\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{lscape}
\usepackage[normalem]{ ulem }
\usepackage{soul}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-node,pstricks-add,pst-func}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
% Tapuscrit Denis Vergès
% Corriection : René Roux
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {TES Asie},
pdftitle = {21 juin 2018},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small 21 juin 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesjuin}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ES/L Asie 21 juin 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P(X\geqslant 5)=1-P(X\leqslant 4)$.\\
	Avec la calculatrice, $P(X\geqslant 5)\approx 0,58$. \hfill{\textbf{Réponse d)}}
\item La variable aléatoire $X$ sur la loi normale de paramètres $\mu=30$ et $\sigma$. La fonction de densité possède un axe de symétrie vertical d'équation $X=30$.

Donc pour toute valeur $k\in \R$, $P(X\leqslant \mu-k)=P(X\geqslant \mu+k)$. En prenant $\mu=30$ et $k=10$, on obtient :  $P(X\leqslant 30-10)=P(X\geqslant 30+10)$ soit  $P(X\leqslant 20)=P(X\geqslant 40)$ \hfill{\textbf{Réponse c)}}
\item La variation en \% se calcule avec : $\dfrac{V_A-V_D}{V_D}=\dfrac{4,3-6,2}{6,2}\approx -30,6 \%$.\\
	Les ventes auront donc diminuées de $30,6\%$. \hfill{\textbf{Réponse b)}}
\item Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\R$. La fonction $F$ sera croissante quand sa dérivé (la fonction $f$) sera positive, décroissante quand $f$ sera négative.

Sur l'intervalle $[-3\,;\,-1]$, $f(x)\leqslant 0$ donc la fonction $F$ y sera décroissante.\hfill{\textbf{Réponse d)}}
\item En étudiant la courbe représentative de la fonction, et dans la limite de précision du graphique, on peut affirmer que cette fonction est :
	\begin{itemize}
		\item convexe sur les intervalles $]-\infty\,;\,0]$ et sur $[3,5\,;\,+\infty[$;
		\item concave sur l'intervalle $[0\,;\,3,5]$.
	\end{itemize}
La courbe représentative de la fonction $f''$ est donc la courbe \textbf{d)} car la fonction $f''$ est positive sur les intervalles $]-\infty\,;\,0]$ et sur $[3,5\,;\,+\infty[$ et négative sur l'intervalle $[0\,;\,3,5]$. \hfill{\textbf{Réponse d)}}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La durée de traversée $T$ suit la loi normale de paramètres $\mu=7$ et $\sigma=1$.
\begin{enumerate}
	\item Avec la calculatrice, $P(5\leqslant T \leqslant 8)\approx 0,819$.
	\item On cherche  $P(T\leqslant 5)$ : $P(T\leqslant 5) =0,5-P(5\leqslant T \leqslant 7)$. Avec la calculatrice : $P(T\leqslant 5)\approx 0,023$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
\begin{enumerate}
	\item L'arbre de probabilité correspond à la situation est : 
	\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,treesep=1.25cm,nrot=:U]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$M$}\naput{$0,162$}}
	{ 
		\TR{$F$}\naput{$0,95$}
		\TR{$\overline{F}$}\nbput{$\red{1-0,95=0,05}$}	   
	}
	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{M}$}\nbput{$\red{1-0,16=0,84}$}}
	{ 
		\TR{$F$}\naput{$0,5$}
		\TR{$\overline{F}$}\nbput{$\red{1-0,5=0,5}$}	   
	}
}
\bigskip
	\end{center}
\item D'après la formule des probabilités totales : \\
 $P\left(\overline{F}\right)= P\left(\overline{F}\cap M\right) + P\left(\overline{F}\cap \overline{M}\right) = P_{M}\left(\overline{F}\right) \times P(M) + P_{\overline{M}}\left(\overline{F}\right)\times P\left(\overline{M}\right) = 0,16 \times 0,05 + 0,84 \times 0,5 = 0,428$.
 \item Formule de Bayes : $P_{\overline{F}}(M)=\dfrac{P\left(M\cap \overline{F}\right)}{P(\overline{F})}=\dfrac{P_{M}\left(\overline{F}\right)\times P(M)}{P\left(\overline{F}\right)} = \dfrac{0,16\times 0,05}{0,428} \approx 0,019$ 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
On prend un échantillon de taille 280 donc $n=280$. L'entreprise affirme qu'il y a $97\,\%$  de chances d'être sur le podium donc la probabilité est $p=0,97$.

$n=280 \geqslant 30$, $np=271,6 \geqslant 5$ et $n(1-p) = 8,4 \geqslant 5$ donc on peut déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion au seuil de 95\,\% : \\
$\hspace*{1cm} I= \left [ p-1,96 \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,;\, p+1,96 \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right ]\\[7pt]
\phantom{\hspace*{1cm} I}
= \left [0,97 - 1,96 \sqrt{\dfrac{0,97\times 0,03}{280}} \,;\, 0,97 + 1,96 \sqrt{\dfrac{0,97\times 0,03}{280}} \right ]
\approx [0,950\,;\,0,989]$

\smallskip

La fréquence dans l'échantillon considéré est $f=\dfrac{263}{280} \approx 0,939$.\\
Or $f\notin I$ donc nous pouvons raisonnablement remettre en doute ce slogan.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip
\begin{enumerate}
	\item
	 \begin{enumerate}
		\item Augmenter de $12\,\%$ revient à multiplier par $1,12$.\\
		Donc en 2018, il y aura : $300\times 1,12-18=318$ loups.
		\item Pour tout entier naturel $n$, on note par $u_n$ et $u_{n+1}$ les nombres respectifs de loups les années $n$ et $n+1$. D'après le texte, d'une année à l'autre le nombre de loups augmente de $12\,\%$, puis on autorise à tuer 18 animaux.\\
		Donc pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,12\times u_n-18$.
	\end{enumerate}
	\item Ci-dessous l'algorithme complété :\\
\begin{center}
	\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}
		\hline
		$N \gets 0$\\
		$U \gets 300$\\
		Tant que $\red{U < 600}$ faire\\
		\hspace*{1cm} $\red{U \gets 1,12 \times U -18}$\\
		\hspace*{1cm} $\red{N \gets N+1}$\\
		Fin Tant que\\
		\hline
	\end{tabularx}
\end{center}

	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$ : $v_{n+1}=u_{n+1}-150=1,12\times u_n-18-150=1,12\times u_n-168$
		
$= 1,12\times \left(u_n-\dfrac{168}{1,12}\right)=1,12(u_n-150)=1,12\times v_n$\\
		Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=1,12$ et de premier terme $v_0=u_0-150=150$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0\times q^n=150\times 1,12^n$.\\
		Or $u_n=v_n+150$ donc $u_n=150\times 1,12^n+150$.
		\item $150\times 1,12^n+150\geqslant 600 \iff 150\times 1,12^n\geqslant 450 \iff 1,12^n \geqslant 3 \iff \ln(1,12^n) \geqslant \ln(3) \\ \iff n \times \ln(1,12) \geqslant \ln(3) \iff n\geqslant \dfrac{\ln(3)}{\ln(1,12)}$. or $\dfrac{\ln(3)}{\ln(1,12)} \approx 9,69$ donc $n\geqslant 10$.
		\item En 2027, le nombre de loups aura dépassé les 600 animaux.
	\end{enumerate}
\newpage
	\item À l'aide d'un tableau et de la calculatrice, nous pouvons déterminer le nombre de loups après 2023 en utilisant le même mode de croissance annuelle mais avec un prélèvement annuel de 35.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{7}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année&2023  &2024  &2025  &2026  &2027  &2028  &2029  &\red{2030}  \\ \hline 
$n'$&0  &1  &2  &3  &4  &5  &6  &\red{7}\\ \hline 
Population $w_{n'}$&$446$  &$464,52$ &$\approx 485,26$  &$\approx 508,49$  &$\approx 534,51$  &$\approx 563,65$  &$\approx 596,29$  &$\red{\approx 632,84}$  \\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}

Donc en 2030 le nombre de loups aura dépassé les 600 animaux.

\medskip

\textit{Par le calcul (en s'inspirant du modèle précédent) : }
	
Pour tout entier $n$, on définit par $(w_{n})$ le nombre de loups pour l'année $2023+n'$. D'après l'énoncé (et en utilisant les questions précédentes), $\forall n \in \N$, $w_{n+1}=1,12\times w_n -35$ et $w_0=446$.

Soit $(a_n)$ la suite géométrique de raison $1,12$, définie par $\forall n \in \N$ $a_{n}=w_n-q$. Cherchons $q$.
	
$\forall n \in \N, a_{n+1}=w_{n+1}-q=1,12\times w_n -35-q=1,12\times \left(w_n-\dfrac{q+35}{1,12}\right)$.

De plus $\forall n \in \N,a_{n+1}=1,12 \times a_n=1,12\times (w_n-q)$ donc par identification, $\dfrac{q+35}{1,12}=q$

soit $q+35=1,12q \iff q=\dfrac{35}{0,12}\approx 291,67$.

Donc Nous pouvons déterminer les expression de $a_n$ et $w_n$ en fonction de $n$ :

	\begin{itemize}
		\item $a_0=w_0-291,67=154,33$
		\item $\forall n \in \N,a_n=a_0\times 1,12^n=154,33\times 1,12^n$
		\item $\forall n \in \N, w_n=a_n+q=154,33\times 1,12^n+291,67$.
	\end{itemize}
 Il ne reste plus qu'à résoudre l'inéquation: $154,33\times 1,12^n+291,67 \geqslant 600$.\\
 $154,33\times 1,12^n+291,67 \geqslant 600 \iff 1,12^n \geqslant \dfrac{600-291,67}{154,33} \iff \ln(1,12^n)\geqslant \ln(1,998)\\
 n\times \ln(1,12)\geqslant \ln(1,998) \iff n\geqslant \dfrac{\ln(1,998)}{\ln(1,12)} \iff n\geqslant 7$ car $\dfrac{\ln(1,998)}{\ln(1,12)}\approx 6,107$\\
 On retrouve le résultat vu dans le tableau : selon ce nouveau modèle de croissance, le nombre de loups aura dépassé les 600 animaux en 2030
	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le graphe probabiliste ci-dessous décrit la situation :

		\begin{center}
			\psset{unit=1cm}
			\begin{pspicture}(-2,-1)(4,1.2)
			\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe
			
			\newrgbcolor{colorG}{1 0 0}% couleur du sommet de gauche
			%%% mettre 0 0 0 pour le noir
			
			%%%% G pour Gauche, D pour Droit
			%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
			\def\nomG{A}%   nom du sommet de gauche
			\def\nomD{B}%   nom du sommet de droite
			\def\valGD{$0,3$}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
			\def\valDG{$0,5$}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
			\def\valGG{$0,7$}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
			\def\valDD{$0,5$}% poids de la boucle autour du sommet droit
			
			%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous
			
			\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
			%   définition des sommets
			\ncarc[linecolor=colorG]{->}{G}{D} 
			\Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
			\ncarc{->}{D}{G} 
			\Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
			\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
			\Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
			\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
			\Bput{\valDD}%  boucle autour de D
			\end{pspicture}
		\end{center}
	\item La matrice de transition du système est :$M=\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,5 & 0,5	\end{pmatrix}$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item D'après l'énoncé, $a_1=1$ et $b_1=0$. Donc $P_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$.
	\item Calculons  $P_8$ : $P_8=\begin{pmatrix}	a_{8} & b_{8}\end{pmatrix}=P_1 \times M^7  =\begin{pmatrix}	1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,5 & 0,5	\end{pmatrix}^7 \approx \begin{pmatrix}	0,63 & 0,38 \end{pmatrix}$.\\
	Donc la probabilité de gagner la troisième partie est : $a_{8}\approx 0,63$.
	 \end{enumerate}
 \item L'état stable $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ vérifie d'une part $P\times M = P$, et d'autre part $x+y=1$.	
 
 $P\times M = P \iff \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,5 & 0,5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\\
 \iff \left \lbrace
 \begin{array}{l !{=} l}
 0,7\,x + 0,5\,y & x\\
 0,3\,x + 0,5\,y & y
 \end{array}
 \right .\\[7pt]
 %\phantom{P\times M = P}
 \iff
 \left \lbrace
 \begin{array}{l !{=} l}
 0,3\,x - 0,5\,y & 0\\
 -0,3\,x +0,5\,y & 0
 \end{array}
 \right .
 \iff
 0,3\,x - 0,5\,y = 0
 \iff 0,5\,y=0,3\,x \iff
 y=\dfrac{0,3}{0,5}\,y=\dfrac{3}{5}\,y$
 
 On résout le système:
 
 $\left \lbrace
 \begin{array}{l !{=} l}
  y& \dfrac{3}{5}x\\
 x + y & 1
 \end{array}
 \right .
 \iff
 \left \lbrace
 \begin{array}{l !{=} l}
  y& \dfrac{3}{5}\,x\\
 x+\dfrac {3}{5}\,x & 1\\
 \end{array}
 \right .
 \iff
 \left \lbrace
 \begin{array}{l !{=} l}
 y & \dfrac{3}{5}\,x\\
 \dfrac{8}{5}\, x& 1
 \end{array}
 \right .
 \iff
 \left \lbrace
 \begin{array}{l !{=} l}
 x & \dfrac{5}{8}\\[7pt]
 y & \dfrac{3}{8}
 \end{array}
 \right .$
 
 L'état stable est donc 
 $P=\begin{pmatrix}
 \dfrac{5}{8} & \dfrac{3}{8}
 \end{pmatrix}$.
 \item 
 \begin{enumerate}
 	\item $\forall n\in \N$, $P_{n+1}=P_n\times M$ donc $P=\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} \end{pmatrix} \times M = \begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,5 & 0,5 \end{pmatrix}\\ = \begin{pmatrix} 0,7a_n+0,5b_n & 0,3a_n+0,5b_n \end{pmatrix}$.\\
 	Donc $\forall n\in \N, a_{n+1}=0,7a_n+0,5b_n$.
 	\item De plus $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$ d'où $\forall n\in \N, a_{n+1}=0,7a_n+0,5(1-a_n)=0,2a_n+0,5$.
 \end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Ci-dessous l'algorithme complété :\\
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}
			\hline
			$N \gets 1$\\
			$A \gets 1$\\
			Tant que $\red{U > 0,626}$ faire\\
			\hspace*{1cm} $\red{A \gets 0,2 \times A + 0,5}$\\
			\hspace*{1cm} $\red{N \gets N+1}$\\
			Fin Tant que\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
\item Avec l'aide de la calculatrice, nous pouvons remplir le tableau de valeurs ci-dessous :
\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
		\hline 
		$n$&1  &2  &3  &4  &\red{5}  \\ 
		\hline 
		$a_n$&$1$  &$0,7$  &$0,64$  &$0,628$  &$\red{0,6256}$  \\ 
		\hline 
	\end{tabular} 

\end{center}
La variable $N$ prendra donc la valeur 5. Cela signifie qu'au bout de 5 jours, la probabilité que Lisa prenne son vélo est inférieure à $0,626$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
 \begin{enumerate}
 	\item Dans la limite de précision du graphique, l'équation $f(x)=6$ admet comme solution $\alpha \approx 12$.
 	\item 
 	\begin{enumerate}
 		\item Cherchons la pente de la droite $T$ passant par $A$ et $B$ : $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{14,2-7}{2-0}=3,6$.
 		\item  On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0\,;\,25]$. Pour tout $x\in [0\,;\,5]$, $f(x)$ est de la forme $u(x)\times v(x)$ avec $u(x)=\left(ax + b\right)$ et $v(x)=\text{e}^{-0,2x}$. \\
 		En écrivant  $u'(x)=a$ et $v'(x)=-0,2\text{e}^{-0,2x}$,\\
 		$f'(x)=a\times \text{e}^{-0,2x}+(ax+b)\times -0,2\text{e}^{-0,2x}=\text{e}^{-0,2x} \left(a+(ax+b)\times-0,2\right)\\ =\text{e}^{-0,2x}\left(a-0,2ax-0,2b\right)=\text{e}^{-0,2x}\left(-0,2ax+a-0,2b\right)$
 \newpage
 		\item Nous savons que $A\in\mathcal{C}_f$ donc $f(0)=7$. De plus D'après la question 2.a), $f'(0)=3,6$.\\
 		La première égalité se traduit par : $(a\times 0+b)\text{e}^{-0.2\times 0}=7 \iff b=7$\\
 		La seconde donne quant à elle : $\text{e}^{-0,2\times 0}\left(-0,2a\times 0+a-0,2b\right)=3,6 \iff a-0,2b=3,6$\\
 		Donc :  $\left \lbrace	\begin{array}{l !{=} l}	a-0,2\,b& 3,6\\	b & 7\end{array}\right. $\\
 		On remplace $b$ par 7 dans la première équation, puis on trouve : $\left \lbrace	\begin{array}{l !{=} l}	a& 3,6+0,2\times7=5\\	b & 7\end{array}\right. $.\\
Donc la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0\,;\, 25]$ par $f(x)=(5x+7)\text{e}^{-0,2x}$.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
\begin{enumerate}
	\item Utilisons les résultats de la première partie. Pour tout $x\in[0\,;\, 25]$, \\ $f'(x)=\text{e}^{-0,2x}\left(-0,2ax+a-0,2b\right)=\text{e}^{-0,2x}\left(-0,2\times 5\times x+5-0,2\times 7\right)=(-x+3,6)\text{e}^{-0,2x}$.\\
	Pour tout $x\in[0\,;\, 25]$, $\text{e}^{-0,2x}>0$ donc $f'(x)$ a le même signe que $-x+3,6$.\\
	$-x+3,6\geqslant 0 \iff x \leqslant 3,6$.\\
	Le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle  $[0\,;\,25]$ est :
	 	\begin{center}
	 		{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
	 			\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
	 			\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
	 			\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
	 			$\begin{array}{|c|*5{c}|}
	 			\hline
	 			x & 0  & \esp & 3,6 & \esp & 25 \\ 
	 			\hline
	 			f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
	 			\hline
	 			& &  &   \Rnode{max}{25\text{e}^{-0,72}}  &  &   \\  
	 			f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
	 			& \Rnode{min1}{7} &   &  &  &   \Rnode{min2}{132\text{e}^{-5}} \rule{0pt}{\hauteur}    
	 			\ncline{->}{min1}{max} 
	 			\ncline{->}{max}{min2} 
	 			\\ 
	 			\hline
	 			\end{array} $
	 		}
	 	\end{center}
	 	$f(0)=7$ \hfill{$f(3,6)=(5\times 3,6+7)\text{e}^{-0,2\times 3,6}=25\text{e}^{-0,72}\approx 12,17$} \hfill{$f(25)=(5\times 25+7)\text{e}^{-0,2\times 25}=132\text{e}^{-5}\approx 0,89$}
	 	\item Sur l'intervalle $[0\,;\, 3,6]$, $f(x)\geqslant7$ donc l'équation $f(x)=6$ n'y admet aucune solution.\\
	 	Sur l'intervalle $[3,6\,;\, 25]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante.\\
	 	De plus $6\in [132\text{e}^{-5}\,;\, 25\text{e}^{-0,72}]$. D'après la propriété des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=6$ admet une unique solution  notée $\alpha$ sur l'intervalle $[3,6\,;\,25]$. \`A l'aide de la calculatrice,  $\alpha \approx 12,1$.\\
	 	Pour conclure, l'équation $f(x)=6$ admet donc une solution unique $\alpha \approx 12,1$ sur l'intervalle $[0\,;\, 25]$.
	 	\item Le logiciel de calcul donne une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle  $[0\,;\, 25]$.\\
	 	Donc  $\displaystyle\int_0^{25} f(x)\:\text{d}x=\left[(-25x-160)\text{e}^{-0,2x}\right]_0^{25}=-785\text{e}^{-5}+160\approx 154,711$
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
\begin{enumerate}
	\item 
		\item D'après les questions de la partie précédente, l'aire de la partie hachurée représentant la piscine est égale en unités d'aires à : $\displaystyle\int_0^{25} f(x)\:\text{d}x$ soit $-785\text{e}^{-5}+160$. Or ici une unité d'aire est égale à un mètre carré, donc $A=-785\text{e}^{-5}+160 \; m^2\approx 154,711\; m^2$.
		\item Cherchons la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;\, 25]$ :\\
		$\dfrac{1}{25-0}\displaystyle\int_0^{25} f(x)\:\text{d}x=\dfrac{-785\text{e}^{-5}+160}{25}\approx 6,2$.\\
		L'aire de la partie hachurée est donc égale à l'aire d'un rectangle ayant pour longueur 25, et pour hauteur 6,2. Donc si on remplace la piscine par un bassin rectangulaire ayant la même aire, ses dimensions seraient : $25\,m\times 6,2\,m$.

\end{enumerate}
\end{document}
