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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Corrigé : François Hache
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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%%%%   Commandes perso FH
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{16 juin  2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Asie  16 juin  2015~\decofourright}}\end{center}

%\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\emph{Aucune justification n'était demandée dans cet exercice.}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
%Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point.\\
%Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun
%point}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 10 fois de suite. $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de \og pile \fg{} obtenus. 

La probabilité d'obtenir exactement 5 \og pile \fg{} est, arrondie au centième:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,13 &\textbf{b.~~} 0,19 &\textbf{c.~~} 0,25 &\textbf{d.~~} 0,5
\end{tabularx}

%\medskip

\textbf{Réponse correcte: c}
\smallskip

La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(10\,;\,0,5)$.\\
Alors $P(X=5)=\ds\binom{10}{5}\times 0,5^5 \times (1-0,5)^{10-5}\approx 0,246$.

\item $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $3$ et d'écart-type $2$ ; alors une valeur approchée au centième de la probabilité $p(X \geqslant 5)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  0,14 &\textbf{b.~~} 0,16 &\textbf{c.~~} 0,32 &\textbf{d.~~} 0,84
\end{tabularx}

\textbf{Réponse correcte: b}
\smallskip

On connaît la représentation de la fonction de répartition de la loi normale:

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {10}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]%
{->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)

\def\m{3}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\def\inf{1} \def\sup{5}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}

\uput[d](\m,0){$\mu=3$} 
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](\inf,0){$\mu - \sigma$}
\uput{15pt}[d](\inf,0){$=1$}
\uput[d](\sup,0){$\mu + \sigma$}
\uput{15pt}[d](\sup,0){$=5$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(4,0.1)
\uput[70](6,0.25){\red $68\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(5.5,0.03)
\uput[ur](8,0.2){$16\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(0.5,0.03)
\uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$}

\end{pspicture*}
\end{center}

$P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma) \approx 0,68$ et 
$P(X \pp \mu-\sigma) = P(X \pg \mu+\sigma) = \dfrac{1-P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma)}{2} \approx 0,16$

\medskip

\item Dans une ville donnée, pour estimer le pourcentage de personnes ayant une voiture rouge, on effectue un sondage. L'amplitude de l'intervalle de confiance au seuil de $0,95$ étant inférieure ou égale à $0,04$ la taille de l'échantillon choisi est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 400 &\textbf{b.~~} \np{1000} &\textbf{c.~~} \np{2000} &\textbf{d.~~} \np{2500}
\end{tabularx}

%\medskip

\textbf{Réponse correcte: d}
\smallskip

L'intervalle de confiance généralement choisi au seuil de 95\,\% est
$\left[ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \,;\, f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \right ]$ où $f$ est la fréquence observée dans l'échantillon de taille $n$.
L'amplitude de cet intervalle est $\dfrac{2}{\ds\sqrt{n}}$.

On doit donc avoir $\dfrac{2}{\ds\sqrt{n}}=0,04$ ce qui équivaut à $n=\np{2500}$.

\item Une entreprise vendant des parquets flottants s'approvisionne auprès de deux fournisseurs
A et B. Le fournisseur A livre 70\,\% du stock de l'entreprise. On sait que 2\,\% des pièces
livrées par A présentent un défaut et 3\,\% des pièces livrées par B présentent un défaut. 

On prélève au hasard une pièce du stock de l'entreprise, quelle est la probabilité, que cette
pièce soit sans défaut ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,023 &\textbf{b.~~} 0,05 &\textbf{c.~~} 0,97 &\textbf{d.~~} 0,977
\end{tabularx}

%\medskip

\textbf{Réponse correcte: d}
\smallskip

On appelle $A$ l'événement \og{}la pièce provient du fournisseur A\fg{} et $B$ l'événement \og{}la pièce provient du fournisseur B\fg{}.

On appelle $D$ l'événement \og{}la pièce présente un défaut\fg{} et $\overline D$ l'événement contraire.

On représente la situation par un arbre pondéré:

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nrot=:U,levelsep=3cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt, treesep=1cm]
{\Tr{}}
{
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\naput{$0,7$}}
	  { 
		  \TR{$D$}\naput{0,02}
		  \TR{$\overline{D}$}\nbput{\red $1-0,02=0,98$}
	  }
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\nbput{\red $1-0,7=0,3$}}
	  {
		  \TR{$D$}\naput{$0,03$}
		  \TR{$\overline{D}$}\nbput{\red $1-0,03=0,97$}
	  }
}
\end{center}

\medskip

D'après la formule des probabilités totales:

$P(\overline D)=P(\overline D \cap A)+P(\overline D\cap B)= 
P(A)\times P_{A}(\overline D) + P(B)\times P_{B}(\overline D) =
0,7 \times 0,98 + 0,3 \times 0,97 = 0,977$


\item Pour une puissance électrique donnée, le tarif réglementé du kilowattheure est passé de
\np{0,1140}~\euro{} au 01/07/2007 à \np{0,1372}~\euro{} au 01/07/2014. 

Cette augmentation correspond à un taux d'évolution arrondi au centième, chaque année, de:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 1,72\,\% &\textbf{b.~~} 1,67\,\% &\textbf{c.~~} 2,68\,\% &\textbf{d.~~} 1,33\,\%
\end{tabularx}

%\medskip

\textbf{Réponse correcte: c}
\smallskip

Le coefficient multiplicateur d'augmentation entre 2007 et 2014 est de 
$\dfrac{\np{0,1372}}{\np{0,1140}}$.

Il correspond à 7 années, donc en moyenne pour une année il est de
$\left (\dfrac{\np{0,1372}}{\np{0,1140}}\right )^{\frac{1}{7}} \approx \np{1,026816}$.

Cela correspond à un pourcentage d'augmentation de $2,68\,\%$.



\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

Valentine place un capital $c_0$ dans une banque le 1\up{er} janvier 2014 au taux annuel de 2\,\%. À la fin de chaque année les intérêts sont ajoutés au capital, mais les frais de gestion s'élèvent à 25~\euro{} par an.

On note $c_n$ la valeur du capital au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$.

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
Affecter à $N$ la valeur $0$\\
\textbf{Traitement}\\
Saisir une valeur pour $C$\\
\hspace{1cm}Tant que $C < \np{2000}$ faire\\
\hspace{2cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
\hspace{2cm}Affecter à $C$ la valeur $1,02C - 25$\\
\hspace{1cm}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On saisit la valeur \np{1900} pour $C$. Pour cette valeur de $C$, on recopie et on complète le tableau, en suivant pas à pas l'algorithme précédent; les valeurs sont arrondies à l'euro:
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{10}{c|}}\hline		
Valeur de $N$&0& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline
Valeur de $C$&\np{1900}& \np{1913} & \np{1926} & \np{1940} & \np{1954} & \np{1968} & \np{1982} & \np{1997} & \np{2012}  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item% Quel est le résultat affiché par l'algorithme ? Dans le contexte de l'exercice, interpréter ce résultat.
L'algorithme affiche la valeur 8.

Cela signifie qu'à partir de $n=8$, c'est-à-dire de l'année $2014+8=2022$, la valeur du capital dépassera \np{2000} euros.

	\end{enumerate}

\item% Que se passerait-il si on affectait la valeur \np{1250} à $C$ ?
Pour une valeur de $C$ égale à \np{1250}, comme $\np{1250} \times 1,02 - 25 = \np{1250}$, la valeur de $C$ ne changerait pas dans l'algorithme et on ne sortirait jamais de la boucle \textsc{Tant Que}.

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

Valentine a placé \np{1900}~\euro{} à la banque au 1\ier{} janvier 2014. On a donc $c_0 = \np{1900}$.

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $c_{n+1} = 1,02c_n - 25$.
L'année $2014+n$, le capital $c_n$ produit 2\,\% d'intérêts, donc il devient l'année suivante $1,02c_n$; mais comme il y a 25 euros de frais, on peut dire que, pour tout $n$, $c_{n+1}=1,02c_n-25$. 


\item  Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie, pour tout  $n$ de $\N$, par $u_n = c_n - \np{1250}$, donc $c_n = u_n + \np{1250}$.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.
Pour tout $n$ de $\N$:

$u_{n+1}=c_{n+1}-\np{1250} = 1,02c_n - 25 - \np{1250} = 1,02(u_n+\np{1250}) - \np{1275} = 1,02 u_n +\np{1275} - \np{1275} \\
\phantom{u_{n+1}} = 1,02u_n$

$u_0 = c_0 - \np{1250} = \np{1900} - \np{1250} = 650$

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=650$ et de raison $q=1,02$.


		\item% Soit $n$ un nombre entier naturel ; exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		
%En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $c_n = 650 \times 1,02^n + \np{1250}$.

La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=650$ et de raison $q=1,02$ donc, pour tout $n$ de $\N$: 
$u_n=u_0\times q^n=650\times 1,02^n$.

Et comme $c_n = u_n + \np{1250}$, on peut déduire que pour tout $n$ de $\N$, $c_n = 650\times 1,02^n + \np{1250}$.

 	\end{enumerate}

\item% Montrer que la suite $\left(c_n\right)$ est croissante.
Pour tout $n$, $u_n>0$. Comme $1,02>1$, on déduit que $1,02u_n>u_n$ ce qui équivaut à $u_{n+1}>u_n$ et donc $u_{n+1} - u_n >0$.

Pour tout $n$, $c_{n+1}-c_n = u_{n+1}+\np{1250} - (u_n+\np{1250}) = u_{n+1}+\np{1250}-u_n - \np{1250} = u_{n+1}-u_n >0$

Donc la suite $(c_n)$ est croissante.

\item% Déterminer, par la méthode de votre choix, le nombre d'années nécessaires pour que la valeur du capital dépasse \np{2100}~\euro.
On peut programmer la fonction \verb!650*1.02^X+1250! sur la calculatrice et faire afficher le tableau de valeurs de cette fonction.

On peut aussi résoudre l'inéquation $c_n>\np{2100}$ d'inconnue $n$:

$c_n>\np{2100} \iff 650 \times  1,02^n +\np{1250}> \np{2100}\\
\phantom{c_n>\np{2100}} \iff  650 \times  1,02^n > 850\\[5pt]
\phantom{c_n>\np{2100}} \iff 1,02^n > \dfrac{850}{650}\\[5pt]
\phantom{c_n>\np{2100}} \iff \ln\left ( 1,02^n\right ) > \ln\left ( \dfrac{850}{650}\right )\\[5pt]
\phantom{c_n>\np{2100}} \iff n\times \ln (1,02) > \ln\left ( \dfrac{850}{650}\right )\\[5pt]
\phantom{c_n>\np{2100}} \iff n > \dfrac{\ln\left ( \dfrac{850}{650}\right )}{\ln(1,02)}
$

Or $\dfrac{\ln\left ( \dfrac{850}{650}\right )}{\ln(1,02)} \approx 13,55$, donc il faut 14 années pour que la valeur du capital dépasse \np{2100}~\euro.

\end{enumerate}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

La coopérative LAFRUITIERE collecte le lait de 7 exploitations de montagne. La situation géographique est représentée par le graphe ci-dessous, noté $G_L$. La coopérative est située au sommet A, les autres sommets B, C, D, E, F, G et H représentent les différentes exploitations; les arêtes représentent le réseau routier reliant ces exploitations.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(12,8)
\rput(0.75,7.5){\ovalnode{A}{\red \bf A}} \rput(7.2,7.5){\ovalnode{B}{B}} \rput(11.3,5.5){\ovalnode{C}{C}} 
\rput(10.3,2){\ovalnode{D}{D}} 
\rput(3.3,6.4){\ovalnode{E}{E}} \rput(0.3,2.7){\ovalnode{F}{F}} \rput(5.7,0.3){\ovalnode{G}{G}} \rput(6.7,4.3){\ovalnode{H}{H}} 
\ncline{A}{B} \ncline{A}{E} \ncline{A}{F} 
\ncline{B}{C} \ncline{B}{D} \ncline{B}{E} 
\ncline{B}{H} \ncline{C}{D} \ncline{D}{F} 
\ncline{D}{G} \ncline{D}{H} \ncline{E}{F} 
\ncline{E}{H} \ncline{F}{G} \ncline{F}{H} 
\end{pspicture}
\end{center}

%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Le graphe $G_L$ est-il complet ? Justifier.
Un graphe est complet si chaque sommet est relié à tous les autres.

Dans le graphe $G_L$, le sommet A n'est pas relié au sommet G, donc le graphe $G_L$ n'est pas complet.

		\item%  Le graphe $G_L$ est-il connexe ? Justifier.
Un graphe est connexe si deux sommets quelconques sont reliés par au moins une chaîne.

C'est le cas donc le graphe $G_L$ est connexe.

	\end{enumerate}

\item% Est-il possible d'organiser une tournée de toutes les exploitations en partant de A et en terminant en A et en passant au moins une fois par chaque client, tout en empruntant une fois et une seule chaque route ? Justifier la réponse.
Organiser une tournée de toutes les exploitations en partant de A et en terminant en A et en passant au moins une fois par chaque client, tout en empruntant une fois et une seule chaque route, c'est chercher un cycle eulérien dans ce graphe.

Un graphe admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair; or le degré de A (nombre d'arêtes sortant de A) est 3, donc ce graphe ne contient pas de cycle eulérien.

Donc on ne peut pas organiser une tournée de toutes les exploitations en partant de A et en terminant en A et en passant au moins une fois par chaque client, tout en empruntant une fois et une seule chaque route.

\item On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe $G_L$ (les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique).
	
On donne la matrice $M^3 = \begin{pmatrix}
4 	&11 &3 &7 	&8 	&11 &3 &6\\
11 &8 	&7 &13 	&12 &8 	&6 &13\\
3 	&7 	&2 &7 	&5 	&6 	&2 &4\\
7	&13 &7 &8 	&8 	&13 &7 &12\\
8	&12 &5 &8 	&8 	&12 &5 &11\\
11 	&8 	&6 &13 	&12 &8 	&7 &13\\
3 	&6 	&2 &7 	&5 	&7 	&2 &4\\
6 	&13 &4 &12 	&11 &13 &4 &8
\end{pmatrix}$

%Déterminer, en justifiant, 

Le nombre de chemins de longueur 3 reliant A à H est le coefficient de la matrice $M^3$ situé sur la 1\iere{} ligne (pour A) et la 8\ieme{} colonne (pour H), c'est-à-dire 6.

Il y a donc 6 chemins de longueur 3 reliant A à H.

Ce sont:
AFEH -- AEFH -- ABEH -- AEBH -- AFDH -- ABDH

%Indiquer ces chemins.
\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

Les arêtes sont pondérées par les distances entre les exploitations, exprimées en kilomètres. La coopérative doit collecter du lait provenant de l'exploitation D.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(12,8)
\cnodeput(0.75,7.5){A}{A} \cnodeput(7.2,7.5){B}{B} \cnodeput(11.3,5.5){C}{C} 
\cnodeput(10.3,2){D}{D} \cnodeput(3.3,6.4){E}{E} \cnodeput(0.3,2.7){F}{F} 
\cnodeput(5.7,0.3){G}{G} \cnodeput(6.7,4.3){H}{H} 
\ncline{A}{B}\ncput*{19} \ncline{A}{E}\ncput*{6}  \ncline{A}{F}\ncput*{10} 
\ncline{B}{C}\ncput*{13} \ncline{B}{D}\ncput*{20} \ncline{B}{E}\ncput*{7} 
\ncline{B}{H}\ncput*{7}  \ncline{C}{D}\ncput*{6}  \ncline{D}{F}\ncput*{25} 
\ncline{D}{G}\ncput*{15} \ncline{D}{H}\ncput*{13} \ncline{E}{F}\ncput*{5} 
\ncline{E}{H}\ncput*{14} \ncline{F}{G}\ncput*{12} \ncline{F}{H}\ncput*{8} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

L'algorithme de Dijkstra permet de déterminer les plus courts chemins partant du sommet A vers tous les autres sommets:

\medskip

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
\begin{tabular}{|*{9}{c|}}
\hline 
\  A\   &  B  &  C  &  D  &  E   &   F   &   G   &   H    & {On garde} \\ 
\hline
\sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  A (0)\\
\hline 
 & 19 A & $\infty$ & $\infty$ & \sur{6 A} & 10 A & $\infty$ & $\infty$ &  E (6) \\
\hline
 & \sout{19 A} &          &          &  & \sur{10 A}  &          &  &   \\[-3pt]
 & 13 E        & $\infty$ & $\infty$ &  & \sout{11 E} & $\infty$ & 20 E &  F (10) \\ 
\hline
 & \sur{13 E} &          &      &  &   &      & \sout{20 E} &   \\[-3pt]
 &            & $\infty$ & 35 F &  &   & 22 F &   18 F      &  B (13) \\ 
\hline
 &  &      & \sout{35 F}&  &   & 22 F & \sur{18 F}  &   \\[-3pt]
 &  & 26 B & 33 B       &  &   &      & \sout{20 B} &  H (18) \\ 
\hline
 &  & 26 B & \sout{33 B} &  &   & \sur{22 F} &   &   \\[-3pt]
 &  &      &  31 H       &  &   &            &   &  G (22) \\ 
\hline
 &  & \sur{26 B} &  31 H       &  &   &  &   &   \\[-3pt]
 &  &            & \sout{37 G} &  &   &  &   &  C (26) \\ 
\hline
 &  &            &  \sur{31 H}       &  &   &  &   &   \\[-3pt]
 &  &            & \sout{32 C} &  &   &  &   &  D (31) \\ 
\hline
\end{tabular} }
\end{center} 


Le chemin le plus court pour aller de A vers D est de longueur 31:
A $\stackrel{10}{\longrightarrow}$ 
F $\stackrel{8}{\longrightarrow}$ 
H $\stackrel{13}{\longrightarrow}$ D

\newpage

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur \cd{}0~;~10\cd{} par 
$f(x) = x + \text{e}^{- x + 1}$.

Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|XX|}\hline
1	&$f(x) : = x + \text{exp}(- x + 1)$&\\ \hline
	&// Interprète $f$					&\\
	&// Succès lors de la compilation $f$&\\ \hline
	&									&$x \longmapsto x +\text{exp}(- x + 1)$\\ \hline\hline
2	&derive $(f(x))$					&\\ \hline
	&									&$- \text{exp}(-x + 1) + 1$\\ \hline\hline
3	&solve $(-\text{exp}(- x + 1) + 1 > 0)$&\\ \hline
	&									&$[x > 1]$\\ \hline\hline 
4	&derive $(- \text{exp} (-x + 1) + 1)$&\\ \hline
	&									&$\text{exp}(- x + 1)$\\ \hline\hline
\end{tabularx}
\end{center}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude des variations de la fonction $f$

	\begin{enumerate}

		\item% En s'appuyant sur les résultats ci-dessus, déterminer les variations de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variation.
D'après le logiciel de calcul formel, $f'(x)=-\e^{-x+1}+1$ et $f'(x)>0 \iff x>1$.

$f(1)=1+\e^{0}=2$

$f(0)=0+\e^{1}=\e$ et $f(10)=10+\e^{-9}\approx 10,00$

D'où le tableau de variations de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & 10 \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{\e}  &  &  &  & \Rnode{max2}{10+\e^{-9}}   \\
f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{2} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

		\item% En déduire que la fonction $f$ admet un minimum dont on précisera la valeur.

La fonction $f$ admet donc sur \cd{}0\,;\,10\cg{} un minimum $f(1)=2$.

	\end{enumerate}

\item%  Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10].
D'après le logiciel de calcul formel, $f''(x)=\e^{-x+1}$.

Or, pour tout $x$, $\e^{-x+1}>0$ donc la fonction $f'$ est croissante et donc la fonction $f$ est convexe sur \cd{}0\,;\,10\cg{}.


\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

Une entreprise fabrique des objets. Sa capacité de production est limitée, compte tenu de l'outil de production utilisé, à mille objets par semaine.

Le coût de revient est modélisé par la fonction $f$ où $x$ est le nombre d'objets fabriqués exprimé en centaines d'objets et $f(x)$ le coût de revient exprimé en milliers d'euros.

Comme le nombre d'objets est limité à \np{1000} et que $x$ désigne le nombre d'objets fabriqués exprimé en centaines, on peut dire que $x\in\cd{}0\,;\,10\cg$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Quel nombre d'objets faut-il produire pour que le coût de revient soit minimum ?
La fonction $f$ représente le coût de revient exprimé en milliers d'euros; ce coût est minimum lorsque la fonction $f$ atteint son minimum, c'est-à-dire pour $x=1$. 

Pour que le coût de revient soit minimum, il faut donc produire 100 objets.

\item Un objet fabriqué par cette entreprise est vendu 12~\euro. On appelle marge brute pour $x$ centaines d'objets, la différence entre le montant obtenu par la vente de ces objets et leur coût de revient.

	\begin{enumerate}

		\item% Justifier que le montant obtenu par la vente de $x$ centaines d'objets est $1,2x$ milliers d'euros.
La vente de 100 objets rapporte $100\times 12$ \euro{} soit $1,2$ millier d'euros donc la vente de $x$ centaines d'objets rapporte $1,2x$ milliers d'euros.

		\item% Montrer que la marge brute pour $x$ centaines d'objets, notée $g(x)$, en milliers d'euros, est donnée par : $g(x) = 0,2x - \text{e}^{- x + 1}$.
La marge brute $g(x)$ est la différence entre le prix de vente et le coût de production donc:

$g(x)=1,2x-\left ( x + \e^{-x+1}  \right ) = 0,2x-\e^{-x+1}$	

		\item% Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~10].
Sur \cd{}0\,;\,10\cg{}, $g'(x)=1+\e^{-x+1}$. Or pour tout réel $x$, $\e^{-x+1}>0$, donc $g'(x)>0$ sur \cd{}0\,;\,10\cg{} et la fonction $g$ est strictement croissante sur cet intervalle.

 	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~10].
La fonction $g$ est dérivable donc continue, et strictement croissante sur \cd{}0\,;\,10\cg{}. \\
$g(0)=-\e<0$ et $g(10) = 0,2\times 10 -\e^{-9}\approx 2>0$

D'où le tableau de variations de la fonction $g$:


\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{3cm}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 0   & \hspace*{\esp} & 10 \\
 \hline
%f'(x) &   & \pmb{+} & \\  
%\hline
  &   &    & \Rnode{max}{2-\e^{-9}}   \\
g(x) & &  &  \\
 &     \Rnode{min}{-\e} & & 
\ncline{->}{min}{max}
\rput*(-2,0.71){\Rnode{zero}{\red 0}}
\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

D'après ce tableau de variations, on peut dire que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle \cd{}0\,;\,10\cg{}.

		\item% Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
\ \\[-23pt]

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
g(1) = -0,8 <0\\
g(2) \approx 0,03 >0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha\in\cd{}1\,;\,2\cg{}
\hfill
\left. 
\begin{array}{@{} l}
g(1,9) \approx -0,027 <0\\
g(2,0) \approx 0,03 >0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha\in\cd{}1,9\,;\,2\cg{}\\
\left. 
\begin{array}{@{} l}
g(1,94) \approx -\np{0,0026} <0\\
g(1,95) \approx 0,003 >0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha\in\cd{}1,94\,;\,1,95\cg{}
$

	\end{enumerate}

\item%  En déduire la quantité minimale d'objets à produire afin que cette entreprise réalise une marge brute positive sur la vente de ces objets.
Pour réaliser une marge brute positive, il faut produire $x$ centaines d'objets de façon que $g(x)>0$; donc il faut que $x>\alpha$.

On sait que $\alpha\in \cd{}1,94\,;\,1,95\cg{}$ et que $x$ représente des centaines d'objets.

La quantité minimale d'objets à produire pour que cette entreprise réalise une marge brute positive est donc de 195.


\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip


\begin{multicols}{2}
Soit $f$ la fonction définie sur \cd{}0~;~1\cg{} par:

{\centering $f(x) = 2 - 2x$ \par}

On a tracé ci-contre la droite $D_f$, représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé (O,~I,~J) du plan.

Le point C a pour coordonnées (0~;~2).

$\Delta$ est la partie du plan intérieure au triangle OIC.

Soit $a$ un nombre réel compris entre $0$ et $1$ ; on note A le point de coordonnées $(a~;~0)$ et B le point de $D_f$ de coordonnées $(a~;~f(a))$.

Le but de cet exercice est de trouver la valeur de $a$, telle que le segment [AB] partage $\Delta$ en deux parties de même aire.

%Déterminer la valeur exacte de $a$, puis une valeur approchée au centième.

\columnbreak

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.25)(1.5,2.25)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt]{0}{0.32}{2 2 x mul sub}
\psline(0.32,0)(0,0)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=8,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(1.5,2.25)
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt]{0}{1}{2 2 x mul sub}
\uput[ur](1,0){I} \uput[ul](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.32,0){$a$}\uput[ur](0.32,1.36){B}\uput[ur](0,2){C}
\uput[ur](0.32,0){A}
\uput[ur](0.75,0.5){$D_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}

L'aire du triangle OIC rectangle en O vaut $\dfrac{\text{OI}\times \text{OC}}{2}=\dfrac{1\times 2}{2}=1$.\\[5pt]
Il faut donc chercher la position du point A de coordonnées $(a\,;\,0)$ pour que l'aire du trapèze OABC soit égale à l'aire du triangle AIB. 

Autrement dit, il faut que l'aire du triangle AIB soit la moitié de celle du triangle OIC, soit $\dfrac{1}{2}$.

L'aire du triangle OIB rectangle en A vaut $\mathcal A=\dfrac{\text{AI}\times \text{AB}}{2}$.\\[5pt]
Le point B a pour abscisse $a$ et pour ordonnée $f(a)=2-2a$; le point A a pour coordonnées $(a\,;\,0)$ donc $\text{AB}=2-2a$.

Le point I a pour coordonnées $(1\,;\,0)$ donc $\text{AI}=1-a$.\\[5pt]
$\mathcal A= \dfrac{(1-a)(2-2a)}{2}$ et on doit avoir $\mathcal A=\dfrac{1}{2}$.\\[5pt]
On résout dans $\cd{}0\,;\,1\cg{}$ l'équation $\dfrac{(1-a)(2-2a)}{2} = \dfrac{1}{2}$:

$\dfrac{(1-a)(2-2a)}{2} = \dfrac{1}{2}
\iff 2 - 2a - 2a + 2a^2 = 1
\iff 2a^2 -4a +1=0$

Cette équation a pour solutions $a'=\dfrac{2+\ds\sqrt{2}}{2}$ et $a''=\dfrac{2-\ds\sqrt{2}}{2}$.

Mais $a'\not\in\cd{}0\,;\,1\cg{}$ donc pour que les deux aires soient égales, il faut prendre $a=\dfrac{2-\ds\sqrt{2}}{2} \approx 0,29$. 

\end{document}