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%Sujet aimablement communiqué par Clotilde Rouchon
%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015},
allbordercolors = white,
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\text{\,e}\,} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\,\text{i\,}} % le i des complexes
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%    crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%    crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%     supérieur ou égal à
\newcommand{\pp}{\leqslant}%     inférieur ou égal à

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small 19 novembre 2015}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES -- Nouvelle-Calédonie ~\decofourright\\[4pt]19 novembre 2015} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points}


%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
%Une réponse exacte rapporte un point Une réponse fausse, une réponse multiple ou
%l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
%Pour chacune des questions posées une seule des quatre réponses est exacte.\\
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

%\medski~p


\begin{multicols}{2}
On donne ci-contre la représentation graphique $(\mathcal{C})$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[- 1~;~3]$.\\
~\\
~\\
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $F$ une primitive de $f$.\\
~\\
~\\
La tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $A(1~;~0)$ est tracée, elle passe par le point de coordonnées $(0~;~3)$.

\columnbreak

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(3.5,3.5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=10]
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(-1.5,-3)(3.5,3.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\tiny](0,0)(3.5,3.5)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x 3 exp 1.5 mul x dup mul 4 mul sub 0.5 x mul add 2 add}
%\uput[ur](1,0){A} \uput[l](2.6,1.3){\blue $(\mathcal{C})$}
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-1}{3}{3 3 x mul sub}
%\end{pspicture*}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(3.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\tiny](0,0)(-1.5,-2.99)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x 1 sub x dup mul 2 x mul sub 2 sub mul}
\uput[ur](1,0){A} \uput[r](2.1,1.5){\blue $(\mathcal{C})$}
\psplot[plotpoints=2,linewidth=1.25pt]{-.3}{2}{3 3 x mul sub}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}

\begin{enumerate}
\item Calcul de $f'(1)$

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} $f'(1) = 3$&\fbox{\textbf{b.~~} $f'(1) = - 3$}\\
\textbf{c.~~} $f'(1) = - \frac{1}{3}$&\hspace*{4pt}\textbf{d.~~} $f'(1) = 0$
\end{tabularx}
\medskip

Soit $B$ le point de coordonnées $(3\,;\,0)$; la tangente tracée est la droite $(AB)$ donc $f'(1)$ est le coefficient directeur de $(AB)$:
$f'(1)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{3 - 0}{0 - 1}=-3$

\medskip

\item La fonction $f$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\fbox{\textbf{a.~~} concave sur $[-1~;~ 1]$} &\textbf{b.~~}convexe sur $[-1~;~ 1]$\\ 
\hspace*{4pt}\textbf{c.~~} concave sur $[0~;~2]$ &\textbf{d.~~} convexe sur $[0~;~2]$
\end{tabularx}
\medskip

Sur $[-1\,;\, 1]$ la courbe est entièrement en dessous de ses tangentes donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle.

\medskip

\item On pose $I = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x$. Un encadrement de $I$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} $0 \leqslant I \leqslant 1$&\fbox{\textbf{b.~~} $1 \leqslant I \leqslant 2$}\\
\textbf{c.~~} $2 \leqslant I \leqslant 3$ &\hspace*{4pt}\textbf{d.~~}  $3 \leqslant I \leqslant 4$
\end{tabularx}
\medskip

La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0\,;\,1]$ donc l'intégrale est égale à l'aire sous la courbe; il suffit donc de compter les carreaux unité pour déterminer l'encadrement qui convient.

\medskip

\item La fonction $F$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\fbox{\textbf{a.~~} croissante sur $[0~;~1]$}&\textbf{b.~~} décroissante sur $[0~;~1]$\\
\hspace*{4pt}\textbf{c.~~} croissante sur $[-1~;~0]$&\textbf{d.~~} croissante sur $[- 1~;~ 1]$
\end{tabularx}
\medskip

La fonction $F$ a pour dérivée la fonction $f$; la fonction $F$ est donc croissante sur $[0\,;\,1]$ car $f$ est positive sur cet intervalle.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

\medskip

Dans une ville, un service périscolaire comptabilise $150$~élèves inscrits en septembre 2014. On admet que, chaque année, 80\,\% des élèves inscrits renouvelleront leur inscription l'année suivante et qu'il y aura $40$ nouveaux élèves inscrits. La capacité d'accueil du périscolaire est de $190$ élèves maximum.

On modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre d'élèves inscrits au périscolaire en septembre de l'année $2014 + n$, avec $n$ un nombre entier naturel.

On a donc $u_0 = 150$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au périscolaire en septembre 2015.
Il y a 150 élèves en périscolaire en 2014. Il en reste 80\,\% ce qui fait $150\times 0,8= 120$. Il y a 40 nouveaux élèves, ce qui fait $120+40=160$.

Il y aura donc 160 élèves inscrits au périscolaire en 2015.

\item% Pour tout entier naturel $n$, justifier que $u_{n+1} = 0,8u_n + 40$.
Il y a $u_n$ élèves inscrits l'année $2014+n$. L'année suivante il en reste 80\,\%, ce qui fait $0,8u_n$. Il y a 40 nouveaux inscrits l'année $2014+(n+1)$ donc $u_{n+1}=0,8u_n+40$, pour tout entier naturel $n$.

\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
\textbf{Initialisation} & Affecter à $n$ la valeur $0$\\
&  Affecter à $U$ la valeur $150$\\
\textbf{Traitement} & Tant que $U \leqslant 190$\\
& \hspace{1cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
& \hspace{1cm}$U$ prend la valeur $0,8U + 40$ \hspace*{1cm}\\
& Fin tant que\\
\textbf{Sortie} & Afficher le nombre $2014 + n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item% Recopier et compléter le tableau suivant par autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme. Arrondir les résultats au centième.

On complète le tableau en s'arrêtant dès que $U>190$:

\begin{center}
{\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Valeur de $n$				&0 		&1 	&2	& 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
Valeur de $U$ 				&150	& 160 & 168	& 124,40 & 179,52 & 183,62 & 186,89 & 189,51 & 191,61 \\ \hline
Condition $U \leqslant 190$	& vraie	& vraie	& vraie	& vraie & vraie & vraie & vraie & vraie & fausse \\ \hline
\end{tabularx}
}
\end{center}

		\item% En déduire l'affichage obtenu en sortie de l'algorithme et interpréter ce résultat.
L'affichage en sortie d'algorithme est $2014+8$ soit 2022.

Cela correspond à la première année pour laquelle le nombre d'inscrits en périscolaire va dépasser 190.

	\end{enumerate}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 200$; donc $u_n=v_n+200$.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1}=u_{n+1}-200 = 0,8u_n+40-200 = 0,8\,(v_n+200) - 160 = 0,8v_n+160-160 = 0,8v_n$
\item $v_0=u_0-200=150-200 = -50$
\end{list}		

Donc la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=-50$.

		\item% Pour tout entier naturel $n$, démontrer que $u_n = 200 - 50 \times 0,8^n$.
$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=-50$ donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n= v_0\times q^n = -50\times 0,8^n$.
Or $u_n= v_n+200$.

On en déduit que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=200-50\times 0,8^n$. 

		\item% Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que:
		
On résout l'inéquation $200 - 50 \times 0,8^n > 190$

$\begin{array}{@{} l !{\iff} l l}
200 - 50 \times 0,8^n > 190 & 10 > 50\times 0,8^n & \\
 & 0,2 > 0,8^n & \\
 & \ln(0,2) > \ln(0,8^n) & \text{croissance de la fonction ln sur } \cg0\,;\, +\infty\cd\\
 & \ln(0,2) > n \ln(0,8) & \text{propriété de la fonction ln}\\
 & \dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)} < n & \text{car } \ln(0,8)<0
\end{array}$		

$\dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)} \approx 7,2$ donc le plus petit entier naturel $n$ tel que $200-50\times 0,8^n>190$ est $n=8$.
				
		\item% À partir de quelle année la directrice du périscolaire sera-t-elle obligée de refuser des inscriptions faute de places disponibles ?
La capacité d'accueil du périscolaire est de 190 élèves maximum.

$n=8$ correspond à l'année $2014+8=2022$; c'est donc à partir de 2022 que la directrice du périscolaire sera obligée de refuser des inscriptions.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

\medskip

L'été un centre de loisirs propose aux adolescents la pratique du canoë-kayak ou de la planche à rame.

Tous les matins, chaque adolescent doit choisir un et un seul sport parmi les deux proposés.

On admet que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]si un adolescent choisit le canoë-kayak un jour donné, alors la probabilité qu'il choisisse la planche à rame le jour suivant est égale à $0,4$ ;
\item[$\bullet~~$]si un adolescent choisit la planche à rame un jour donné, alors la probabilité qu'il choisisse le canoë-kayak le jour suivant est égale à $0,2$ ;
\item[$\bullet~~$]le premier jour, la proportion d'adolescents qui choisissent le  canoë-kayak est égale à $0,85$.
\end{itemize}

\medskip

On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$K$ l'état : \og l'adolescent choisit le canoë-kayak \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$\overline{K}$ l'état : \og l'adolescent choisit la planche à rame \fg.
\end{itemize}

On note, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$p_n$ la probabilité qu'un adolescent pris au hasard choisisse le canoë-kayak lors du $n$-ième jour ;
\item[$\bullet~~$]$q_n$ la probabilité qu'un adolescent pris au hasard choisisse la planche à rame le $n$-ième jour ;
\item[$\bullet~~$]$P_n = \begin{pmatrix}p_n&q_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste lors du $n$-ième jour.
\end{itemize}
\medskip

%\emph{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.}
%
%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}

\item On représente la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $K$ et $\overline{K}$:

\begin{center}
\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1.2)
\Rnode{U}{$K$} \hskip 4cm \Rnode{V}{$\overline{K}$}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{U}{V} \Aput{0,4}%                 arc pondéré partant de U
\ncarc{->}{V}{U} \Aput{0,2}%                 arc pondéré arrivant à V
\nccircle[angleA=90]{->}{U}{4mm}   \Bput{0,6}%   boucle autour de U
\nccircle[angleA=-90]{->}{V}{.4cm} \Bput{0,8}%  boucle autour de V
\end{pspicture}
\end{center}

\item% Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe, les sommets $K$ et $\overline{K}$ étant classés dans cet ordre.
D'après le texte:
$\left\lbrace 
\begin{array}{@{} l !{=} l}
p_{n+1} & 0,6p_n + 0,2q_n\\
q_{n+1} & 0,4p_n + 0,8q_n
\end{array}
\right. $
ce qui s'écrit sous forme matricielle:

$\begin{pmatrix}
p_{n+1} & q_{n+1}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
p_n & q_n
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0,6 & 0,4 \\ 0,2 & 0,8
\end{pmatrix}$

La matrice de transition $M$ associée à ce graphe est donc:
$ M =
\begin{pmatrix}
0,6 & 0,4 \\ 0,2 & 0,8
\end{pmatrix}$

\item% Justifier que $P_1 = \begin{pmatrix}0,85& 0,15\end{pmatrix}$.
Le premier jour, la proportion d'adolescents qui choisissent le canoë-kayak est égale à 0,85 donc $p_1=0,85$. la proportion de ceux qui choisissent la planche à rame est donc $q_1=1-0,85=0,15$.

Donc 
$P_1 =
\begin{pmatrix}
p_1 & q_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,85 & 0,15
\end{pmatrix}$

\item L'état probabiliste lors du 3\up{e} jour est $P_3$.
\`A la calculatrice, on trouve:

$P_2=P_1M =
\begin{pmatrix}
0,54 & 0,46
\end{pmatrix}$ 
et
$P_3=P_2M =
\begin{pmatrix}
0,416 & 0,584
\end{pmatrix}$ 

\item% Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, montrer que $p_{n+1} = 0,4p_n + 0,2$.
Chaque adolescent choisit un et un seul sport parmi les deux proposés, donc, pour tout $n\pg 1$, $p_n+q_n=1$.

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
p_{n+1}=0,6p_n + 0,2 q_n\\
p_n+q_n=1
\end{array}
\right\rbrace 
\implies
p_{n+1}=0,6p_n + 0,2\,(1-p_n)
\iff
p_{n+1}=0,4p_n + 0,2$
pour tout $n\pg 1$

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}
\hline
\textbf{Initialisation} & Choisir un nombre entier naturel $N \geqslant 2$\\
 & $p$ prend la valeur $0,85$\\
\textbf{Traitement} & Pour $i$ allant de $2$ à $N$\\
 & \hspace{0.5cm}$p$ prend la valeur $0,4p +0,2$\\
 & Fin pour\\

\textbf{Sortie} & Afficher $p$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item% Pour la valeur $N = 5$ saisie, recopier et compléter le tableau suivant par autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme. Arrondir les résultats au millième.
on complète le tableau suivant pour la valeur $N=5$ saisie:

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Valeur de $i$	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&2	&	3 & 4 & 5\\ \hline
Valeur de $p$	&0,85	& 0,54 & 0,416 & 0,366 & 0,347 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item% En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $N$ saisie est $5$.
L'affichage en sortie d'algorithme pour $N=5$ est approximativement de 0,347.		
		
		\item% Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme.
Cela signifie que le cinquième jour, il y a une proportion de 34,7\,\% d'adolescents qui pratiquent le canoë-kayak.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

D'après la partie A, on sait que $p_{n+1} = 0,4p_n + 0,2$ pour tout entier naturel 
$n \geqslant 1$.

On admet que $p_n = \dfrac{31}{60} \times 0,4^{n - 1} + \dfrac{1}{3}$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$.

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Conjecturer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
On peut conjecturer que la suite $(p_n)$ a pour limite $\dfrac{1}{3}$.

\emph{Remarque -- Cela se démontre assez facilement en tenant compte du fait que la suite géométrique $(0,4^n)$ a pour limite 0.}


\item% Interpréter le résultat.
La suite $(p_n)$ a pour limite $\dfrac{1}{3}$ donc, comme $p_n+q_n=1$, on peut dire que la suite $(q_n)$ a pour limite $1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.

Plus le nombre de jours augmente, plus la proportion d'adolescents pratiquant le canoë-kayak se rapproche d'un tiers, et plus la proportion de ceux pratiquant la planche à rame se rapproche des deux-tiers.

\end{enumerate}

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

\medskip

Pierre a des pommiers dans son verger. Il décide de faire du jus de pomme avec ses fruits.

Dans sa récolte :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]il dispose de 80\,\% de pommes de variété A et de 20\,\% de pommes de variété~B.
\item[$\bullet~~$]15\,\% des pommes de variété A et 8\,\% des pommes de variété B sont avariées et devront être jetées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On prend une pomme au hasard dans la récolte et on note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$A$ l'évènement \og la pomme est de variété A\fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$B$ l'évènement \og la pomme est de variété B \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$J$ l'évènement \og la pomme est jetée\fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$\overline{J}$ l'évènement contraire de l'évènement $J$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$.

%\smallskip
%
%\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
%
%\smallskip
%
%Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.

\medskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}

\item On représente cette situation à l'aide d'un arbre pondéré:

\bigskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,nrot=:U,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$A$}\naput{0,8}}
	{\TR{$J$}\naput{0,15}
	\TR{$\overline{J}$}\nbput{\red $1-0,15=0,85$}
	}
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$B$}\nbput{0,2}}
	{\TR{$J$}\naput{0,08}
	\TR{$\overline{J}$}\nbput{\red $1-0,08=0,92$}
	}
}
\end{center}

\bigskip

\item% Calculer la probabilité que la pomme soit de variété A et soit jetée.
La pomme est de variété A et est jetée est l'événement $A\cap J$:

$p(A\cap J)= p(A)\times p_A(J)=0,8 \times 0,15=0,12$

\item% Montrer que la probabilité qu'une pomme soit jetée est égale à $0,136$.
D'après la formule des probabilités totales:

$p(J)=p(A\cap J)+p(B\cap J) = p(A)\times p_A(J) + p(B)\times p_B(J)=0,12+0,2\times 0,08 = 0,12+0,016 = 0,136$ 


\item La probabilité qu'une pomme soit de variété A sachant qu'elle a été jetée est $P_J(A)$:

$P_J(A) = \dfrac{p(A\cap J)}{p(J)}= \dfrac{0,12}{0,136} \approx 0,882$

\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

Une pomme pèse en moyenne 150~g.
On modélise le poids d'une pomme en grammes par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 150$ et d'écart type $\sigma = 10$.

\medskip

\begin{enumerate}

\item La probabilité que la pomme ait un poids inférieur à $150$~g est $p(X\pp 150)$; comme $150=\mu$, on peut dire que $p(X \pp 150)=0,5$.

\item $p(120 \leqslant X \leqslant 170) \approx 0,976$ d'après la calculatrice.

Cela veut dire que la probabilité qu'une pomme ait un poids compris entre 120 et 170 grammes est de 0,976.

\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection*{Partie C}

\medskip

Pierre a pris rendez-vous dans une fabrique de jus de pomme artisanale. Il arrive au hasard entre 8 heures et 9~heures~30 minutes. 

Son heure d'arrivée est modélisée par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi uniforme sur [8~;~9,5].

%Déterminer la probabilité que Pierre arrive entre 8~h~30 et 8~h~45.

La probabilité que Pierre arrive entre 8~h~30 et 8~h~45 est $p(8,5 \pp Y \pp 8,75)$.

\smallskip

D'après le cours: $p(8,5 \pp Y \pp 8,75) = \dfrac{8,75-8,5}{9,5-8}=\dfrac{0,25}{1,5}=\dfrac{1}{6}$

\smallskip

Il y a donc une chance sur 6 que Pierre arrive entre  8~h~30 et 8~h~45.

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\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle \cd 0~;~10\cg{} par
$f(x) = (2x - 5)\text{e}^{- x + 4} + 20$.

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle \cd 0~;~10\cg{}, $f'(x) = (- 2x + 7)\text{e}^{- x + 4}$.
$f'(x)=2\times \e^{-x+4} +(2x-5)\times (-1)\e^{-x+4} + 0 =
(-2x+7)\e^{-x+4}$

\item% En déduire le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. 
%
%Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes dans le tableau de variation.
Pour tout $x$, $\e^{-x+4}>9$ donc $f'(x)$ est du signe de $-2x+7$ qui s'annule et change de signe pour $x=3,5$.

On calcule:

$f(0)=-5\e^{4}+20\approx -252,991$;
$f(3,5) = 2\e^{0,5}+20 \approx 23,297$
et
$f(10) = 15\e^{-6} + 20 \approx 20,037$

D'où le tableau de variation de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 3,5 & \hspace*{\esp} & 10 \\ 
\hline
-2x+7 &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
\e^{-x+4} &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{23,297}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-252,991} &   &  &  &   \Rnode{min2}{20,037} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}


\item% Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution  $\alpha$ sur [0~;~10] et déterminer un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$.

On complète le tableau de variation de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 3,5 & \hspace*{\esp} & 10 \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{23,297}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-252,991} &   &  &  &   \Rnode{min2}{20,037} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2}
\rput*(-7,0.9){\Rnode{zero}{\red 0}}
\rput(-7,2.4){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

On peut en déduire que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans $\cd 0\,;\,10\cg$ et que cette solution est dans $\cd 0\,;\,3,5 \cg$.

$\left. 
\begin{array}{@{} l !{\approx} r}
f(1) & -40,3 <0\\
f(2) & 12,6 >0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies
\alpha \in \cd 1\,;\,2 \cg
$
\hfill
$\left. 
\begin{array}{@{} l !{\approx} r}
f(1,5) & -4,4 <0\\
f(1,6) & 0,16 >0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies
\alpha \in \cd 1,5\,;\,1,6 \cg
$
\hfill
$\left. 
\begin{array}{@{} l !{\approx} r}
f(1,59) & -0,26 <0\\
f(1,60) & 0,16 >0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies
\alpha \in \cd 1,59\,;\,1,60 \cg
$

\item On admet que la fonction $F$ définie sur \cd 0~;~10\cg{} par
$F(x) = (- 2x + 3)\e^{- x + 4} + 20x$ est une primitive de $f$ sur \cd 0~;~10\cg.

La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle \cd 0~;~10\cg{} est 
$\dfrac{1}{10-0}\ds\int_0^{10}f(t) \d t = \dfrac{1}{10}\left ( F(10)-F(0) \rule{0pt}{12pt}\right )$

$F(10)= -17\e^{-6}+200$ et $F(0)=3\e^{4}$ donc
$F(10)-F(0) = 200 -17\e^{-6} - 3\e^{4}$

La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\cd 0\,;\,10\cg$ est donc
$\dfrac{200 -17\e^{-6} - 3\e^{4}}{10}\approx 3,616$. 

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

Une entreprise fabrique entre 0 et \np{1000} objets par semaine.

Le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise cette entreprise lorsqu'elle fabrique et vend $x$ centaines d'objets est modélisé par la fonction $f$ définie sur \cd 0~;~10\cg{} par :
$f(x) = (2x - 5)\e^{- x + 4} + 20$.

%Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en arrondissant les résultats à l'unité.

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Quel est le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum ?
Le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum correspond à $x=3,5$ centaines d'objets donc 350 objets.

%Quel est ce bénéfice maximal en euros ?

$f(3,5)\approx 23,297$ donc le bénéfice maximal réalisé est de $\np{23297}$~\euro.

\item% À partir de combien d'objets fabriqués et vendus l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif ?
L'entreprise réalise un bénéfice quand il vend au moins $x$ centaines d'objets avec $f(x)>0$. 

D'après le tableau de variation de la fonction $f$, il faut pour cela que $x > \alpha$. 

Or $\alpha \in \cd 1,59\,;\,1,60\cg$ donc il faut vendre au moins 160 objets pour réaliser un bénéfice.

\item% Interpréter le résultat de la question 4 de la partie A.
La valeur moyenne de la fonction $f$ sur $\cd 0\,;\, 10\cg$ correspond au bénéfice moyen hebdomadaire; en moyenne, le bénéfice sera de $3,616\times \np{1000} = \np{3616}$~\euro.

\end{enumerate}

\end{document}