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%Tapuscrit de Jean-Yves Le Goff
%Figures Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Métropole novembre 2006},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small novembre 2006}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie 
novembre 2006~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

%La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ de la figure $1$ est une partie de la courbe représentative, relativement à un repère orthogonal, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-4~;~+ \infty[$.
%
%On donne les renseignements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] les points A$(-3~;~0)$, B$\left(-2~;~\text{e}^2\right)$ et C(0 ; 3) sont des points de la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ;
%\item[$\bullet~$] l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $+ \infty$.
%\item[$\bullet~$] la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[- 2~;~+ \infty[$ ;
%\item[$\bullet~$] la droite tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en son point C passe par le point D$(2~;~- 1)$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse à l'aide des renseignements ci-dessus ou du graphique.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %La limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est $1$.
Fausse : la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est $0$.
\item %$f'(0) = - \dfrac{-1}{2}$.
Le coefficient directeur de la tangente en C est égal à : $\dfrac{-1 - 3}{2 - 0} = - 2 = f'(0)$. Fausse
\item  %Pour tout $x$ élément de l'intervalle $[- 2~;~+ \infty[$, on a : $f'(x) \leqslant  0$.
Sur $[- 2~;~+ \infty[$, la fonction est décroissante donc $f'(x) \leqslant  0$. Vraie.
\item  %Si la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- 4~;~+ \infty[$, alors la fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle $[- 2~;~+ \infty[$.
On a $F'(x) = f(x)$ ; or sur $[- 2~;~+ \infty[, \: f(x) > 0$ : la dérivée de $F$ est positive, donc la fonction $F$ est croissante sur $[- 2~;~+ \infty[$. Fausse.
\item %$\displaystyle\int_{-2}^0 f(x)\, \text{d}x < 15$.
Sur $[- 2~;~0]$, la fonction $f$ est positive et continue car dérivable ; donc l'aire de la surface limitée par $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - 2$ et $x = 0$ est égale à l'intégrale $\displaystyle\int_{-2}^0 f(x)\, \text{d}x$. L'aire de cette surface est inférieure à 15 unités d'aire (le rectangle d'aire 15 en rouge n'est pas contenu dans la surface). Vraie.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-3)(5,8)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-4,-3)(5,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-3)(5,8)
\psline[linestyle=dotted](-2,0)(-2,7.389)(0,7.389)
\psline(-1.5,6)(3,-3)
\psframe[linecolor=red](-2,0)(0,7.389)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.131}{5}{x 3 add 2.71828 x exp div}
\uput[dr](0,0){O} \uput[r](2,-1){D} \uput[ul](-3,0){A} \uput[u](-2,7.389){B} \uput[r](0,3){C} \uput[r](0,7.389){$\text{e}^2$} \uput[l](-3.131,-2.8){$\left(\blue \mathcal{C}_{f}\right)$}
\rput(0.5,-3.5){Figure 1}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage 
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

%Un appareil de très haute technologie est installé dans un laboratoire d'analyse médicale. L'installateur assure une maintenance à l'issue de chaque semaine d'utilisation. Pour cette maintenance, soit il doit se déplacer (intervention directe sur l'appareil), soit une assistance téléphonique suffit.
%
%À l'issue d'une semaine de fonctionnement, trois situations sont possibles  :
%
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Situation A :  l'appareil a fonctionné normalement ;
%\item[$\bullet~$] Situation B :  l'appareil a eu des arrêts épisodiques ;
%\item[$\bullet~$] Situation C : l'appareil a eu des arrêts très fréquents.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Dans la situation A, l'installateur doit se déplacer 1 fois sur 2.
%
%Dans la situation B, l'installateur doit se déplacer 7 fois sur 10.
%
%L'installateur sait par expérience que, à l'issue de chaque semaine de fonctionnement,
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] la probabilité d'être dans la situation A est $0,6$ ;
%\item[$\bullet~$] la probabilité d'être dans la situation B est $0,3$ ;
%\item[$\bullet~$] la probabilité qu'il doive se déplacer est $0,6$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\textbf{Partie A :} %L'appareil a été utilisé pendant une semaine.

%On considère les évènements suivants :
%
%A : \og On se trouve dans la situation A \fg
%
%B : \og On se trouve dans la situation B \fg
%
%C : \og  On se trouve dans la situation C \fg
%
%S : \og L'installateur se déplace \fg
%
%T : \og L'installateur effectue une assistance téléphonique \fg.
%
%On pourra construire un arbre pondéré que l'on complétera au fur et à mesure.

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{A}\taput{0,6}}
	{\TR{S}\taput{0,5}
	\TR{$\overline{\text{S}}$}\tbput{\blue 0,5}
	}
\pstree{\TR{B}\taput{0,3}}
	{\TR{S}\taput{0,7}
	\TR{$\overline{\text{S}}$}\tbput{\blue 0,3}
	}
\pstree{\TR{C}\tbput{\blue 0,1}}
	{\TR{S}
	\TR{$\overline{\text{S}}$}
	}	
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité de l'évènement T.
Pn a $p(\text{T}) = 1 - p(\text{S}) = 1 - 0,6 = 0,4$.
\item %Démontrer que, lorsqu'on se trouve dans la situation C, la probabilité que l'installateur se déplace est $0,9$.
D’après la loi des probabilités totales :

$p(\text{S}) = p(\text{A} \cap \text{S}) + p(\text{B} \cap \text{S})p(\text{C} \cap \text{S})$ ou 

$p(\text{S}) = p(\text{A}) \times p_{\text{A}}( \text{S}) + p(\text{B}) \times p_{\text{B}}( \text{S})  + p(\text{C}) \times p_{\text{C}}( \text{S}) $  soit 

$0,6 = 0,6 \times 0,5 + 0,3 \times 0,7 + 0,1 \times p_{\text{C}}( \text{S})  \iff 0,1p_{\text{C}}( \text{S}) = 0,6 - 0,3 - 0,21 = 0,09 \iff p_{\text{C}}( \text{S}) = 0,9$.
\item %On sait que l'installateur s'est déplacé. Déterminer la probabilité que l'on ait été dans la situation B.
Il faut trouver $p_{\text{S}}(\text{B}) = \dfrac{p(\text{S} \cap \text{B})}{p_{\text{S}}} = \dfrac{0,3 \times 0,7}{0,6} = 0,35$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :} %L’installateur devra effectuer la maintenance trois semaines de suite

%On admet que les évènements qui surviendront au cours de chacune de ces trois semaines sont indépendants.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité que l'installateur ait à effectuer exactement deux déplacements sur les trois semaines ? 
On a une épreuve de Bernoulli de paramètres $n = 3$ et $p = 0,6$.

Les évènements favorables sont : SS$\overline{\text{S}}$, S$\overline{\text{S}}$S, $\overline{\text{S}}$SS chacun de probabilité $0,6^2 \times 0,4$.

Donc la probabilité que l'installateur ait à effectuer exactement deux déplacements sur les trois semaines est égale à $3 \times 0,6^2 \times 0,4 = 0,432$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Donner la loi de probabilité associée au nombre de déplacements à effectuer sur les trois semaines
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de déplacements.
		
La probabilité de ne pas se déplacer est $0,4^3 = 0,064$ ;

La probabilité de déplacer une seule fois est $3  \times 0,6 \times 0,4^2 = 0,288$ ;

La probabilité de déplacer trois fois est $0,6^3 = 0,216$.

On peut vérifier que $0,064 + 0,288 + 0,432 + 0,216 = 1$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$&0&1&2&3\\ \hline
$p(X = x_i)$&0,064&0,288&0,432&0,216\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item  %Montrer que l'espérance mathématique de cette loi vaut $1,8$.
		On sait que $E = n \times p = 3 \times 0,6 = 1,8$.
		\item  %Pour l'installateur, un déplacement revient à 300 \euro{} (l'assistance téléphonique ne lui coûte rien). L'installateur décide de proposer à son client un forfait pour trois semaines de maintenance.

%Déterminer le montant minimum de ce forfait afin que l'installateur puisse espérer rentrer dans ses frais.
On sait que sur trois semaines le nombre moyen de déplacements est égale à 1,8, déplacements qui reviennent à $1,8 \times 300 = 540$~\euro.

L’installateur devra donc demander au minimum 540~\euro{} pour trois semaines de maintenance.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage 
 
\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%La société MERCURE vend des machines agricoles. Suite à une restructuration en 1998 elle a pu relancer sa production et ses bénéfices annuels ont évolué comme indiqué dans le tableau suivant :
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
%Année										&1999	&2000	&2001	&2002	&2003	& 2004\\ \hline
%Rang de l'année : $x_{i}$		&	0 		&1		&2 		&3		&4 		&5\\ \hline
%Bénéfice en k\euro{}: $y_{i}$&	64		&75		&100	&113	&125 	&127\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%
%\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Construire le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.

%Les unités graphiques seront : 2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; $1$~cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.
\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.09cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-10)(5,100)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=50,Dy=25]{->}(0,0)(0,0)(5,100)
\psdots(0,14)(1,25)(2,50)(3,63)(4,75)(5,77)
\psdots[linecolor=red](2.5,50.7)\uput[r](2.5,50.7){\red G}
\uput[u](4.4,0){rang de l’année}
\uput[r](0,95){bénéfice en k\euro}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{13.66 x mul 16.52 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{5}{23 x mul 13 add x dup mul 2 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Donner les coordonnées du point moyen G du nuage (arrondir au dixième). Placer le point G dans le repère.
		On a $x_{\text{G}} = \dfrac{0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 2,5$, \: $y_{\text{G}} = \dfrac{64 + 75 + 100 + 113+ 125 + 127}{6} \approx 100,7$.
		
Donc G$(3~;~100,7)$.
	\end{enumerate}
\item %En première approximation, on envisage de représenter le bénéfice $y$ comme une fonction affine du rang $x$ de l'année.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une équation de la droite d'ajustement (D) obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième).
La calculatrice donne, les coefficients étant arrondis au centième : 

$y = 13,66x + 66,52$.
		\item %Tracer cette droite (D) dans le repère.
Voir ci-dessus.
		\item %Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec cette approximation ?
2005 correspond au rang $x = 6$, d’où $y = 13,66 \times 6 + 66,52 = 81,96 + 66,52 = 148,48$~(k\euro).
	\end{enumerate}
\item %En observant le nuage de points, on envisage un deuxième modèle d'ajustement donné par $y = f(x)$ avec $f(x)= -2x^2 + 23x +  63$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 6].
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et $f’(x) = - 4x + 23$.

$\bullet~~- 4x + 23 > 0 \iff 23 > 4x \iff x < \dfrac{23}{4}$ ;

$\bullet~~- 4x + 23 < 0 \iff 23 < 4x \iff x > \dfrac{23}{4}$ ;

$\bullet~~- 4x + 23 = 0 \iff 23 = 4x \iff x = \dfrac{23}{4}$.

Donc $f$ est croissante sur $\left[0~;~5,75\right]$, décroissante sur [5,75~;~6], avec un maximum pour $x = 5,75$, valant $f(5,75) = 129,125$.
		\item  %Tracer la courbe représentative $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ de la fonction $f$ dans le repère de la question 1.
Voir ci-dessus.
		\item  %Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec ce deuxième modèle d'ajustement ?
		Avec ce modèle et pour $x = 6$, on obtient $f(6) = - 2\times 6^2 + 23 \times 6 +  63 = 129$.
	\end{enumerate}
\item %En réalité, le bénéfice en 2005 est en hausse de $0,9$\,\% par rapport à celui de 2004. Des deux ajustements envisagés dans les questions précédentes, quel est celui qui donnait la meilleure prévision pour le bénéfice en 2005 ?
Le bénéfice réel est égal à $127  \times 1,009= 128,143 \approx 128,14$.

Le deuxième modèle est plus réaliste que l’ajustement affine.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 
 
\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Une association sportive propose à ses adhérents de pratiquer au choix soit le karaté, soit le judo ; chaque adhérent pratique un et un seul de ces deux sports.
%
%Chaque année les adhérents renouvellent tous leur adhésion. L'association n'accueille pas de nouveaux adhérents. Elle compte $800$ adhérents.
%
%Pour le renouvellement des adhésions, les données des années précédentes permettent d'envisager le modèle suivant :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 70\,\% des adhérents qui étaient inscrits au karaté se réinscrivent au karaté,
%\item  20\,\% des adhérents qui étaient inscrits au judo s'inscrivent au karaté.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%En 2003, 200 adhérents étaient inscrits dans la section karaté et 600 adhérents étaient inscrits dans la section judo.
%
%On appelle $P_{n} = \left(a_{n} \quad  b_{n}\right)$ la matrice traduisant la répartition des adhérents selon le sport pratiqué l'année $2003 + n$ :
%
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  $a_{n}$ représente la proportion des adhérents inscrits au karaté l'année \\$2003 + n$
%\item[$\bullet~$] $b_{n}$ représente la proportion des adhérents inscrits au judo l'année $2003 + n$
%\item[$\bullet~$] $a_{n} + b_{n} = 1$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.1)
\cnodeput(1,1){A}{A}
\cnodeput(6,1){B}{B}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{0,7}
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Bput{0,8}
\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B}\Aput{0,3}
\ncarc[arcangle=20]{->}{B}{A}\Aput{0,2}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Déterminer l'état initial $P_{0} = \left(a_{0}\quad  b_{0}\right)$.
On a $a_0 = \dfrac{200}{800} =  \dfrac{1}{4} = 0,25$ et $b_0 = \dfrac{600}{800} = 0,75$.

On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,25&0,75\end{pmatrix}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la matrice de transition $M$ associée au graphe. (Rappel $M$ est la matrice telle que : $P_{n+1} = P_{n}  \times  M.)$
On a $M = \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,2&0,8\end{pmatrix}$.
		\item %En admettant que, en 2005, $36,25$\,\% des adhérents sont inscrits au karaté et 63,75\,\% des adhérents sont inscrits au judo, déterminer la répartition que le modèle envisagé permet de prévoir pour 2006. (Exprimer les résultats sous forme de pourcentages, puis donner les nombres d'adhérents correspondants.)
2005 correspond au rang 2, donc $P_2 = \begin{pmatrix}\np{0,3625}&\np{0,6375}\end{pmatrix}$.

2006 correspond au rang 3, donc $P_3 = P_2 \times M = \begin{pmatrix}\np{0,3625}&\np{0,6375}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,2&0,8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\np{0,38125}&\np{0,61875}\end{pmatrix}$.

Inscrits au karaté en 2006 : $800 \times \np{0,38125} = 305$.

Inscrits au judo en 2006 : $800 \times \np{0,61875} = 495$.
	\end{enumerate}
\item %Soit $P = (x \quad y)$ Ia matrice correspondant à l'état stable, c'est à dire telle que $P \times M = P$.
%(Rappel : $x$ et $y$ sont des nombres réels tels que $x + y = 1$)

	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer les nombres $x$ et $y$.
On a $P \times M = P \iff \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,2&0,8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix}0,7x + 0,2y&0,3x + 0,8y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x&=&0,7x + 0,2y\\
y&=&0,3x + 0,8y
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}0,3x - 0,2y&=&0\\- 0,3x + 0,2y&=&0
\end{array}\right.$ Or on a $x + y = 1 \iff y = 1 - x$, d'où $0,3x - 0,2(1 - x) = 0 \iff 0,5x = 0,2 \iff x = \dfrac{2}{5} = 0,4$ et enfin $y = 0,6$.

$P = \begin{pmatrix}0,4&0,6\end{pmatrix}$.
		\item  %En déduire la limite de $a_{n}$ quand $n$ tend vers l'infini.
		
%Interpréter ce résultat.
Quel que soit l'état initial on sait que l'état $P_n$ converge vers $P$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}a_n = 0,4$.

Donc le nombre d'inscrits au karaté va tendre vers $800 \times 0,4 = 320$ et celui de judo vers 480.
	\end{enumerate}
\item %Dans la même ville, un club de judo accepte de nouveaux adhérents : chaque année le nombre de ses adhérents augmente de 10\,\%.

%Le club comptait $405$ adhérents en 2003. En utilisant une calculatrice, trouver en quelle année l'effectif de ce club sera pour la première fois supérieur à l'effectif de la section judo de l'association étudiée dans les questions précédentes ?
Soit $c_n$ le nombre d'inscrits à ce nouveau club en l'année $2003 + n$ ; on a 

$c_{n+1} = c_n \times 1,1^n$.

D'autre part si $a_n$ et $b_n$ sont les adhérents du premier club respectivement au karaté et au judo on sait que $\begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}200&600\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,2&0,8\end{pmatrix}^n$.

La calculatrice permet d'obtenir les résultats suivants pour $b_n$ et $c_n$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année& 2003&2004&2005&2006\\ \hline
$b_n$&600&540&510&495\\ \hline
$c_n$&405&446&490&539\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

Réponse : en 2006 l'effectif de l'autre club sera supérieur à celui de la section judo de l'association.
\vspace{0,5cm} 
 
\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude préliminaire}

\medskip

%On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $]- 3~;~+ \infty[$
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(8,3)
%\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,3) 
%\psline(2.2,0)(2.2,2)\psline(2.25,0)(2.25,2)
%\psline{->}(3,0.2)(7.4,1.8)
%\uput[u](1,2){$x$}  \uput[u](2.225,2){$3$}  \uput[u](5,2){$-2$}  \uput[u](7.6,2){$+ \infty$}
%\rput(1,1){$g(x)$}  \rput(5,0.95){$0$} \rput(2.6,0.2){$- \infty$} \rput(7.8,1.8){$2$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\smallskip
  
\begin{enumerate}
\item  %On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par : $f(x) = \ln [g(x)]$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$.
On sait que la fonction définie pour $u > 0, \: u \longmapsto \ln u$ est croissante, donc la fonction $f$ est croissante sur $[- 2~;~+ \infty[$.
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $(- 2)$ et la limite de $f$ en $+ \infty$, puis donner le tableau de variations de $f$.
$\bullet~~$Comme $\displaystyle\lim_{x \to - 2} = 0, \: \displaystyle\lim_{x \to - 2} \ln x = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - 2}f(x) = - \infty$.

$\bullet~~$Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} = 2, \: \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = \ln 2$, donc  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \ln 2$.

$\bullet~~$La fonction $f$ est donc croissante de moins l'infini à $\ln 2$.
	\end{enumerate}
\item %Soit $G$ la primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $]- 3~;~+ \infty[$ qui est telle que : $G(-2) = 0$.

%Démontrer que la fonction $G$ admet un minimum en $(-2)$.
On sait que sur $]- 3~;~+ \infty[, \: G'(x) = g(x)$.

Le signe de $g$ est celui de $G'$ ; d'après l'énoncé $f(x)$ est négative sur $]- 3~;~-2]$ puis positive , donc $G$ décroit puis croit : $G(-2)$ est donc le minimum de la fonction $G$ et $G(- 2) = 0$ (la fonction $G$ est positive.)
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Dans cette partie, la fonction $g$  est la fonction définie sur l'intervalle $]- 3~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = 2 - \dfrac{2}{x + 3}.\]

\begin{enumerate}
\item %En utilisant cette définition de la fonction $g$ retrouver tous les renseignements donnés dans le tableau de variation de la partie A.
La fonction $g$ est dérivable sur $]- 3~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$g'(x) = - \left(- \dfrac{2 \times 1}{(x + 3)^2} \right) = \dfrac{2}{(x + 3)^2}$.

Quotient de deux termes supérieur à zéro, $g'(x) > 0$ : la fonction $g$ est croissante sur  $]- 3~;~+ \infty[$ de moins l'infini à 2 car $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x + 3} = 0$.

Enfin $g(- 2) = 2 - \dfrac{2}{-2 + 3} = 2 - 2 = 0$.
\item %Comme dans la première question de la partie A, on définit la fonction $f$ par :

%\[\text{pour tout}\: x\: \text{élément de l'intervalle}~ ]- 2~;~+ \infty[, \:f(x ) = \ln \left(2 - \dfrac{2}{x + 3}\right)\] 
%Soit $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de cette fonction $f$ relativement à un repère orthogonal. La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est représentée sur la figure fournie en annexe.
	\begin{enumerate}
		\item %La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ admet-elle des asymptotes ? Justifier.

%Si oui, en donner des équations et les tracer sur la figure fournie en annexe.
$\bullet~~$Comme $\displaystyle\lim_{x \to - 3}\dfrac{2}{x + 3} = + \infty, \: \displaystyle\lim_{x \to - 3}-\dfrac{2}{x + 3} = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - 3}f(x) = -\infty$.

Ceci signifie que la droite d'équation $x = - 3$ est asymptote verticale à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au voisinage de $- 3$.

$\bullet~~$Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{2}{x + 3} = 0, \: \displaystyle\lim_{x \to - 3}g(x) = 2$ et $\displaystyle\lim_{x \to - 3} f(x) = \ln 2$.

Ceci signifie que la droite d'équation $y = \ln 2$ est asymptote horizontale à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au voisinage de plus l'infini.
		\item %La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe des abscisses en un point A. En utilisant l'expression de $f(x)$, déterminer les coordonnées du point A et placer ce point sur la figure fournie en annexe.
L'ordonnée de A est nulle. Or $f(x) = 0 \iff \ln \left(2 - \dfrac{2}{x + 3}\right) = 0 \iff 2 - \dfrac{2}{x + 3} = 1\iff $

$2 = x + 3 \iff x = - 1$. Donc A$(- 1~;~0)$.
		\item %Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en son point d'abscisse $(- 1)$. Tracer la droite (T) sur la figure fournie en annexe.
Une équation de la droite (T) est $y - f(- 1) = f'(- 1)(x- (- 1))$.

$\bullet~~$$f'(x) = \frac{\frac{2}{(x + 3)^2}}{\frac{2}{x + 3}} = \dfrac{1}{x + 3}$, d'où $f'(- 1) = \dfrac{1}{- 1 + 3} = \dfrac{1}{2}$.

$\bullet~~$$f(- 1) = \ln \left(2 - \dfrac{2}{- 1 + 3} \right) = \ln 1 = 0$.

Une équation de la droite (T) est donc $y 
 = \dfrac{1}{2}(x- (- 1)) \iff y = \dfrac{1}{2}(x + 1)$.
	\end{enumerate}
\item	%Comme dans la deuxième question de la partie A, on définit la fonction $G$ par :
%$G$ est la primitive sur l'intervalle $]-3~;~+ \infty[$ de la fonction 

%$g : x  \longmapsto  2 - \dfrac{2}{x + 3}$\,et\, $G(-2) = 0.$

%Calculer $G(x)$ pour $x$ réel de l'intervalle $]- 3~;~+ \infty[$.

Sur $]- 3~;~+ \infty[$ une primitive de la fonction $x \longmapsto 2$ est la fonction  $x \longmapsto 2x$.

Sur $]- 3~;~+ \infty[$ une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{2}{x + 3}$ est la fonction  $x \longmapsto  2\ln (x + 3)$.

Donc $G(x) = 2x -  2\ln (x + 3) + C$, avec $C \in \R$.

Or $G(- 2) = 0 \iff 2\times (- 2) +  2\ln (- 2 + 3) + C = 0 \iff - 4 + C = 0 \iff C = 4$.

Finalement $G(x) = 2x + 4 - 2\ln (x + 3)$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE : à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Figure fournie pour l'exercice 4}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.25cm,yunit=3.08cm}
\begin{pspicture}(-3.25,-1.5)(5.25,1.5)
\multido{\n=-3.25+0.25}{32}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt,linecolor=orange](\n,-1.5)(\n,1.5)}
\multido{\n=-1.500+0.125}{25}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt,linecolor=orange](-3.25,\n)(5.25,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.25,-1.5)(5.25,1.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.874}{5.25}{2 2 x 3 add div sub ln}
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-3,-1)(1,1)
\uput[d](5.25,0){$x$} \uput[l](0,1.5){$y$}
\uput[d](5,0.55){$\left(\blue \mathcal{C}_{f}\right)$}
\psline[linecolor=red](-3.25,0.693)(5.25,0.693)
\psline[linecolor=red](-3.,-1.5)(-3,1.5)
\psdots(-1,0)\uput[ul](-1,0){A}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}