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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle--Calédonie mars 2009~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

%\textbf{Q. C. M.}
%
%\medskip 
%
%Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte.
% 
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
%
%Aucune justification n'est demandée. 
% 
\medskip
%
%\emph{Barème : une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est $0$.}
%
%\medskip
% 
%La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est une partie de la courbe représentative, dans un repère orthogonal, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle I $= [-4~;~ 4]$. La droite T tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point  A$(0~;~1,5)$ passe par le point B$(3~;~0)$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
%
%\medskip
%
%\psset{unit=1.2cm}
%
%\begin{pspicture}(-5,-6)(5,6)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(-5,-6)(5,6)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-6)(5,6)
%\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0,1.5){A} \uput[ur](3,0){B} \uput[r](3.1,2.5){$\mathcal{C}$}
%\uput[u](-3,3){T}\uput[d](4.9,-0.13){$x$}\uput[l](-0.1,5.9){$y$}
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-4}{3.218}{x 1  sub x 3 sub mul 0.5 mul 2.71828 x exp mul }
%%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-4}{3.218}{.5*(x-1)*(x-3)*2.71828^x}
%\psplot[linewidth=1pt]{-4}{4}{1.5 0.5 x mul sub}
%\end{pspicture} 
%
%\newpage

\begin{enumerate}
\item  $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente (T) = (AB) soit : $\dfrac{0 - 1,5}{3 - 0} = - \dfrac{1}{2} = - 0,5$. Réponse B.

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%Réponse A : 1,5&Réponse B :  $-0,5$&Réponse C : 0,5\\
%\end{tabularx}

\medskip
 
\item  $f'(x) \leqslant 0$ si la fonction est décroissante donc en particulier sur  l'intervalle [0~;~1]. Réponse C.

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%Réponse A : $[-4~;~-1]$&Réponse B :  $[1~;~3]$&Réponse C : $[0~;~1]$\\
%\end{tabularx}

\medskip
 
\item  %$\displaystyle\int_{-2}^0 f(x)\:\text{d}x$ est un nombre de l'intervalle :

%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%Réponse A : [0~;~2]&Réponse B :  [2~;~4]&Réponse C : [4~;~6]\\
%\end{tabularx}
L'intégrale est égale à l'aire (en unités d'aire) de la surface limitée par la courbe l'axe des abscisses et les droites verticales d'équation $x = - 2$ et $x = 0$. Cette surface contient deux carrés unitaires mais pas quatre. Réponse B.
\medskip

\item  %L'équation $\ln [f(x)] = 0$ a exactement :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%Réponse A : 1 solution&Réponse B :  2 solutions&Réponse C :  3 solutions\\
%\end{tabularx}
$\ln [f(x)] = 0 \iff f(x) = 1$ : cette équation a visiblement trois solutions. Réponse C.
\medskip 

\item  %Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-4~;~1[$ par $g(x) = \dfrac{1}{f(x)}$. La fonction $g$ est croissante sur  l'intervalle : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%Réponse A : $[-3~;~-1]$&Réponse B : $[-2~;~1[$ &Réponse C : $[0~;~1[$\\
%\end{tabularx}
$g$ est croissante si $f$ est décroissante. Celle-ci l'est sur l'intervalle [0~;~1]. Réponse C.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%Le tableau ci-dessous donne en euros le montant des remboursements annuels $y_{i}$ effectués de 2003 à 2007 par un ménage, à la suite de divers emprunts : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année					& 2003 		&2004	 	&2005 		&2006 		&2007 \\ \hline
%Rang $x_{i}$ de l'année	& 1	 		&2 			&3 			&4 			&5 \\ \hline 
%$y_{i}$					& \np{6096} &\np{7602}  &\np{9170} 	&\np{11155} &\np{15385}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, avec $i$ compris entre 1 et 5, associe à cette série statistique. On prendra comme unité graphique 2~cm pour 1 en abscisse et 1~cm pour \np{1000}~euros en ordonnée.
 
%On commencera les graduations au point de coordonnées $(0~;~\np{6000})$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.0008cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-1000)(5.5,11000)
\multido{\n=0.00+0.25}{23}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,11000)}
\multido{\n=0+500}{23}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=cyan](0,\n)(5.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=6000,Dy=1000,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(5.5,11000)
\psdots(1,96)(2,1602)(3,3170)(4,5155)(5,9385)
\uput[d](5.4,-100){$x$}\uput[l](-0.15,10800){$y$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %On pose, pour $i$ variant de 1 à 5, $z_{i} = \ln y_{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $z_{i}$ en arrondissant les valeurs à $10^{-3}$ près. 
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					& 2003 	&2004	 &2005 	&2006 	&2007 \\ \hline
Rang $x_{i}$ de l'année	& 1	 	&2 		&3 		&4 		&5 \\ \hline 
$z_{i}$					&8,715 	&8,936  &9,124 	&9,320 	&9,641\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

		\item  %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients obtenus à l'aide de la calculatrice seront arrondis au centième.
		Après arrondi au centième des coefficients la calculatrice donne $z = 0,22x + 8,48$. 
		\item  %En déduire que l'on peut écrire une relation entre $y$ et $x$ sous la forme : $y  = \text{Ae}^{\text{B}x}$ avec A $\approx \np{4817}$ et B $ \approx 0,22$.
$z = 0,22x + 8,48 \equiv \ln y =  0,22x + 8,48 \iff y = \text{e}^{ 0,22x + 8,48}  \equiv y = \text{e}^{8,48} \times \text{e}^{ 0,22x}$.

Or $\text{e}^{8,48}  \approx  \np{4817,4} \approx \np{4817}$ à l'unité près. Donc 

$y \approx \np{4817}\text{e}^{ 0,22x}$.
		\item  %En supposant, que cet ajustement reste valable en 2008, estimer le montant des remboursements annuels de ce ménage en 2008, arrondi à l'euro.
2008 correspond au rang $x = 6$, d'où :

$y \approx   \np{4817}\text{e}^{ 0,22 \times 6} \approx \np{4817}\text{e}^{1,32} \approx \np{18032}$~(\euro).
	\end{enumerate}
	
\item %\textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%\medskip
% 
%Ce ménage disposait de \np{50000}~euros de revenu annuel en 2006. On estime que son revenu annuel augmente de 2\,\% par an. 
%
%La banque alerte ses clients lorsque le montant des remboursements des emprunts dépasse le tiers du montant des revenus.
% 
%En quelle année la banque alertera-t-elle ce ménage ? Justifier.
Chaque année le montant des revenus est donc multiplié par 1,2 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année							& 2006 			&2007	 	&2008 		&2009 	\\ \hline
Rang $x_{i}$ de l'année			& 1	 			&2 			&3 			&4 		 \\ \hline 
revenus $r_{i}$					&\np{50000}		&\np{51000} &\np{52020}	&\np{53060,40} \\ \hline
tiers des revenus $\frac{r_i}{3}$&\np{16666,67}	&\np{17000}	&\np{17340}	&$\ldots$\\ \hline
remboursements $y_i$			&\np{11155}		&\np{15385}	&\np{18032}	&$\ldots$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip 

On constate que dès la deuxième année soit en 2008 les remboursements dépassent le tiers des revenus. la banque alertera le ménage en fin de 2008.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

%Un club de natation propose à ses adhérents trois types d'activité : la compétition, le loisir ou l'aquagym. Chaque adhérent ne peut pratiquer qu'une seule des trois activités.
%
%\medskip
% 
%30\,\% des adhérents au club pratiquent la natation en loisir, 20\,\% des adhérents au club pratiquent  l'aquagym et le reste des adhérents pratiquent la natation en compétition.
%
%\medskip
% 
%Cette année, le club propose une journée de rencontre entre tous ses adhérents. 20\,\% des adhérents de la la section loisir  et un quart des adhérents de la section aquagym participent à cette rencontre. 30\,\% des adhérents de la section compétition ne participent pas à cette rencontre. 
%
%\medskip
%
%On interroge au hasard une personne adhérente à ce club. On considère les évènements suivants : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] A « La personne interrogée pratique l'aquagym »,
% 
%\item[] C « La personne interrogée pratique la natation en compétition »,
% 
%\item[] L « La personne interrogée pratique la natation en loisir »,
% 
%\item[] R « La personne interrogée participe à la rencontre » et $\overline{\text{R}}$ son évènement contraire. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  ~%Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$L$~}\taput{0,3}}
	{\TR{$R$}\taput{0,2}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{0,8}
	}
\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,2}}
	{\TR{$R$}\taput{0,25}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{0,75}
	}
\pstree{\TR{$C$~}\tbput{0,5}}
	{\TR{$R$}\taput{0,7}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{0,3}
	}
}
\end{center}
\medskip
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la probabilité que la personne interrogée pratique la natation en compétition et qu'elle participe à la rencontre.
La probabilité que la personne interrogée pratique la natation en compétition et qu'elle participe à la rencontre est :

$p(C \cap R) = p(C) \times p_C(R) = 0,5 \times 0,7 = 0,35$. 
	\item %Le président du club déplore que plus de la moitié des adhérents ne participent pas à la rencontre. Justifier son affirmation par un calcul.
On a de même : 

$p(L \cap R) = p(L) \times p_C(R) = 0,3 \times 0,2 = 0,06$.

$p(A \cap R) = p(A) \times p_C(R) = 0,2 \times 0,25 = 0,05$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(R) = p(L \cap R) + p(A \cap R) + p(C \cap R) = 0,06 + 0,05 + 0,35 = 0,46$ soit moins de 50\,\% des adhérents
	\end{enumerate} 
\item %On interroge une personne au hasard lors de la rencontre. Calculer la probabilité qu'elle soit dans la section compétition. \emph{Donner une valeur approchée du résultat arrondie à $10^{-2}$ près.}
Il faut trouver :
$p_R(C) = \dfrac{p(R \cap C)}{p(R)} =  \dfrac{p(C \cap R)}{p(R)} = \dfrac{0,35}{0,46} = \dfrac{35}{46} \approx 0,761 \approx 0,76$ au centième près.
\item %Les tarifs du club pour l'année sont les suivants : l'adhésion à la section compétition est de 100~\euro{} et l'adhésion à la section loisir ou à l'aquagym est de 60~\euro. De plus, une somme de 15~\euro{} est demandée aux adhérents qui participent à la rencontre.
 
%On appelle $S$ la somme annuelle payée par un adhérent de ce club (adhésion et participation éventuelle à la rencontre). 
	\begin{enumerate}
		\item  ~%Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $S$ :


\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$S_{i}$	&60 	&75 	&100 	&115 \\ \hline
$p_{i}$	&0,39	&0,11	&0,15	&0,35\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip 

	\item %Calculer l'espérance mathématique de $S$ et interpréter ce nombre.
On a E$(S) = 0,39 \times 60 + 0,11 \times 75 + 0,15 \times 100 + 0,35 \times 115 = $

$23,4 + 8,25 + 15  + 40,25 = 86,90$~(\euro)
.

Cette somme représente la rentrée d'argent moyenne par adhérent pour le club.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip
	
\fbox{\textbf{I}. Étude d'une fonction}
%
%\medskip
%
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$  par :
%
%\[ f(x) =  0,5x + \text{e}^{-0,5x + 0,4}.\]

\begin{enumerate}
\item  %Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
La dérivée de $\text{e}^{u(x)}$, avec $u(x)$ dérivable est la fonction $u'(x) \times \text{e}^{u(x)}$.

D'où $f'(x) = 0,5 - 0,5\text{e}^{-0,5x + 0,4} = 0,5\left(1 -  \text{e}^{-0,5x + 0,4}\right) $.
\item  %Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et vérifier que $f$ admet un minimum en 0,8.
Le signe de $f'(x)$ est celui de la parenthèse $\left(1 -  \text{e}^{- 0,5x + 0,4}\right)$ ; 

$\bullet~~$$1 -  \text{e}^{-0,5x + 0,4} > 0 \iff 1 > \text{e}^{- 0,5x + 0,4} \iff 0 > - 0,5x + 0,4 \iff 0,5x > 0,4 \iff x > 0,8$ : 
la dérivée est donc positive sur $[0,8~;~+ \infty[$, la fonction est donc croissante sur cet intervalle de $f(0,8) = 0,5 \times 0,8 + \text{e}^{-0,5 \times 0,8 + 0,4} = 0,4 + \text{e}^0 = 0,4 + 1 = 1,4$ à plus l'infini car $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-0,5x + 0,4} = 0$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}0,5x = + \infty$.

$\bullet~~$$1 -  \text{e}^{-0,5x + 0,4} < 0 \iff 1 < \text{e}^{- 0,5x + 0,4} \iff 0 < - 0,5x + 0,4 \iff 0,5x < 0,4 \iff x < 0,8$ : 
la dérivée est donc négative sur $[0~;~0,8[$, la fonction est donc décroissante sur cet intervalle de $f(0) = \text{e}^{0,4} \approx 1,492$ à $f(0,8) = 1,4$.

$\bullet~~$$1 -  \text{e}^{-0,5x + 0,4} = 0 \iff x = 0,8$ ; $f(0,8)$ est donc le minimum de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$
\end{enumerate}

\medskip

\fbox{\textbf{II}. Application économique}
%
%\medskip 
 
%Une entreprise fabrique des objets. $f(x)$ est le coût total de fabrication, en milliers d'euros, de $x$ centaines d'objets. Chaque objet fabriqué est vendu 6~\euro. 

\begin{enumerate}
\item  %Quel nombre d'objets faut-il produire pour que le coût total de fabrication soit minimum ?
On a vu le minimum de $f$ est obtenu pour $x = 0,8$, soit 80 objets pour un coût de \np{1400}~\euro. 
\item  %Le résultat (recette moins coûts), en milliers d'euros, obtenu par la vente de $x$ centaines d'objet  est : 	$R(x) = 0,1x - \text{e}^{-0,5x + 0,4}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier les variations de $R$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		On a $R'(x) = 0,1 - (- 0,5)\text{e}^{-0,5x + 0,4} = 0,1 + 0,5\text{e}^{-0,5x + 0,4}$.
		
Comme quel que soit le réel $x$, $\text{e}^{-0,5x + 0,4}$, on a aussi  $0,5\text{e}^{-0,5x + 0,4} > 0$ et enfin 	

$0,1 + 0,5\text{e}^{-0,5x + 0,4} > 0$  ; donc $R'(x) > 0$ : la fonction $R$ est croissante sur $[0~;~+ \infty[$.	 
		\item %Montrer que l'équation $R(x) = 0$ a une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
On a $R(0) = - \text{e}^{0,4}  \approx - 1,492 < 0$.

D'autre part $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-0,5x + 0,4} = 0$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}0,1x = + \infty$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}R(x) = + \infty$.

La fonction $R$ est continue car dérivable, d'après le théorème de la valeur intermédiaire elle s'annule donc une seule fois en un point $\alpha \in [0~;~+ \infty[$.

La calculatrice donne :

$R(3) \approx - 0,033$ et $R(4) \approx 0,198$, d'où $3 < \alpha<4$ ;

$R(3,1) \approx - 0,007$ et $R(3,2) \approx 0,019$ d'où $3,1 < \alpha< 3,2$ ;

$R(3,12) \approx -0,001$ et $R(3,13)\approx 0,001$ d'où $3,12 < \alpha < 3,13$.
		\item %En déduire la quantité minimale d'objets à produire afin que cette entreprise réalise un bénéfice sur la vente des objets.
Pour 312 objets le résultat est négatif ; il est positif pour la production de 313 objets. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}