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%Tapuscrit et corrigé : François Hache
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%%% Commandes perso FH
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\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%     crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
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\setlength{\marginparwidth}{50pt}% largeur de la marge pour y écrire des notes
%\setlength{\marginparsep}{10pt}% largeur entre texte et note de marge
%\setlength{\marginparpush}{5pt}% distance verticale entre deux notes de marge
% Commande Denis Vergès
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% permet d'avoir a. au lieu de (a) dans une énumération de niveau 2
% voir : http://cahiers.gutenberg.eu.org/cg-bin/article/CG_1994___17_32_0.pdf
%%% Arc
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%%%\DeclareMathAccent{\wideparen}{\mathord}{largesymbols}{"F3}
%%% Repères
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
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% Commandes FH à mettre APRES hyperref
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{23 juin 2016}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES -- Asie~\decofourright\\[5pt]23 juin 2016}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative $\mathcal C_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\cd -1\,;\,5\cg$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La courbe $\mathcal C_f$ passe par le point $A\,(0\,;\,1)$ et par le point $B$ d'abscisse 1.

La tangente $T_0$ à la courbe au point $A$ passe par le point $C\,(2\,;\,3)$ et la tangente $T_1$ au point $B$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\psset{unit=1.7cm,comma=true}
\def\xmin {-1.2}     \def\xmax {5.2}
\def\ymin {-0.3}     \def\ymax {3.2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}(-2,-1)(6,4)
\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0,griddots=20, gridcolor=gray,] 
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt,Dy=0.5](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){$O$}
%\psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,180]

\def\f{x x 2 add mul 1 add 2.7183 -1 x mul exp mul}% définition de la fonction

\def\inf{0} \def\sup{2}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}

\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{-1}{5}{\f}%   f
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{\xmin}{\xmax}{x 1 add}%   Tangente en A
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{\xmin}{\xmax}{1.47}%   Tangente en B

\psdot(0,1)         \uput[dr](0,1){$A$}
\psdot(1,1.47)      \uput[ur](1,1.47){$B$}
\psdot(2,3)         \uput[ul](2,3){$C$}

\uput[dr](1.5,2.5){$T_0$}
\uput[u](4.5,1.5){$T_1$}
\uput[ur](4.5,0.336){\blue $\mathcal C_f$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\subsubsection*{\textsc{Partie A}}

%\emph{Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des question, une seule des réponses proposées est correcte.\\
%Une bonne réponse rapporte 0,75 point.\\
%Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.\\
%Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\begin{enumerate}
\item La valeur exacte de $f'(1)$ est:

\begin{multicols}{4}
\fbox{\textbf{a.}~~0}

\columnbreak

\textbf{b.}~~1

\columnbreak

\textbf{c.}~~1,6

\columnbreak

\textbf{d.}~~autre réponse

\end{multicols}

La tangente en $B$ est horizontale donc son coefficient directeur est nul:$f'(1)=0$.

\item La valeur exacte de $f'(0)$ est:

\begin{multicols}{4}
\textbf{a.}~~0

\columnbreak

\fbox{\textbf{b.}~~1}

\columnbreak

\textbf{c.}~~1,6

\columnbreak

\textbf{d.}~~autre réponse

\end{multicols}

Le coefficient directeur de la droite $(AC)$ est 1: $f'(0)=1$. 

\item La valeur exacte de $f(1)$ est:

\begin{multicols}{4}
\textbf{a.}~~0

\columnbreak

\textbf{b.}~~1

\columnbreak

\textbf{c.}~~1,6

\columnbreak

\fbox{\textbf{d.}~~autre réponse}

\end{multicols}

L'ordonnée de $B$ est un peu inférieure à 1,5.

\item Un encadrement de $\ds\int_{0}^2 f(x) \d x$ par des entiers naturels successifs est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.}~~$3 \pp \ds\int_{0}^2 f(x) \d x \pp 4$
& \fbox{\textbf{b.}~~$2 \pp \ds\int_{0}^2 f(x) \d x \pp 3$}\\[8pt]
\textbf{c.}~~$1 \pp \ds\int_{0}^2 f(x) \d x \pp 2$
& \textbf{d.}~~autre réponse
\end{tabularx}

En comptant les carreaux, on obtient la réponse.

\end{enumerate}

\subsubsection*{\textsc{Partie B}}

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $F$ définie sur $\cd -1\,;\,5\cg$ par $F(x)=-(x^2+4x+5)\e^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item% En déduire l'expression de $f(x)$ sur $\cd -1\,;\,5\cg$.
$f(x)= F'(x)=-(2x+4)\e^{-x} + (-(x^2+4x+5))(-1)\e^{-x}
= (-2x-4+x^2 +4x+5)\e^{x} = (x^2+2x+1)\e^{-x}$

\item% Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine du plan limité par la courbe $\mathcal C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$.
La fonction $f$ est positive sur $\cd 0~;~2\cg$ donc l'aire du domaine du plan limité par la courbe $\mathcal C_f$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x=0$ et $x=2$ est
$\mathcal A= \ds\int_{0}^2 f(x) \d x$.

$\mathcal A= \ds\int_{0}^2 f(x) \d x
= F(2)-F(0)
= \left(  -(4+8+5)\e^{-2}\right)  - \left (-(0+0+5)\e^{0}\right )
= -17\e^{-2} + 5
$ u.a.

\smallskip

\emph{Une valeur approchée de cette aire est 2,7 ce qui valide la réponse de la question 4 de la partie A.}

\end{enumerate}

\item% Montrer que sur l'intervalle $\cd 1\,;\,5\cg$, l'équation $f(x)=1$ admet au moins une solution.
La fonction $f$ est dérivable donc continue sur $\cd 1\,;\,5\cg$.

$f(1)=4\e^{-1} \approx 1,47>1$ et $f(5)=36\e^{-5} \approx 0,24<1$
donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=1$ admet au moins une solution dans l'intervalle $\cd 1~;~5\cg$.

\smallskip

\emph{En étudiant les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\cd 1\,;\,5\cg$, on peut démontrer que l'équation $f(x)=1$ admet une solution unique sur cet intervalle.}

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill Commun  à tous les candidats\hfill 6 points}
 
%\textbf{Commun  à tous les candidats}
%
%\medskip
%
%\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
%
%\textbf{Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir au millième.}
%
%\medskip

Une entreprise produit en grande série des clés USB pour l'industrie informatique.

\subsubsection*{\textsc{Partie A}}

On prélève au hasard 100 clés dans la production de la journée pour vérification. La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 clés.

On admet que la probabilité qu'une clé USB prélevée au hasard dans la production d'une journée soit défectueuse est égale à 0,015.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de clés défectueuses de ce prélèvement.

\begin{enumerate}
\item% Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Pour une clé, il n'y a que deux issues : elle est défectueuse, avec une probabilité $p=0,015$, ou elle n'est pas défectueuse, avec la probabilité $1-p$.

La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 clés.

On peut en déduire que la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de clés défectueuses dans le lot de 100 clés suit la loi binomiale de paramètres $n=300$ et $p=0,015$.

\item% Calculer les probabilités $p(X=0)$ et $p(X=1)$.
Quand une variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, la probabilité de l'événement $X = k$ est donnée par:

\[p(X=k)= \ds\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}.\]

On en déduit que $p(X=0) \approx 0,221$ et $p(X=1)\approx 0,336$.

\item Au plus deux clés soient défectueuses correspond à l'événement $X\pp 2$:

$p(X \pp 2) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2)
\approx 0,221 + 0,336 + 0,253 \approx 0,810$

La probabilité qu'au plus deux clés soient défectueuses est environ 0,810.

\end{enumerate}

\subsubsection*{\textsc{Partie B}}

Une clé est dite conforme pour la lecture lorsque sa vitesse de lecture, exprimée en Mo/s, appartient à l'intervalle $\cd 98\,;\,103\cg$. Une clé est dite conforme pour l'écriture lorsque sa vitesse d'écriture exprimée en Mo/s appartient à l'intervalle $\cd 28\,;\,33\cg$.

\begin{enumerate}
\item On note $R$ la variable aléatoire qui, à chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse de lecture. On suppose que la variable aléatoire $R$ suit la loi normale d'espérance $\mu=100$ et d'écart-type $\sigma=1$.

%Calculer la probabilité qu'une clé soit conforme pour la lecture.

Une clé est conforme pour la lecture quand $98 \pp R \pp 103$, sachant que la variable aléatoire $R$ suit la loi normale de paramètres $\mu=100$ et $\sigma=1$.

La calculatrice donne $p(98 \pp X \pp 103) \approx 0,976$.

\item On note $W$ la variable aléatoire qui, chaque clé prélevée au hasard dans le stock, associe sa vitesse d"écriture On suppose que la variable aléatoire $W$ suit une loi normale. 

Le graphique ci-après représente la densité de probabilité de la variable aléatoire $W$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {25.5}   \def\xmax {34.5}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)

\def\m{30}% moyenne 
\def\s{1}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}

\def\inf{28} \def\sup{32}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}

\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\psline(\xmin,0)(\xmax,0)

\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)

\multido{\i=26+1}{9}
{
\uput[d](\i,0){\small \i}
\psline(\i,0)(\i,-0.01)
}

\end{pspicture*}
\end{center}


%L'unité d'aire est choisie de façon à ce que l'aire sous la courbe soit égale à un et l'aire grisée est environ égale à 0,95 unité d'aire. La droite d'équation $x=30$ est un axe de symétrie de la courbe.
%
%Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $W$. Justifier. 

La fonction densité d'une loi normale d'espérance $\mu$ est représentée par une courbe en cloche dont l'axe de symétrie est la droite d'équation $x=\mu$. On sait que la droite d'équation $x=30$ est axe de symétrie donc on peut en déduire que $\mu=30$.

D'après le cours, pour toute variable aléatoire $W$ suivant une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$, on sait que $p(\mu - 2\sigma \pp W \pp \mu + 2\sigma) \approx 0,95$.

D'après le texte, $p(28 \pp W \pp 32) \approx 0,95$ et on sait que $\mu=30$; donc $2\sigma=2$ et donc $\sigma=1$.

\end{enumerate}


\subsubsection*{\textsc{Partie C}}

Dans cette partie, on considère une grande quantité de clés devant être livrées à un éditeur de logiciels. On considère un échantillon de $100$~clés prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.

On constate que 94 clés sont sans défaut donc la fréquence de clés sans défaut dans cet échantillon est $f=\dfrac{94}{100}=0,94$.

%\smallskip

%Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la proportion des clés USB qui sont sans défaut.

Un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, est donné par:
$I=\left [ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}\right ]$.

$f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} = 0,94 - 0,1 = 0,84$;
$f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} = 0,94 + 0,1 = 1,04$ que l'on remplacera par 1 car une probabilité ne peut dépasser 1.
L'intervalle de confiance est donc $\cd 0,84~;~1\cg$.

\smallskip

\emph{Remarque}

Le programme de la classe de terminale ES précise à propos de l'intervalle de confiance:

\og Il est important de noter que, dans d'autres champs, on utilise l'intervalle
 
\[\left [ f-1,96\dfrac{\ds\sqrt{f(1-f)}}{\ds\sqrt{n}}~;~f+1,96\dfrac{\ds\sqrt{f(1-f)}}{\ds\sqrt{n}}\right ]\]

qu'il n'est pas possible de justifier dans ce programme.\fg

\smallskip

Dans cet exercice on trouverait environ  $\cd 0,89~;~0,99\cg$ ce qui éloignerait l'inconvénient de la borne supérieure dépassant 1.

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill {\small \'Elèves de ES n'ayant pas suivi la spécialité mathématiques, et élèves de L} \hfill 5 points}
 
%\textbf{\'Elèves de ES n'ayant pas suivi la spécialité mathématiques, et élèves de L}
%
%\medskip

Le 1\ier{} septembre 2015, un ensemble scolaire compte \np{3000} élèves.


\begin{list}{\textbullet}{Une étude statistique interne a montré que chaque 1\ier{} septembre:}
\item 10\,\% de l'effectif quitte l'établissement;
\item 250 nouveaux élèves s'inscrivent.
\end{list}

On cherche à modéliser cette situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre d'élèves le 1\ier{} septembre de l'année $2015+n$.

\begin{enumerate}
\item% Justifier qu'on peut modéliser la situation avec la suite $(u_n)$ telle que $u_0=\np{3000}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,9\,u_n+250$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item L'année 2015 correspond à $n=0$ et on sait que cette année-là, l'établissement compte \np{3000} élèves; donc $u_0=\np{3000}$.

\item On sait que 10\,\% des élèves quittent l'établissement, donc il en reste 90\,\%, ce qui revient à multiplier par $0,9$.
Comme 250 nouveaux élèves s'inscrivent chaque année, il faut rajouter 250.

Donc, pour tout $n$, $u_{n+1}=0,9\,u_n+250$. 

\end{list}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n-\np{2500}$, donc $u_n=v_n+\np{2500}$.

\begin{enumerate}
\item% Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,9. Préciser $v_0$.
$v_{n+1}=u_{n+1}-\np{2500} = 0,9\,u_n +250 - \np{2500}
= 0,9\,(v_n+\np{2500}) - \np{2250}
= 0,9\,v_n +\np{2250}-\np{2250}
= 0,9\,v_n$

$v_0 = u_0-\np{2500} = \np{3000} - \np{2500} = 500$

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme $v_0=500$.

\item% Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
D'après le cours, on peut dire que pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n = 500 \times 0,9^n$.

Comme $u_n=v_n+\np{2500}$, on peut en déduire que pour tout entier naturel $n$, 

$u_n=500\times 0,9^n + \np{2500}$.

\end{enumerate}

\item% Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n = -50\times 0,9^n$.
$u_{n+1}-u_n = \left (500\times 0,9^{n+1}+\np{2500}\right ) - \left (500\times 0,9^n + \np{2500} \right )
= 500\times 0,9 \times 0,9^n - 500 \times 0,9^n$

$= (450 - 500) \times 0,9^n = -50\times 0,9^n$

%En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Pour tout $n$, $-50\times 0,9^n<0$; on en déduit que $u_{n+1}-u_n<0$ et donc que la suite $(u_n)$ est décroissante.

\item La capacité optimale d'accueil est de \np{2800} élèves. Ainsi, au 1\ier{} septembre 2015, l'ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 élèves.

On veut déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l'ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif; cela arrivera la première année pour laquelle l'effectif sera inférieur ou égal à \np{2800}.

Comme la suite $(u_n)$ est décroissante, ce sera également le cas pour les années qui suivront.

Voici un algorithme qui répond au problème:

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|>\bf{l} l|}
\hline
Variables & $n$ entier et $u$ réel\\
\hline
Initialisation & $n$ prend la valeur 0\\
               & $u$ prend la valeur \np{3000}\\
\hline
Traitement & Tant que $u > \np{2800}$ faire\\
           & \hspace*{1cm} $n$ prend la valeur $n+1$\\
           & \hspace*{1cm} $u$ prend la valeur $0,9\times u + 250$\\
           & Fin de Tant que\\
\hline
Sortie & Afficher $n$\\
\hline
\end{tabular}
}
\end{center}


\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill \'Elèves de ES ayant suivi la spécialité mathématiques \hfill 5 points}
 
%\textbf{\'Elèves de ES ayant suivi la spécialité mathématiques}
%
%\medskip

\subsubsection*{\textsc{Partie A}}

On considère le graphe $\mathcal G$ ci-dessous

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(11,3)
\small
%%% ligne du milieu
\cnodeput(0,0){A}{$A$} \cnodeput(2.5,0){C}{$C$} \cnodeput(5,0){F}{$F$}
\cnodeput(7.5,0){I}{$I$} \cnodeput(10,0){K}{$K$}
%%% ligne du bas
\cnodeput(2.5,-2.5){B}{$B$} \cnodeput(5,-2.5){E}{$E$} \cnodeput(7.5,-2.5){H}{$H$}
%%% ligne du haut
\cnodeput(2.5,2.5){D}{$D$} \cnodeput(5,2.5){G}{$G$} \cnodeput(7.5,2.5){J}{$J$}
%%% arêtes
\ncline{A}{B} \ncline{A}{C} \ncline{A}{D}
\ncline{C}{E} \ncline{C}{F} \ncline{C}{G} 
\ncline{F}{H} \ncline{F}{I} \ncline{F}{J}
\ncline{B}{E} \ncline{B}{F}
\ncline{D}{F} \ncline{D}{G}
\ncline{E}{I} \ncline{E}{H}
\ncline{H}{K} \ncline{I}{K} \ncline{J}{K}
\ncline{G}{J} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item% En justifiant la réponse, dire si ce graphe admet une chaîne eulérienne. 

%Si oui, donner une telle chaîne.

Une chaîne eulérienne contenue dans un graphe est un chemin qui part d'un sommet et qui passe par toutes les arêtes pour arriver à un autre sommet, ou au même (il s'agit alors d'un cycle eulérien).

D'après le théorème d'\textsc{Euler}, un graphe admet une chaîne eulérienne si et seulement s'il possède exactement zéro ou deux sommets de degrés impairs.

Déterminons les degrés des sommets de ce graphe:

\begin{center}
$\begin{array}{|*{12}{c|}}
\hline
\text{Sommets} & A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K\\
\hline
\text{Degrés} & 3 & 3 & 4 & 3 & 4 & 6 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

Ce graphe possède plus de deux sommets de degrés impairs, donc il ne contient pas de chaîne eulérienne.

\item On considère la matrice $M$ ci-après ($a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres réels).


\[\small
M=
\left(
\begin{array}{*{11}{c}}
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
1 & 0 & 0 & a & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & b & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & c & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & d & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 
\end{array}
\right)
\]

\begin{enumerate}
\item% Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ et $d$ pour que la matrice $M$ représente la matrice d'adjacence associée au graphe $\mathcal G$, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique.
La matrice d'adjacence du graphe est composée de 0 et de 1. On met un 0 à la ligne $i$ et la colonne $j$ s'il n'existe pas d'arête entre le sommet numéro $i$ et le sommet numéro $j$. S'il y en a une, on met 1.

La lettre $a$ est située à la ligne 3 et la colonne 4; ce sera donc 0 s'il existe une arête entre le sommet 3 ($C$) et le sommet 4 ($D$). Il n'y a pas d'arête reliant $C$ à $D$ donc $a=0$.

La lettre $b$, située ligne 4 et colonne 7, marque s'il existe une arête entre le sommet 4 ($D$) et le sommet 7 ($G$). C'est le cas donc $b=1$.

La lettre $c$ marquera une arête entre les sommets 9 ($I$) et 5 ($E$); il y en a une donc $c=1$.

La lettre $d$ marquera une arête entre les sommets 11 ($K$) et 5 ($E$); il n'y en a pas donc $d=0$.

\item On donne

\[\small
M^3=
\left(
\begin{array}{ccccccccccc}
0 & 8 & 10 & 8 & 0 & 0 & 0 & 5 & 5 & 5 & 0 \\ 
8 & 0 & 0 & 0 & 10 & 13 & 6 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 
10 & 0 & 0 & 0 & 11 & 16 & 9 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 
8 & 0 & 0 & 0 & 7 & 12 & 8 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 
0 & 10 & 11 & 7 & 0 & 0 & 0 & 10 & 10 & 7 & 0 \\ 
0 & 13 & 16 & 12 & 0 & 0 & 0 & 13 & 13 & 12 & 0 \\ 
0 & 6 & 9 & 8 & 0 & 0 & 0 & 5 & 5 & 7 & 0 \\ 
5 & 0 & 0 & 0 & 10 & 13 & 5 & 0 & 0 & 0 & 8 \\ 
5 & 0 & 0 & 0 & 10 & 13 & 5 & 0 & 0 & 0 & 8 \\ 
5 & 0 & 0 & 0 & 7 & 12 & 7 & 0 & 0 & 0 & 7 \\ 
0 & 5 & 6 & 4 & 0 & 0 & 0 & 8 & 8 & 7 & 0
\end{array}
\right) 
\]

%Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant $A$ à $J$. Préciser ces chemins.

Le sommet $A$ est le numéro 1; le sommet $J$ est le numéro 10. Le nombre de chemins de longueur 3 est le nombre situé dans la matrice $M^3$ à la ligne 1 et la colonne 10. C'est 5 donc il y a 5 chemins de longueur 3 reliant $A$ à $J$.

Ce sont:
$AD - DF - FJ$;
$AD - DG - GJ$;
$AC - CG - GJ$;
$AC - CF - FJ$;
$AB - BF - FJ$

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsubsection*{\textsc{Partie B}}

On oriente et on pondère le graphe $\mathcal G$ ci-dessus pour qu'il représente un réseau d'irrigation. 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm,arrowscale=1.5}
\begin{pspicture}(-1,-3)(11,3)
%%% ligne du milieu
\cnodeput(0,0){A}{$A$} \cnodeput(2.5,0){C}{$C$} \cnodeput(5,0){F}{$F$}
\cnodeput(7.5,0){I}{$I$} \cnodeput(10,0){K}{$K$}
%%% ligne du bas
\cnodeput(2.5,-2.5){B}{$B$} \cnodeput(5,-2.5){E}{$E$} \cnodeput(7.5,-2.5){H}{$H$}
%%% ligne du haut
\cnodeput(2.5,2.5){D}{$D$} \cnodeput(5,2.5){G}{$G$} \cnodeput(7.5,2.5){J}{$J$}
%%% arêtes
\ncline{->}{A}{B} \ncput*{2}
\ncline{->}{A}{C} \ncput*{5} 
\ncline{->}{A}{D} \ncput*{3}
\ncline{->}{C}{E} \ncput*[npos=0.75]{3}  
\ncline{->}{C}{F} \ncput*{2} 
\ncline{->}{C}{G} \ncput*[npos=0.75]{5}    
\ncline{->}{F}{H} \ncput*[npos=0.75]{3}   
\ncline{->}{F}{I} \ncput*{4} 
\ncline{->}{F}{J} \ncput*{5}
\ncline{->}{B}{E} \ncput*{6} 
\ncline{->}{B}{F} \ncput*[npos=0.75]{2}  
\ncline{->}{D}{F} \ncput*[npos=0.75]{4}   
\ncline{->}{D}{G} \ncput*{5}
\ncline{->}{E}{I} \ncput*[npos=0.75]{2}  
\ncline{->}{E}{H} \ncput*{1}
\ncline{->}{H}{K} \ncput*{2} 
\ncline{->}{I}{K} \ncput*{3} 
\ncline{->}{J}{K} \ncput*{3}
\ncline{->}{G}{J} \ncput*{5} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le sommet $A$ correspond au départ d'eau, le sommet $K$ au bassin d'infiltration et les autres sommets représentent les stations de régulation.

\item Les arêtes représentent les canaux d'irrigation et les flèches, le sens du ruissellement. 

\item La pondération donne, en km, les distances entre les différentes stations du réseau.
\end{list}

Pour déterminer un chemin de longueur minimale entre le départ d'eau en $A$ et le bassin d'infiltration en $K$, on utilise l'algorithme de Dijkstra:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
%\small
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{|*{11}{>{\ca}p{0.8cm}|} c |}
\hline 
 $A$ &  $B$ & $C$ & $D$ & $E$ & $F$ & $G$ & $H$ & $I$ &  $J$ & $K$   &{\small On garde} \\ 
\hline 
0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $A$ \\
\hline
 & \sur{2 $A$} & 5 $A$ & 3 $A$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $B~(A)$ \\
\hline
 & & 5 $A$ & \sur{3 $A$} & 8 $B$ & 4 $B$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $D~(A)$ \\
\hline
 & & 5 $A$ &  & 8 $B$ & \sur{4 $B$} &  & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  \\[-3pt]
 & &       &  &       & \sout{7 $D$} & 8 $D$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $F~(B)$ \\
\hline
 & & \sur{5 $A$} &  & 8 $B$ &  & 8 $D$ & 7 $F$ & 8 $F$ & 9 $F$ & $\infty$ & $C~(A)$ \\
\hline
 & &  &  & 8 $B$ &  & 8 $D$ & \sur{7 $F$} & 8 $F$ & 9 $F$ & $\infty$ & $H~(F)$ \\[-3pt]
 & &  &  & \sout{8 $C$} &  & \sout{10 $C$} &  &  &  &  &  \\ 
\hline
 & &  &  & \sur{8 $B$} &  & 8 $D$ &  & 8 $F$ & 9 $F$ & 9 $H$ & $E~(B)$ \\
 \hline
 & &  &  &  &  & \sur{8 $D$} &  & 8 $F$ & 9 $F$ & 9 $H$ & $G~(D)$ \\[-3pt]
 & &  &  &  &  &             &  & \sout{10 $E$} &  &  &  \\
 \hline
 & &  &  &  &  &  &  & \sur{8 $F$} & 9 $F$         & 9 $H$ & $I~(F)$ \\[-3pt]
 & &  &  &  &  &  &  &             & \sout{13 $G$} &  &  \\
 \hline 
 & &  &  &  &  &  &  &  & \sur{9 $F$} & 9 $H$         & $J~(F)$ \\[-3pt]
 & &  &  &  &  &  &  &  &             & \sout{11 $I$} &  \\
 \hline  
 & &  &  &  &  &  &  &  &             & \sur{9 $H$} & $K~(H)$  \\[-3pt]
 & &  &  &  &  &  &  &  &             & \sout{11 $J$} &   \\
 \hline  
\end{tabular} }
\end{center} 


Le chemin de longueur minimale 9~km entre $A$ et $K$ est:
A $\stackrel{2}{\longrightarrow}$
B $\stackrel{2}{\longrightarrow}$
F $\stackrel{3}{\longrightarrow}$
H $\stackrel{2}{\longrightarrow}$ K

\bigskip


\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Commun  à tous les candidats \hfill 3 points}
 
%\textbf{}
%
%\medskip

\begin{list}{\textbullet}{D'après une enquête menée auprès d'une population, on a constaté que:}
\item 60\,\% de la population sont des femmes;
\item 56\,\% des femmes travaillent à temps partiel;
\item 36\,\% de la population travaillent à temps partiel.
\end{list}

On interroge une personne dans la population. Elle affirme qu'elle travaille à temps partiel.

\begin{list}{\textbullet}{On note:}
\item $F$ l'événement \og la personne interrogée est une femme\fg;

\item $H$ l'événement \og la personne interrogée est un homme\fg;

\item $P$ l'événement \og la personne interrogée travaille à temps partiel\fg;

\item $\overline P$ l'événement \og la personne interrogée ne travaille pas à temps partiel\fg.

\end{list}

On regroupe les données du texte dans un arbre pondéré:

\begin{center}
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$F$}\naput{$0,6$}}
 	  { 
 		  \TR{$P$}\naput{$0,56$}
 		  \TR{$\overline{P}$}\nbput{\red $1-0,56=0,44$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$H$}\nbput{\red $1-0,6=0,4$}}
 	  {
 		  \TR{$P$}%\naput{$0,95$}
          \TR{$\overline{P}$}%\nbput{\red $1-0,95=0,05$} 
     }
}
\end{center}

On cherche à déterminer la probabilité que la personne interrogée soit un homme, c'est à dire:

\[p_P(H)=\dfrac{p(P\cap H)}{p(P)}.\]

D'après le texte, $p(P)=0,36$.

D'après la formule des probabilités totales:
$p(P)=p(F\cap P) + p(H\cap P) = p(F)\times p_F(P) + p(H \cap P)$.

On en déduit que $0,36 = 0,6 \times 0,56 + p(H \cap P)$
donc que
$p(H \cap P) = 0,36 - 0,6\times 0,56 = 0,024$.

Donc
$p_P(H)=\dfrac{p(P\cap H)}{p(P)} = \dfrac{0,024}{0,36}= \dfrac{1}{15}$


%Quelle est la probabilité que cette personne soit un homme?

\end{document}