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%Tapuscrit de Denis Vergès
%Sujet fourni par Nathalie Mignot 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small mars 2011}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie mars 2011~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%Lors d'un sondage organisé dans différents pays de l'Union Européenne sur une population comportant 52\,\% de femmes et 48\,\% d'hommes, on a posé la question suivante : 
%
%\og  Qu'est-ce qui renforcerait le plus votre sentiment d'être un citoyen européen ? \fg
% 
%31\,\% des femmes interrogées et 34\,\% des hommes interrogés ont répondu qu'un système européen de protection sociale serait l'élément qui renforcerait le plus leur sentiment d'être un citoyen européen.
% 
%(\emph{Source : \og le futur de l'Europe \fg, Commission Européenne, sondage réalisé en mars 2006})
%
%\medskip
% 
%On prélève au hasard la réponse d'une personne prise au hasard parmi les réponses des personnes interrogées lors de ce sondage.
% 
%On appelle :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item H : l'évènement \og la réponse est celle d'un homme \fg.
%\item F : l'évènement \og la réponse est celle d'une femme \fg.
%\item S : l'évènement \og la réponse est un système de protection social européen \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item ~%Dessiner un arbre pondéré traduisant la situation.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$H$~}\taput{0,48}}
	{\TR{$S$}\taput{0,34}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{0,66}
	}
\pstree{\TR{$F$~}\tbput{0,52}}
	{\TR{$S$}\taput{0,31}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{0,69}	
	}
}
\end{center}
\medskip
 
\item %Calculer la probabilité qu'une réponse du sondage soit celle d'un homme souhaitant avoir un système de protection social européen. On donnera la valeur exacte.
On calcule $p(H \cap S) = p(H) \times p_{H}(S) = 0,48 \times 0,34 = \np{0,1632}$. 
\item %Montrer que la probabilité de l'évènement S est \np{0,3244}.
On a de même : $p(F \cap S) = p(F) \times p_{F}(S) = 0,52 \times 0,31 = \np{0,1612}$.

Donc d'après la loi des probabilités totales :

$p(\text{S}) = p(H \cap S) + p(F \cap S) = \np{0,1632} + \np{0,1612} = \np{3244}$.
\item %Sachant que la personne souhaite avoir un système de protection social européen, calculer la probabilité, arrondie au millième, que ce soit une femme. 
$p_{\text{S}}(F) = \dfrac{S \cap \text{F}}{p(S)} = \dfrac{\np{0,1612}}{\np{3244}} \approx 0,497$.
\item %On choisit au hasard trois réponses de ce sondage.

%On admet que le nombre de réponses est suffisamment grand pour assimiler le choix de trois réponses à des tirages successifs indépendants avec remise 
%Déterminer la probabilité qu'au moins deux des trois réponses soient \og avoir un système de protection social européen \fg. \emph{On arrondira le résultat au millième.} 
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p = p(\text{S}) = \np{0,3244}$

La probabilité qu'aucun des trois n'ait répondu \og avoir un système de protection social européen \fg{} est : $(1 - \np{0,3244})^3 = \np{0,6756}^3 = \np{0,309368}$.

La probabilité qu'un des trois ait répondu \og avoir un système de protection social européen \fg{} est : $3 \times \np{0,3244}(1 - \np{0,3244})^2  = \np{0,444203}$.

Donc la probabilité qu'au moins deux des trois réponses soient \og avoir un système de protection social européen \fg{} est $1 - (\np{0,309368} + \np{0,444203}) = \np{0,246229} \approx 0,246$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte: a, b ou c. 
%
%Pour chacune des questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. 
%
%\emph{Barème : une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}
%
%\medskip 
%
%Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ appartenant à $\left]- \dfrac{1}{2}~;~5\right[$ par 
%
%\[f(x) = - x + 2 + \ln (2x + 1)\]
%
% et soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %$\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point : 
 
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%\textbf{a.~~} A$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2} + \ln 2\right)$ 
%&\textbf{b.~~} B(0~;~2)&\textbf{c.~~} C $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2} + \ln 2 \right)$\\ 
%\end{tabularx}
On doit avoir $f'(x) = 0$.

Or sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~5\right[$, \:$f'(x) = - 1 + \dfrac{2}{2x + 1} = \dfrac{- 2x - 1 + 2}{2x + 1} = \dfrac{1 - 2x}{2x + 1}$.

$f'(x) = 0 \iff \dfrac{1 - 2x}{2x + 1} = 0 \iff 1 - 2x = 0 \iff x = \dfrac{1}{2} \in \left]- \dfrac{1}{2}~;~5\right[$.

On vérifie que $f\left(\frac{1}{2} \right) = - \dfrac{1}{2} + 2 + \ln (1 + 1) = \frac{3}{2} + \ln 2$.

$\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point A. 
\medskip 

\item  %La limite de $f$ en $- \dfrac{1}{2}$ est égale à : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%\textbf{a.~~} $\dfrac{5}{2}$&\textbf{b.~~} $- \infty$& 
%\textbf{c.~~} $+ \infty$\\ 
%\end{tabularx}
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \frac{1}{2}} - x + 2 = \frac{5}{2}$ et 
$\displaystyle\lim_{x \to - \frac{1}{2}} \ln (2x + 1) = - \infty$, d'où par somme 
$\displaystyle\lim_{x \to - \frac{1}{2}} f(x) = - \infty$.
\medskip 
 
\item %Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ dans l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~5\right[$ est égal à :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%\textbf{a.~~} 0&\textbf{b.~~}  1 &\textbf{c.~~} 2\\ 
%\end{tabularx}
On a vu que $f'(x) = \dfrac{1 - 2x}{2x + 1}$. Sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~5\right[,\: 2x + 1 > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - 2x$.

Donc sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}  \right[,\: f'(x) > 0$ : la fonction est croissante de $- \infty$ à $f\left(\frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2} + \ln 2 > 0$.

Sur cet intervalle la fonction $f$ est croissante, continue car dérivable : elle s'annule donc en un seul point d'abscisse  $x_1 \in \left]- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}  \right[$.

Sur $\left]\frac{1}{2}~;~5\right[,\: f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante de $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} + \ln 2 > 0$ à $f(5) = - 5 +2 + \ln 11 \approx -0,6 < 0$.

Pour les mêmes raisons la fonction $f$ s'annule en un point dont l'abscisse est $x_2 \in \left]\frac{1}{2}~;~5\right[$.

L'équation a donc deux solutions.
\medskip 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%Le tableau ci-dessous donne le nombre de clients ayant fréquenté un restaurant donné pour la période 2000 - 2005.
% 
%Chaque année est remplacée par son rang $x_{i}$ et le nombre de clients correspondant $y_{i}$ est donné en centaines.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005\\ \hline% 
%Rang $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline% 
%Nombre $y_{i}$& 51,5 &50 &49 &48 &47,5 &47\\ \hline%
%\end{tabularx}
% 
%\medskip
%
%Le graphique ci-dessous donne le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ avec $i$ compris entre 0 et 5. 
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(12,7)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=45]{->}(0,0)(12,7)
%\psdots[dotscale=1.25](0,6.5)(1,5)(2,4)(3,3)(4,2.5)(5,2)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer à l'aide de la calculatrice l'équation $y = ax + b$ de la droite $D$ d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.
La calculatrice donne $y = - 0,89x + 51,05$. (coefficients au centième près) 
%Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis au centième. Aucune justification n'est demandée. 
\item %Tracer la droite $D$ dans le repère de l'annexe 1. 
Voir à la fin. 
\item %En utilisant ce modèle, quel nombre de clients pouvait-on prévoir pour les années 2006 et 2007 ?
2006 correspond à $x = 6$ qui donne un nombre de clients :

$- 0,89 \times 6 + 51,05 = 51,05 - 5,34 = 45,71$ 

et pour 2007,

$- 0,89 \times 7 + 51,05 = 51,05 - 6,23 = 44,82$.

Suivant ce modèle affine il y aurait en 2006 environ \np{4570}~clients et en 2007, \np{4480}. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Une étude plus récente a permis d'obtenir le nombre de clients pour la période 2006 - 2009. Ces résultats sont donnés dans le tableau suivant :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année 			&2006 	&2007 	&2008 	&2009\\ \hline 
%Rang $x_{i}$	& 6 	&7 		&8 		&9\\ \hline% 
%Nombre $y_{i}$ &47 	&47,2 	&47,5 	&47,9\\ \hline%
%\end{tabularx} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de ces valeurs compléter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ de la série statistique sur le document de l'annexe 1.
Voir l'annexe à la fin. 
		\item %Le modèle d'ajustement trouvé dans la partie A vous paraît-il pertinent pour la période 2006--2009 ? Justifier la réponse.
Le modèle affine ne paraît plus pertinent car les points ne sont plus globalement alignés.
	\end{enumerate} 
\item %On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~9] par 

%\[f(x) = 2x + 15 + \text{e}^{- 0,1x + 3,6}.\] 

%On choisit un nouveau modèle d'évolution : on prend le nombre $f(x)$ comme estimation du nombre de centaines de clients de ce restaurant au cours de l'année $2000 + x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f(7)$. 
$f(7) = 2\times 7 + 15 + \text{e}^{- 0,1\times 7 + 3,6} = 29 + \text{e}^{2,9} \approx 47,17$ soit une valeur proche de la valeur réelle. Pour le moment le modèle semble plus adapté.
%Le choix de ce modèle d'évolution semble-t-il pertinent pour l'année 2007? 
		\item %D'après ce modèle d'évolution, à combien peut-on estimer le nombre de clients qui fréquenteront le restaurant en 2010 ? (\emph{On donnera le résultat arrondi à la centaine de clients}).
2010 correspond à $x = 10$ qui donne un nombre de clients :

$f(10) = 2 \times 10 + 15 +  \text{e}^{- 0,1\times 10 + 3,6} = 35 + \text{e}^{2,6}\approx 48,463$ soit environ \np{4850} clients.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%L'entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur $x$ exprimée en kilomètre, $x$ étant compris entre $0$ et $10$.
% 
%Le coût total de production en euros de l'entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur $x$ par la formule 
%
%\[C(x) = 15x^3 - 120x^2 + 500x + 750.\]
% 
%Le graphique de l'annexe 2 donne la représentation graphique de la fonction $C$.
%
%\medskip
 
%\textbf{Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes}

%\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude du bénéfice}

\medskip
 
%Si le marché offre un prix $p$ en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l'entreprise CoTon pour la vente d'une quantité $x$ est égal à $R(x) = px$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Tracer sur le graphique de l'annexe 2 la droite $D_{1}$ d'équation $y = 400x$. 
Voir à la fin.
%Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l'entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix $p$ du marché est égal à $400$~euros.

Graphiquement, on voit que le prix de production est supérieur à la recette quel que soit le nombre de mètres produits et vendus. L'entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice. 
\item  %Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à $680$~euros.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Tracer sur le graphique de l'annexe 2 la droite $D_{2}$ d'équation $y = 680x$. 
Voir à la fin.
%Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et vendues, l'entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix $p$ du marché est de $680$~euros.
Graphiquement, on voit que  l'entreprise CoTon réalise un bénéfice si le nombre de pièces produites est entre 2,1 et 8,7~km. 
		\item %On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle [0~; ~10] par 
		
%\[B(x) = 680x - C(x).\]
		 
%Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~10] on a :
 
%\[B'(x) = - 45x^2 + 240x + 180.\]
La fonction $B$ est dérivable sur [0~;~10] et sur intervalle :

$B'(x) = 680 - 45x^2 + 240x - 500 = - 45x^2 +   240x + 180$.
		\item %Étudier les variations de la fonction $B$ sur [0~;~10]. 
$B'(x) = - 45x^2 + 240x + 180 = 15\left(- 3x^2 + 16x + 12 \right)$.

Pour le trinôme $- 3x^2 + 16x + 12$, on a $\Delta = 16^2 + 4 \times 3 \times 12 = 256 + 144 = 400 = 20^2 > 0$. Ce trinôme a donc deux racines :

\[x_1 = \dfrac{- 16 + 20}{- 6} \approx - \dfrac{2}{3}\quad \text{et} \quad \dfrac{- 16 - 20}{- 6} = 6.\]

Le trinôme est négatif sauf entre les racines, donc en particulier sur [0~;~6] $B'(x) > 0$, donc la fonction est croissante de $B(0) = - 750$ à $B(6) = \np{1710}$ ;   $B'(x) < 0$ sur   [6~;~10] donc décroissante de $B(6) = \np{1710}$ à $B(10) = \np{-1950}$.

%En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l'entreprise CoTon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice.
Le bénéfice est au maximum de \np{1710}~\euro{} pour une quantité de 6~km.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude du coût moyen}

\medskip 

%On rappelle que le coût moyen de production $C_{M}$ mesure le coût par unité produite. On considère la fonction $C_{M}$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par 
%
%\[C_{M}(x) = \dfrac{C(x)}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~10] on a : 

%\[C'_{M}(x) = \dfrac{30(x - 5)\left(x^2 + x + 5\right)}{x^2}.\] 
Puisque $x \ne 0, \: C_{M}$ est dérivable et sur ]0~;~10] :

$C'_{M}(x) = \dfrac{C'(x) \times x - 1 \times C(x)}{x^2} = \dfrac{45x^3 - 240x^2 + 500x - 15x^3 + 120x^2 - 500x - 750}{x^2} = \dfrac{30x^3 - 120x^2 - 750}{x^2} = $

$\dfrac{30\left(x^3 - 4x^2 - 25) \right)}{x^2}$.

Or $(x - 5)\left(x^2 + x + 5\right) = x^3 + x^2  + 5x - 5x^2 - 5x - 25 =  x^3 - 4x^2 - 25$, donc finalement :

$C'_{M}(x) = \dfrac{30(x - 5)\left(x^2 + x + 5\right)}{x^2}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~10], $C'_{M}(x)$ est du signe de $(x - 5)$.
On a $30 > 0,\:,x^2 > 0$ ; d'autre part pour le trinôme $x^2 + x + 5$ le discriminant est $\Delta = 1 - 20 = - 19 > 0$ ; il n'a donc pas de racine et est du signe de $a = 1$ c'est-à-dire positif.

Donc le signe de  $C'_{M}(x)$ est celui de $x - 5$, donc négatif sur ]0~;~5[ et positif sur ]5~;~10]. 		 
%En déduire les variations de la fonction $C_{M}$ sur l'intervalle ]0~;~10].
Donc  $C_{M}$ est décroissante sur [0~;~5] et croissante sur ]5~;~10].
		\item %Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum ? 
La fonction $C_{M}$ a donc un minimum pour $x = 5$ qui est égal à
 
$C_M(5) = \dfrac{15 \times 5^3 - 120 \times 5^2 + 500 \times 5 + 750}{5} = 3\times 5^3  - 24\times 5^2  + 100 	\times 5 + 150 = $

$ 375 - 600 + 500 + 150 = 425$.

Le coût total est $C(5) = 5 \times C_M(5) = 5 \times 425 = \np{2125}$~\euro.	
%Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total ?  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
{\large\textbf{Annexe 1 (exercice 3) -- à rendre avec la copie}}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(12,7)
\psdots[dotscale=1.25](0,6.5)(1,5)(2,4)(3,3)(4,2.5)(5,2)(6,47)(7,47.2)(8,47.5)(9,47.9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=45]{->}(0,0)(12,7)
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{6.75}{6.05 0.89 x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{1cm}

{\large\textbf{Annexe 2 (exercice 4) -- à rendre avec la copie}}

\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.001cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(11,9000)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 3 exp 15 mul x dup mul 120 mul sub 500 x mul add 750 add}
\multido{\n=0.0+0.2}{56}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,9000)}
\multido{\n=0.+1}{12}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,9000)}
\multido{\n=0+200}{46}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(11,\n)}
\multido{\n=0+1000}{10}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(11,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10000]{->}(0,0)(11,9000)
\multido{\n=0+1000}{10}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psplot{0}{10}{400 x mul}\uput[d](10,3900){D$_1$}
\psplot{0}{10}{680 x mul}\uput[d](10,6700){D$_2$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{10}{x 3 exp 15 neg mul x dup mul 120 mul add 180 x mul add 750 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}