\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-node,pstricks-add,pst-func}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
% Tapuscrit Denis Vergès
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {ES Antilles-Guyane},
pdftitle = {7 septembre 2017},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 7 septembre 2017}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Terminale ES Antilles-Guyane
~\decofourright\\[4pt]7 septembre 2017}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.\\
%Aucune justification n'est demandée.\\
%Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de
%réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}
%
%\medskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier l'affirmation choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Des élections doivent se dérouler dans un certain pays. Deux candidats se présentent,
%le candidat A et le candidat B.

%Avant les élections, un organisme de sondage veut estimer la proportion d'électeurs
%qui voteront pour le candidat A. Pour cela il réalise un sondage auprès d'un échantillon
%de \np{1050} électeurs. Parmi eux, $504$ annoncent vouloir voter pour le candidat A et tous
%les autres pour le candidat B.

%\quad \textbf{Affirmation 1 :} c'est certain, le candidat A va perdre l'élection.
%
%\quad \textbf{Affirmation 2 :} le candidat A aura 48\,\% des voix le jour de l'élection.
%
%\quad \textbf{Affirmation 3 :} la probabilité que le candidat A obtienne entre 44,91\,\% et 51,09\,\% des votes est d'environ 0,48.

\quad \textbf{Affirmation 4 :} la probabilité que le candidat A obtienne entre 44,91\,\% et 51,09\,\% des votes est d'environ 0,95.

La fréquence des électeurs de A est égale à $f = \dfrac{504}{\np{1050}} = 0,48$.

On a $n = \np{1050} \geqslant 30, \: nf = \np{1050} \times 0,48 = 504 \geqslant 5$ et $n(1 - f) = \np{1050} \times 0,52 = 546 \geqslant 5$.

On peut dire que l'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 est :

$\left[f -  \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f +  \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] = \left[0,48 -  \dfrac{1}{\sqrt{\np{1050}}}~;~f +  \dfrac{1}{\sqrt{\np{1050}}}\right] \approx [\np{0,449139}~;~\np{510861}]$.  

\item %Sur le graphique ci-dessous est représentée la courbe $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle [0~;~7]. Les points A et B ont pour coordonnées A(2~;~5) et B(4~;~6,8). La droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.
\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(8,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(8.5,8.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{7}{x 3 exp 0.1 mul x dup mul 1.2 mul sub 4.5 x mul add}
\uput[ul](2,5){A} \uput[dr](4,6.8){B}
\psdots(2,5)(4,6.8)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{5.2}{0.9 x mul 3.2 add}
\psline[linecolor=red](0,0)(1,3)(2,5)(5,5)(5,0)
\psline[linecolor=green](2,0)(2,5)(7,5)(7,0)
\psline[linecolor=blue](2,5)(3,6)(5,5)(7,7)
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A admet pour équation :
		
%\quad \textbf{Affirmation 1 :} $y = - 0,9 x + 3, 2$
		
%\quad \textbf{Affirmation 2 :} $y = 0,9x + 3,5$

\quad \textbf{Affirmation 3 :} $y = 0,9x + 3,2$
		
%\quad \textbf{Affirmation 4 :} $y = 1,8x + 3,2$

En effet le coefficient directeur de cette tangente est celui de la droite (AB) soit $\dfrac{y_{\text{B}} - y_{\text{A}}}{x_{\text{B}} - x_{\text{A}}} = \dfrac{6,8 - 5}{4 - 2} = \dfrac{1,8}{2} = 0,9$.

Une équation de la tangente est donc :

$y - y_{\text{A}} = 0,9\left(x - x_{\text{A}}\right)$, soit $y - 5 = 0,9(x - 2) = 0,9x - 1,8$, soit finalement : $y = 0,9x  + 3,2$.		
		\item 
%\quad \textbf{Affirmation 1 :} $f(0) \leqslant \displaystyle\int_0^5 f(x)\:\text{d}x \leqslant  f(5)$
		
%\quad \textbf{Affirmation 2 :} $2 \leqslant  \displaystyle\int_2^7 f(x)\:\text{d}x  \leqslant 7$
		
%\quad \textbf{Affirmation 3 :} $18 \leqslant  \displaystyle\int_0^5 f(x)\:\text{d}x\leqslant   19$
		
\quad \textbf{Affirmation 4 :} $25 \leqslant  \displaystyle\int_2^7 f(x)\:\text{d}x \leqslant 31$

En effet l'intégrale sur l'intervalle [0~;~5] vaut d'après le dessin (en rouge) plus de 19,5.

Sur l'intervalle [2~;~7], l'intégrale égale en unité d'aire à l'aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation : $x  = 2$ et $x = 7$ est supérieure à 25 (en vert) et inférieure à 28,5 (en bleu).
	\end{enumerate} 
\item  %On écrit les deux algorithmes suivants:

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%\textbf{Variables :}\\
%$V$ est un nombre réel\\
%$S$ est un nombre réel\\
%$N$ est un entier naturel\\
%\textbf{Traitement :}\\
%Affecter la valeur $10$ à $V$\\
%Affecter la valeur $10$ à $S$\\
%Affecter la valeur $0$ à $N$\\
%Tant que $S \leqslant 50$\\
%\quad $V$ prend la valeur $1,05 \times V$\\
%\quad $S$ prend la valeur $S + V$\\
%\quad $N$ prend la valeur $N + 1$\\
%Fin Tant que\\
%\textbf{Sortie :}\\
%Afficher $N$\\ \hline
%\end{tabular}&\begin{tabular}{|l|}\hline
%\textbf{Variables :}\\
%$V$ est un nombre réel\\
%$S$ est un nombre réel\\
%$K$ est un nombre réel\\
%\textbf{Traitement :}\\
%Affecter la valeur $10$ à $V$\\
%Affecter la valeur $10$ à $S$\\
%Pour $K$ allant de 1 à 4\\
%\quad $V$ prend la valeur $1,05 \times V$\\
%\quad $S$ prend la valeur $S + V$\\
%Fin Pour\\
%\textbf{Sortie :}\\
%Afficher $S$\\\hline
%\end{tabular}\\
%\textbf{algorithme 1}&\textbf{algorithme 2}\\
%\end{tabularx}
%\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item 
		
%\quad \textbf{Affirmation 1 :} l'algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre 43 et 44.

%\quad \textbf{Affirmation 2 :} l'algorithme 1 affiche en sortie une valeur comprise entre 55 et 56.

%\quad \textbf{Affirmation 3 :} l'algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à 3.

En effet $S$ prend les valeurs : 20,5\quad 31,525 \quad \np{43,1013} donc dépassera 50 pour $N = 4$.

%\quad \textbf{Affirmation 4 :} l'algorithme 1 affiche en sortie une valeur égale à 4.
		\item 

%\quad \textbf{Affirmation 1 :} l'algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre 43 et 44.

\quad \textbf{Affirmation 2 :} l'algorithme 2 affiche en sortie une valeur comprise entre 55 et 56.

Pour $K = 4$, on obtient $S \approx 55,25$.
%\quad \textbf{Affirmation 3 :} l'algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à 3.

%\quad \textbf{Affirmation 4 :} l'algorithme 2 affiche en sortie une valeur égale à 4.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}
 
\medskip
 
%Une petite ville dispose d'un service municipal de location de vélos. 
% La municipalité souhaite être informée sur le nombre de vélos en circulation et le coût engendré.
% 
%Le responsable du service de location de vélos constate que, chaque année, 20\,\% des vélos
%sont devenus inutilisables car perdus, volés ou détériorés. Le budget alloué au service lui
%permet de racheter 30 vélos par an.
% 
%Le 1\up{er} janvier 2017, le parc contient $200$ vélos utilisables.
% 
%On modélise l'évolution du nombre de vélos utilisables par une suite $\left(u_n\right)$ dans laquelle, pour
%tout entier naturel $n$,\: $u_n$ est le nombre de vélos le 1\up{er} janvier de l'année $2017 + n$.
% 
%Ainsi $u_0 = 200$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+ 1} = 0,8 \times  u_n + 30$.
 
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier le coefficient $0,8$ dans l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
Si 20\,\% des vélos sont devenus inutilisables une année, il en reste $1 - \dfrac{20}{100} = \dfrac{80}{100} = 0,8$.

Chaque année on multiplie le nombre de vélos de l'année précédente par $0,8$ et on ajoute les 30 vélos rachetés.
		\item %Combien y aura-t-il de vélos dans ce parc au 1\up{er} janvier 2018 ?
On a donc $u_1 = 0,8u_0 + 30 = 200 \times 0,8 + 30 = 160 + 30 = 190$.

Il y aura le  1\up{er} janvier 2018, 190 vélos disponibles.
	\end{enumerate}
\item  %On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - 150$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
		On a pour tout naturel $n$, \: $v_{n+1} = u_{n+1} - 150 = 0,8u_n + 30 - 150 = 0,8u_n - 120 = $
		
$0,8\left(u_n - \dfrac{120}{0,8} \right) = 0,8\left(u_n - 150\right) = v_{n+1} = 0,8v_n$ ; cette dernière égalité montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$, de premier terme

$v_0 = u_0 - 150 = 200 - 150 = 50$.
		\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		On sait qu'alors quelque soit le naturel $n$, \: $v_n = v_0 \times 0,8^n = 50 \times 0,8^n$.
		\item %En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 50 \times 0,8^n + 150$.
Pour tout naturel $n$, \: $v_n = u_n - 150 \iff u_n = v_n + 50$, soit 
		
$u_n = 50 \times 0,8^n + 150$.
		\item %La municipalité a décidé de maintenir ce service de location tant que le nombre de vélos reste supérieur à $160$.
		
%En quelle année le service de location s'arrêtera-t-il ?
Il faut donc résoudre l'inéquation : $u_n \leqslant 160$, soit 

$50 \times 0,8^n + 150 \leqslant 160 \iff  50 \times 0,8^n  \leqslant 10 \iff$

$ 0,8^n \leqslant \dfrac{1}{5} \iff n \ln 0,8 \leqslant \ln \left(\dfrac{1}{5} \right) \iff n \geqslant \dfrac{\ln \frac{1}{5}}{\ln 0,8}$.

Or $\dfrac{\ln \frac{1}{5}}{\ln 0,8} \approx 7,2$. 

Le nombre de vélos sera inférieur à 160 en $2015 + 8 = 2023$. La location s'arrêtera.
	\end{enumerate}
\item  %Pour l'aider à maintenir le service de location, la municipalité a obtenu une subvention de la région qui sera versée de 2017 inclus à 2025 inclus. Par commodité, on suppose qu'elle est versée pour chaque année le 1\up{er} janvier, de 2017 inclus à 2025 inclus.
	
%Cette subvention s'élève à $20$ euros par vélo disponible à la location.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que la somme des subventions reçues pour les deux premières années s'élève à \np{7800} euros.
La somme des subventions pour les deux premières années est égale à :

$20 \times \left(u_0 + u_1\right) = 20 \times (200 + 190) = 20 \times 390 = \np{7800}$~euros.
		\item %Déterminer la somme totale perçue grâce à cette subvention du 1\up{er} janvier 2017 au 1\up{er} janvier 2025.

%$20 \times \left(u_0 + u_1 + \cdots + u_8\right)$.
%
%Or $v_0 + v_1 + \cdots + v_8 = v_0 \times \dfrac{1 - 0,8^{9}}{1  - 0,8} = 50 \times \dfrac{1 - 0,8^{9}}{0,2} = 250 \times \left(1 - 0,8^9\right) \approx \np{21,6446}$. (somme des 9 premiers termes de la suite géométrique)
%
%Or $v_0 + v_1 + \cdots + v_8 = u_0 - 150 + u_1 - 150 + \cdots + u_8 - 150 = u_0 + u_1 + \cdots + u_8 - 9 \times 150$.
%
%On a donc $\np{21,6446} = u_0 + u_1 + \cdots + u_8 - 9 \times 150 \iff u_0 + u_1 + \cdots + u_8 = \np{1350}  + \np{21,6446}
Calculons grâce à la formule $u_n = 50 \times 0,8^n + 150$, le nombre de vélos disponibles chaque année en arrondissant ce nombre à l'entier le plus proche :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &Nombre de vélos&Subvention annuelle\\ \hline
2017&200&\np{4000}\\ \hline
2018&190&\np{3800}\\ \hline
2019&182&\np{3640}\\ \hline
2020&176&\np{3520}\\ \hline
2021&170&\np{3400}\\ \hline
2022&166&\np{3320}\\ \hline
2023&163&\np{3260}\\ \hline
2024&160&\np{3200}\\ \hline
2025&158&\np{3160}\\ \hline \hline
Totaux		&\np{1560}&\np{31300}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le total des subventions de la région sera de \np{31300}~euros.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\emph{Les deux parties sont indépendantes}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Une petite ville dispose d'un service municipal de location de vélos réservé à ses habitants.
%
%Pour cette étude, on suppose que la population de la ville reste constante.
%
%Le 1\up{er} janvier 2017, la ville compte 5\,\% d'abonnés parmi ses habitants. Ces dernières années, le responsable du service location a constaté que :
%
%\setlength\parindent{9mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 93\,\% des abonnements sont renouvelés;
%\item[$\bullet~~$] 1\,\% des habitants qui n'étaient pas abonnés l'année précédente souscrivent un abonnement.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On note $A$ l'état :  \og un habitant est abonné \fg{} et $P$ l'état: \og un habitant n'est pas abonné \fg.
%
%Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $a_n$ la probabilité qu'un habitant soit abonné l'année $2017 + n$ et $p_n$ la probabilité qu'un habitant ne soit pas abonné l'année $2017 + n$.
%
%La matrice ligne $R_n = \begin{pmatrix}a_n& p_n\end{pmatrix}$ donne l'état probabiliste du nombre d'abonnés l'année $2017 + n$.
%
%Ainsi $R_0 = \begin{pmatrix}a_0& p_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,05 &0,95\end{pmatrix}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et P où le sommet A représente l'état \og un habitant est abonné\fg{} et P l'état \og un habitant n'est pas abonné \fg.
On représente cette situation par un graphe probabiliste:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

\newrgbcolor{colorG}{1 0 0}% couleur du sommet de gauche
%%% mettre 0 0 0 pour le noir

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{A}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{P}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{0,07}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{0,01}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{0,93}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{0,99}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
           %   définition des sommets
\ncarc[linecolor=colorG]{->}{G}{D} 
      \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} 
      \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}

\item%  Déterminer la matrice de transition $T$ de ce graphe en respectant l'ordre A puis P des sommets.

D'après le texte on a:
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,93\,a_n + 0,01\,p_n\\
b_{n+1} & 0,07\,a_n + 0,99\,b_n
\end{array}
\right .$\\
ce qui s'écrit sous forme matricielle:
$\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,93 & 0,07 \\ 0,01 & 0,99
\end{pmatrix}$ 

La matrice de transition de ce graphe est donc
$T=\begin{pmatrix}
0,93 & 0,07 \\ 0,01 & 0,99
\end{pmatrix}$

\item  $R_1=R_0\times T =
\begin{pmatrix}
0,05 & 0,95
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,93 & 0,07 \\ 0,01 & 0,99
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,05\times 0,93 + 0,95\times 0,01 & 0,05\times 0,07 + 0,95\times 0,99
\end{pmatrix}\\
\phantom{R_1}
=
\begin{pmatrix}
0,056 & 0,944
\end{pmatrix}$ 

\item%  Déterminer l'état probabiliste en 2021.
$2021=2017+4$ donc l'état probabiliste en 2021 est $R_4$; on calcule successivement $R_2$, $R_3$ et $R_4$ à la calculatrice en arrondissant au millième:

\begin{center}
\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{1.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline
Année & 2017 & 2018 & 2019 & 2020 & 2021\\
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
\hline
$R_n$ & $\begin{pmatrix} 0,05 & 0,95 \end{pmatrix}$ & $\begin{pmatrix} 0,056 & 0,944 \end{pmatrix}$ & $\begin{pmatrix} 0,062 & 0,938 \end{pmatrix}$ & $\begin{pmatrix}0,067  & 0,933 \end{pmatrix}$ & $\begin{pmatrix} 0,071 & 0,929  \end{pmatrix}$\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Donc l'état probabiliste en 2021 est $\begin{pmatrix} 0,071 & 0,929  \end{pmatrix}$.
 
\item  On admet qu'il existe un état stable $\begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que $x$ et $y$ sont solutions du système : $\left\{\begin{array}{l c l}-7x+y&=&0\\ x + y&=&1 \end{array}\right.$.
D'après le texte, on a pour tout $n$, $a_n+p_n=1$; donc l'état stable $\begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}$ vérifie $x+y=1$.

De plus l'état stable vérifie

$\begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}\times T
\iff
\begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0,93 & 0,07 \\ 0,01 & 0,99 \end{pmatrix}\\
\phantom{\begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}\times T}
\iff
\begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0,93 x + 0,01y  & 0,07x + 0,99y \end{pmatrix}\\
\phantom{\begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}\times T}
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
x & 0,93\,x + 0,01y\\
y & 0,07\,x + 0,99\,x
\end{array}
\right.
\iff -0,07x + 0,01y = 0\\
\phantom{\begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}\times T}
\iff -7x+y=0
$ 

Donc $x$ et $y$ sont solutions du système 
$\left\{\begin{array}{r !{=} l}-7x+y & 0\\ x + y & 1 \end{array}\right.$.

		\item% Déterminer l'état stable de ce graphe.
$\left\{\begin{array}{r !{=} l l}-7x+y & 0 & L_1 \leftarrow L_2-L_1\\ x + y & 1 \end{array}\right.
\iff 
\left\{\begin{array}{l !{=} l }8x & 1 \\ y & 1-x \end{array}\right.
\iff 
\left\{\begin{array}{l !{=} l }x & 0,125 \\ y & 0,875 \end{array}\right.
$

L'état stable du système est $\begin{array}{l !{=} l }x & 0,125 \\ y & 0,875 \end{array}$.

 	\end{enumerate}
 	
 \end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\parbox{0.45\linewidth}{Le responsable du service de location souhaite
vérifier l'état des pistes cyclables reliant
les parkings à vélos de location disposés
dans la ville. On modélise la disposition des
lieux par le graphe étiqueté ci-contre dont les
sommets représentent les parkings à vélo. Les
poids des arêtes sont les durées moyennes de
parcours, en minute, pour se rendre d'un parking
à l'autre en suivant la piste cyclable.} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{ 
\begin{flushright}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6)
\cnode*(0.5,1){2pt}{A} \cnode*(2,5.5){2pt}{B}
\cnode*(2.5,2.5){2pt}{C} \cnode*(2,0.5){2pt}{D}
\cnode*(5.25,2){2pt}{E} \cnode*(5.5,5.5){2pt}{F}
\cnode*(3,4.5){2pt}{G} 
\uput[l](0.5,1){$A$} \uput[u](2,5.5){$B$} \uput[r](2.5,2.5){$C$} 
\uput[dr](2,0.5){$D$} \uput[dr](5.25,2){$E$} \uput[ur](5.5,5.5){$F$} 
\uput[u](3,4.5){$G$}
\ncline{A}{B}\ncput*{6} \ncline{B}{C}\ncput*{5} \ncline{C}{A}\ncput*{5} 
\ncline{B}{G}\ncput*{5}
 \ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{C}{G}\ncput*{4} 
 \ncline{G}{F}\ncput*{7} 
\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{F}{E}\ncput*{4} 
\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{E}{G}\ncput*{2} 
\ncline{E}{D}\ncput*{9} 
\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{D}{A}\ncput*{2} 
\ncline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{C}{D} \ncput*{2}
\end{pspicture}
\end{flushright}}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item% Le responsable peut-il planifier un parcours partant de son bureau situé en A jusqu'à la mairie située en F en passant par toutes les pistes cyclables sans emprunter deux fois le même chemin ?

Cherchons les degrés de chacun des sommets du graphe:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{1.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline
Sommet 	&$A$&$B$&$C$&$D$&$E$&$F$&$G$\\\hline
Degré 	&3 	&3 	&4 	&3 	&3 	&2 	&4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Il y a plus de deux sommets de degrés impairs donc, d'après le théorème d'Euler, il ne peut pas y avoir de parcours partant de $A$ pour arriver en $F$ en passant une seule fois par chaque piste cyclable.

\item  Le parcours le plus rapide possible permettant d'aller de A à F est obtenu par l'algorithme de Dijkstra:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
$A$		&$B$  		&$C$  		&$D$  		& $E$   	&$J$   		&$G$   		&{On garde} \\ \hline 
\sur 0 	&$\infty$ 	&$\infty$ 	&$\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	&$\infty$  	& $A$ \\\hline
		&6 $A$ 		&5 $A$ 		&\sur{2 $A$}& $\infty$ 	& $\infty$ 	&$\infty$  	& $D$ \\\hline
		&6 $A$ 		&\sout{5 $A$}&   		&           &$\infty$ 	& $\infty$  & \\[-3pt]
		&           &\sur{4 $D$}&    		& 11 $D$ 	&  			&   		&$C$ \\\hline
		&\sur{6 $A$}&  			&   		&11 $D$     &$\infty$ 	&   		& \\[-3pt]
		&\sout{11$C$}&  			&    		&  			&           &8$C$       &$B$ \\\hline
 		&  			&  			&   		&11 $D$     & $\infty$ 	&\sur{8$C$ }& \\[-3pt]
		&  			&  			&    		&           &          	&\sout{11 $B$}&$G$ \\\hline
		&  			&  			&   		&\sout{11 $D$}&  		&           & \\[-3pt]
		&  			&  			&   		&\sur{10 $G$}&15 $G$    &         	&$E$ \\\hline
 		&  			&  			&  			&            &\sout{15$G$}&         & \\[-3pt]
		&  			&  			&   		&            &\sur{14 $E$}&         &$F$ \\\hline
\end{tabularx} }
\end{center} 


Le parcours le plus rapide pour aller de $A$ à $F$ est:
$A \stackrel{2}{\longrightarrow} D 
\stackrel{2}{\longrightarrow} C
\stackrel{4}{\longrightarrow} G
\stackrel{2}{\longrightarrow} E
\stackrel{4}{\longrightarrow} F$

Il dure 14 minutes.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Chaque année, les organisateurs d'une course de montagne proposent trois parcours de difficulté croissante : vert, bleu et rouge.
%
%Les organisateurs ont constaté que 50\,\% des coureurs choisissent le parcours vert, 30\,\% choisissent
%le parcours bleu, le reste des coureurs choisit le parcours rouge.
%
%Ils ont également constaté, en observant les années précédentes, que:
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 3,2\,\% de l'ensemble des coureurs abandonnent la course ;
%\item[$\bullet~~$] 2\,\% des coureurs du parcours vert abandonnent la course ;
%\item[$\bullet~~$] 5\,\% des coureurs du parcours rouge abandonnent la course.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm} 
% 
%\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque.}
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%À la fin de la course, on choisit au hasard un des participants de telle façon que tous ont la même probabilité d'être choisis. On note :

%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]  $V$ l'évènement \og Le coureur a choisi le parcours vert \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$]  $B$ l'évènement \og Le coureur a choisi le parcours bleu \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$]  $R$ l'évènement \og Le coureur a choisi le parcours rouge \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$]  $A$ l'évènement \og Le coureur a abandonné la course \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré que l'on complètera au fur et à mesure de l'exercice.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V$}\naput{0,50}}
	{\TR{$A$~}\naput{0,02}
	\TR{$\overline{A}$}\nbput{0,98}
	}
\pstree{\TR{$B$~}\naput{0,30}}
	{\TR{$A$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{A}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$R$~}\nbput{0,20}}
	{\TR{$A$}\naput{0,05}
	\TR{$\overline{A}$}\nbput{0,95}
	}	
}
\end{center}

\item %Calculer la probabilité de l'évènement $V \cap A$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
$p(V \cap A) = p(V) \times p_V(A) = 0,50 \times 0,02 = 0,01$.

Il y a 1\,\% de chance de choisir un coureur du parcours vert ayant abandonné.
\item %Un coureur se blesse et abandonne la course. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi le parcours vert ?
Il faut calculer $p_A(V) = \dfrac{p(A \cap V)}{p(A)} = \dfrac{0,01}{0,032} = \np{0,3125}$.
\item %Démontrer que $P(B \cap A) = 0,012$.
D'après la loi des probabilités totales, on a :

$p(A) = p(A \cap V) + p(A \cap B) + p(A \cap R)$. (1)

Or $p(A \cap R) = p(R) \times p_R(A) = 0,2 \times 0,05 = 0,01$.

(1) devient $0,032 = 0,01 + p(A \cap B) + 0,01$ soit $p(A \cap B) = 0,032 - 0,01 - 0,01 = 0,012$.
\item %En déduire la probabilité $P_B(A)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
On sait que $p(B \cap A) = p(B) \times p_B(A)$ soit $0,012 = 0,3 \times p_B(A)$, soit $p_B(A) = \dfrac{0,012}{0,3} = 0,04$.

Donc parmi les coureurs du parcours bleu, il y a 4\,\% d'abandons.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Le temps hebdomadaire d'entraînement des coureurs du parcours rouge, exprimé en heure,
%peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale dont l'espérance est de $6$~heures et l'écart type est de $2$~heures.
% 
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Lequel des deux graphiques suivants, graphique 1 ou graphique 2, représente la fonction de densité de la loi normale de paramètres $\mu = 6$ et $\sigma = 2$ ? Justifier la réponse.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\psset{xunit=0.45cm,yunit=10cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(0,-0.08)(12,0.7)
%\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.7)}
%\multido{\n=0.00+0.05}{14}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(12,\n)}
%\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.05,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(12,0.7)
%\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,sigma=0.6,mue=6]{0}{12}
%\end{pspicture}&\psset{xunit=0.45cm,yunit=10cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(0,-0.08)(12,0.7)
%\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.7)}
%\multido{\n=0.00+0.05}{14}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(12,\n)}
%\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.05,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(12,0.7)
%\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,sigma=2,mue=6]{0}{12}
%\end{pspicture}\\
%\multicolumn{1}{c}{\textbf{graphique 1}} &\multicolumn{1}{c}{\textbf{graphique 2}}\\
%\end{tabularx}
%\end{center}
Le premier graphique ne peut représenter la fonction de densité : d'après celui-ci on aurait $p(\sigma- 2\mu \leqslant X \leqslant \sigma + 2\mu) = 1$ ce qui n'est pas possible.
\item %Un magazine spécialisé interroge au hasard quelques participants du parcours rouge afin de mener une enquête sur la durée de leur entraînement. On arrondira les résultats au millième.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est comprise entre 5~h et 7~h ?
La calculatrice donne  $p(5 \leqslant X \leqslant 7) \approx 0,383$.
		\item %Quelle est la probabilité d'interroger un coureur dont la durée d'entraînement est inférieure à 4~h ?

On sait que $p(X \leqslant 4) = p(X\leqslant 6) - p(4 \leqslant X \leqslant 6) = 0,5 - p(4 \leqslant X \leqslant 6) \approx 0,159$. (calculatrice)
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}
	
\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}
	
\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [1~;~25] par 

\[f(x) = 10 - \dfrac{\text{e}^{0,2x+1}}{x}.\]

%Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l'on pourra utiliser :
%
%\begin{center}
%\newcolumntype{Y}{>{\raggedleft \arraybackslash}X}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l Y|}\hline
%$f(x) : 10 - \text{e}~\hat~ (0.2x+1)/x$&\\ \hline
%\rule[-3mm]{0mm}{9mm}&$x \to 10 - \dfrac{\text{exp}(0.2x + 1)}{x}$\\ \hline
%factoriser(deriver($f(x)$)&\\ \hline
%\rule[-3mm]{0mm}{9mm}&$\dfrac{\text{exp}(0.2x + 1) * (1 - 0.2x)}{x^2}$\\ \hline
%factoriser (deriver(deriver($f(x)$)))&\\ \hline
%\rule[-3mm]{0mm}{9mm}&$\dfrac{\text{exp}(0.2x + 1) * (- x^2 + 10x - 50)}{25x^3}$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Retrouver par le calcul l'expression factorisée de $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
Sur l'intervalle [1~;~25], la fonction $f$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f'(x) = 0- \dfrac{0,2x \text{e}^{0,2x+1} - \text{e}^{0,2x+1}}{x^2} = \text{e}^{0,2x+1}\dfrac{1 - 0,2x}{x^2}$.
\item %Étudier le signe de $f'$ sur l'intervalle [1~;~25] et dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [1~;~25]. On arrondira les valeurs au millième.
Quel que soit le réel $x$, \: $\text{e}^{0,2x+1} > 0$ et $x^2 > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - 0,2x$.

$\bullet~~$$1 - 0,2x > 0 \iff 1 > 0,2x \iff 5 > x \iff x < 5$ ; donc sur [1~;~5[, $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur [1~;~5[ ;

$\bullet~~$$1 - 0,2x < 0 \iff 1 < 0,2x \iff 5 < x \iff x > 5$ ; donc sur ]5~;~25], $f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur ]5~;~25] ;

$\bullet~~$$1 - 0,2x = 0 \iff x = 5$ ; $f'(5) = 0$ ; $f(5)$ est donc le maximum de $f$ sur [1~;~25]. 

$f(5) = 10 - \dfrac{\text{e}^{1+1}}{5} = 10 - \dfrac{\text{e}^{2}}{5} \approx 8,522$.

$f(1) = 10 - \dfrac{\text{e}^{0,2+1}}{1} = 10 - \text{e}^{1,2} \approx 6,68$ et $f(25) = 10 - \dfrac{\text{e}^{0,2\times 25+1}}{25} = 10 - \dfrac{\text{e}^{6}}{25} \approx - 6,137$.

D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.25,2.4){$1$} \uput[u](4,2.4){$5$} \uput[u](6.5,2.4){$25$} 
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f(x)$}
\uput[u](1.5,0){$\approx 6,68$}\uput[d](4,2){$\approx 8,522$}\uput[u](6.4,0){$\approx - 6,137$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\item  On s'intéresse à l'équation $f(x) = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution sur l'intervalle [1~;~5].
		Le tableau de variations montre que sur l'intervalle [1~;~5], $f(x) > 0$ : l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle.
		\item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [5~;~25].
Sur l'intervalle [5~;~25], la fonction $f$ est continue, car dérivable, $f(5) > 0$ et $f(25) < 0$, donc d'après la propriété des valeurs intermédiaires, il existe un réel unique $\alpha \in [5~;~25]$, tel que $f(\alpha) = 0$.
		\item %Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la solution $\alpha$.
La calculatrice donne successivement :

$f(21) \approx 1,368$ et $f(22) \approx - 0,064$, donc $21 < \alpha < 22$ ;

$f(21,9) \approx 0,09$ et $f(22) \approx - 0,064$, donc $21,9 < \alpha < 22,0$ ;

$f(21,95) \approx 0,014$ et $f(21,96) \approx - 0,002$, donc $21,95 < \alpha < 21,96$.
\item  %En utilisant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, justifier que la fonction $f$ est concave sur l'intervalle [1~;~25].
Le logiciel de calcul formel donne :

$f''(x) = \dfrac{\text{e}^{0,2x + 1}\left(- x^2 + 10x - 50 \right)}{25x^3}$.

Sur l'intervalle [1~;~25], on a $x^3 > 0$ et $\text{e}^{0,2x + 1} > 0$ : le signe de $f''(x)$ est donc celui du trinôme $- x^2 + 10x - 50$.

Pour celui-ci $\Delta = 100 - 4 \times (- 1) \times (- 50) = - 100 > 0$ : le trinôme n'a pas de racines, il a donc le signe de $a = - 1$ ; le trinôme et par conséquent la dérivée seconde est négative sur l'intervalle [1~;~25] : la fonction $f$ est donc concave sur cet intervalle.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail. On s'intéresse au bénéfice
%réalisé, en millier d'euros, correspondant à la production d'une quantité de $x$ dizaines de
%tonnes d'aliments.
% 
%On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction $f$ étudiée dans la partie A ci-dessus.
% 
%La production minimale est de 10 tonnes, ainsi $x \geqslant 1$.
% 
%\emph{Les réponses aux questions suivantes seront justifiées grâce à la partie A.}
% 
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ? 

%Pour quelle quantité d'aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?
D'après la partie A, on a vu que $f$ a pour maximum $f(5) \approx 8,522 \approx \np{8522}$~euros.

Ce maximum est obtenu pour $x = 5$, soit 50~tonnes produites.
\item %Déterminer, à la tonne près, la quantité maximale d'aliments qu'il faut fabriquer pour
%que la société réalise un bénéfice.
On a vu dans la partie A que $f$ est positive sur l'intervalle $[1~;~\alpha]$ et que $\alpha \approx 21,95$. La société peut donc fabriquer au maximum 219~tonnes (à une tonne près) d'aliments pour réaliser un bénéfice.
\end{enumerate}
\end{document}
\newpage

Trouvez le module et un argument de  $z = - 2\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6}\right)$.

\bigskip

\textbf{Méthode 1}

$z$ est le  produit de deux nombres complexes $ - 2$ et $\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6}$.

$\bullet~~$On sait que le module d'un produit est le produit des modules : 

$\left|z_1 \times z_2 \right| = \left|z_1 \right| \times \left|z_2 \right|$.

Donc $z| = |- 2| \times \left| \cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6}\right| = 2 \times 1 = 2$.

$\bullet~~$On sait que l'argument d'un produit est la somme des arguments : 

arg$\left(z_1 \times z_2 \right) = \text{arg}\left(z_1 \right) + \text{arg}\left(z_2 \right)$.

Donc arg$(z) = \text{arg}(- 2) + \text{arg}(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6}) = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

\medskip

\textbf{Méthode 2}

$- 2\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6}\right)$ est l'opposé du nombre complexe $2\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6}\right)$.

Celui-ci a pour module 2 et comme argument $\frac{\pi}{6}$. 

S'il a pour représentation graphique $M$, son opposé a pour représentation graphique le point $M'$ symétrique de $M$ par rapport à O.

Son module est donc 2 et  un de ses arguments $ \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$. 

\medskip

\textbf{Méthode 3}

$z = - 2\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6}\right)$ ou 

$z = 2\left(-\cos \frac{\pi}{6} - \text{i}\sin \frac{\pi}{6}\right)$ ou

$z = 2\left(-\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin -\frac{\pi}{6}\right)$ ou

$z = 2\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}+ \pi\right) + \text{i}\sin \left(\frac{\pi}{6}+ \pi\right)\right)$ soit enfin

$z = 2\left(\cos \left(\frac{7\pi}{6}\right) + \text{i}\sin \left(\frac{7\pi}{6}\right)\right)$.

\begin{center}
\psset{unit=3cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2.1,-2.1)(2.1,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.1,-2.1)(2.1,2.1)
\psdots(2;30)(2;210)
\pscircle(0,0){1}
\psline(2;30)(2;210)
\uput[dr](0,0){O}\uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J}
\uput[r](2;30){$M$}\uput[l](2;210){$M'$}
\psarc{->}(0,0){0.5}{0}{30}\uput[r](0.5,0.2){$\frac{\pi}{6}$}
\psarc{->}(0,0){0.35}{0}{210}\uput[l](-0.22,0.35){$\frac{7\pi}{6}$}
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(1;30)(0.866,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-0.5)(1;210)(-0.866,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0.866,0)\uput[d](0.433,0){\blue $\cos \frac{\pi}{6}$}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](-0.866,0)\uput[d](-0.433,0){\blue $- \cos \frac{\pi}{6}$}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0.5)\uput[l](0,0.25){\red $\sin \frac{\pi}{6}$}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,-0.5)\uput[l](0,-0.25){\red $- \sin \frac{\pi}{6}$}
\end{pspicture}

\end{center}
