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%Tapuscrit : Arié Yallouz
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
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\begin{document}

\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{ \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES  Asie~\decofourright\\20  juin 2012}}\end{center}
 
\bigskip 

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\
%Une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève  aucun point.}
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro} de la question et \textbf{la réponse choisie} correspondante.
%
%\bigskip

\begin{enumerate}
\item %Le prix d'un article a augmenté de 20 \% puis a baissé de 20 \%. Ce prix : 
	
%\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{@{\textbullet~~}X}} 
%a baissé de 2 \% & a augmenté de 4 \% & n'a pas bougé & a baissé de 4 \% \\
%\end{tabularx}
Le prix est multiplié par 1,2 puis par 0,8 soit par 0,96, donc a baissé de 4\,\%.
\medskip	

\item  %La fonction dérivée de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x)= x^2 \left( \ln x +3 \right)$ est la fonction $f'$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

%\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{@{\textbullet \:}X}} 
%$f'(x)= 2x  \ln x +7$ & $f'(x)= 2x  \ln x +5x$ & $f'(x)= x \left( 2\ln x +7\right)$ & $f'(x)= 2x \times \dfrac{1}{x}$ \\
%\end{tabularx}
On a $f'(x) = 2x(\ln x + 3) + x^2 \times \dfrac{1}{x} = 2x(\ln x + 3) + x = 2x\ln x + 6x + x =  2x\ln x + 7x$.
\medskip	

\item %L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln x -1 \leqslant 0$ est :

%\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{@{\textbullet~~}X}} 
%$]- \infty~;~1]$ & $]- \infty ; \e]$ & $]0~;~\e ]$ & $]0~;~+ \infty[$ \\
%\end{tabularx}
$\ln x$ existe si $x > 0$ ; $\ln x -1 \leqslant 0 \iff \ln x \leqslant 1 \iff x \leqslant \text{e}^1 \iff x \leqslant \text{e}$. Donc $S = ]0~;~\text{e}]$.
\medskip	

\item %On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty [$.

%La fonction $F$ est une de ses primitives sur cet intervalle et la courbe représentative de la fonction $F$ est tracée dans le repère ci-dessous :
%
%\medskip	
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=2cm, yunit =.75cm}
%\begin{pspicture}(0,-3)(4,9)
%\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
%\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\f{1.5*(x-2)*(2*ln(3))^(x/3)}
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,-3)(4,9)
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,-3)(4,9)
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{4}{\f}
%\uput[l](3.6,6.5){\footnotesize{\bleu{$C_F$}}} 
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%\medskip	
%
%L'intégrale $ \displaystyle\int_{2}^{3}{f(x) \; \mathrm {d} x}$ est égale à :
%
%\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{@{\textbullet \:}X}} 
%$\dfrac{ \ln 3}{3}$ & $\ln 3$ & $- \ln 3$ & $3 \ln 3$ \\
%\end{tabularx}
On a $ \displaystyle\int_{2}^{3}{f(x) \; \mathrm {d} x} = F(3) -  F(2)  \approx 3,3 - 0$.

Comme $\ln 3 \approx 1,1$, la seule solution plausible est $3\ln 3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

%\emph{Le ministère de l'Écologie, du Développement durable, des Transports et du Logement précise les enjeux d'une parité homme-femme (égalité de leur représentation) :}
%
%\og Viser une amélioration de la parité homme-femme [\ldots] peut être vu comme une manière d'aider la société à évoluer en mobilisant toutes les compétences \fg.
%
%Le tableau suivant présente la part des femmes dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public de 1998 à 2008, à l'exception de 2007 :
%
%\medskip
%{\small
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année  & 1998 & 1999 & 2000 & 2001 &  2002 & 2003 & 2004  & 2005 & 2006 & 2007  & 2008 \\ \hline
%Rang de l'année $x_i$  	&1 		&2 		&3 		&4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11\\ \hline
%Part des femmes
%  $y_i$ en \% 			&23,2 	&23,4 	&24,2 	&24,9 &24,7 &24,9 &25,4 &25,4 &26 &  &27,2  \\ \hline 
%\multicolumn{12}{r}{\footnotesize{\emph{Sources : ministère de l'Intérieur - DGAFP - Insee - Juillet 2010}}} 
%\end{tabularx} 
%}
%
%\medskip
%
%Ce même tableau est donné en annexe et est complété par les indices des parts des femmes dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public, en prenant 1998 comme année de référence. On a aussi, en annexe, représenté le nuage de points $M_i \left(x_i~;~y_i\right)$, avec $1 \leqslant i \leqslant 11$ associé à la série statistique.
% 
%On se propose d'étudier l'évolution de la part des femmes dans les emplois de cadre.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Calcul d'indices et de pourcentages} :
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que la part des femmes dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public en 2007 est, arrondi au dixième, égale à 26,7\,\%.
		En utilisant les indices 100 et 115 correspondants à la part initiale de 23,2, loin a $23,2 \times \dfrac{115}{100} = 23,2 \times 1,15 = 26,68 \approx 26,7$ au dixième près.
		\item %Calculer l'indice correspondant à l'année 2000. On précisera les calculs sur la copie.
		L'indice correspondant à l'année 2000 est égal à $\dfrac{24,2}{23,2} \times 100 \approx 104,3 \approx 104$ à l'unité près.
		\item %Calculer le pourcentage d'augmentation de la part des femmes entre 2005 et 2006.
On est passé de 25,4 à 26, soit une augmentation de $\dfrac{26 - 25,4}{25,4} \times 100 = \dfrac{0,6}{25,4} \times 100 \approx 2,36 \approx 2,4$~\,\% au dixième près.

À noter qu'en utilisant les indices on trouve 2,75\,\% soit une valeur supérieure à cause des arrondis.
	
%Si l'évolution amorcée entre 2005 et 2006 s'était poursuivie au même rythme, quelle aurait été la part des femmes, en pourcentage, dans  les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public en 2008 ?
Avec la même augmentation les deux années suivantes la part des femmes serait passée de 25,4 en 2005 à $25,4 \times 1,024^3 \approx 27,3$~\,\%. 
	\end{enumerate}
\item \textbf{Ajustement affine}
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ pour l'ensemble des onze points du nuage. \emph{Les coefficients seront arrondis au centième}.
		La calculatrice livre : $y = 0,37x + 22,89$. (coefficients arrondis au centième)
		\item %Tracer cette droite sur le graphique donné en annexe \textbf{à rendre avec la copie}.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Modélisation} : 
	
%On admet que cet ajustement affine permet de faire des prévisions au moins jusqu'en 2013.	
	\begin{enumerate}
		\item %Estimer la part des femmes, en pourcentage, dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public en 2012.
2012 correspond au rang 15 : on lit sur le graphique approximativement : 28,4~\?\%
		\item %Chloé affirme : \og La parité homme-femme dans ce type d'emploi à responsabilité sera atteinte à partir de 2071 \fg.
	
%Confirmer par un calcul l'affirmation de Chloé.
Il faut trouver $x$ tel que $0,37x + 22,89 = 50 \iff 0,37x = 27,11 \iff x = \dfrac{27,11} {0,37} \approx 73,3$. Il faut prendre x = 74 qui correspond à 2071.	
%Son affirmation est-elle pertinente ?
L'affirmation n'est pas pertinente car la modélisation n'est valable que jusqu'en 2012. On ne peut rien dire au-delà.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}


\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

%Une association organise un rallye sportif en VTT : six zones de regroupement sont déterminées et sont reliées par des chemins.
%
%Ce parcours est modélisé par le graphe ci-dessous, où les sommets de A à F représentent les zones de regroupement, et les arêtes les chemins.
%
%Les arêtes sont pondérées par les distances, exprimées en kilomètres, nécessaires pour parcourir ces chemins.
%
%Les candidats sont positionnés initialement sur la zone A et doivent, après avoir parcouru tous les chemins, revenir à la zone initiale.
%
%Chaque fois qu'un candidat emprunte pour la première fois un chemin il doit déposer, à un endroit précis, un jeton personnalisé, attestant son passage.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(0,0)(11,6.5)
%\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
%\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
%\newcommand{\Pg}[1]{\small{\textsf{\prune{#1}}}}% poids des arêtes
%\newcommand{\Sg}[1]{\small{\textsf{\bleu{#1}}}}% Sommet du graphe
%\cnodeput(2.7,4){A}{\Sg{A}} \cnodeput(0,4){B}{\Sg{B}} \cnodeput(8.5,2){C}{\Sg{C}} \cnodeput(11,0){D}{\Sg{D}} \cnodeput(6,6.5){E}{\Sg{E}} \cnodeput(3.5,0){F}{\Sg{F}}
%\psset{linewidth=1pt,linecolor=bleu,shortput=nab}
%\ncline{A}{B}_{\Pg{2}} \ncline{A}{C}^{\Pg{6}} \ncline{A}{E}^{\Pg{4}} \ncline{A}{F}^{\Pg{6}} \ncline{B}{F}^{\Pg{10}} \ncline{C}{D}^{\Pg{2}}  \ncline{C}{E}^{\Pg{4}} \ncline{C}{F}^{\Pg{2}} \ncline{D}{F}^{\Pg{6}}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
	\item %Quel nombre minimal de jetons est-il nécessaire de donner à chaque candidat ?
Les degrés respectifs des sommets A, B, C, D, E, F sont 4 ; 2 ; 4 ; 2 ; 2  ; 4.

Le nombre d'arêtes du graphe est égal à la demi-somme des degrés des sommets soit :

$\dfrac{4 + 2 + 4 + 2 + 2 + 4}{2} = \dfrac{18}{2} = 9$.

Il faudra donc donner au minimum 9 jetons à chaque candidat.	
	\item %Un candidat souhaite faire le parcours, en empruntant tous les chemins une fois et une seule. Est-ce possible ? Justifier la réponse.
Le candidat peut parcourir A B F D C E, donc le graphe est connexe. (ou à l'envers  E C D F B).

On a un graphe connexe dont tous les sommets ont un degré pair : il existe donc un cycle aulérien.
	\item %Soit $M$ la matrice associée au graphe G (on ordonne les sommets dans l'ordre alphabétique).
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire la matrice $M$.
$M = \begin{pmatrix}0&1&1&0&1&1\\1&0&0&0&0&1\\1&0&0&1&1&1\\
0&0&1&0&0&1\\1&0&1&0&0&0\\ \end{pmatrix}$.
		\item %On donne les matrices $M^2 = \begin{pmatrix*}[r] 4&1&2&2&1&2\\ 1&2&2&1&1&1\\ 2&2&4&1&1&2\\ 2&1&1&2&1&1\\ 1&1&1&1&2&2\\ 2&1&2&1&2&4\\ \end{pmatrix*}$ et $M^3 = \begin{pmatrix*}[r] 6&6&9&4&6&9\\ 6&2&4&3&3&6 \\ 9&4&6&6&6&9\\ 4&3&6&2&3&6\\ 6&3&6&3&2&4\\ 9&6&9&6&4&6\\ \end{pmatrix*}$
	
%Un candidat est actuellement au point de rendez-vous D et on lui signale qu'il a oublié son dossard au point B. Devant le récupérer, il souhaite emprunter au maximum trois chemins. Combien a-t-il de possibilités ?
Dans la matrice $M^2$ le terme situé à la quatrième ligne et à la deuxième colonne est égal à 1 : il y a donc une seule chaîne de longueur 2 reliant D à B : D-F-B.

Dans la matrice $M^3$ le terme situé à la quatrième ligne et à la deuxième colonne est égal à 3 : il y a donc trois chaînes de longueur 3 reliant D à B : D-C-A-B, D-C-F-B, D-F-A-B.

Il y a donc tout quatre chemins.
		\item %Donner, le trajet correspondant à la distance la plus courte lui permettant d'aller récupérer son dossard.
Les chemins précédents ont pour longueur respective : 16 ;  10 ; 14 ; 14.		La distance la plus courte est donc de 10~km.

On peut aussi utiliser l'algorithme de Dijskra qui conduit au même résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%L'opérateur téléphonique Boomtel propose à ses abonnés deux types d'accès internet à haut débit :
%
%\begin{itemize}
%	\item un accès internet sur ligne fixe ;
%	\item un accès 3G sur téléphone portable.
%\end{itemize}
%
%Aujourd'hui, l'entreprise fait les constats suivants sur les accès internet à haut débit de ses abonnés :
%
%\begin{itemize}
%	\item 58\,\% des abonnés ont un accès internet sur ligne fixe. Parmi ceux-là, 24\,\% ont également un accès 3G sur téléphone portable ;
%	\item parmi les abonnés qui n'ont pas d'accès internet sur ligne fixe, 13 \% ont un accès 3G sur téléphone portable.
%\end{itemize}
%
%\emph{Rappels de notation: Soient $A$ et $B$ deux évènements,} 
%\begin{itemize}
%	\item \emph{la probabilité de l'évènement $A$ est notée $p(A)$ ;}
%	\item \emph{si $p(B) \ne 0$, $p_B (A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé ;}
%		\item \emph{l'évènement contraire de l'évènement $A$ est noté $\overline{A}$.}
%\end{itemize}
%
%Pour une enquête de satisfaction, la fiche d'un abonné est prélevée au hasard.
%
%Dans cet exercice on note :
%
%\begin{itemize}
%	\item $F$ l'évènement  : \og la fiche est celle d'un abonné qui a un accès internet sur ligne fixe \fg{} ;
%	\item $G$ l'évènement  : \og la fiche est celle d'un abonné qui a un accès 3G sur téléphone portable \fg{}.
%\end{itemize}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %En utilisant les données de l'énoncé, préciser les valeurs de $p(F)$, de $p_F(G)$ et de $p_{\overline{F}}(G)$.
$p(F) = 0,58, \: p_F(G) = 0,24$ et $p_{\overline{F}}(G) = 0,13$.
\item ~%Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F$}\taput{0,58}}
	{
	\TR{$G$} \taput{0,24}
	\TR{$\overline{G}$} \tbput{0,76}	
	}
\pstree{\TR{$\overline{F}$}\taput{0,42}}
	{
	\TR{$G$} \taput{0,13}
	\TR{$\overline{G}$} \tbput{0,87}			
	}
}
\end{center}

\item %Calculer $p\left(F \cap \overline{G} \right)$. Interpréter ce résultat.
$p\left(F \cap \overline{G} \right) = p(F) \times p_F\left(\overline{G} \right) = 0,58 \times 0,76 = \np{0,4408}$.

44,08\,\% des abonnés ont un accès sur la ligne fixe mais pas sur leur téléphone portable.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que la probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un abonné qui n'a pas d'accès 3G sur téléphone portable est de \np{0,8062}.
		D'après la loi des probabilités totales, on a :
		
$p\left(\overline{G} \right) = p\left(F \cap \overline{G} \right) + p\left(\overline{F} \cap \overline{G} \right) = \np{0,4408} + 0,42 \times 0,87 = \np{0,4408} + \np{0,3654} = \np{0,8062}$.
		\item %Peut-on affirmer qu'au moins 25\,\% des abonnés ont un accès 3G sur téléphone portable ?
		On a $p(G) = 1 - p\left(\overline{G} \right) = 1 - \np{0,8062} = \np{0,1938}$ soit moins de 20\,\% des abonnés ont un accès internet sur leur portable.
	\end{enumerate}
\item %On prélève successivement les fiches de trois abonnés. On admet que le nombre de fiches est suffisamment grand pour qu'on puisse assimiler le tirage à un tirage avec remise.

%Calculer la probabilité qu'exactement une des fiches tirées soit celle d'un abonné qui n'a pas d'accès 3G sur téléphone portable.
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p\left(\overline{G} \right) = \np{0,8062}$.

Les tirages favorables sont : $\overline{G}GG$ ou $G\overline{G}G$ ou $GG\overline{G}$, donc trois issues favorables. La probabilité qu'exactement une des fiches tirées soit celle d'un abonné qui n'a pas d'accès 3G sur téléphone portable est donc :

$3 \times \np{0,8062} \times (1 - \np{0,8062})^2 \approx 0,0908$.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%On s'intéresse à une entreprise de détergents industriels. Elle produit chaque jour une quantité $q$ en tonnes comprise entre 0 et 20. On rappelle que :
%\begin{itemize}
%	\item Le coût marginal $C_m(q)$ est la variation du coût obtenue par la production et la vente d'une tonne supplémentaire de détergent sachant qu'on en a déjà vendu une quantité de $q$ tonnes.
%	\item Le bénéfice marginal $B_m(q)$ est la différence entre le prix unitaire et le coût marginal $C_m(q)$.
%\end{itemize}
%
%\bigskip

\textbf{Partie A : Aspect graphique}

\medskip

%Dans le repère suivant, on donne :
%
%\begin{itemize}
%	\item la courbe représentative $\Gamma_m$ de la fonction $C_m$ correspondant au coût marginal en milliers d'euros ;
%	\item la courbe représentative $D$ de la fonction $U$ correspondant au prix de vente unitaire em milliers d'euros ;
%	\item Le point $A\left(a~;~C_m(a) \right)$, sommet de la courbe $\Gamma_m$.
%\end{itemize}
%
%\begin{center}
%
%{
%\psset{xunit =.6cm, yunit=.6cm}
%\begin{pspicture}(-2,-1)(20,11.5)
%\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
%\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\f{.5*x+(4-x)*EXP(1-.25*x)}
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(20,11)
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-0.9,-.5)(20,11.5)
%\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}  
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{20}{\f}
%\psline[linecolor=prune,linewidth=1.25pt](0,7)(20,7) 
%\uput[ul](19,9) {\bleu{$\Gamma_m$}} 
%\uput[ul](19,7) {\prune{$D$}} 
%\psline[linecolor=prune,linewidth=.75pt, linestyle=dashed](5.25969,0)(5.25969,1.71047) (0,1.71047) 
%\psdot[linecolor=prune](5.25969,1.71047)
%\uput[ur](5.25969,1.71047){\prune{$A$}} 
%\uput[l](0,1.71047) {\prune{$C_m(a)$}} 
%\uput[d](5.25969,0) {\prune{$a$}} 
%\end{pspicture}
%}
%
%\end{center}
%
%Répondre aux questions suivantes sans justifier : 

\begin{enumerate}
	\item %Déterminer graphiquement  $C_m(4)$.
	On lit $C_m(4) = 2$.
	\item %Déterminer graphiquement  $B_m(4)$.
	Le prix de vente unitaire est de 7 milliers d'euros, donc  $B_m(4) = 7 - 2 = 5$.	
%	Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'entreprise.
Le bénéfice marginal est égal à 5 milliers d'euros, donc l'entreprise gagnera \np{5000}~\euro{} en produisant une tonne supplémentaire.
	\item %Pour quelle(s) quantité(s), en tonnes, le bénéfice marginal est-il nul ?
Le bénéfice marginal quand	le coût marginal est égal au coût unitaire. Sur le graphique les deux courbes ont deux points communs l'un pour $q \approx 1$ et l'autre pour $q \approx 15,5$.
%	(\emph{les valeurs seront données à la demi-tonne près}).
	\item %En déduire un encadrement de la quantité à produire, en tonnes, pour obtenir un bénéfice marginal positif.
	Le bénéfice marginal est positif quand le prix de vente unitaire est supérieur au coût marginal, soit entre 1 et 15,5 tonnes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Aspect algébrique}

\medskip
 
%Dans cette partie, le coût marginal est donné par $C_m(q) =0,5 q + (4-q) \e^{(1-0,25q)}$ pour $q$ appartenant à l'intervalle $[0~;~20]$ et le prix de vente unitaire est donné par $U(q)=7$ pour $q$ appartenant à l'intervalle $[0~;~20]$. On admet que la fonction $C_m$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~20]$.
%
%Le tableau de variation de la fonction $C_m$ est donné ci-dessous. On admet que le nombre réel $a$ est compris entre 5 et 6.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(12,3.6)
%\psset{linewidth=.5pt}
%\psframe(12,3.6) \psline(2,0)(2,3.6) \psline(0,2.8)(12,2.8)\psline(0,2)(12,2) 
%\rput(1,3.2){$q$}\rput(2.75,3.2){0} \rput(7,3.2){$a$} \rput(11.25,3.2){20} 
%\rput(1,2.4){$C_m'(q)$} \rput(4.75,2.4){$-$} \pnode(7,2.8){m1}\pnode(7,2){m2}
%\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.25,2.4){$+$} 
%\rput(1,1){$C_m(q)$} \rput(2.75,1.7){\rnode{A}{$C_m(0)$}} \rput(7,.3){\rnode{B}{$C_m(a)$}} \rput(11.25,1.7){\rnode{C}{{$C_m(20)$}}} 
%\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
%\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}
%\end{pspicture}
%\end{center}
   
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que l'équation $C_m(q) = 7$ admet une unique solution $q_0$ dans l'intervalle $[10~;~20]$.
On a $C_m(10) = 5 - 6\text{e}^{-1,5} \approx 3,67$ \quad;\quad $C_m(20) = 10 - 16\text{e}^{-4} \approx 9,7$.

La fonction $C_m$ est continue et croissante sur [10~;~20] et $C_m{10} < 7 < C_m(20)$ : il existe donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire un unique réel $q_0$ de [10~;~20] tel que $C_m\left(q_0\right) = 7$.
		\item %À l'aide de votre calculatrice, donner un arrondi de $q_0$ au dixième.
La calculatrice donne $C_m(15) \approx 6,8$ et $C_m(16) \approx 7,4$, puis 

$C_m(15,3) \approx 6,98$ et $C_m(15,4) \approx 7,04$ et enfin 

$C_m(15,33) \approx 6,998$ et $C_m(15,34) \approx 7,004$. Conclusion $q_0 \approx 15,3$.
		\item %Donner, en justifiant, la valeur de $B_m\left(q_0\right)$.
On a $B_m\left(q_0 \right) = 7 - C_m\left(q_0 \right) = 7 - 7 = 0$. Ce résultat est cohérentavec la question 3 de la partie A.	
%Ce résultat est-il cohérent avec la question 3 de la partie A ?	
\end{enumerate}
\item %Vérifier que la fonction $C$, définie sur l'intervalle $[0 ;20]$ par : \[C(q)=10 +0,25 q^2 +4q \e^{[1-0,25 q)}\]
%est une primitive de la fonction $C_m$. Cette fonction $C$ est la fonction coût total.
On calcule sur [10~;~20] : $C'(q) = 2 \times 0,25q + 4\e^{1-0,25 q} + 4q \times (- 0,25)\e^{1-0,25 q} = 0,5q + 4\e^{1-0,25 q} - q\e^{1-0,25 q} = 0,5q + (4 - q)0,5\e^{1-0,25 q} = C_m(q)$.

Conclusion $C$ est une primitive de $C_m$ sur [10~;~20].
\item %Déterminer le bénéfice total obtenu pour la fabrication et la vente de 15,3 tonnes de détergent.
Sachant que la recette pour la vente de $q$ tonnes est égale à $7q$ (en milliers d'euros), le bénéfice pour la vente de $q$ tonnes de détergent est égal à :

$B(q) = 7q - C(q) = 7q - \left(10 +0,25 q^2 +4q \e^{1-0,25 q} \right)$.

Donc pour la vente de 5,3 tonnes le bénéfice est égal à :

$B(5,3) = 7 \times 15,3 - 10 - 0,25 \times 15,3^2\text{e}^{1 - 0,25 \times 15,3} \approx 34,948$.

Pour la vente de 15,3~$t$ de détergent le bénéfice est environ de \np{34948}~\euro. (bénéfice maximum)
\end{enumerate}
 
%\newenvironment{changemargin}[2]{\begin{list}{}{%
%\setlength{\topsep}{0pt}%
%\setlength{\leftmargin}{0pt}%
%\setlength{\rightmargin}{0pt}%
%\setlength{\listparindent}{\parindent}%
%\setlength{\itemindent}{\parindent}%
%\setlength{\parsep}{0pt plus 1pt}%
%\addtolength{\leftmargin}{#1}%
%\addtolength{\rightmargin}{#2}%
%}\item }{\end{list}}
%\begin{changemargin}{-1cm}{-1cm}

\begin{center}
{\Large \textsc{\textbf{annexe de l'exercice 2 à rendre avec la copie}}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\end{center}

%\vspace{2cm}
%
%\textsc{\textbf{tableau :}}
%
%\medskip 
%
%Ce tableau présente la part des femmes dans les emplois de cadre du secteur privé ou semi-public ainsi que les indices de ces parts en prenant 1998 comme année de référence.
%
%\medskip
%\begin{footnotesize}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.4cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année  & 1998 & 1999 & 2000 & 2001 &  2002 & 2003 & 2004  & 2005 & 2006 & 2007  & 2008 \\ \hline
%Rang  $x_i$  & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\ \hline
%Part  $y_i$ en \%  \rule[-2ex]{0pt}{5ex} & 23,2 & 23,4 & 24,2 & 24,9 & 24,7 &  24,9 & 25,4 & 25,4 & 26 &  & 27,2  \\ \hline 
%Indice des parts arrondi à l'unité & 100 & 101 &  & 107 & 106 &  107 & 109 & 109 & 112 & 115 & 117  \\ \hline 
%\multicolumn{12}{r}{\footnotesize{\emph{Sources : ministère de l'Intérieur - DGAFP - Insee - Juillet 2010}}} 
%\end{tabularx} 
%\end{footnotesize}
\vspace{1cm}

\textsc{\textbf{nuage de points :}}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm, yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-.5,-1)(15,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0, gridlabels=0](0,0)(15,10)
%\psset{xunit=1cm, yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Oy=20]{-}(0,0)(15,10)
\savedata{\nuage}[(1,3.2) (2,3.4) (3, 4.2) (4, 4.9) (5,4.7) (6, 4.9) (7,5.4) (8,5.4) (9,6) (10,6.7)  (11,7.2) ]
\dataplot[dotstyle=*,linecolor=bleu,plotstyle=dots]{\nuage}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{15}{0.37 x mul 2.89 add}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip 
%\end{changemargin}
\end{document}