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%Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small mars 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie 
mars 2007~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Soit une fonction $f$ définie sur $\R$ et dérivable sur $\R$. On donne son tableau de variations :
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(8,2.5)
%\psframe(8,2.5)
%\psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,2.5)
%\psline{->}(2.7,0.3)(4.7,1.7) \psline{->}(5.3,1.7)(7.7,0.3) 
%\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$-1$} \uput[u](7.5,2){$+ \infty$}
%\uput[u](1,0.8){$f(x)$} \uput[u](2.4,0){$-\infty$} \uput[d](5,2){$3$} \uput[u](7.8,0){$0$}  
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%La courbe ($\mathcal{C}$) donnée ci-après représente la fonction $f$ dans un repère orthonormal du plan. Cette courbe passe par les points A$(-3~;~1)$ et B$(- 1~;~3)$. Les droites ($D$) et ($D'$) sont les tangentes à la courbe respectivement en A et en B.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(-6,-5)(9,4)
%\psgrid[linewidth=0.3pt,gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-6,-5)(9,4)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-5)(9,4)
%\psline(-6,3)(9,3)
%\psline(-6,-5)(-1.5,4)
%\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-5,-5)(-4.5,-3)(-4,-1.5)(-3.5,-0.2)(-3,1)(-2.5,1.83)(-2,2.5)(-1.5,2.85)(-1,3)(-0.5,2.98)(0,2.88)(0.5,2.75)(1,2.55)(1.5,2.3)(2,2.07)(2.5,1.8)(3,1.57)(4,1.15)(5,0.73)(6,0.4)(8,0.18)(9,0.1)
%\uput[ul](-3,1){A} \uput[u](-1,3){B} \uput[d](9,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$}
%\uput[l](-5.2,-3.5){$(D)$} \uput[l](-4.5,3.2){$(D')$}\uput[r](-4.75,-4){$(\mathcal{C})$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer graphiquement $f'(-3)$ et $f'(-1)$.
On lit $f’(- 3) = \dfrac{3-1}{-2 - (-3)} = 2$ (pente de la tangente en A).

$f’(- 1) = 0$ : tangente horizontale.
\item  %Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{f(x)}$.\\
%On admet que $g$ est dérivable sur $\R$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Justifier que $f$ et $g$ ont les mêmes variations. 
Comme la fonction exponentielle est croissante sur $\R$, la composition par cette fonction exponentielle ne va pas changer les variations de $x \longmapsto \text{e}^{f(x)}$.
		\item  %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$ (on justifiera les résultats). 
$\bullet~~$$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$, donc par composition $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  \text{e}^{f(x)} = 0$.

$\bullet~~$$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$, donc par composition $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  \text{e}^{f(x)} = 1$.
		\item  %Calculer $g'(-3)$.
Comme $g’(x) = f’(x)\text{e}^{f(x)}$, donc  $g'(-3) = f’(- 3)\text{e}^{f(-3)} = 2 \times \text{e}^1 = 2\text{e}$.
	\end{enumerate}
\item  %Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]-3,1~;~+ \infty[$  par $h(x) = \ln \left[f(x)\right]$.

%On admet que $h$ est dérivable sur l'intervalle $]-3,1~;~+ \infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x)$ (on justifiera le résultat).
On a  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln [f(x)] = - \infty$.
		\item  %Calculer $h'(-3)$.
Sur 	$]-3,1~;~+ \infty[$, $h$ est dérivable et :

$h’(x) = \dfrac{f’(x)}{f(x)}$, donc 	$h’(-3) = \dfrac{f’(- 3)}{f(- 3)} = \dfrac{2}{1} = 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Deux joueurs A et B, amateurs de tennis, décident de jouer une partie toutes les semaines.
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  La probabilité que A gagne la partie de la première semaine est $0,7$.
%\item[$\bullet~$] Si A gagne la partie de la semaine $n$, il garde la même stratégie de jeu la semaine suivante, et la probabilité qu'il gagne alors la partie de la semaine $(n + 1)$ est seulement de $0,4$.
%\item[$\bullet~$] Si A perd la partie de la semaine $n$, il change de stratégie de jeu pour la semaine suivante, et alors, la probabilité qu'il gagne la partie de la semaine $(n+1)$ est de $0,9$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, on désigne par A$_{n}$ l'évènement : \og A gagne la partie de la $n\up{ième}$ semaine \fg, par B$_{n}$  l'évènement : \og B gagne la partie de la $n$\up{ième}	semaine \fg, et on note $a_{n} = p\left(\text{A}_{n}\right)$.
%
%Le but de cet exercice est de rechercher la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$, en utilisant deux méthodes différentes.

\begin{center}
\textbf{Première méthode : graphe probabiliste} 
\end{center}

%Pour tout entier naturel $n$ non nul, on désigne par $P_{n} = \left(a_{n} \quad  1 - a_{n}\right)$ la matrice des probabilités associée à la $n$\up{ième} semaine.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Décrire cette situation à l'aide d'un graphe probabiliste, et donner la matrice $M$ de transition associée à ce graphe.
Si A gagne la partie de la semaine, la probabilité qu'il gagne alors la partie de la semaine suivante est de 0,4 donc la probabilité de rester dans l'état A est $p_{A_n}\left(A_{n+1}\right) = 0,4$ et la probabilité de passer de l'état A à l'état B est $p_{A_n}\left(B_{n+1}\right) = 0,6$.

Si A perd la partie, la probabilité qu'il gagne la partie de la semaine semaine suivante, est de $0,9$ donc la probabilité de passer de l'état B à l'état A est $p_{B_n}\left(A_{n+1}\right) = 0,9$ et la probabilité de rester dans l'état B est $p_{B_n}\left(B_{n+1}\right) = 0,1$. On a donc le graphe probabiliste suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.1)
\cnodeput(1,1){A}{A}
\cnodeput(6,1){B}{B}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{0,4}
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Bput{0,1}
\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B}\Aput{0,6}
\ncarc[arcangle=20]{->}{B}{A}\Aput{0,9}
\end{pspicture}
\end{center}

La matrice de transition associée est donc $M = \begin{pmatrix}0,4&0,6\\0,9&0,1\end{pmatrix}$.

\item  %On donne $M^2 = \begin{pmatrix}
%0,7 & 0,3\\
%0,45 & 0,55\\
%\end{pmatrix}$ et $M^3 = \begin{pmatrix}
%0,55 & 0,45\\
%0,675 & 0,325\\
%\end{pmatrix}$.\\
%Quelle est la probabilité pour que A gagne la partie de la $4$\up{ème} semaine ?
La matrice de l’état initial est $P_1 = \begin{pmatrix}0,7&0,3\end{pmatrix}$.

L’état probabiliste de la semaine $n$ est $P_n = P_1 \times M^{n-1}$ donc en particulier :

$P_4 = P_1 \times M^3 =  \begin{pmatrix}0,7&0,3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0,55 & 0,45\\
0,675 & 0,325\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\np{0,5875}&\np{0,4125}\end{pmatrix}$.

Donc la probabilité pour que A gagne la partie de la $4$\up{e} semaine est égale à \np{0,5875}
\item %Déterminer la matrice ligne $P =  (x \quad  1 -x)$  telle que $ P \times M = P$.
$ P \times M = P \iff (x \quad  1 - x)\begin{pmatrix}
0,55 & 0,45\\
0,675 & 0,325\\
\end{pmatrix} = (x \quad  1 - x) \iff $

$\begin{pmatrix}
0,4x + 0,9(1 - x)&0,6x + 0,(1 - x)
\end{pmatrix} = (x \quad  1 - x)
 \iff \left\{\begin{array}{l c r}
0,9 - 0,5x &=&x\\
0,1 + 0,5x&=&1 - x
\end{array}\right. $

$\iff \left\{\begin{array}{l c r}
0,9&=&1,5x\\
- 0,9 &=&- 1,5x
\end{array}\right. $, d’où $x = 0,6$.

L’état stable est donc $\begin{pmatrix}0,6&0,4\end{pmatrix}$. 
\item %En déduire la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ et interpréter le  résultat obtenu.
Le résultat précédent montre que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_n = 0,6$.

Au bout d’un certain nombre de semaines la probabilité de gagner pour A se rapproche de 0,6.
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textbf{Deuxième méthode : probabilité et suites} 
\end{center}

%Dans cette deuxième partie, on ne tient pas compte de résultats démontrés dans la partie précédente.
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Recopier sur votre copie l'arbre ci-dessous, et compléter l'arbre avec les 5 probabilités manquantes.
On a $p\left(A_n \right) = a_n$ et $p\left(B_n \right) = 1 - p\left(A_n \right) = 1 - a_n$.

Si A gagne la semaine $n$, la probabilité de gagner la semaine $n+1$ est $p_{A_n}\left(A_{n+1} \right) = 0,4$ et $p_{A_n}\left(B_{n+1} \right) = 0,6$.

Si A perd la semaine $n$, la probabilité de gagner la semaine $n+1$ est 

$p_{B_n}\left(A_{n+1} \right) = 0,9$ et $p_{B_n}\left(B_{n+1} \right) = 0,1$.

D’où l’arbre suivant :

\begin{center}\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{A$_{n}$}\taput{$a_{n}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_{n+1}$}\taput{0,4}
 \Tdot~[tnpos=r]{$B_{n+1}$}\tbput{0,6}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$B_{n}$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_{n+1}$}\taput{0,9}
 \Tdot~[tnpos=r]{$B_{n+1}$}\tbput{0,1}
 		}
}		
		 \end{center}

		\item  %Justifier que $a_{n+1} =  0,9 - 0,5 a_{n}$ pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$.
D’après la loi des probabilités totales on a :
		
$p_{A_{n+1}} = p\left(A_{n} \cap A_{n+1} \right) + p\left(B_{n} \cap A_{n+1} \right) = p\left(A_{n}\right) \times p_{A_n}(A_{n+1}) + p\left(B_{n}\right) \times p_{B_n}\left(A_{n+1}\right) =$

$ a_n \times 0,4 + \left(1 - a_n \right)\times 0,9 = 0,9 +0,4a_n - 0,9a_n = 0,9 - 0,5a_n$, soit :

$a_{n+1} = 0,9 - 0,5a_n$.
	\end{enumerate}
\item  %On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$ par : $u_{n} = a_{n}  - 0,6$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $(- 0,5)$. 
		Pour $n \geqslant 1$, on a :

$u_{n+1} = a_{n+1} - 0,6 = 0,9 - 0,5a_n - 0,6 = 0,3 - 0,5a_n = 0,5\left(\dfrac{0,3}{0,5} - a_n \right) = 0,5\left(0,6 - a_n\right) =$

$ - 0,5\left(a_n - 0,6\right) = - 0,5u_n$.

$u_{n+1} = - 0,5u_n$ signifie que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- 0,5$ de premier terme $u_0 = a_0 - 0,6 = 0,7 - 0,6 = 0,1$.
		\item  %En déduire l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$, puis la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
On sait que $u_n = u_0 \times q^n = 0,1 \times (- 0,5)^n$.

Or $u_{n} = a_{n}  - 0,6 \iff a_n = u_n + 0,6$, soit :

$a_n = 0,1 \times (- 0,5)^n + 0,6$.

On sait que $- 1 < - 0,5 < 0$ et que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} (- 0,5)^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}a_n = 0,6$.

On retrouve le fait que la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ est égale à 0,6.

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Une machine produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut D$_{\text{A}}$ et le défaut D$_{\text{B}}$, à l'exclusion de tout autre défaut.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %On a constaté que, parmi les pièces produites par la machine, 28\,\%
% ont le défaut D$_{\text{A}}$, 37\,\% ont le défaut D$_{\text{B}}$, et 10\,\% ont les deux défauts.
 
%On choisit au hasard une des pièces produites par la machine. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?
La probabilité de tomber sur une pièce défectueuse est égale à :

$p\left(\text{D}_{\text{A}} \cup \text{D}_{\text{B}} \right) = p\left(\text{D}_{\text{A}}\right)+ p\left(\text{D}_{\text{B}}\right) - p\left(\text{D}_{\text{A}} \cap \text{D}_{\text{B}} \right) = 0,28 + 0,37 - 0,10 = 0,55$.
\item  %\textbf{Dans la suite du problème on s'intéresse aux pièces défectueuses qui n'ont qu'un seul défaut.}

%On admet que 40\,\%  de ces pièces ont seulement le défaut D$_{\text{A}}$, et que 60\,\%   de ces pièces ont seulement le défaut D$_{\text{B}}$. On a constaté que 40\,\%    des pièces qui ont le défaut D$_{\text{A}}$ sont réparables, et que 30\,\%     des pièces qui ont le défaut D$_{\text{B}}$ sont réparables.

%On choisit une pièce au hasard.

%On note :

%A l'évènement : \og La pièce a le défaut D$_{\text{A}}$ \fg,

%B l'évènement : \og La pièce a le défaut D$_{\text{B}}$ \fg,

%R l'évènement : \og La pièce est réparable \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  ~%Construire un arbre pondéré décrivant la situation{center}gin
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,4}}
	{\TR{$R$}\taput{0,4}
	\TR{$\overline{R}$}
	}
\pstree{\TR{$B$~}\tbput{0,6}}
	{\TR{$R$}\taput{0,3}
	\TR{$\overline{R}$}
	}	
}
\end{center}

		\item  %Calculer la probabilité de l'évènement :
%\og La pièce choisie a le défaut D$_{\text{A}}$ et est réparable \fg.
Il faut trouver :

$p(\text{A} \cap R) = p(A) \times p_{A}(R) = 0,4 \times 0,4 = 0,16$.
		\item  %Calculer la probabilité de l'évènement :
%\og La pièce choisie est réparable \fg.
On a de même $p(B \cap R) = p(B) \times p_{B}(R) = 0,6 \times 0,3 = 0,18$.

D’après la loi des probabilités totales on a :

$p(R) = p(A \cap R) + p(B \cap R) = 0,16 + 0,18 = 0,34$.
		\item  %Sachant que la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu'elle ait le défaut D$_{\text{A}}$ (le résultat sera donné sous la forme d'une fraction irréductible).
On a $p_{\text{R}}(A) = \dfrac{p(R \cap A}{p(R)} = \dfrac{0,16}{0,34} = \dfrac{16}{34} = \dfrac{8}{17}$.
		\item  %À trois moments différents, on choisit au hasard une pièce parmi les pièces défectueuses qui ont un seul défaut. On suppose que ces tirages s'effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante.

%Calculer la probabilité pour que, sur les 3 pièces choisies, exactement 2 pièces aient le défaut D$_{\text{A}}$.
La probabilité de tirer une pièce ayant le défaut D$_{\text{A}}$ est égale à 0,4. Les tirages s'effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante, donc on a une épreuve de Bernoulli. En trois tirages les issues favorables sont :

A--A--B ; A--B--A et B--A--A donc trois tirages favorables dont la probabilité est égale à $0,4^2 \times 0,6$.

La probabilité pour que, sur les 3 pièces choisies, exactement 2 pièces aient le défaut D$_{\text{A}}$ est donc égale à :

$3 \times 0,4^2 \times 0,6 = 3 \times 0,16 \times 0,6 = 0,288$, soit un peu moins de 30\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Lors d'une émission télévisée, les téléspectateurs sont appelés à envoyer des messages téléphoniques par SMS, pendant une durée de $5$ minutes.
%
%Pendant ces $5$ minutes, les appels arrivent de façon continue, avec un débit variable en fonction du temps. Si $x$ est le temps exprimé en minutes, le débit, exprimé en milliers d'appels par minute, est donné par la fonction $f$ telle que :
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $f(x) = -4x^2 + 8x$ pour $x \in [0~;~1]$.
%\item[$\bullet~$] $f(x) =  \ln x - x + 5$ pour $x \in [1~;~5]$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%La courbe $(\mathcal{C})$, représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal du plan, est donnée ci-après à titre indicatif.
%
%On veut calculer le nombre total d'appels reçus pendant ces 5 minutes, et on admet que ce nombre d'appels est donné par  $\displaystyle\int_{0}^5 f(x)\:\text{d}x$.

\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que $f$ est croissante sur [0 ; 1], et décroissante sur [1 ; 5].
$\bullet~~$Sur [0~;~1], $f$ est dérivable et sur cet intervalle : $f’(x) = - 8x + 8$.

Or $0 \leqslant x \leqslant 1 \iff 0 \leqslant 8x \leqslant 8 \iff - 8 \leqslant - 8x \leqslant 0 \iff 0 \leqslant - 8x + 8 \leqslant 8$.

Donc sur [0~;~1], $f’(x) \geqslant 0$ : la fonction est croissante.

$\bullet~~$Sur [1~;~5], $f$ est dérivable et sur cet intervalle : $f’(x) = \dfrac{1}{x} - 1$.

Or $1 \leqslant x \leqslant 5 \iff \dfrac{1}{5}  leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 1 \iff   \dfrac{1}{5} - 1  leqslant \dfrac{1}{x} - 1 \leqslant 1 - 1$ soit $- \dfrac{4}{5} \leqslant f’(x) \leqslant 0$.

Donc sur  [1~;~5]$f’(x) \leqslant 0$ donc $f$ est décroissante. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Donner une primitive de la fonction $f$ sur [0 ; 1].
Sur [0~;~1], une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie par $F(x) = - 4 \dfrac{x^3}{3} + 4x^2$.
		\item  %Calculer l'aire exprimée en unités d'aire du domaine plan limité par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.
On a vu que sur [0~;~1] la fonction $f$ est croissante de $f(0) = 0$ à $f(1) = 4$ : la fonction est donc positive et l’aire du domaine plan limité par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$ est égal à l’intégrale $\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0) = 	- 4 \dfrac{1^3}{3} + 4\times 1^2	-  \left[ - 4 \dfrac{0^3}{3} + 4\times 0^2\right] = 4 - \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Soient $g$ et $G$ les fonctions définie sur [1 ; 5] par $g(x) = \ln x$ et
		
%$G(x) = x\ln x - x$.

%Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur [1~;~5].
$G$ est dérivable sur [1~;~5] et sur cet intervalle $G’(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$.

Donc $G$ est une primitive de $g$ sur [1~;~5]
		\item  %Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 5$.
$f$ est décroissante de $f(1) = \ln 1 - 1 + 5 = 4$ à $f(5) = \ln 5 - 5 + 5 = \ln 5$. $f$ est donc positive et  l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 5$ est égale à l’intégrale $\displaystyle\int_1^5 f(x)\:\text{d}x = \left[G(x) - \dfrac{x^2}{2} + 5x \right]_1^5 = \left[x\ln x - x -  \dfrac{x^2}{2} + 5x \right]_1^5 = 5\ln 5 - 5 -  \dfrac{5^2}{2} + 5  - \left[1\ln 1 - 1 -  \dfrac{1^2}{2} + 5 \right] = 5\ln 5 + 20 - 5 - \dfrac{25}{2} + 1 + \dfrac{1}{2} = 5\ln 5 + 4$.
	\end{enumerate}
\item  %Donner le nombre total d'appels reçus pendant ces 5 minutes.
Le nombre total d'appels (en milliers) reçus pendant ces 5 minutes est égal à $\displaystyle\int_0^5 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x + \displaystyle\int_1^5 f(x)\:\text{d}x = \dfrac{8}{3} + 5\ln 5 + 4 = 5\ln 5 + \dfrac{20}{3} \approx \np{14,7139}$.

En arrondissant à l’unité le nombre total d'appels reçus pendant ces 5 minutes est de \np{14714}.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\psgrid[linewidth=0.3pt,gridlabelcolor=white,subgriddiv=3,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(6,5)
\uput[u](3.5,2.8){\blue $(\mathcal{C}$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(0,0)(6,5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{8 x mul x 2 exp 4 mul sub}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{5}{x ln x sub 5 add}
%%%%%%%%  avec Pstricks-add
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=blue]{-5}{-1}{2.5-x-.5*x^2}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=blue]{-1}{9}{(1.5*x+4.5)*e^(-.5*x-.5)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}