La calculatrice donne  $y = 36,8x - 54$ avec des coefficients arrondis au dixième.

Voir le tracé à la fin.
		\item %En utilisant cet ajustement affine, à partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007 ?
Il faut trouver l'entier $n$ le plus petit tel que :
		
$36,8n - 54 \geqslant 2\times 120 \iff 36,8n \geqslant 474 \iff n \geqslant \dfrac{474}{36,8}$.
		
Or $\dfrac{474}{36,8} \approx 12,9$. Il faut donc attendre au moins 13~ans donc pas avant 2013.
	\end{enumerate} 
\item  Ajustement parabolique

\medskip
 
%\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%\medskip
% 
%L'allure du nuage suggère de choisir un ajustement parabolique.
% 
%On propose d'ajuster le nuage par la parabole $P$ d'équation $y = 3x^2 + 7x - 4,~ x$ étant un nombre réel supérieur ou égal à 1.
% 
%En utilisant cet ajustement, en quelle année peut-on prévoir que le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007 ?
Résolution numérique : il faut trouver le plus petit entier $n$ vérifiant :

$3n^2 + 7n - 4 \geqslant 420 \iff 3n^2 + 7n - 424 \geqslant 0$.

Pour l'équation $3n^2 + 7n - 424 = 0$, on calcule $\Delta = 49 + 12 \times 424 = \np{5137} > 0$ : il y a donc deux racines :

$x_1 = \dfrac{- 7 - \sqrt{\np{5137}}}{6} \approx - 13,1$ et $x_1 = \dfrac{- 7 + \sqrt{\np{5137}}}{6} \approx  10,8$.

On sait que le trinôme est positif ce que l'on cherche sauf entre les racines donc en particulier entre 0 et 10,8.

Le plus petit entier qui convient est donc $n = 11$.

D'après ce modèle, en 2011 le chiffre d'affaires du commerce équitable sera plus du double du chiffre de celui de 2007.   
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}
%
%\medskip
% 
%Le comité d'entreprise d'une société parisienne souhaite organiser un week-end en province. 
%
%Une enquête est faite auprès des \np{1200}~employés de cette entreprise afin de connaître leur choix en matière de moyen de transport (les seuls moyens de transport proposés sont le train, l'avion ou l'autocar).
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Les résultats de l'enquête auprès des employés de l'entreprise sont répertoriés dans le tableau suivant : 
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
%\multicolumn{1}{c|}{~}	&Train	& Avion	& Autocar	& Total\\ \hline 
%Femme 					&468 	&196 	&56 		&720\\ \hline 
%Homme 					&150 	&266 	&64 		&480\\ \hline  
%Total 					&618 	&462 	&120		&\np{1200}\\ \hline
%\end{tabularx} 
%
%\end{center}
%\medskip
%
%On interroge au hasard un employé de cette entreprise (on suppose que tous les employés ont la même chance d'être interrogés).
% 
%On note :
%
%\begin{description}
%\item[ ] F l'évènement : \og l'employé est une femme\fg ;
%\item[ ] T l'évènement : \og l'employé choisit le train \fg.
%\end{description}
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer les probabilités $p$(F), $p$(T) puis déterminer la probabilité que l'employé ne choisisse pas le train (on donnera les résultats sous forme décimale).
On a $p(F) = \dfrac{720}{\np{1200}} = 0,6, \: p(T) = \dfrac{618}{\np{1200}} =  0,515$ et $p\left(\overline{T} \right) = 1 - p(T) = 0,485$. 
\item %Expliquer ce que représente l'évènement F~$\cap$~T, puis calculer sa probabilité.
$F \cap T$ est l'évènement : \og l'employé est une femme qui choisit le train \fg.

On a $p(F \cap T) = \dfrac{468}{\np{1200}} = 0,39$.
 
%Les évènements T et F sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

On a $p(T) \times p(F) = 0,515 \times 0,6 = 0,309 \ne 0,39 = p(F \cap T)$, donc les évènements $T$ et $F$ ne sont pas indépendants. 
\item %L'employé interrogé au hasard ne choisit pas le train. Calculer la probabilité que cet employé soit une femme (on donnera le résultat arrondi au millième).
On a $p_{\overline{T}}(F) = \dfrac{p(\overline{T} \cap F)}{p(\overline{T})}$.

Or il y a $196 + 56 = 252$ femmes qui ne prennent pas le train, d'où $p(\overline{T} \cap F) = \dfrac{252}{\np{1200}} = 0,21$.

Donc $p_{\overline{T}}(F) = \dfrac{0,21}{0,485} \approx 0,433$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Après l'étude des résultats de l'enquête, le comité d'entreprise choisit le train comme moyen de transport. Pour les employés inscrits à ce voyage, deux formules sont proposées :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] la formule \no 1 : voyage en 1\up{e} classe plus hôtel pour un coût de 150~\euro{} ;
%\item[$\bullet~$] la formule \no 2 : voyage en 2\up{e} classe plus hôtel pour un coût de 100~\euro.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%40\,\% des employés inscrits choisissent la formule \no 1.
% 
%Le comité d'entreprise propose une excursion facultative pour un coût de 30~\euro. Indépendamment de la formule choisie, 80\,\% des employés inscrits choisissent l'excursion facultative. 
%
%On interroge au hasard un employé inscrit à ce voyage. On note:
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] U l'évènement : \og l'employé inscrit choisit la formule \no 1 \fg ;
%\item[$\bullet~$] D l'évènement : \og l'employé inscrit choisit la formule \no 2 \fg ;
%\item[$\bullet~$] E l'évènement : \og l'employé inscrit choisit l'excursion facultative \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$U$~}\taput{0,4}}
	{\TR{$E$}\taput{0,8}
	\TR{$\overline{E}$}\tbput{0,2}
	}
\pstree{\TR{$D$~}\tbput{0,6}}
	{\TR{$E$}\taput{0,8}
	\TR{$\overline{E}$}\tbput{0,2}
	}
}
\end{center} 
\item %Montrer que la probabilité que l'employé inscrit choisisse la formule \no 2 et l'excursion facultative est égale à $0,48$.
Les évènements $D$ et $E$ étant indépendants on sait :

$p(D \cap E) = p(D) \times p(E) = 0,6 \times 0,8 = 0,48$. 
\item %Soit $C$ le coût total du voyage (excursion comprise). 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les différentes valeurs possibles que peut prendre $C$.
\begin{itemize}
\item Formule 1 seule : $C = 150$ ;
\item Formule 1 et excursion facultative : $C = 150 + 30 = 180$ ;
\item Formule 2 seule : $C = 100$ ;
\item Formule 2 et excursion facultative : $C = 100 + 30 = 130$
\end{itemize}
 
		\item %Déterminer la loi de probabilité de $C$.
		Il reste à calculer :

$p\left(D \cap \overline{E}\right) = p(D) \times p\left(\overline{E}\right) = 0,4 \times 0,2 = 0,08$
		
$p(U \cap E) = p(U) \times p(E) = 0,4 \times 0,8 = 0,32$

$p\left(D \cap \overline{E}\right) = p(D) \times p\left(\overline{E}\right) =  0,6 \times 0,2 = 0,12$. 

D'où le tableau de la loi de probabilité suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Coût total en \euro{} $C_i$	&100	&130	&150	&180\\ \hline
Probabilité $p_i$			&0,12	&0,48	&0,08	&0,32\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item %Calculer l'espérance de cette loi. Interpréter le résultat.
L'espérance de cette loi est égale à :

$E =  100 \times 0,12 + 130  \times 0,48 + 150 \times 0,08 + 180  \times 0,32 = 12 + 62,4 + 12 + 57,6 = 144$~\euro.

Ceci signifie qu'en moyenne le coût par participant est de 144~\euro. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
%
%Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
%
%\bigskip
% 
%\emph{Une réponse exacte rapporte $0,75$ point. Une réponse fausse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.}
%
%\medskip
% 
%Soit $f$ une fonction définie sur $]- \infty~;~0[~\cup~]0~;~ + \infty[$ par 
%
%\[f(x) = 2x + 1 + \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}.\] 
%
%On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]- \infty~;~0[~\cup~]0~;~ + \infty[$.
% 
%On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.
% 
%Le tableau de variations de la fonction $f$ est donné ci-dessous.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(12,3.5)
%%\psgrid
%\psframe(12,3.5)
%\psline(0,3)(12,3) \psline(2,0)(2,3.5) \psline(6.9,0)(6.9,3)\psline(7.1,0)(7.1,3) 
%\uput[u](1,3){$x$}  \uput[u](2.3,3){$- \infty$}\uput[u](4.5,3){$- \ln 2$}
%\uput[u](7,3){$0$}\uput[u](9.5,3){$\ln 2$}\uput[u](11.6,3){$+ \infty$}
%\rput(1,2.){Variations}\rput(1,1.){de $f$}
%\uput[u](2.3,0){$- \infty$}\uput[u](6.6,0){$- \infty$} \uput[d](7.4,3){$+ \infty$}\uput[u](9.5,0){$2\ln 2 + 3$}\uput[d](11.6,3){$+ \infty$}
%\psline{->}(2.7,0.4)(4.3,2.6)\psline{->}(4.7,2.6)(6.3,0.4)
%\psline{->}(7.7,2.6)(9.3,0.6) \psline{->}(9.7,0.6)(11.3,2.4)
%\end{pspicture}
%\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item %Dans l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, l'équation $f(x) = \text{e}^2$ admet :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%aucune solution& 	 une unique solution&  deux solutions\\
%\end{tabularx}
Dans la partie droite du tableau de variations on voit que :

\begin{itemize}
\item sur $]0~;~\ln 2]$ la fonction $f$ est décroissante de plus l'infini à $2\ln(2) + 3 \approx 4,38$ ; d'autre part $\text{e}^2 \approx 7,39$. Comme $f$ est continue car dérivable sur cet intervalle d'après le théorème de la valeur intermédiaire il existe un réel $x_0 \in ]0~;~\ln 2[$ tel que $f\left(x_0 \right) = \text{e}^2$ ;
\item Même raisonnement sur l'intervalle $[\ln 2~;~+ \infty[$ : comme $\text{e}^2 \in [\ln (2) + 3~;~+ \infty[$ il existe un réel unique $x_1 \in [\ln 2~;~+ \infty[$ tel que 
 $f\left(x_1 \right) = \text{e}^2$
\end{itemize}

L'équation a donc deux solutions.
\medskip
 
\item  %La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\ln (1,5)$ admet un coefficient directeur :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}  
%strictement positif& 	strictement négatif& nul\\
%\end{tabularx}
%\medskip 

On a $f'(x) = 2 + \dfrac{\text{e}^x\left(\text{e}^x - 1 \right) - \text{e}^x \times \text{e}^x}{\left(\text{e}^x - 1 \right)^2} = 2 +\dfrac{\text{e}^{2x} - \text{e}^x - \text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^x - 1 \right)^2} = 2 + \dfrac{- \text{e}^x}{\left(\text{e}^x - 1 \right)^2} = $

Donc $f'(\ln 1,5) = \dfrac{- \text{e}^{\ln1,5}}{\left(\text{e}^{\ln1,5} - 1 \right)^2} = 2 - \dfrac{1,5}{(1,5 - 1)^2} = 2 - \dfrac{1,5}{0,25} = 2 - 6 = - 4$.

La tangente est dirigée vers le bas.
\medskip 

\item  %$f\left[- \ln (2)\right]$ est égal à :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$- 2 \ln (2) + 3$ & $\ln \left(\dfrac{1}{4}\right)$ & $- 2\ln (2) + 1$\\
%\end{tabularx}
$f\left[- \ln (2)\right] = 2(- \ln 2) + 1 + \dfrac{\text{e}^{- \ln (2)}}{\text{e}^{- \ln (2)} - 1} = 1 - 4\ln 2 + \dfrac{\frac{1}{\text{e}^{\ln 2}}}{\frac{1}{\text{e}^{\ln 2}} - 1} = 1 - 4\ln 2 + \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - 1} = 1 - 4\ln 2 + \dfrac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}} = 1 - 4\ln 2 - 1 = - 2 \ln 2 = - \ln 2^2 = - \ln 4 = \ln 1 - \ln 4 = \ln \dfrac{1}{4}$.
\medskip
  
\item  %La courbe $\mathcal{C}$ admet au voisinage de $+ \infty$ une asymptote d'équation : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$y = 2x + 2$& 	 $y = 2x+1$&  $x = 0$\\
%\end{tabularx}
On a $\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 1} = \dfrac{1}{1 - \text{e}^{- x}}$ ; or on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = 0$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 1 } = 1$ et enfin :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} [f(x) - (2x + 2)] = 0$, ce qui montre que la droite  dont une équation est $y = 2x + 2$ est asymptote (oblique) à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
\medskip   
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~6] par
%
%\[f(x) = ax + b - \dfrac{16}{x}~ \text{où}~ a~ \text{et}~ b~ \text{sont~
%des nombres réels.}\]
% 
%On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~6] et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur cet intervalle.
% 
%La courbe représentative de $f$, donnée en annexe, coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses 1 et 4 et admet une tangente horizontale au point A de coordonnées (2~;~4).
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1),~f(2),~f(4)$ et $f'(2)$.
On lit $f(1) = 0$, \: $f(2) = 4$, \: $f(4) = 0$ et $f'(2) = 0$. 
		\item %En utilisant deux des quatre résultats de la question 1. a., déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$.
$f(1) = 0 \iff a + b - 16 = 0$ et 

$f(4) = 0 \iff 4a + b - 4 = 0$ donnent par différence $3a + 12 = 0 \iff a = -4$, puis $b = 16 - a = 16 - (- 4) = 20$.
	\end{enumerate} 
\item %On admet que la fonction $f$ est définie sur [1~;~6] par 

\[f(x) = - 4x + 20 - \dfrac{16}{x}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$ puis étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6].
Comme $x \ne 0$ la fonction est dérivable sur  [1~;~6] et sur cet intervalle :

$f'(x) = - 4 + \dfrac{16}{x^2} = \dfrac{16 - 4x^2}{x^2} = \dfrac{4\left(4 - x^2 \right)}{x^2} = \dfrac{2(2 + x)(2 - x)}{x^2}$.

Comme sur [1~;~6], $x^2 > 0, \: 2 + x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $2 - x$.

Donc si $1 \leqslant x < 2$, \: $f'(x) > 0$ : la fonction est croissante et 

si $2 < x \leqslant 6$,\: $f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante ce qui correspond bien au graphe de $f$.
		\item ~%Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6] en précisant uniquement les valeurs de $f(1),~f(2)$ et $f(4)$.
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)\psline(1,0)(1,2.5)\psline(0,2)(7,2)
\psline{->}(1.5,0.5)(2.5,1.5)
\psline{->}(3.5,1.5)(6.5,0.5)
\uput[u](0.5,1.9){$x$} \uput[u](1.1,1.9){$1$} \uput[u](3,1.9){$2$} \uput[u](5,1.9){$4$} \uput[u](6.85,1.9){$6$}\rput(0.5,1){$f$}
\uput[u](1.25,0){$0$} \uput[d](3,2){$4$} \rput(5,1){0} 
\end{pspicture}		
\end{center}
		 
		\item  %En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [1~;~6].
On lit sur le tableau de variations que :

sur [1~;~4[\:$f(x) > 0$ et sur ]4~;~6], \:$f(x) < 0$.
	\end{enumerate} 
\item %On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle [1~;~6] par 

%\[F(x) = - 2x^2 + 20x - 18 - 16 \ln x. \]

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $F$ est la primitive de la fonction $f$ sur [1~;~6] telle que $F(1)~=~0$.
Sur [1~;~6], $F$ est dérivable et sur cet intervalle :

$F'(x) = - 4x + 20 - \dfrac{16}{x} = f(x)$.

D'autre part $F(1) = - 2 + 20 - 18 - 16 \ln 1 = 20 - 20 = 0$.

Donc est bien \textbf{la} primitive de $f$ qui s'annule en $1$.		 
		\item %En utilisant les résultats des questions précédentes, dresser le tableau de variations de la fonction $F$ sur l'intervalle [1~;~6], les valeurs seront arrondies au millième.
		Puisque $F'(x) = f(x)$, le signe de $f(x)$ donne le signe de la dérivée de $F$ donc ses variations :
		
- sur [1~;~4[, $F'(x) > 0$, donc $F$ est croissante de $F(1) = 0$ à $F(4) = - 32 + 80 - 18 - 16 \ln 4  = 30 - 16\ln 4 \approx 7,819$.

- sur [4~;~6]n \:$F'(x) < 0$, donc $F$ est décroissante de $F(4) \approx 7,819$ à $F(6) = - 72 + 120 - 18 - 16\ln 6 = 30 - 16\ln 16 \approx 1,332$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
%Une entreprise fabrique des pièces pour assemblage de moteurs qu'elle conditionne par centaines. Sa fabrication journalière varie entre 100 et 600~pièces. L'objectif est d'étudier le bénéfice quotidien réalisé par cette entreprise.
%
%\medskip
% 
%Une étude a montré que le bénéfice marginal quotidien de cette entreprise est modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie A, appelée fonction \og bénéfice marginal \fg. Pour $x$ compris entre 1 et 6, $x$ est exprimé en centaines de pièces fabriquées et vendues quotidiennement et $f(x)$ est exprimé en milliers d'euros.
%
%\medskip
% 
%En économie, la fonction \og bénéfice marginal \fg{} est considérée comme la dérivée d'une fonction appelée fonction \og bénéfice \fg. 
%
%On sait de plus que le bénéfice de l'entreprise est nul pour la fabrication et la vente quotidienne de 100~pièces.
%
%\medskip
% 
%\emph{Dans ces questions toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la quantité de pièces à fabriquer et à vendre quotidiennement pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal. En déduire le bénéficie maximal (on donnera ce bénéfice maximal arrondi à l'unité d'euro).
La fonction \og bénéfice \fg{} est la fonction $F$. On a vu dans la dernière question de la partie A que le maximum de $F$ est obtenu pour $x = 4$ et que $F(4) \approx 7,819$.

Donc le bénéfice est maximum pour une production de 400~pièces et ce bénéfice est environ de \np{7819}~\euro. 
\item %Déterminer la quantité de pièces à fabriquer et à vendre quotidiennement pour que l'entreprise réalise un bénéfice supérieur à \np{3000}~\euro{} (on donnera le résultat arrondi à l'unité)
Il faut résoudre l'inéquation $F(x) > 3$.

On voit qu'il y a une solution pour l'équation $F(x) = 3$ sur l'intervalle [1~;~4] et une sur l'intervalle [2~;~4].

La calculatrice donne :

$F(2,02) \approx \np{2,9496}$ et $F(2,03) \approx \np{3,0296}$ ;

$F(5,73) \approx \np{3,0028}$ et $F(5,74) \approx \np{2,9455}$.

Pour réaliser un bénéfice supérieur à \np{3000}~\euro{} il faut produire plus de 202 pièces et moins de 574. 
\end{enumerate}

\newpage

%\begin{center}
%\textbf{\large ANNEXE}
%
%\vspace{0.75cm}
%
%\textbf{Exercice 4}
%
%\vspace{1.5cm}
%
%\psset{unit=1.4cm}
%
%\begin{pspicture}(-0.5,-7.5)(6.5,4.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-7.5)(6.5,4.5)
%\uput[d](6.5,0){$x$}\uput[l](0,4.5){$y$}\uput[u](2,4){A}
%\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,4)(0,4)
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{6}{20 4 x mul sub 16 x div sub}
%\end{pspicture}
%\newpage
%\psset{xunit=1cm,yunit=0.05cm}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(10,280)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50]{->}(0,0)(-0.1,-1)(10,280)
%\psdots(1,12)(2,21)(3,37)(4,70)(5,120)(6,166)(7,210)(8,256)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.5}{9}{36.8 x mul 54 sub}
%\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  fin Antilles septembre 2010  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}