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% Tapuscrit François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L - Corrigé}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small 20 juin 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{AmNord}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
%\textbf{Durée : 3 heures }
%
%\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Terminale ES/L -- Asie - 20 juin 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
%\textbf{Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}\\
%Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
%
%\emph{Pour tout événement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité.}

\begin{enumerate}

\medskip

\item Soit $X$ la variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(20~;\, 0,4)$.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $p(X=7) = 20\times 0,4^7$
\item $p(X>4) = 0,98$ arrondie au centième
\item \fbox{$p(X\leqslant 4) = 0,05$ arrondie au centième}
\item $p(X\leqslant 7) = 0,25$ arrondie au centième
\end{multicols}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
À la calculatrice on trouve $p(X\leqslant 4) \approx 0,05095$.
\end{tabular}

\medskip


\item L'équation $\left ( \e^{x}\right )^2 = 3\e^{x}$ possède:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item une unique solution 3
\item \fbox{une unique solution $\ln(3)$}
\item deux solutions 0 et $\ln(3)$
\item deux solutions 0 et $3$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
$\left ( \e^{x}\right )^2 = 3\e^{x}  \iff \e^{x}\left ( \e^{x} - 3\right )=0 
\iff \e^{x} - 3 = 0 \iff \e^{x} = 3 \iff x=\ln(3)$ car $\e^{x}>0$ pour tout $x$.
\end{tabular}

\medskip



\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\e^{x}}$.\\
Une autre expression de $f(x)$ est:

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{-x}$
\item $f(x)= -x\e^{-x}$
\item $f(x)= \dfrac{\e^{-x}}{x}$
\item \fbox{$f(x)= x \e^{-x}$}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
$\dfrac{1}{\e^{x}}=\e^{-x}$ donc $f(x)=\dfrac{x}{\e^{x}} = x\e^{-x}$. 
\end{tabular}

\medskip

\item 
\begin{multicols}{2}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale dont la densité de probabilité est représentée ci-contre. Sur le graphique, la surface grisée correspond à une probabilité de $0,95$.

\hfill\scalebox{0.6}{
\psset{xunit=0.1cm, yunit=80cm, arrowsize=2pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {151} \def\xmax {250}
\def\ymin {-0.01} \def\ymax {0.04}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\def\m{200} \def\s{15}
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\def\inf{170} \def\sup{230}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=blue]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
\psaxes[Dy=0.01,Dx=10,Ox=200,comma]{->}(200,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
}% fin du scalebox
\end{multicols}

Une valeur approchée à $0,1$ près du nombre $\alpha$ tel que $p(X\geqslant \alpha)=0,1$ est:

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\alpha \approx 180,8$
\item $\alpha \approx 212,6$
\item \fbox{$\alpha \approx 219,2$}
\item $\alpha \approx 238,4$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
D'après le graphique, on peut dire que $\mu=200$.\\
Comme on sait que $p(\mu- 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,95$ et que la surface grisée correspond à une probabilité de $p(170 \leqslant X \leqslant230)= 0,95$, on peut en déduire que $\sigma \approx 15$.\\
On sait que $p(X\geqslant \alpha)=0,1$ équivaut à $p(X\leqslant \alpha) = 0,9$.\\
Pour $X$ suivant la loi normale de paramètres $\mu=200$ et $\sigma = 15$, on trouve à la calculatrice que le nombre $\alpha$ tel que $p(X \leqslant \alpha) = 0,9$ vaut environ $219,2$.
\end{tabular}

\medskip

\end{enumerate}

\newpage

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Les parties \emph{A}, \emph{B} et \emph{C} sont indépendantes.}
%
%\emph{Si nécessaire, les résultat seront arrondis au centième.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

Un club de football est composé d'équipes adultes masculines, adultes féminines et d'équipes d'enfants. Chaque week-end, la présidente Claire assiste au match d'une seule des équipes du club et elle suit:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item dans 10\,\% des cas, le match d'une équipe adulte féminine;
\item dans 40\,\% des cas, le match d'une équipe adulte masculine;
\item dans les autres cas, le match d'une équipe d'enfants.
\end{list}

Lorsqu'elle assiste au match d'une équipe masculine, la probabilité que celle-ci gagne est $0,6$. Lorsqu'elle assiste au match d'une équipe d'enfants, la probabilité que celle-ci gagne est $0,54$.

La probabilité que Claire voie l'équipe de son club gagner est $0,58$.

On choisit un week-end au hasard. On note les événements suivants:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $F$: \og Claire assiste au match d'une équipe féminine \fg{};
\item $M$: \og Claire assiste au match d'une équipe masculine \fg{}; 
\item $E$: \og Claire assiste au match d'une équipe d'enfants \fg{};
\item $G$: \og l'équipe du club de Claire gagne le match \fg{}. 
\end{list}

%\smallskip
%
%\emph{Pour tous événements $A$ et $B$, on note $\overline{A}$ l'événement contraire de $A$, $p(A)$ la probabilité de $A$ et, si $B$ est de probabilité non nulle, $p_{B}(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Voir l'arbre de probabilité en \textbf{annexe 1}.% Le compléter au fur et à mesure de l'exercice.
\item $p(M \cap G)= p(M)\times p_{M}(G)=0,4 \times 0,6=0,24$
\item
	\begin{enumerate}
		\item D'après la formule des probabilités totales:
$p(G)=p(F\cap G) + p(M\cap G)+p(E\cap G)$.

On sait que $p(G)=0,58$ et que $p(M\cap G)=0,24$.

$p(E \cap G)= p(E)\times p_{E}(G)=0,5 \times 0,54=0,27$

On en déduit que $p(F \cap G) = p(G) - p(M\cap G) - p(E\cap G) = 0,58-0,24-0,27 = 0,07$.
		\item $p(F \cap G) = p(F)\times p_{F}(G)$ donc 
		$p_{F}(G) = \dfrac{p(F \cap G)}{p(F)} = \dfrac{0,07}{0,1}=0,7$.
		
On peut ainsi compléter l'arbre (voir \textbf{annexe 1)}.		
		
	\item La probabilité que l'équipe adulte féminine gagne un match est $0,47$.% La présence de Claire semble-t-elle favoriser la victoire de l'équipe adulte féminine?
	
La probabilité que l'équipe féminine gagne un match sachant que Claire a assisté au match est
$p_{F}(G) = 0,7$.

Donc la présence de Claire semble favoriser la victoire de l'équipe féminine.	
	
\end{enumerate}

\item Claire annonce avoir assisté à la victoire d'une équipe de club. 
La probabilité qu'elle ait suivi le match d'une équipe adulte féminine est 
$p_{G}(F)=\dfrac{p(F\cap G)}{p(G)} = \dfrac{0,07}{0,58} \approx 0,12$.

\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Au guichet, un supporter attend pour acheter son billet. On modélise le temps d'attente en minute par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 30$ et d'écart-type $\sigma=10$.

\begin{enumerate}
\item %En moyenne, combien de temps attend ce supporter au guichet?
Le temps d'attente moyen d'un supporter est $\mu$ soit 30 minutes.

\item Le supporter ne dispose que de 15 minutes avant le début du match pour acheter son billet.

La probabilité qu'il puisse acheter son billet avant le début du match est
$p(X \leqslant 15) \approx 0,07$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{flushleft}
\textbf{Partie C}
\end{flushleft}

Des études statistiques ont montré que la probabilité qu'un enfant se réinscrive d'une année sur l'autre dans le même club de football est $0,6$.

\begin{enumerate}
\item L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion d'enfants se réinscrivant d'une année sur l'autre pour un échantillon de 7 enfants pris au hasard dans le même club de football est:

\smallskip

$I= \left [ p-1,96\dfrac{\ds\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\ds\sqrt{n}}~;\,  p+1,96\dfrac{\ds\sqrt{p\left (1-p\right )}}{\ds\sqrt{n}} \right ]
=
\left [ 0,6-1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,6\times 0,4}}{\ds\sqrt{75}}~;\,  0,6+1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,6\times 0,4}}{\ds\sqrt{75}} \right ]\\[5pt]
\phantom{I}
\approx \left [   0,49~;\, 0,71\strut\right ]
$

\smallskip

\item $52$ des $75$ enfants du club de Claire veulent se réinscrire en septembre 2018, ce qui fait une proportion de $f=\dfrac{52}{75} \approx 0,69$.

On voit que $f\in I$ donc on ne peut pas dire que la victoire de la France aux championnats du monde en 2018 a eu un effet sur les réinscriptions en septembre 2018 dans ce club.

\end{enumerate}

%\newpage

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité et candidats de L}

%\medskip
%
%\emph{Les partie \emph{A} et \emph{B} sont indépendantes.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

Tous les ans, au mois de septembre, Richard prélève $8,5$ tonnes d'algues sur les plages de sa commune.
Au 1\ier{} septembre 2018, il y avait 230 tonnes d'algues sur ces plages.
Tous les ans, entre le 1\ier{} octobre et le 1\ier{} septembre suivant, la quantité d'algues sur ces plages augmente de 4\,\%.

On note $u_n$ la quantité en tonnes d'algues présente sur les plages au 1\ier{} septembre de l'année $2018+n$. Ainsi, $u_0=230$. 

\begin{enumerate}
\item %Vérifier par le calcul que Richard disposera de $230,36$ tonnes sur les plages au 1\ier{} septembre 2019.
On admet que, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=1,04\,u_n - 8,84$.

Le tonnage d'algues au 1\ier{} septembre 2018 est
$u_1= 1,04 u_0 - 8,84 = 1,04\times 230 - 8,84 = 230,36$.
\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout $n\in\N$, $v_n=u_n-221$. On a donc $u_n=v_n+211$.
\begin{enumerate}
\item% Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,04$.
%
%Préciser son premier terme.
$v_{n+1}= u_{n+1}-221 = 1,04 u_n - 8.84 - 221 = 1,04\left (v_n+221\right ) - 229,84 = 1,04v_n + 229,84 - 229,84 \\
\phantom{v_{n+1}}
= 1,04v_n$

$v_0 = u_0-221 = 230 - 221 = 9$

La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q=1,04$ et de premier terme $v_0=9$.

\item% Exprimer, pour tout $n\in\N$,\: $v_n$ en fonction de $n$.
On en déduit que, pour tout $n$, on a: $v_n=v_0\times q^n = 9\times 1,04^{n}$.

\item% En déduire que, pour tout $n\in\N$,\; $u_n=221+9\times 1,04^n$.
Comme $u_n=v_n+221$, on déduit que, pour tout $n$ de $\N$, $u_n=221+9\times 1,04^n$.
\end{enumerate}

\item `Pour savoir si la quantité d'algues présentes sur ces plages dépassera un jour $250$~tonnes, on résout l'inéquation $u_n > 250$

$u_n>250 \iff 221 + 9\times 1,04^n >250 \iff 9\times 1,04^n > 29 \iff 1,04^n > \dfrac{29}{9}\\
\phantom{u_n>250 }
\iff \ln \left ( 1,04^n\right ) > \ln\left ( \dfrac{29}{9}\right )
\iff n \ln \left ( 1,04\right ) > \ln\left ( \dfrac{29}{9}\right )
\iff n > \dfrac{\ln\left (\frac{29}{9}\right )}{\ln(1,04)}$

$\dfrac{\ln\left (\frac{29}{9}\right )}{\ln(1,04)} \approx 29,8$ donc c'est au bout de 30 ans que la quantité d'algues dépassera 250~tonnes. 

%Si oui, préciser au bout de combien d'années cette quantité sera atteinte.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Pour développer son entreprise, à partir du 1\ier{} septembre 2019, Richard a besoin de 10\,\% d'algues de plus que l'année précédente.
On rappelle qu'au 1\ier{} septembre 2018, il disposait de 230 tonnes d'algues et qu'il en avait consommé $8,5$ tonnes en septembre 2018. Dans cette nouvelle situation, il disposera de $230,36$ tonnes d'algues au 1\ier{} septembre 2019 et en utilisera $9,35$ tonnes pendant ce mois.
Richard souhaite étudier la quantité d'algues sur les plages concernées pour les 16 prochaines années selon ce modèle.

Pour cela il rédige l'algorithme ci-contre.

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}
\item La variable $A$ représente le tonnage d'algues disponibles l'année $2018+n$, et $B$ représente le tonnage d'algues consommées la même année.
\item Voir \textbf{annexe 2}.

%Arrondir les résultats au centième.
\item En 2034, il y aura moins d'algues disponibles que ce que veut utiliser Richard car $29,75 < 39,06$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{tabular}{|p{0.9\linewidth}|}
\hline
$A\leftarrow 230$\\
$B\leftarrow 8,5$\\
Pour $K$ allant de 1 à 16\\
\hspace*{0.3cm} $A\leftarrow \left (A-B\right ) \times 1,04$\\
\hspace*{0.3cm} $B\leftarrow B\times 1,1$\\
Fin pour\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}

%\newpage

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi la spécialité}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
Une compagnie aérienne a représenté à l'aide d'un graphe les différentes liaisons assurées par ses avions.
Les sommets du graphe sont les initiales des aéroports desservis et les arêtes correspondent aux vols effectués par un avion de cette compagnie entre deux aéroports.

Par exemple, l'arête entre A et G signifie qu'un avion effectue le vol entre les aéroports A et G, en partant de A vers G ou en partant de G vers A.

\begin{enumerate}
\item %Le graphe est-il complet?
%
%Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
Il n'y a pas d'arête entre B et C donc le graphe n'est pas complet.

Cela signifie qu'il n'y a pas de vol direct entre l'aéroport B et l'aéroport C.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\scalebox{0.8}{
\psset{unit=0.75cm}
\def\taille{0.8mm} \def\ray{4.2}
\begin{pspicture}(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\cnode*(\ray;120){\taille}{A} \uput[120](A){A}
\cnode*(\ray;80){\taille}{B} \uput[80](B){B}
\cnode*(\ray;50){\taille}{C} \uput[50](C){C}
\cnode*(\ray;20){\taille}{F} \uput[20](F){F}
\cnode*(\ray;-20){\taille}{G} \uput[-20](G){G}
\cnode*(\ray;-60){\taille}{L} \uput[-60](L){L}
\cnode*(\ray;-100){\taille}{M} \uput[-100](M){M}
\cnode*(\ray;-150){\taille}{P} \uput[-150](P){P}
\cnode*(\ray;-200){\taille}{V} \uput[-200](V){V}
%
\ncline{A}{B}%\ncput*{\blue 2}
\ncline{A}{G}%\ncput*{\blue 4}
\ncline{A}{M}%\ncput*{\blue 5}
\ncline{A}{V}%\ncput*{\blue 1}
\ncline{B}{M}%\ncput*[npos=0.45]{\blue 2}
\ncline{B}{P}%\ncput*[npos=0.7]{\blue 4}
\ncline{B}{V}%\ncput*[npos=0.7]{\blue 2}
\ncline{C}{F}%\ncput*{\blue 3}
\ncline{C}{M}%\ncput*[npos=0.2]{\blue 4}
\ncline{F}{G}%\ncput*{\blue 6}
\ncline{F}{L}%\ncput*[npos=0.8]{\blue 4}
\ncline{F}{P}%\ncput*[npos=0.45]{\blue 6}
\ncline{G}{P}%\ncput*[npos=0.35]{\blue 2}
\ncline{L}{M}%\ncput*{\blue 1}
\ncline{P}{V}%\ncput*{\blue 4}
\end{pspicture}
}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item On note $M$ la matrice d'adjacence du graphe ci-dessus en classant les sommets par ordre alphabétique. 

On complète cette matrice en mettant 0 en ligne $i$ colonne $j$ s'il existe une arête entre les aéroports \no{}$i$ et \no{}$j$. 
Voir \textbf{annexe 2}.

\item La compagnie souhaite qu'un avion partant de l'aéroport F (\no{}4) effectue 3 vols avant d'arriver à l'aéroport B (\no{}2).% À l'aide de la matrice $M^3$ donnée ci-après, déterminer le nombre de trajets possibles.

Il faut donc chercher dans la matrice $M^3$ le coefficient qui se trouve à la ligne 4 et la colonne 2; c'est 5 donc il y a 5 trajets répondant à la question.


\[M^3=
\begin{pmatrix}
4 & 9 & 2 & 5 & 8 & 2 & 8 & 4 & 9\\
9 & 6 & 2 & 5 & 4 & 2 & 8 & 9 & 7\\
2 & 2 & 0 & 6 & 2 & 0 & 6 & 2 & 3\\
5 & \blue \pscirclebox[linecolor=blue]{5} & 6 & 2 & 6 & 6 & 2 & 7 & 3\\
8 & 4 & 2 & 6 & 2 & 2 & 4 & 8 & 3\\
2 & 2 & 0 & 6 & 2 & 0 & 6 & 2 & 3\\
8 & 8 & 6 & 2 & 4 & 6 & 2 & 6 & 3\\
4 & 9 & 2 & 7 & 8 & 2 & 6 & 4 & 8\\
9 & 7 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 8 & 4
\end{pmatrix}\]

\item L'entreprise souhaite qu'un même avion puisse parcourir successivement une fois et une seule chaque liaison.

\begin{enumerate}
\item% Justifier qu'un avion peut le faire et préciser les aéroports de départ et d'arrivée possibles.
On détermine le degré de chaque sommet du graphe:

\begin{center}
\begin{tabular}{*{10}{|c}|}
\hline
Sommet & A & B & C & F & G & L & M & P & V\\
\hline
Degré & 4 & 4 & 2 & 4 & 3 & 2 & 4 & 4 & 3\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Il y a exactement deux sommets de degrés impairs, G et V, donc, d'après le théorème d'Euler, il existe des trajets qui partent de l'un de ces deux aéroports et qui effectuent toutes les liaisons pour arriver à l'autre.

\item %Lors de ce trajet, combien de fois cet avion doit-il se poser à l'aéroport P ?
Le sommet P est de degré 4 donc lors de ce trajet l'avion passera 2 fois par le sommet P: cet avion va donc se poser 2 fois sur l'aéroport P.
%Expliquer la réponse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

\begin{multicols}{2}
Sur le graphe ci-contre sont indiqués les différents temps de vol en heure entre deux aéroports.\\
\\
Un client souhaite utiliser une offre promotionnelle de cette compagnie pour voyager de l'aéroport V jusqu'à l'aéroport F. \\
\\
On détermine le trajet le plus rapide au moyen de l'algorithme de Dijkstra.

\columnbreak

\begin{center}
\scalebox{0.8}{
\psset{unit=0.75cm}
\def\taille{0.8mm} \def\ray{4.2}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\cnode*(\ray;120){\taille}{A} \uput[120](A){A}
\cnode*(\ray;80){\taille}{B} \uput[80](B){B}
\cnode*(\ray;50){\taille}{C} \uput[50](C){C}
\cnode*(\ray;20){\taille}{F} \uput[20](F){F}
\cnode*(\ray;-20){\taille}{G} \uput[-20](G){G}
\cnode*(\ray;-60){\taille}{L} \uput[-60](L){L}
\cnode*(\ray;-100){\taille}{M} \uput[-100](M){M}
\cnode*(\ray;-150){\taille}{P} \uput[-150](P){P}
\cnode*(\ray;-200){\taille}{V} \uput[-200](V){V}
%
\small
\ncline{A}{B}\ncput*{\blue 2}
\ncline{A}{G}\ncput*{\blue 4}
\ncline{A}{M}\ncput*{\blue 5}
\ncline{A}{V}\ncput*{\blue 1}
\ncline[linecolor=red]{B}{M}\ncput*[npos=0.45]{\red 2}
\ncline{B}{P}\ncput*[npos=0.7]{\blue 4}
\ncline[linecolor=red]{B}{V}\ncput*[npos=0.7]{\red 2}
\ncline{C}{F}\ncput*{\blue 3}
\ncline{C}{M}\ncput*[npos=0.2]{\blue 4}
\ncline{F}{G}\ncput*{\blue 6}
\ncline[linecolor=red]{F}{L}\ncput*[npos=0.8]{\red 4}
\ncline{F}{P}\ncput*[npos=0.45]{\blue 6}
\ncline{G}{P}\ncput*[npos=0.35]{\blue 2}
\ncline[linecolor=red]{L}{M}\ncput*{\red 1}
\ncline{P}{V}\ncput*{\blue 4}
\end{pspicture}
}%%% fin du scalebox
\end{center}

\end{multicols}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small%%% \scriptsize
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}%%%    surlignage
\newcommand{\cgr}{\cellcolor{lightgray!50}}%%%  cellule grisée avec package colotbl
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline 
V & A &  B  &  C   &   F   &   G   &  L & M & P     &{On garde} \\ 
\hline 
\sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  V \\
\hline
\cgr &  \sout{ $\infty$ } & \sout{ $\infty$ } &  $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } &   \\[-3pt]
\cgr & \sur{1 V} & 2 V &   &  &  &  &  & 4 V &  A 1 \\
\hline
\cgr &  \cgr & \sur{2 V} &  $\infty$ & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } & 4 V &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \sout{3 A} &                &                & 5 A                       &  & 6 A &  &  B 2 \\
\hline
\cgr &  \cgr & \cgr &  $\infty$ & $\infty$ & 5 A & $\infty$ & \sout{6 A} & 4 V &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &                &                &          &                &    \sur{4 B}    & \sout{6 B} &  M 4 \\
\hline
\cgr &  \cgr & \cgr &  \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & 5 A & \sout{ $\infty$ } & \cgr & \sur{4 V} &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &            8 M             &                &          &       5 M         &    \cgr    &  &  P 4 \\
\hline
\cgr &  \cgr & \cgr &  8 M & \sout{ $\infty$ } & \sur{5 A} & 5 M &    \cgr & \cgr &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &           &        10 P              &  \sout{6 P}        &       &    \cgr    & \cgr &  G 5 \\
\hline
\cgr &  \cgr & \cgr &  8 M &    10 P             & \cgr & \sur{5 M} &    \cgr & \cgr &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &           & \sout{11 G}   & \cgr &                   &    \cgr    & \cgr &  L 5 \\
\hline
\cgr &  \cgr & \cgr &  \sur{8 M} & \sout{10 P} & \cgr & \cgr &    \cgr & \cgr &   \\[-3pt]
\cgr & \cgr & \cgr &                     & 9 L               & \cgr &   \cgr          &    \cgr    & \cgr &  C 8 \\
\hline
\cgr &  \cgr & \cgr &  \cgr & \sur{9 L} & \cgr & \cgr &    \cgr & \cgr & F 9  \\
\hline
\end{tabularx} }
\end{center} 

Le trajet le plus rapide de V vers F dure 9 heures:
V $\stackrel{2}{\longrightarrow}$ 
B $\stackrel{2}{\longrightarrow}$
M $\stackrel{1}{\longrightarrow}$
L $\stackrel{4}{\longrightarrow}$ F

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\begin{minipage}{0.38\linewidth}
On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\left [ 0,5~; \, 12 \strut\right ]$, la tangente $T_1$ à $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1 et la tangente $T_2$ à $\mathcal{C}$  au point B d'abscisse 2. La tangente $T_1$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\hfill\scalebox{0.8}{
\psset{xunit=0.5cm, yunit=1cm, arrowsize=2pt 3}
\def\xmin {-2.4} \def\xmax {16}
\def\ymin {-0.6} \def\ymax {4.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pscustom[fillstyle=solid,linewidth=0.5pt,fillcolor=lightgray]
{
\psplot{6}{8}{x ln 1 x div add} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{8}{6}{0}
\closepath % indispensable !
}
 \psgrid[gridlabels=0pt, subgriddiv=1,gridcolor=gray](\xmin,\ymin)(15.8,\ymax)
\small
\psaxes{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psplot{-1.5}{15}{x 4 div 0.693 add} \uput[ul](9,3){$T_2$}
\psplot{-1.5}{15}{1} \uput[u](11.5,1){$T_1$}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.5}{12}{x ln 1 x div add} 
\uput[d](9.5,2.36){\blue $\mathcal{C}$}
\psset{dotstyle=+,dotscale=1.5}
\psdots(1,1)(2,1.19)
\uput[u](1,1){A} \uput[u](2,1.19){B}
\end{pspicture*}
}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item% Par lecture graphique:
\begin{enumerate}
\item $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A donc $f'(1)=0$.
\item La courbe $\mathcal{C}$ semble avoir le point B pour point d'inflexion.
\item $\ds\int_{6}^{8} f(x) \d x$ est l'aire de la surface grisée sur le graphique;  $4 \leqslant \ds\int_{6}^{8} f(x) \d x \leqslant 5$.
\end{enumerate}

\item On admet que la fonction $f$ est définie sur $\left [ 0,5~; \, 12 \strut\right ]$ par: $f(x) = \ln(x) + \dfrac{1}{x}$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x\in \left [ 0,5~; \, 12 \strut\right ]$, $f'(x)= \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x-1}{x^2}$.
\item% Déterminer le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.
Sur $\left [ 0,5~; \, 12 \strut\right ]$, $f'(x)>0 \iff x-1>0 \iff x>1$.

$f(0,5)\approx 1,3$, $f(1)=1$ et $f(12) \approx 2,6$

On construit le tableau des variations de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 0,5 & \esp & 1 & \esp & 12 \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{1,3}  &  &  &  & \Rnode{max2}{2,6}   \\
f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{1} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

%Si nécessaire, on arrondira à $0,1$ les valeurs numériques.
\end{enumerate}

\item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants que l'on pourra admettre.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lr|}
\hline
\multicolumn{3}{|l|}{\cellcolor{lightgray}\quad Calcul formel}\\
\hline
\cellcolor{lightgray}1 & $g(x):=(x-1)/x^2$ & \\
\cellcolor{lightgray}& & $g(x) = \dfrac{x-1}{x^2\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$\\
\hline
\cellcolor{lightgray}2 & Dérivée $(g(x))$ &\\
\cellcolor{lightgray}& & $\dfrac{x^2-2x(x-1)}{x^4\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$\\
\hline
\cellcolor{lightgray}3 & Simplifier(Dérivée($g(x)$) & \\
\cellcolor{lightgray}& & $\dfrac{-x+2}{x^3\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

%Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel $f$ est concave.

$g(x)=f'(x)$ donc $f''(x) = g'(x)=\dfrac{-x+2}{x^3}$ d'après le logiciel.

La fonction $f$ est concave sur les intervalles sur lesquels $f''$ est négative.

Sur $\left [ 0,5~; \, 12 \strut\right ]$, $f''(x)<0 \iff \dfrac{-x+2}{x^3}<0 \iff -x+2<0 \iff x>2$

Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est concave est $\left [ 2~; \, 12 \strut\right ]$.

\item Soit $F$ la fonction définie sur $\left [ 0,5~; \, 12 \strut\right ]$ par $F(x)=\left (x+1\right ) \ln(x)-x$.
\begin{enumerate}
\item Sur $\left [ 0,5~; \, 12 \strut\right ]$, $F'(x) = 1\times \ln(x) + (x+1)\times \dfrac{1}{x} - 1
= \ln(x) +\dfrac{x+1}{x} - \dfrac{x}{x} = \ln(x)+\dfrac{1}{x}=f(x)$ donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\left [ 0,5~; \, 12 \strut\right ]$.
\item La valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle $\left [ 6~; \, 8 \strut\right ]$ est

$m=\dfrac{1}{8-6}\ds\int_{6}^{8} f(x) \d x = \dfrac{1}{2} \left [ F(8)-F(6)\strut\right ]
= \dfrac{1}{2} \left [ \left ( 9 \ln(8) - 8\right )- \left (7 \ln(6) - 6 \right )\strut\right ]\\
\phantom{m}
= \dfrac{1}{2} \left [ 9 \ln(8) - 8- 7 \ln(6) + 6 \strut\right ]
= \dfrac{1}{2} \left [ 9 \ln(8) - 7 \ln(6) - 2 \strut\right ]
\approx 2,09$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexes à rendre avec la copie}
\end{center}

\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 1}\\
\textbf{Exercice 2}
\end{flushleft}

\begin{center}
\bigskip
{\small
\psset{treesep=.75cm,levelsep=2.5cm,nodesepB=4pt}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$F$}\naput{\blue 0,1}}
	                        {
	                        \TR{$G$}\naput{\red 0,7}
			                \TR{$\overline G$}\nbput{\red 0,3}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M$}\ncput*{\blue 0,4}}
	                        {
	                        \TR{$G$}\naput{\blue 0,6}
			                \TR{$\overline G$}\nbput{\blue 0,4}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$E$}\nbput{\blue 0,5}}
	                        {
	                        \TR{$G$}\naput{\blue 0,54}
			                \TR{$\overline G$}\nbput{\blue 0,46}
	                        }	                        
      }
}% fin du \small
\bigskip
\end{center}

\vspace{2cm}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 2}\\
\textbf{Exercice 3}\\
\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L}\\
\emph{Valeurs de $A$ et $B$ obtenues à l'aide d'un tableur}
\end{flushleft}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\hspace*{0.7cm}$K$\hspace*{0.7cm} & \hspace*{0.7cm}$A$\hspace*{0.7cm} & \hspace*{0.7cm}$B$\hspace*{0.7cm} \\
\hline
\cellcolor{lightgray} & 230 & 8,5 \\
\hline
1 & \textcolor{blue}{$230,36$} & \textcolor{blue}{$9,35$}  \\
\hline
2 & \textcolor{blue}{$229,85$}  & \textcolor{blue}{$10,29$}  \\
\hline
3 & 228,35 & 11,31\\
\hline
4 & 225,72 & 12,44\\
\hline
5 & 221,80 & 13,69\\
\hline
6 & 216,44 & 15,06\\
\hline
7 & 209,43 & 16,56\\
\hline
8 & 200,58 & 18,22\\
\hline
9 & 189,66 & 20,04\\
\hline
10 & 176,40 & 22,05\\
\hline
11 & 160,53 & 24,25\\
\hline
12 & 141,73 & 26,68\\
\hline
13 & 119,65 & 29,34\\
\hline
14 & 93,92 & 32,28\\
\hline
15 & 64,11 & 35,51\\
\hline
16 & 29,75 & 39,06\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

~

\columnbreak

\begin{flushleft}
\textbf{Annexe 2}\\
\textbf{Exercice 3}\\
\textbf{Candidats de ES ayant suivi la spécialité}\\
\end{flushleft}

\[M=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\
\blue 1 & \blue 0 & \blue 0 & \blue 0 & \blue  0 & \blue 0 & \blue 1 & \blue 1 & \blue 1 \\
\blue 0 & \blue 0 & \blue 0 & \blue 1 & \blue 0 & \blue 0 & \blue 1 & \blue 0 & \blue 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}\]
\end{multicols}
\end{document}