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% Tapuscrit : François Hache
% Relecture : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {TES Antilles-Guyane},
pdftitle = {7 septembre 2020},
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%  le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%   le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L -- corrigé}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 7 septembre 2020}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesseptembre}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
%\textbf{Durée : 3 heures }
%
%\vspace{0,5cm}
%
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ES/L -- Antilles-Guyane ~\decofourright\\[7pt] 7 septembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
%Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque bonne réponse rapporte un point. Une réponse incorrecte, plusieurs réponses ou une question sans réponse n'apportent ni ne retirent aucun point.}
%
%\smallskip
%
%\textbf{Les six questions sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\parbox{0.35\linewidth}{On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-3~;~5]$. La courbe ci-contre est la courbe représentative de la \textbf{fonction dérivée} $f'$ de $f$.}\hfill
\parbox{0.61\linewidth}{
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,comma=true}
\newrgbcolor{vf}{0 0.8 0}
\begin{pspicture*}(-3.5,-5.5)(5.5,6)
\multido{\n=-5.5+0.1}{111}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](\n,-5.5)(\n,6)}
\multido{\n=-5.5+0.5}{23}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=lightgray](\n,-5.5)(\n,6)}
\multido{\n=-5.5+0.2}{57}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](-3.5,\n)(5.5,\n)}
\multido{\n=-5+1}{12}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=lightgray](-3.5,\n)(5.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.4,-5.5)(5.5,6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 3 exp 3 div x dup mul sub 3 x mul sub  4 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=vf]{0}{2}{x 3 exp 3 div x dup mul sub 3 x mul sub  4 add}
\psline[linecolor=vf,linewidth=1.5pt]{[-]}(0,0)(2,0)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{0}{x 3 exp 3 div x dup mul sub 3 x mul sub  4 add}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{[-]}(-2,0)(0,0)
\uput[u](5,0){$x$}\uput[r](0,5.8){$y$}
\end{pspicture*}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} [1,5~;~4] &\fbox{\red\textbf{b.~~} $[-2~;~0]$}&\textbf{c.~~}[0~;~2] & \textbf{d.~~}[3~;~4]
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
La fonction $f$ est croissante sur les intervalles sur lesquels la fonction dérivée $f'$ est positive, c'est-à-dire quand la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.

\textbf{Réponse b.} 
\end{tabular}

\item La fonction $f$ est concave sur l'intervalle :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} [1,5~;~4] &\textbf{b.~~} $[-2~;~0]$ &\fbox{\vf\textbf{c.~~}[0~;~2]}& \textbf{d.~~}[3~;~4]
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
La fonction $f$ est concave sur les intervalles sur lesquels la fonction dérivée $f'$ est décroissante.

\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La courbe ci-dessous représente une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-7~;~2]$.

La tangente au point A$(1~;~-3)$ coupe l'axe des ordonnées au point B$(0~;~-5)$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-6)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-8,-6)(4,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{2}{x x x 8 add mul 1 add mul 40 sub 10 div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.5}{3.5}{2 x mul 5 sub}
\uput[dr](1,-3){A}\uput[r](0,-5){B}
\psdots(1,-3)(0,-5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item L'une des quatre courbes suivantes représente la fonction $g'$ dérivée de la fonction $g$.

 Laquelle ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}&\fbox{\blue \textbf{b.~~}}\\[-10pt]
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7}{2}{x 3 exp  x dup mul 6 mul  add 13 x  mul  sub 42 sub 1 21 div neg mul}
\end{pspicture}
\end{center}
&\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7}{2}{x 5.2  add x  mul 0.2958 mul}
\end{pspicture}
\end{center}\\
\textbf{c.~~}&\textbf{d.~~}\\[-10pt]
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7}{2}{x 5.2  add x dup mul mul 0.06 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
&\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-7,-2)(2,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-7,-2)(2,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7}{2}{x 5.2  add x dup mul mul 0.06 neg mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
Sur l'intervalle $[-7~;~2]$, la fonction $g$ est croissante puis décroissante puis croissante; sa dérivée  $g'$ est donc positive puis négative puis positive.

\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\item  L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point A est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y = - 3x+ 1$ &\textbf{b.~~} $y = x-5$ &\fbox{\blue\textbf{c.~~} $y = 2x-5$} &\textbf{d.~~} $y = x - 4$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
Le coefficient directeur de la tangente est $\dfrac{y_{\text A}-y_{\text B}}{x_{\text A}-x_{\text B}} = \dfrac{-3-(-5)}{1-0}=2$.

L'ordonnée à l'origine est $y_{\text B}=-5$. 

Donc la tangente a pour équation $y=2x-5$.

\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des réels par $f(x) = 5\e^{-\frac{x}{3}}$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et, pour tout réel $x$,

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(x) = \dfrac{-5x}{3\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}\e^{-\frac{x}{3}}$& \textbf{b.~~}$f'(x) = 5\e^{-\frac{x}{3}}$\\ \fbox{\blue\textbf{c.~~}$f'(x) =\dfrac{-5}{3}\e^{-\frac{x}{3}}$} &\textbf{d.~~}$f'(x) = \e^{-\frac{x}{3}}$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
La dérivée de la fonction $x \longmapsto \e^{u(x)}$ est la fonction $x \longmapsto u'(x) \e^{u(x)}$.

\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\item  On considère la courbe ci-dessous représentative de la fonction $f$ définie sur l'ensemble des réels par $f(x) = - 3x^2 + 2x + 4$.

Dans l'algorithme ci-dessous, $a$ et $b$ sont deux réels. 

Quelle est la valeur de $a$ en sortie de l'algorithme ?

\parbox{0.65\linewidth}{\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1.7,-1.2)(2.2,5)
\psgrid[unit=1cm,gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=gray](-4,-2)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-2,-2)(2.2,5)[$x$,130][$y$,-35]
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{2}{4 2 x mul add x dup mul 3 mul sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{2}{x -3 x mul 2 add mul 4 add}
\psdots[linecolor=blue](1.535,0)
\end{pspicture*}} \hfill
\parbox{0.3\linewidth}{\begin{tabular}{|l|}\hline
$a \gets 0$\\
$b \gets 4$\\
Tant que $b > 0$\\
\qquad $a \gets a+ 0,01$\\
\qquad $b \gets  - 3a^2 + 2a + 4$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\fbox{\blue\textbf{a.~~} 1,54} &\textbf{b.~~} 1,48&\textbf{c.~~}$- 0,86$&\textbf{d.~~} $- 0,87$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
Dans l'algorithme, $b$ représente $f(a)$ pour $a\geqslant 0$.

On sort de la boucle \og Tant que \fg{} dès que $b$ est négatif ou nul, donc dès que la courbe passe en dessous de l'axe des abscisses; d'après le graphique, c'est un peu après $1,5$. 

\textbf{Réponse a.}
\end{tabular}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip

On s'intéresse à la gestion des déchets ménagers au sein d'une grande agglomération.

Grâce au développement du recyclage, les experts estiment que la quantité de déchets de l'agglomération à incinérer devrait diminuer de 5\,\% par an. Par ailleurs, suite à la signature d'un contrat, cette agglomération s'engage à partir du 1\up{er} janvier 2020 à collecter et incinérer \np{12000}~tonnes de déchets supplémentaires par an provenant d'une commune voisine. 

Durant l'année 2019, l'agglomération a incinéré \np{300000} tonnes de déchets.

On admet que la situation peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ dont le terme général $u_n$ donne, pour tout entier naturel $n$, une estimation de la quantité (exprimée en millier de tonnes) de déchets incinérés durant l'année $2019 + n$. On a ainsi $u_0 = 300$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On retire 5\,\% à \np{300000}, cela donne \np{285000}; puis on ajoute \np{12000} tonnes, ce qui fait un total de \np{297000} tonnes en 2020. Donc  $u_1=297$.
		
		\item% Justifier, pour tout entier naturel $n$, que $u_{n+1} = 0,95u_n + 12$.
Retirer 5\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{5}{100}=0,95$. Puis on ajoute 12 milliers, donc on passe de $u_n$, tonnage l'année $n$, à $u_{n+1}$, tonnage de l'année $n+1$, en multipliant par $0,95$ puis en ajoutant 12: donc pour tout $n$,  $u_{n+1} = 0,95u_n + 12$.
		
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n = u_n - 240$. \\
On a donc $u_n=v_n+240$.

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ dont on précisera le premier terme $v_0$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1} = u_{n+1} - 240 = 0,95 u_n +12 - 240 = 0,95\left ( v_n+240\right ) -228
= 0,95 v_n +228 - 228 \\
\phantom{v_{n+1}}
= 0,95v_n$
\item $v_0=u_0 -240 = 300 - 240 = 60$
\end{list}		
		
Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,95$ et de premier terme $v_0=60$.		
		
		\item% Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
On en déduit que, pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n = 60\times 0,95^n$.		
		
		\item Comme $u_n=v_n+240$, on déduit que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 60 \times 0,95^n + 240$.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
$0<0,95<1$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 0,95^n=0$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 60\times 0,95^n=0$, et donc $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=240$.

Cela signifie que le tonnage de déchets recyclés va tendre vers \np{240000}~tonnes.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'agglomération s'est fixé l'objectif d'une diminution de la quantité de déchets incinérés de 15\,\% d'ici 2039 par rapport à 2019.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si la diminution des déchets suit les prévisions des experts, le tonnage des déchets recyclés sera en 2039, soit pour $n=20$ de $u_{20}$ milliers de tonnes.

$u_{20} = 60\times 0,95^{20}+240 \approx 261,509$; donc le tonnage en 2039 est d'environ \np{261509}~tonnes.

On veut une baisse de 15\,\% par rapport à 2019, soit un tonnage de
$\np{300000}\left (1-\dfrac{15}{100}\right )=\np{255000}$ tonnes.

L'objectif ne sera donc pas atteint.

\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans l'algorithme ci-dessous $N$ est un nombre entier et $U$ un nombre réel.
		
		On complète l'algorithme afin que la variable $N$ contienne, à la fin de l'exécution de l'algorithme, l'année à partir de laquelle la quantité de déchets incinérés aura diminué de 15\,\% par rapport à 2019.
		
\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{l}
$N \gets 2019$\\
$U \gets 300$\\
Tant que $U \blue > 255$\\
\qquad $N \gets N+1$\\
\qquad $U \gets \blue  0,95\times U +12$\\
Fin Tant que\\ 
\end{tabular}
}
\end{center} 
		\item %En quelle année l'objectif sera-t-il atteint?
$u_{27}\approx 255,02 > 255$ et $u_{28}\approx 254,27 \leqslant 255$ donc l'objectif sera atteint en $2019+28$ soit en 2047.		
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le graphe ci-dessous représente le tarif moyen, en euro, demandé sur un site de covoiturage pour effectuer le trajet entre des villes du sud de la France.

\begin{center}
\def\ray{0.1cm}
\psset{unit=1cm,radius=\ray}
\begin{pspicture}(0,0.5)(13.5,4.5)
\footnotesize
\Cnode*(0.7,1.2){H} \uput[d](H){\small \sc{Hendaye}}
\Cnode*(2,3.5){B} \uput[ul](B){\sc{Bordeaux}}
\Cnode*(3.5,1.5){T} \uput[-60](T){\sc{Toulouse}}
\Cnode*(5,4){C} \uput[u](C){\sc{Clermont-Ferrand}}
\Cnode*(7,1.5){M} \uput[d](M){\sc{Montpellier}}
\Cnode*(9,3.75){L} \uput[u](L){\sc{Lyon}}
\Cnode*(9.5,2){A} \uput[dr](A){\sc{Avignon}}
\Cnode*(13,3.25){N} \uput[u](N){\sc{Nice}}
\ncline{H}{B}\ncput*{14} \ncline{H}{T}\ncput*{27} \ncline{T}{B}\ncput*{12} 
\ncline{C}{B}\ncput*{27} \ncline{T}{C}\ncput*{15} \ncline{C}{M}\ncput*{14} 
\ncline{C}{L}\ncput*{12} \ncline{M}{A}\ncput*{7} \ncline{A}{L}\ncput*{19} 
\ncline{L}{N}\ncput*{35} \ncline{A}{N}\ncput*{19} \ncline{T}{M}\ncput*{30} 
\end{pspicture}
\end{center}

On désignera chaque ville par son initiale: A, B, C, H, L, M, N ou T.

\begin{enumerate}
\item% En justifiant la réponse, dire si :
	\begin{enumerate}
		\item Il n'y a pas d'arête reliant B à M donc le graphe n'est pas complet.
		\item Deux arêtes quelconques peuvent être reliées par un chemin donc  le graphe est connexe.
		
Par exemple, le chemin  B - C - L - N - A - M - T - H relie tous les sommets entre eux.		
		
		\item Une chaîne eulérienne est un chemin qui part d'un sommet et parcourt toutes les arêtes une fois et une seule. D'après le théorème d'Euler, il existe une chaîne eulérienne si le graphe a 0 ou 2 sommets de degrés impairs.
		
Les sommets A, B, L et M sont de degré 3 donc impair, donc il n'existe pas de chaîne eulérienne dans ce graphe.		
		
	\end{enumerate}
\item Une personne veut aller de Hendaye à Nice.

On détermine, au moyen de l'algorithme de \textsc{Dijkstra}, le trajet qui est le plus économique.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small%%% \scriptsize
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}%%%    surlignage
\newcommand{\cgr}{\cellcolor{lightgray!50}}%%%  cellule grisée avec package colortbl
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline 
H & A &  B  &  C  &    L   &   M   &  N & T     &{On garde} \\ 
\hline 
\sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  H \\
\hline
\cgr & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } &  $\infty$ &  $\infty$ &  $\infty$ & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } &  \\[-3pt]
\cgr &                & \sur{14 H}           &     &           &                 &                & 27 H & B \\
\hline
\cgr & $\infty$ & \cgr &  \sout{ $\infty$ } &  $\infty$ &  $\infty$ & $\infty$ & \sout{27 H} &  \\[-3pt]
\cgr &                & \cgr  &   41 B  &           &                 &                & \sur{26 B} & T \\
\hline
\cgr & $\infty$ & \cgr &  \sur{41 B} &  $\infty$ &  \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & \cgr &  \\[-3pt]
\cgr &                & \cgr  &   \sout{41 T}  &           &    56 T                     &                & \cgr & C \\
\hline
\cgr & $\infty$ & \cgr &  \cgr &  \sout{ $\infty$ } &  \sout{56 T} & $\infty$ & \cgr &  \\[-3pt]
\cgr &                & \cgr  &   \cgr  &  \sur{53 C}         &    55 C           &                & \cgr & L \\
\hline
\cgr & \sout{ $\infty$ } & \cgr &  \cgr &  \cgr  &  \sur{55 C} & \sout{ $\infty$ } & \cgr &  \\[-3pt]
\cgr &       72 L             & \cgr  &   \cgr  &  \cgr  &                     &         88 L              & \cgr & M  \\
\hline
\cgr & \sout{72 L}       & \cgr &  \cgr     &  \cgr     &  \cgr         & 88 L  & \cgr &  \\[-3pt]
\cgr &   \sur{62 M}    & \cgr  &   \cgr  &  \cgr  &  \cgr              &          & \cgr & A  \\
\hline
\cgr & \cgr       & \cgr &  \cgr     &  \cgr     &  \cgr         & \sout{88 L}  & \cgr &  \\[-3pt]
\cgr & \cgr      & \cgr  &   \cgr  &  \cgr  &  \cgr              &   \sur{81 A}       & \cgr & N  \\
\hline
\end{tabularx} }
\end{center} 

Le trajet le plus économique pour aller de Hendaye à Nice est:\\
H $\stackrel{14}{\longrightarrow}$ 
B $\stackrel{27}{\longrightarrow}$ 
C $\stackrel{14}{\longrightarrow}$ 
M $\stackrel{7}{\longrightarrow}$ 
A $\stackrel{19}{\longrightarrow}$ N;
il coûte 81~\euro.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un commercial d'une société basée à Montpellier effectue toujours les mêmes trajets: Montpellier- Toulouse, Montpellier-Clermont Ferrand et Montpellier-Avignon.

Au total, il a effectué 40 trajets aller-retour au cours de cette année en ayant parcouru \np{19200}~km et roulé $236$~heures. On donne les renseignements suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Distance du trajet aller-retour (en km)&Durée totale du trajet aller-retour (en h)\\ \hline
Montpellier- Toulouse&480&5\\ \hline
Montpellier-Clermont Ferrand&680&9\\ \hline
Montpellier-Avignon&200&3\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On se propose de déterminer combien de trajets aller-retour de chaque sorte il a effectué. 

On note :

\begin{description}
\item[ ] $x$, le nombre de trajets aller-retour Montpellier- Toulouse;
\item[ ] $y$, le nombre de trajets aller-retour Montpellier-Clermont Ferrand;
\item[ ] $z$, le nombre de trajets aller-retour Montpellier-Avignon.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{list}{\textbullet}{On examine les contraintes.}
\item Le nombre total de trajets est 40 donc $x+y+z=40$.
\item 
\begin{list}{$\circ$}{}
\item $x$ trajets aller-retour M-T correspondent à une distance en km de $480x$; 
\item $y$ trajets aller-retour M-C correspondent à une distance en km de $680y$;
\item  $z$ trajets aller-retour M-A correspondent à une distance en km de $200z$.
\end{list}

Le commercial a fait en tout \np{19200}~km donc $480x+680y+400z=\np{19200}$ ce qui donne en simplifiant par 40: $12x+17y+5z=480$. 
\item 
\begin{list}{$\circ$}{}
\item $x$ trajets aller-retour M-T correspondent à une durée en h  de $5x$; 
\item $y$ trajets aller-retour M-C correspondent à une durée en h de $9y$;
\item  $z$ trajets aller-retour M-A correspondent à une durée en h de $3z$.
\end{list}

Le commercial a roulé en tout $236$~h donc $5x + 9y +3z = 236$. 
\end{list}


Donc $x$,\: $y$ et $z$ sont solutions du système: 
$\left\{\begin{array}{r !{=} r}
\phantom{12}x + \phantom{17}y + \phantom{5}z		&40\\
12x + 17y+ 5z 	&480\\
\phantom{1}5x + \phantom{1}9y + 3z 	&236
\end{array}\right.$.
\item %Déterminer les matrices $A$, $X$ et $B$ qui permettent d'écrire le système précédent sous la forme $AX =B$.
On écrit le système sous forme matricielle:
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\ 12 & 17 & 5 \\ 5 & 9 & 3
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
40 \\ 480 \\ 236
\end{pmatrix}$

Donc on prend 
$A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\ 12 & 17 & 5 \\ 5 & 9 & 3
\end{pmatrix}$,
$X=
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}$
et
$B=
\begin{pmatrix}
40 \\ 480 \\ 236
\end{pmatrix}$
pour écrire le système $AX=B$.

\item
Si la matrice $A$ est inversible, $AX=B \iff X=A^{-1}B$ et on trouve à la calculatrice que
$X=
\begin{pmatrix}
16 \\ 14 \\ 10
\end{pmatrix}$.

Le commercial a donc effectué 16 trajets aller-retour Montpellier--Toulouse, 14 trajets aller-retour Montpellier--Clermont-Ferrand, et 10 trajets aller-retour Montpellier--Avignon.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

D'après le recensement de 2017 effectué dans une agglomération, on dénombre \np{385628} habitants dont \np{276110} qui résident dans la zone dite urbaine et le reste dans la zone dite rurale. 

Les nouvelles lignes de tramway desservent la zone urbaine et la zone rurale. Une enquête fait apparaître que 60\,\% des habitants de la zone urbaine utilisent régulièrement le tramway dans leurs déplacements.

Un habitant de l'agglomération, pris au hasard, est interrogé et on note :

\begin{description}
\item[ ] $U$ l'évènement \og l'habitant de l'agglomération réside dans la zone urbaine \fg{};
\item[ ] $R$ l'évènement \og l'habitant de l'agglomération réside dans la zone rurale\fg{} ;
\item[ ] $T$ l'évènement \og l'habitant de l'agglomération utilise régulièrement le tramway\fg.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Il y a équiprobabilité donc $p(U) = \dfrac{\np{276110}}{\np{385628}} \approx 0,716$.

\newpage

\item On complète l'arbre ci-dessous:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U,shortput=nab]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$U$}\naput{\blue $0,716$}}
	{\TR{$T$}\naput{\blue $0,60$}
	\TR{$\overline{T}$}\nbput{\blue $1-0,60=0,40$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$R$}\nbput{\blue $1-0,716=0,284$}}
	{\TR{$T$}^{\ldots}
	\TR{$\overline{T}$}_{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item La probabilité que l'habitant de l'agglomération interrogé réside dans la zone urbaine et utilise régulièrement le tramway est:
$p(U\cap T) = p(U)\times p_U(T)= 0,716 \times 0,6  \approx 0,430$.

\item On donne $p(T) =0,51$. %Calculer $p_R(T)$ et compléter l'arbre.

$p(T)= p(U\cap T) + p(R\cap T)= p(U\cap T) + p(R)\times p_R(T)$ donc 
$0,51 = 0,430 + 0,284\times p_R(T)$;
on en déduit que $p_R(T) = \dfrac{ 0,51-0,430}{0,284}\approx  0,282$.

On peut compléter l'arbre:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U,shortput=nab]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$U$}\naput{\blue $0,716$}}
	{\TR{$T$}\naput{\blue $0,60$}
	\TR{$\overline{T}$}\nbput{\blue $1-0,60=0,40$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$R$}\nbput{\blue $1-0,716=0,284$}}
	{\TR{$T$}\naput{\red $0,282$}
	\TR{$\overline{T}$}\nbput{\red $1-0,282=0,718$}
	}
}
\bigskip
\end{center}

\item À présent, on interroge au hasard un habitant qui utilise régulièrement le tramway.

La probabilité qu'il habite dans la zone urbaine est:
$p_T(U) = \dfrac{p(U\cap T)}{p(T)} \approx \dfrac{0,430}{0,51}\approx 0,843$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les pouvoirs publics étudient le trajet le plus fréquenté, à savoir celui de la ligne A qui part à 7~h~30 du terminus T1 pour rejoindre le terminus T2. Pour cela, on mesure sur une année la durée, en minute, de ce trajet. 

On admet que cette durée peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu =65$ et d'écart type $\sigma =7$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que la durée d'un trajet sur la ligne A partant à 7~h~30 du terminus T1 soit inférieure à une heure, c'est-à-dire 60 minutes, est $p(X < 60)\approx 0,238$.

\item On suppose que les durées des trajets d'un jour à l'autre sont indépendantes.

Un utilisateur emprunte ce trajet $180$ fois dans l'année. 

On appelle $T$ la variable aléatoire qui donne, sur 180, le nombre de trajets ayant une durée inférieure à une heure; la variable aléatoire $T$ suit la loi binomiale de paramètres $n=180$ et $p=0,238$.

La probabilité qu'il ait au plus $40$ fois une durée de trajet inférieure à une heure dans l'année est:
$p(T \leqslant 40) \approx 0,346$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La courbe $(C)$ ci-dessous rend compte de la concentration des richesses des habitants d'un certain pays en 2017.
La courbe $(C)$ a pour équation $y = 2,1x^3 -1,8x^2 +0,7x$ sur l'intervalle [0~;~1].
On admet que sur l'intervalle [0~;~1], la courbe $(C)$ est située au-dessous du segment [OA] d'équation $y = x$.

\begin{center}
\psset{unit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(1,1.1)

%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(1,1)(0,1)

\psframe(1,1)\uput[ur](1,1){A}\uput[ur](1,0){B}\uput[dl](0,0){O}
\psline(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 3 exp 2.1 mul x dup mul 1.8 mul sub 0.7 x mul add}
\uput[d](0.75,-0.08){Taux de la population}\uput[r](0,1.05){Taux de richesses}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30]{
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{x}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{0}{x 3 exp 2.1 mul x dup mul 1.8 mul sub 0.7 x mul add}
}
\uput[r](0.8,0.5){$(C)$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=lightgray](0,0)(1,1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(1,1)(0,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,0)(1.1,1.1)
\end{pspicture}
\end{center}

%\emph{Exemple de lecture du graphique: $90$\,\% de la population détient $70$\,\% des richesses}.

On définit le coefficient de Gini $\gamma$ par le quotient  
$\gamma = \dfrac{\text{aire de la partie grisée}}{\text{aire du triangle OBA}}$.

On admet que le coefficient de Gini $\gamma$ a les propriétés suivantes :

$\bullet~~$ $0\leqslant \gamma \leqslant 1$.

$\bullet~~$ Plus $\gamma$ est grand, plus la répartition des richesses au sein de la population est inégalitaire.

Le coefficient de Gini en France en 2017 était de 0,289.

%\textbf{En 2017, la répartition des richesses du pays étudié était-elle plus égalitaire qu'en France ?}

Pour calculer le coefficient de Gini du pays étudié, il faut calculer l'aire de la partie grisée. Pour cela on va calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la région du plan comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

Comme la courbe $(C)$ est au dessus de l'axe des abscisses,
$\mathcal{A} = \ds\int_{0}^{1} f(x) \d x$,
où $f$ est définie par $f(x)= 2,1x^3 -1,8x^2 +0,7x$.

On cherche une primitive $F$ de la fonction $f$:
$F(x) = 2,1 \dfrac{x^4}{4} - 1,8 \dfrac{x^3}{3} + 0,7 \dfrac{x^2}{2}
= 0,525 x^4 - 0,6 x^3 + 0,35 x^2$.

$\mathcal{A} = F(1)-F(0) = 0,525-0,6+0,35-0 = 0,275$

L'aire de la partie grisée est donc l'aire du triangle OBA moins l'aire sous la courbe, soit $0,5 - 0,275=0,225$.

Le coefficient de Gini du pays étudié est donc
$\gamma = \dfrac{\text{aire de la partie grisée}}{\text{aire du triangle OBA}}
= \dfrac{0,225}{0,5} = 0,45$.

\medskip

Ce coefficient de Gini est supérieur à celui de la France donc on peut dire que le pays étudié est plus inégalitaire que la France.
\end{document}