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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé de baccalauréat ES/L},
pdftitle = {Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018},
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small  27 novembre 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Etranger}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ES/L~\decofourright}\\[7pt]
 \textbf{Nouvelle Calédonie -- 27 novembre 2018}}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. \\
%Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip 
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.}
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0~;~5]$ par $f(x) = x\ln (x) + 1$. Pour tout $x \in ]0~;~5]$, 
	\begin{enumerate}
	\begin{multicols}{2}
		\item $f'(x) = \dfrac{1}{x}$ 
		\item $f'(x) = \dfrac{1}{x}+1 $
		\item $f'(x) = \ln (x) + 2$ 
		\item \fbox{$f'(x) = \ln (x) + 1$}
	\end{multicols} 
	\end{enumerate}

\medskip
	
\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$f'(x)=1\times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} + 0= \ln(x)+1$

\textbf{Réponse d.} 
\end{tabular}	

\medskip
	
\item On donne ci-dessous  la courbe $\mathcal C$ représentant une fonction $g$ sur $[0~;~2]$.

\begin{center}
\scalebox{0.78}{
\psset{xunit=5cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.19,-0.3)(2.1,3.3)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=gray](0,0)(11,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.5](0,0)(0,0)(2.1,3.3)
\uput[ur](0.7,2.2){\blue $\mathcal C$}
%\psBezier3[linecolor=red](0,3)(0.7,3)(1.3,0)(2,0)%%% nécessite le package pst-func
\psplot[linecolor=blue]{0}{2}{x dup mul 0.75 x mul 2.25 sub mul 3 add}
\end{pspicture*}
}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item $g$ est concave sur l'intervalle $[0~;~2]$. 
		\item $g''(x) \geqslant  0$ pour tout $x \in [0~;~2]$. 
		\item \fbox{La courbe $\mathcal C$ admet un point d'inflexion sur $[0~;~2]$.} 
		\item $g'(1) > 0$. 
	\end{enumerate}
	
\medskip
	
\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
On procède par élimination: $g$ n'est ni concave ni convexe sur tout l'intervalle $[0~;~2]$, donc on élimine les réponses \textbf{a} et \textbf{b}, et la tangente à la courbe en $x=1$ a un coefficient directeur négatif donc on peut éliminer la réponse \textbf{d}.

\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}	

\medskip
	
\item Soit $I = \displaystyle\int_0^{\ln 2}  3\e^x \d x$. On a : 
	\begin{enumerate}
	\begin{multicols}{2}
		\item \fbox{$I = 3$}
		\item $I = 6$ 
		\item $I = - 3$ 
		\item $I = 3\ln (2)$ 
	\end{multicols}
	\end{enumerate}
	
\medskip
	
\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$I = \ds\int_0^{\ln 2}  3\e^x \d x 
= \left [ \ 3 \e^{x} \strut \right ]_{0}^{\ln 2}
= 3\e^{\ln 2} -3\e^{0}
= 3\times 2 - 3 = 3$

\smallskip

\textbf{Réponse a.}
\end{tabular}	

\newpage
	
	
\item Pour tout évènement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $n = 10$ et $p = 0,3$. 
	\begin{enumerate}
	\begin{multicols}{2}
		\item $P(X = 3) = 120 \times  0,3^2 \times 0,78 $
		\item $P(X = 3) = 12 \times 0,3^3 \times 0,7^7$ 
		\item \fbox{$P(X \geqslant 1) \approx 0,972$} 
		\item L'espérance de $X$ est $5,15$. 
	\end{multicols}
	\end{enumerate}

\medskip
	
\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$P(X=k) = \ds\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ donc
$P(X=3) = \ds\binom{10}{3} 0,3^3 (1-0,3)^{10-3}
= 120\times 0,3^3 \times 0,7^7$

On peut donc éliminer les réponses \textbf{a} et \textbf{b}.

L'espérance mathématique est $np = 10\times 0,3 = 3$ donc on peut éliminer la réponse \textbf{d.}

\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}	

\medskip
	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textsc{\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L }

\medskip

Dans un quartier d'une petite ville, les services de Pôle Emploi ont relevé le nombre de demandeurs d'emploi chaque trimestre. 
Après observations, ils constatent que, chaque trimestre, $123$ nouveaux demandeurs d'emploi s'inscrivent tandis que $37,5$\,\% des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes. 
Au début du premier trimestre 2017 (1\up{er} janvier 2017), le nombre de demandeurs d'emploi était de $490$. 

\smallskip

On note $u_n$ le nombre de demandeurs d'emploi au début du $n$-ième trimestre après le 1\up{er} janvier 2017. 
Ainsi, $u_1 = 490$. 

%\smallskip
%
%Dans tout l'exercice, les valeurs seront arrondies à l'unité. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre de demandeurs d'emploi au début du deuxième trimestre 2017 est $u_2$.

On retire $37,5$\,\% à 490, ce qui donne $490-490\times \dfrac{37,5}{100}$ soit $306$ en arrondissant à l'unité.

On ajoute $123$ au résultat obtenu pour obtenir $u_2$: $u_2=306+123=429$.

\smallskip

Le nombre de demandeurs d'emploi au début du troisième trimestre 2017 est $u_3$.

$429 - 429\times \dfrac{37,5}{100}$ a pour arrondi à l'unité $268$.
$u_3= 268+123=391$
 
\item% Justifier que l'on peut modéliser la situation précédente par la relation, pour tout entier  $n \in  \N^*$ : 
%\[u_{n+1} = 0,625u_n + 123.\]

Retirer $37,5\,\%$, c'est multiplier par $1-\dfrac{37,5}{100} = 0,625$.

On passe du trimestre $n$ au trimestre $n+1$ en multipliant par $0,625$ puis en ajoutant 123, donc, pour tout $n$ de $\N^{*}$, $u_{n+1} = 0,625 u_n + 123$.
 
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier $n \in \N^*$, $v_n = u_n - 328$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial. 
Comme $v_n=u_n-328$, alors $u_n=v_n+328$.

$v_{n+1} = u_{n+1}-328 = \left (0,625 u_n +123\strut\right ) - 328=  0,625u_n +123-328 
= 0,625 \left ( v_n+328\strut\right ) -205 \\
\phantom{v_{n+1}}
= 0,625 v_n + 205-205 = 0,625 v_n$

$v_1= u_1 - 328 = 490 - 328 = 162$

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,625$ et de terme initial $v_1=162$.		
		
		\item On en déduit que, pour tout entier $n \in \N^*$, $v_n=v_1\times q^{n-1} = 162 \times 0,625^{n-1}$. 
		\item Comme $u_n=v_n+328$, on peut dire que, pour tout entier $n \in \N^*$, on a 
		
		\hfill{}$u_n = 162 \times  0,625^{n-1} + 328$.\hfill{}
		
	\end{enumerate}
	
\item Le début du deuxième trimestre 2019 correspond à $n=10$; $u_{10}\approx 330$.

Le nombre de demandeurs d'emploi au début du deuxième trimestre 2019 est estimé à 330.

\item Le directeur de l'agence a pour son objectif de diminuer le nombre de demandeurs d'emploi de $30$\,\% par rapport au premier trimestre 2017; il faut donc un nombre de demandeurs d'emploi de $490\times \left ( 1-\dfrac{30}{100}\right ) = 343$.

On cherche donc $n$ tel que $u_n \leqslant 343$; on résout cette inéquation:

$u_n \leqslant 343 \iff 162 \times  0,625^{n-1} + 328 \leqslant 343
\iff 0,625^{n-1} \leqslant \dfrac{343 - 328}{162}
\iff 0,625^{n-1} \leqslant \dfrac{5}{54}\\[7pt]
\phantom{u_n \leqslant 343}
\iff \ln \left ( 0,625^{n-1} \right ) \leqslant \ln \left ( \dfrac{5}{54}\right )
\iff (n-1)\times \ln(0,625) \leqslant \ln \left ( \dfrac{5}{54}\right )
\iff n-1 \geqslant \dfrac{\ln \left ( \frac{5}{54}\right )}{\ln(0,625)}\\
\phantom{u_n \leqslant 343}
\iff n\geqslant 1+ \dfrac{\ln \left ( \frac{5}{54}\right )}{\ln(0,625)}$

$ 1+ \dfrac{\ln \left ( \frac{5}{54}\right )}{\ln(0,625)\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} \approx 6,1$ donc le directeur atteindra son objectif à partir du trimestre $n=7$ soit à partir du troisième trimestre de 2018.

%Si oui, indiquer à quelle date son objectif sera atteint. Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité 

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{Naïma fait partie d'une école de musique. En vue du spectacle de fin d'année, elle souhaite déposer à vélo des affiches publicitaires sur les panneaux de sa ville. Les pistes cyclables reliant ces panneaux sont représentées sur le graphe $\mathcal{G}$ ci-contre. 

Le sommet E désigne son école de musique, le sommet S la salle de spectacle et les sommets A, B, C, et D les panneaux d'affichage.}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\psdots(0.5,4)(2.8,4.5)(5.5,2.5)(2,3.5)(3.5,2)(3.8,0.5)%EBSCDA
\psline(0.5,4)(2.8,4.5)(5.5,2.5)(3.5,2)(2,3.5)(2.8,4.5)(3.5,2)(0.5,4)(3.8,0.5)(5.5,2.5)%EBSDCBDEAS
\uput[ul](0.5,4){E} \uput[u](2.8,4.5){B} \uput[r](5.5,2.5){S} 
\uput[l](2,3.5){C} \uput[d](3.5,2){D} \uput[d](3.8,0.5){A} 
\end{pspicture}} 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer, en justifiant la réponse, si le graphe $\mathcal{G}$ est : 
	\begin{enumerate}
		\item Il n'y a pas d'arête entre les sommets A et D donc le graphe $\mathcal{G}$ n'est pas complet.
		\item En considérant le chemin E - A - S - D - C - B, on voit que deux sommets quelconques peuvent être reliés par un chemin, donc le graphe $\mathcal{G}$ est connexe. 
	\end{enumerate}
\item Naïma veut déposer ses affiches sur tous les panneaux en allant de son école de musique à la salle de spectacle et en empruntant une et une seule fois chaque piste cyclable.

On détermine les degrés des sommets:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Sommet & E & A & B & C & D & S\\
\hline
Degré & 3 & 2 & 4 & 2 & 4 & 3\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Il n'y a que deux sommets de degrés impairs, E et S, donc d'après le théorème d'Euler, il existe des trajets qui partent de E, arrivent à S, et passent par toutes les arêtes.

Par exemple: E - A - S - D - E - B - C - D - B - S

 %Justifier la réponse. Si un tel trajet existe, en citer un. 
\item La matrice d'adjacence $M$ liée à ce graphe dans laquelle les sommets seront classés dans l'ordre suivant : E, A, B, C, D, S est obtenue en marquant un 1 entre deux sommets qui sont reliés par une arête, un 0 sinon:
$M=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 
\end{pmatrix}$
 
\item On donne la matrice incomplète $M^2$ :  $M^2 =
\begin{pmatrix}3& 0& 1 &\ldots& 1& 3\\
 0& 2& 2& 0& 2& 0\\
  1& 2& 4& 1& 3& 1\\ 
\ldots&0& 1& 2& 1& 2\\
 1& 2& 3& 1& 4& 1\\
  3& 0& 1& 2& 1& 3
  \end{pmatrix}$. 

	\begin{enumerate}
		\item On détermine les coefficients manquants de la matrice $M^2$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item La matrice $M$ est symétrique donc la matrice $M^2$ est symétrique; les deux coefficients qui manquent étant symétriques par rapport à la diagonale, ils sont égaux.

\item Le coefficient situé sur la 1\iere{} ligne et 4\ieme{} colonne de la matrice $M^2$ est la somme du produit des coefficients situés sur la 1\iere{} ligne de $M$ et la 4\ieme{} colonne de $M$, c'est-à-dire: $0\times 0 + 1\times 0  + 1\times 1  + 0\times 0  + 1\times 1  + 0\times 0 =2$.
\end{list}		
		 
		\item Le nombre de chemins permettant de se rendre de l'école de musique (1\ier{} sommet E) à la salle de spectacle (5\ieme{} sommet S) en empruntant exactement deux pistes cyclables se trouve à l'intersection de la 1\iere{} ligne et 5\ieme{} colonne de la matrice $M^2$.

À cette intersection se trouve le nombre 3, il y a donc trois chemins permettant de se rendre de l'école de musique à la salle de spectacle  en empruntant exactement deux pistes cyclables. 
Ce sont: E - A - S; E - B - S et E - D - S.
		
	\end{enumerate} 

\item Lorsqu'elle a déposé ses affiches, Naïma a relevé le temps de trajet entre chaque panneau d'affichage. Le graphe ci-dessous indique ces durées, exprimées en minutes. 

%Indiquer, à l'aide d'un algorithme, le chemin permettant à Naïma de se rendre le plus rapidement possible de son école de musique à la salle de spectacle le soir de la représentation.
% 
%\medskip
%
%Donner la durée de ce parcours.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,nodesep=0pt,radius=2pt}
\begin{pspicture}(6,5)
%\psgrid
\Cnode*(0.5,4){E} \Cnode*(2.8,4.5){B}\Cnode*(5.5,2.5){S}
\Cnode*(2,3.5){C}\Cnode*(3.5,2){D}\Cnode*(3.8,0.5){A}
%\psset{linecolor=blue}
{\blue\small
\ncline{E}{B} \ncput*{4}
\ncline{B}{S} \ncput*{8}
\ncline{S}{D} \ncput*{3}
\ncline{D}{C} \ncput*{2}
\ncline{C}{B} \ncput*{2}
\ncline{B}{D} \ncput*{1}
\ncline{D}{E} \ncput*{7}
\ncline{E}{A} \ncput*{9}
\ncline{A}{S} \ncput*{7}
}
 \uput[ul](E){E} \uput[u](B){B} \uput[r](S){S} 
\uput[l](C){C} \uput[d](D){D} \uput[d](A){A} 
\end{pspicture}
\end{center}


À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, on détermine le chemin permettant à Naïma de se rendre le plus rapidement possible de son école de musique (E) à la salle de spectacle (S) le soir de la représentation.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small%%% \scriptsize
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}%%%    surlignage
\newcommand{\cgr}{\cellcolor{lightgray!50}}%%%                               cellule grisée
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline 
E & A &  B  &  C  &  D  & S    &{On garde} \\ 
\hline 
\sur{ 0 } & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  E \\
\hline
\cgr & \sout{ $\infty$ } & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ & \sout{ $\infty$ } & $\infty$ &   \\[-3pt]
\cgr & 9 E                         & \sur{4 E}             &                & 7 E                         &                & B\\ 
\hline
\cgr & 9 E & \cgr & \sout{ $\infty$ } & \sout{7 E} & \sout{ $\infty$ } &   \\[-3pt]
\cgr &       & \cgr &  6 B                       & \sur{5 B}   & 12 B                      & D\\ 
\hline
\cgr & 9 E & \cgr & \sur{6 B}    & \cgr & \sout{12 B} &   \\[-3pt]
\cgr &       & \cgr &  \sout{7 D} & \cgr &  8 D              & C\\ 
\hline
\cgr & 9 E & \cgr & \cgr   & \cgr & \sur{8 D} & S  \\
\hline
\end{tabularx} }
\end{center} 


Le chemin le plus court est:
E $\stackrel{4}{\longrightarrow}$ 
B $\stackrel{1}{\longrightarrow}$ 
D $\stackrel{3}{\longrightarrow}$ S:
il dure 8 minutes.

\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 6 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans une entreprise, 60\,\% des salariés viennent au travail en transports en commun et parmi eux, seulement 7,5\,\% ont un trajet d'une durée inférieure à 30 minutes. Parmi les employés qui n'utilisent pas les transports en commun, 28,5\,\% ont un trajet d'une durée inférieure à 30 minutes. 

%Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $P(E)$ sa probabilité. Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé. 

\medskip

On interroge au hasard un employé de l'entreprise et on considère les évènements suivants : 

\smallskip

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $C$ : \og l'employé utilise les transports en commun\fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $R$ : \og le trajet de l'employé a une durée inférieure à 30 minutes \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

%\smallskip
%
%Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On construit l'arbre pondéré représentant la situation:

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$C$}\naput{$0,6$}}
 	  { 
 		  \TR{$R$}\naput{$0,075$}
 		  \TR{$\overline{R}$}\nbput{\blue $1-0,075=0,925$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{C}$}\nbput{\blue $1-0,6=0,4$}}
 	  {
 		  \TR{$R$}\naput{$0,285$}
          \TR{$\overline{R}$}\nbput{\blue $1-0,285=0,715$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $P(C \cap R)=P(C)\times P_{C}(R) = 0,6\times 0,075 = 0,045$; on peut donc dire qu'il y a $4,5\,\%$ d'employés qui prennent les transports en commun et qui mettent moins de 30 minutes.
		
		\item D'après la formule des probabilités totales:
		
$P(R) = P\left (C\cap R \vphantom{\overline{C}}\right ) + P\left (\overline{C}\cap R\right ) 
= 0,045 + 0,4\times 0,285 = 0,159$. 
	\end{enumerate}
\item On interroge un employé choisi au hasard dont la durée du trajet est inférieure à $30$~minutes. La probabilité qu'il utilise les transports en commun est

$P_{R}(C)=\dfrac{P(C\cap R)}{P(R)} = \dfrac{0,045}{0,159} \approx 0,284$.

\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip  

Une étude a montré que la durée du trajet en minutes d'un employé peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 40$ et d'écart type $\sigma = 10$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item $P(X \leqslant 30)\approx 0,159$. Ce résultat est égal à $P(R)$ donc il est cohérent avec la partie A. 
\item $P(20 \leqslant X \leqslant 60) = P( \mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,954$.

\begin{center}
\psset{yunit=40cm,xunit=0.1,labelFontSize=\scriptstyle}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {80}
\def\ymin {-0.02}   \def\ymax {0.05}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
% \psgrid[griddots=10,gridlabels=0pt, subgriddiv=0]
\psaxes[Dy=0.25,Dx=10]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue]
{\psGauss[sigma=10, mue=40]{60}{\xmax}
\psplot[plotpoints=4000]{\xmax}{60}{0}
\closepath
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue]
{\psGauss[sigma=10, mue=40]{\xmin}{20}
\psplot[plotpoints=4000]{20}{\xmin}{0}
\closepath
}
\pscustom[fillstyle=vlines,fillcolor=lightgray]
{\psGauss[sigma=10, mue=40]{20}{60}
\psplot[plotpoints=4000]{60}{20}{0}
\closepath
}
\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt](40,0)(40,\ymax)
\psGauss[linecolor=blue, mue=40,sigma=10, linewidth=1.2pt]{0}{100}%
\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(50,0.03)(45,0.015)
\uput[60](50,0.03){\small $95,4\,\%$}
\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=blue]{->}(10,0.03)(17,0.001)
\uput[u](10,0.03){\small \blue $2,3\,\%$}
\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=blue]{->}(70,0.03)(63,0.001)
\uput[u](70,0.03){\small \blue $2,3\,\%$}
\end{pspicture*}
\end{center}

D'après la fonction densité de la loi normale qui est symétrique par rapport à la droite $x = \mu$ c'est-à-dire $x=40$, on a $P(X<20) = P (X>60)$. 

Or $P(X<20) + P(20 \leqslant X \leqslant 60) + P(X>60)=1$; donc\\[5pt]
 $P(X>60) = \dfrac{1- P(20 \leqslant X \leqslant 60)}{2} \approx \dfrac{1-0,954}{2} =  0,023$.
 
\item Dans cette question, on se propose de déterminer le plus petit entier $a$ tel que \mbox{$P(X \geqslant a) \approx 0,008$}. 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que lorsque la valeur de $a$ augmente, la valeur de $P(X \geqslant a)$ diminue. 

On considère l'algorithme ci-dessous, où $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 40$ et d'écart type $\sigma = 10$. 

On complète l'algorithme afin qu'il permette de répondre à la question. 

\[\begin{array}{|l|}\hline
a \gets  60\\ 
Y \gets   0,023\\ 
\text{Tant que} \:Y > 0,008\\
 \hspace{0.5cm}a \gets  {\blue a+1}\\ 
 \hspace{0.5cm}Y \gets P(X \geqslant a)\\
\text{Fin Tant que}\\ \hline
\end{array}\] 

		\item On exécute cet algorithme.  On complète le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
$a$& 60& 61& 62 &\textcolor{blue}{63} & \textcolor{blue}{64} & \textcolor{blue}{65} \\ 
\hline
$Y$& $0,023$& $0,018$ &$0,014$ & \textcolor{blue}{$0,011$} & \textcolor{blue}{$\np{0,0082}$}& \textcolor{blue}{$0,006$} \\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item La valeur de $a$ obtenue après exécution de l'algorithme est donc $a=65$.

Cela signifie que la probabilité qu'un employé fasse un trajet de plus de 65 minutes est inférieure à $0,008$. 

%Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

Commun à tous les candidats 

\medskip

L'entreprise ECOLOR est spécialisée dans la production et la vente de peinture éco-responsable. La production quotidienne varie entre $0$ et $800$ litres. Toute la production est vendue. Les montants de la recette et du coût sont exprimés en dizaine d'euros. 

\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-100)(8.3,850)
\psgrid[xunit=1.4cm,yunit=1cm,subgriddiv=5,gridlabels=0pt,gridcolor=gray](0,0)(9,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(8.3,850)
\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=2000,linecolor=red]{0}{8}{150 2.71828 1 0.5 x mul sub exp mul 75 x mul add}
\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=2,linecolor=blue]{0}{8}{100 x mul}
\uput[d](6.2,-50){\footnotesize Quantité de peinture en centaine de litres}
\uput*[u](1.4,800){\footnotesize Montant en dizaines d'euros}
\uput[u](6.5,700){\blue Recette}
\uput[u](6.8,400){\red Coût de production}
%%% Corrigé
\psset{arrowsize=3pt 3,linecolor=black,linestyle=dashed,linewidth=1.5pt}
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](2,0)(2,300)
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2](2,300)(0,300)
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](0,500)(5,500)(5,0)
\psline(3.2,0)(3.2,320)
\uput[d](3,0){$3,2$}
\psline{<->}(8,800)(8,607)
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A : lecture graphique}

\medskip 

%À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes. 
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item Le coût de production de $200$ litres de peinture est 10 fois l'image de 2 par la fonction \og Coût de production \fg{}, c'est-à-dire $\np{3000}$~\euro.

\item La production de peinture pour avoir une recette de \np{5000}~euros est 100 fois l'antécédent de $500$ par la fonction \og Recette \fg{} représentée sur le graphique, c'est-à-dire 500 litres.

\item L'entreprise réalise un bénéfice quand la représentation graphique de la fonction \og Recette \fg{} est au-dessus de la représentation graphique de la fonction \og Coût de production \fg{}. L'abscisse du point d'intersection des deux courbes est environ $3,2$ donc l'entreprise réalise  un bénéfice pour une production supérieure à $320$~litres.  

\item% L'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice de plus de \np{3000}~euros pour une production quotidienne variant entre $0$ et $800$ litres ? Justifier. 
Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de production; il semble maximum pour $x=8$ donc pour une production de 800~litres de peinture. 

Sa valeur est un peu inférieure à $\np{2000}$ euros.

Donc l'entreprise ne peut pas réaliser un bénéfice de plus de \np{3000}~euros pour une production quotidienne variant entre $0$ et $800$ litres. 

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude du bénéfice}

\medskip 

Le bénéfice en dizaine d'euros correspondant à la vente de $x$ centaines de litres de peinture est donné par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~8]$ par : 
$f(x) = 25x - 150\e^{-0,5x+1}.$

\smallskip 

\begin{enumerate}
\item $f(0)=0-150\e^{1} = -150\e$ qui a pour valeur arrondie au centième $-407,74$.

$f(8)=25\times 8-150\e^{-4+1} = 200-150\e^{-3}$ qui a pour valeur arrondie au centième $192,53$.

\item %Montrer que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~8]$ est :\[ f'(x) = 25 + 75\e^{-0,5x+1}.\]
La fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~8]$ et
$f'(x)=25 - 150\times (-0,5)\e^{-0,5x+1} = 25+75\e^{-0,5x+1}$.
 
\item% Déterminer le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~8]$. 
Pour tout réel $X$, $\e^{X}>0$ donc pour tout $x$, $\e^{-0,5x+1}>0$ et donc $f'(x)>0$ sur $[0~;~8]$.

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0~;~8]$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0~;~8]$ puis en donner la valeur arrondie au centième. 
On établit le tableau des variations de $f$ sur $[0~;~8]$:
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 0   & \esp & 8 \\
 \hline
%f'(x) &   & \pmb{+} & \\  
%\hline
  &   &    & \Rnode{max}{200-150\e^{-3}>0}   \\
f(x) & &  &  \\
 &     \Rnode{min}{-150\e <0} & & 
\ncline{->}{min}{max}
\rput*(-3,0.65){\Rnode{zero}{\red 0}}
\rput(-3,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}		
	
On en déduit que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur  l'intervalle $[0~;~8]$; on l'appelle $\alpha$.

$\left .
\begin{array}{l}
f(3)\approx -16 <0\\
f(4)\approx 45>0
\end{array}
\right \rbrace
\texttt{ donc }
\alpha \in [3~;~4]$
\hfill
$\left .
\begin{array}{l}
f(3,2)\approx -2,3 <0\\
f(3,3)\approx 4,2>0
\end{array}
\right \rbrace
\texttt{ donc }
\alpha \in [3,2~;~3,3]$

$\left .
\begin{array}{l}
f(3,23)\approx -0,35 <0\\
f(3,24)\approx  0,31>0
\end{array}
\right \rbrace
\texttt{ donc }
\alpha \in [3,23~;~3,24]$

$\left .
\begin{array}{l}
f(3,235)\approx -0,019 <0\\
f(3,236)\approx  0,047>0
\end{array}
\right \rbrace
\texttt{ donc }
\alpha \in [3,235~;~3,236]$

La valeur arrondie de $\alpha$ au centième est donc $3,24$.
		
		\item %En déduire la quantité de peinture produite et vendue à partir de laquelle l'entreprise ECOLOR réalisera un bénéfice. Donner le résultat au litre près. 
L'entreprise réalisera donc un bénéfice à partir de $\alpha$ centaines de litres, soit 324 litres de peinture.		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}