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%%%  Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Asie}
\lfoot{\small Baccalauréat ES  }
\rfoot{\small  16  juin 2009}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \blue  \bf  Baccalauréat   Asie  ES  16 juin 2009}\\
\end{center}

\medskip

{\bf \blue \large Exercice 1} \hfill{\bf 5 points}

\textbf{\blue Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $\dfrac{2,16 - 1,90}{1,90} \approx  \np{0,1368}$, 
donc  une augmentation de 13,68\,\% entre 2000 et 2005.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Un ajustement affine est justifié car les points sont
pratiquement alignés.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.05)(7,0.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=1.85,Dy=0.05]{->}(0,0)(7,0.4)
\psdots(1,0.05)(2,0.09)(3,0.16)(4,0.22)(5,0.28)(6,0.31)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{7}{0.055 x mul 0.0008 sub}
\uput[d](6.9,0){$x$}\uput[l](0,0.38){$y$} \uput[dr](6.5,0.35){\blue $D$}
\end{pspicture}		
\end{center}
		\item On obtient grâce à la calculatrice l’équation  : $y = 0,055x + 1,842$
		\item Voir le graphique.
		\item 2010 correspond au rang 11 donc :

$y = 0,055\times 11 + 1,842 = 2,447 \approx  2,45$.
		
En 2010 le prix du kilogramme de pain  sera environ  2,45~\euro.
	\end{enumerate}
\item  On a $2,16 \times (1,015)^5 \approx 2,33$. Suivant cette évolution,
le prix du kilogramme de pain en 2010 sera environ de 2,33~\euro.
\item $0,055x +1,842 \geqslant 2,60 \iff 0,055x \geqslant 0,758 \iff x \geqslant
\dfrac{0,758}{0,055} \approx 13,78$.
	
C’est donc à partir de l’année 2013 (soit au rang  14) que le prix
du kilogramme de pain dépassera 2,60~\euro. (d'après le premier modèle de prévision).
	
$2,16 \times (1,015)^x \geqslant 2,6 \iff (1,015)^x \geqslant \dfrac{2,6}{2,16} \iff x  \ln(1,015) \geqslant \ln \frac{2,6}{2,16} \iff x \geqslant \dfrac{\ln \frac{2,6}{2,16}}{\ln(1,015)} \approx 12,45$.

C’est donc à partir de l’année 2012 (de rang 13) que le prix du kilogramme de pain dépassera 2,60~\euro{} d'après le second modèle de prévision.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{\bf \blue \large Exercice 2} \hfill{\bf 5 points}

\textbf{\blue Enseignement obligatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $p(A) = \dfrac{58}{27} = \dfrac{2}{3}, \:\: p(C) = \dfrac{12}{87} = \dfrac{4}{29}$.

$p_A\left(\overline{R} \right) = \dfrac{1}{2}, \:\: p_C\left(\overline{R} \right) = \dfrac{1}{4}$.

Enfin le nombre de jeunes de 10 à 18 ans est : $87 - (58 + 12) = 87 - 70 = 17$. Donc $p_B\left(\overline{R} \right) = \dfrac{10}{17}$.

Voir l’arbre ci-dessous.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}\taput{$\frac{2}{3}$}}
	{\TR{$R$}\taput{$\frac{1}{2}$}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{$\frac{1}{2}$}
	}
\pstree{\TR{$B$}\taput{$\frac{17}{87}$}}
	{\TR{$R$}\taput{$\frac{7}{17}$}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{$\frac{10}{17}$}
	}
\pstree{\TR{$C$}\tbput{$\frac{4}{29}$}}
	{\TR{$R$}\taput{$\frac{3}{4}$}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{$\frac{1}{4}$}
	}	
}
\end{center}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Il y a 17 jeunes donc $p(B) = \dfrac{17}{87}$.
		\item $p(R \cap A) = p(A)\times p_A(R)$. Or $p_A(R) = 1 - p_A\left(\overline{R} \right) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$. D'où :
		
$p(R \cap A) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$.
		\item  D’après la formule des probabilités totales, on a :

$p(R) = p(R \cap  A) + p(R \cap  B)+ p(R\cap C)$
De la même façon que précédemment :

$p(B \cap R)  = p(B) \times p_B(R) = p(B) \times \left [1 - p_B\left(\overline{R} \right) \right]  = 1 - \dfrac{10}{17} = \dfrac{7}{17}$, donc :

$p(B \cap R)  = \dfrac{17}{87} \times \dfrac{7}{17} = \dfrac{7}{87}$.

Enfin $p(C \cap R)  = p(C) \times p_C(R)  = p(C) \times \left [1 - p_C\left(\overline{R} \right) \right]  = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$, donc :

$p(B \cap R)  = \dfrac{4}{29} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{29}$.

Finalement $p(R) =  \dfrac{1}{3} + \dfrac{7}{87} + \dfrac{3}{29} = \dfrac{29 + 7 + 9}{87} = \dfrac{45}{87} = \dfrac{15}{29}$.
		\item $p_R(A) = \dfrac{p(R \cap A}{p(R)} = \dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{13}{29}} = \dfrac{29}{39}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Les différents prix possibles pour un participant sont 8, 11, 15, 20 et 26 euros.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
prix sans repas en euros &20&15&8\\ \hline
prix avec repas en euros&26&20&11\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

		\item Loi de probabilité de $X$ :
		
8~\euro : $p\left(C \cap \overline{R}\right) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{4}{29} = \dfrac{1}{29}$ ;
		
11~\euro : $p(C \cap R) = \dfrac{3}{29}$ ;

15~\euro : $p\left(B \cap \overline{R}\right) = \dfrac{10}{87} \times \dfrac{17}{87} = \dfrac{10}{87}$.

20~\euro : $p\left(A \cap \overline{R} \right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$.

$p(B \cap R) = \dfrac{7}{87}$, donc $p(X = 20) = p\left(A \cap \overline{R} \right) + p(B \cap R) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{7}{87} = \dfrac{7 + 29}{87} = \dfrac{36}{87} = \dfrac{12}{29}$.

26~\euro : $p(A \cap R) = \dfrac{1}{3}$. D'où le tableau :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X = x_i$ 			  &8			&11				&15				&20				&26\\ \hline
$p\left(X = x_i\right)$&$\dfrac{1}{29}$&$\dfrac{3}{29}$&$\dfrac{10}{87}$&$\dfrac{12}{29}$&$\dfrac{1}{3}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{\bf \blue \large Exercice 2} \hfill{\bf 5 points}

\textbf{\blue Enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a le graphe probabiliste suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(5,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){C}{\small{\textsf{\bleu{C}}}}\cnodeput(4.5,1){R}{\small{\textsf{\bleu{R}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{C}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{R}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{C}{R} \ncarc[arcangle=40]{->}{R}{C}
\rput(0,1){$\dfrac{3}{4}$} \rput(5.2,1){$\dfrac{7}{8}$}
\rput(2.5,2.2){$\dfrac{1}{4}$} \rput(2.5,-0.2){$\dfrac{1}{8}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item En rangeant les états dans l'ordre alphabétique on a la matrice de transition suivante :

 $M = \begin{pmatrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&\frac{7}{8}\end{pmatrix}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Lors du premier lancer la cible est atteinte avec une probabilité de $\frac{1}{10}$, donc 
		
$E_1 = \begin{pmatrix}\frac{1}{10}&\frac{9}{10}\end{pmatrix}$.
		\item On sait que $E_3 = E_1 \times M^2 = \begin{pmatrix}\frac{1}{10}&\frac{9}{10}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}\dfrac{3}{4}&\dfrac{1}{4}\\\dfrac{1}{8}&\dfrac{7}{8}\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}\frac{31}{128}&\frac{97}{128}\end{pmatrix}$.
		
Au troisième lancer la probabilité d'atteindre la cible est égale à $\dfrac{31}{128} \approx 0,24$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si l'état stable est $E = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$, on sait que :

$E  = E \times M \iff \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\dfrac{3}{4}&\dfrac{1}{4}\\\dfrac{1}{8}&\dfrac{7}{8}\end{pmatrix}$ avec $x + y = 1$, soit 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\frac{3}{4} x + \frac{1}{8}y\\
y&=&\frac{1}{4}x + \frac{7}{8}y\\
x + y&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\frac{x}{4} - \frac{y}{8}&=&0\\
-\frac{x}{4} + \frac{y}{8}&=&0\\
x + y&=&0
\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
2x - y&=&0\\
x + y &=& 1
\end{array}\right.\iff$

 
$\left\{\begin{array}{l c l}
3x &=&1\\
x + y &=& 1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\frac{1}{3}\\
y &=&\frac{2}{3}
\end{array}\right.$

Donc l'état stable est $E = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$.
		\item Sur un grand nombre de lancers la probabilité de rater la cible ($\frac{2}{3}$) est égale au double de la probabilité de l'atteindre ($\frac{1}{3}$).
		
L'adulte a raison : $\dfrac{2}{3} = 2 \times \frac{1}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{\bf \blue \large Exercice 3} \hfill{\bf 5 points}

\textbf{\blue Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $t$ est le pourcentage d'augmentation annuel moyen sur les dix ans, on a :

$(1 + t)^{10} = (1 + 0,20)^4 \times (1 + 0,07)^5 \times (1 + 0,06) \iff 1 + t = \left(1,2^4 \times 1,07^5 \times 1,06 \right)^{\frac{1}{10}} \iff $

$t = \left(1,2^4 \times 1,07^5 \times 1,06 \right)^{\frac{1}{10}} - 1 $ soit $t \approx 11,91$ soit 11,9\,\% au dixième près.
\item Si $t$ est le pourcentage d'augmentation en 2009 on doit avoir :

$(1 + t)(1 - 0,05) = 1 \iff (1 + t)\times 0,95 = 1 \iff 1 + t = \dfrac{1}{0,95} \iff t = \dfrac{1}{0,95} - 1 \approx 0,0526$, soit 5,3\,\% au dixième près.
\item Il faut résoudre dans l'ensemble des nombres supérieurs à zéro :

$2\ln x = \ln \dfrac{x}{2} \iff \ln x^2 = \ln \dfrac{x}{2} \iff x^2 = \dfrac{x}{2} \iff x^2 - \dfrac{x}{2} = 0 \iff x\left(x - \dfrac{1}{2} \right) = 0 \iff$

$ x = 0\quad \text{ou} \quad x - \dfrac{1}{2} = 0$. La solution $0$ est interdite reste $x = \dfrac{1}{2}$.
\item Si la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[5~;~+ \infty[$, alors le nombre dérivé $f'(6)$ est négatif. Ceci élimine les trois dernières équations. Reste $y = - 3x + 3$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{\bf \blue \large Exercice 4} \hfill{\bf 5 points}

\textbf{\blue Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x) = - \infty$ d’après la limite d’un produit car $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} \text{e}^{x-4} =  + \infty$ (limite d’une fonction composée)
et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 7 - x = - \infty$.
		\item Pour tout réel supérieur à zéro 
		
$f'(x)  = - 1\times \text{e}^{x-4}+ (7 - x)\text{e}^{x-4} = (6 - x)\text{e}^{x-4}$.
		\item $\text{e}^{x-4} > 0$ donc $f'(x)$ est du même signe que $(6 - x)$, c’est-à-dire positif sur [0~;~6] et négatif sur $[6~;~+ \infty[$.
		
D’où le tableau de variations suivant :
		
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psframe(7,3)\psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){$0$} 
\uput[u](4,2.4){$6$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} \rput(2.5,2.225){$+$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$-$}
\rput(0.5,1){$f(x)$} \uput[u](1.5,0){$7\text{e}^{- 4}$}\uput[d](4,2){$\text{e}^2$}
\uput[u](6.5,0){$- \infty$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\end{pspicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Méthode $1$} $g'( x)= 2h'(x)\times \dfrac{1}{h(x)}$
		
		Sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ on a d'après le tableau de variations $h(x) > 0$ et $h'(x) < 0$ puisque la fonction est décroissante. Donc $g'(x) < 0$ : 
 sur $[0~;~+ \infty[$ la fonction $g$ est décroissante.

\emph{Méthode $2$}  Les fonctions $h$ et $\ln (h)$ ont le même sens de variation sur tout intervalle où $h$ est strictement positive (car la fonction ln est croissante) , ce qui est ici le cas, d’après le tableau de variations de $h$ :
comme $h$ est décroissante la fonction $2\ln h$ est également décroissante.
		\item Comme $\dfrac{x + 5}{x + 1} = \dfrac{1 + \frac{5}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ qui a pour limite 1 au voisinage de plus l'infini, on a 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \dfrac{x + 5}{x + 1} = 0$

La courbe représentative de la fonction $g$ admet donc l’axe des abscisses comme asymptote horizontale en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La courbe $\mathcal{C}_1$ représente la fonction $f$ car c'est la seule qui a ses variations.
		\item Graphiquement, les solutions de l’équation $f(x) = g(x)$ sont les coordonnées des points communs aux courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$.
		
On lit à peu près 3 et 7, valeurs arrondies à l’unité.
		\item Elliot s’est trompé dans le choix de la primitive.

En effet : $\left[\left(7x - \dfrac{1}{2}x^2 \right)\text{e}^{x - 4} \right]' = (7 - x)\text{e}^{x - 4} + \left(7x - \dfrac{1}{2}x^2 \right)\text{e}^{x - 4} = \text{e}^{x - 4}\left(7 - x + 7x  - \dfrac{1}{2}x^2\right) = \left(7 + 6x  - \dfrac{1}{2}x^2\right)\text{e}^{x - 4}  \ne f(x)$.

En fait il a pris le produit de primitives comme primitive du produit, ce qui est faux.

Par contre la primitive de Perrine est correct ainsi que le reste de son calcul.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Application économique}

\medskip

D'après le résultat de la question A. 3. b. une valeur approchée de l'équation $f(x) = g(x)$ est $3$. 

On a $f(3) \approx 1,5$.

Le prix d'équilibre est donc à peu près 1,50~\euro{} par kg  pour une production de \np{3000}~tonnes.
\end{document}