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%Tapuscrit : Denis Vergès corrigé par Arié Yallouz
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small 14 novembre 2011}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[4pt]14 novembre 2011} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]- \infty~;~6[$.
% 
%On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]- \infty~;~6[$ et $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan. 
%
%On donne le tableau de variations de la fonction $f$ ci-dessous.
%
%\begin{center} 
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8.5,3)
%\psframe(8.5,3)\psline(0,2.5)(8.5,2.5)
%\psline(1,0)(1,3)
%\psline{->}(1.5,2)(3,0.5) \psline{->}(4,0.5)(5.5,2)\psline{->}(6.2,2)(7.5,0.5)
%\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.3,2.5){$- \infty$} \uput[u](3.5,2.5){$- 2$} \uput[u](6,2.5){$1$} \uput[u](8.3,2.5){$6$}
%\rput(0.5,1.25){$f$} \uput[d](1.1,2.5){1}\uput[u](3.5,0){0}\uput[d](6,2.5){5}\uput[u](8,0){$ - \infty$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant la réponse.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre de l'intervalle $]- \infty~;~1]$, on a $f'(x) \geqslant 0$. Vraie : sur $]- \infty~;~1]$ la fonction décroit de 1 à 0 puis croit de 0 à 5. 
\item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées. Vraie : quand $x$ tend vers $- \infty$, \:$f(x)$ tend vers 1 : la droite horizontale d'équation $y = 1$ est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$.
\item La droite d'équation $y = 5$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$. On ne peut pas répondre car on ne sait pas si $f'(- 1) = 0$.
\item Si $h$ est la fonction définie sur $]- \infty~;~6[$ par $h(x) = \text{e}^{f(x)}$, on a $\displaystyle\lim_{x \to 6} h(x) = - \infty.$ 
On a 

$\displaystyle\lim_{x \to 6} f(x) = - \infty$ et donc $\displaystyle\lim_{X \to - \infty} \text{e}^{X} = 0$, d'où par composition de limites $\displaystyle\lim_{x \to 6} \text{e}^{f(x)} = 0$. L'affirmation est fausse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité mathématiques }

\bigskip

%Joanne est éducatrice canin : elle donne des leçons d'éducation le samedi après-midi.
% 
%Neuf chiots sont présents : Allegro, Bronx, Chouchou, Delco, Euclide, Falbala, Galipette, Homère et Indigo.
% 
%Joanne souhaite réaliser des exercices d'apprentissage par petits groupes de deux ou trois chiens. Falbala ne pense qu'à jouer si elle est trop proche de Bronx, Chouchou ou Euclide.
% 
%De même, Delco est très inattentif si Bronx ou Falbala sont à proximité !
% 
%Indigo ne supporte pas le caractère trop fougueux de Galipette.
% 
%Enfin le turbulent Allegro ne supporte la présence d'aucun autre chiot, sauf Euclide et Homère. 

\begin{enumerate}
\item ~%Représenter cette situation à l'aide d'un graphe G dont les sommets sont les noms des chiots et relier entre eux les chiots que l'on ne peut pas mettre ensemble pour ce travail de groupe.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\rput(2.5;90){\circlenode{A}{A}}
\rput(2.5;50){\circlenode{B}{B}}
\rput(2.5;10){\circlenode{C}{C}}
\rput(2.5;-30){\circlenode{D}{D}}
\rput(2.5;-70){\circlenode{E}{E}}
\rput(2.5;-110){\circlenode{F}{F}}
\rput(2.5;-150){\circlenode{G}{G}}
\rput(2.5;170){\circlenode{H}{H}}
\rput(2.5;130){\circlenode{I}{I}}
\ncline{A}{B}\ncline{A}{C}\ncline{A}{D}\ncline{A}{F}\ncline{A}{G}\ncline{A}{I}
\ncline{B}{D}\ncline{B}{F}
\ncline{C}{F}
\ncline{D}{F}\ncline{E}{F}
\ncline{G}{I}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Le graphe G est-il connexe ? Expliquer.
Le point H est isolé, donc le graphe n'est pas connexe. 
\item %Déterminer un sous graphe complet d'ordre maximal du graphe G.
Le  sous graphe A-B-D-F est complet d'ordre 4, donc le nombre chromatique du graphe G est supérieur ou égal à 4.
%Que peut-on en déduire pour le nombre chromatique du graphe G ? 
\item %Donner la valeur du nombre chromatique du graphe G.
On range les sommets dans l'ordre de leurs degrés décroissants et on leur attribue les couleurs suivantes :

A --> 1 ; F --> 2 ; B --> 3 ; D --> 4 ; C --> 3 ; G --> 2 ; I -->3 ; E --> 1 ; H --> 1.

Si $\chi$ est le nombre chromatique de G, on sait que $\chi \geqslant 4$, mais on vient de voir qu'une coloration en 4 couleurs est possible, donc $\chi = 4$.
\item %Peut-on proposer une répartition des chiots en groupes de deux à trois chiots pouvant travailler ensemble ?
La question précédente nous donne une répartition possible :

\{A, E\}, \{F, G\}, \{B, C, I\}, \{D\}, \{H\} mais il y a deux isolés ; comme on peut les mettre ensemble on peut faire les groupes suivants :

\{A, E\}, \{F, G\}, \{B, C, I\}, \{D, H\}.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité }

\bigskip

%\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième et donnés sous forme décimale.} 
%
%\medskip
%
%Jade est une jeune cavalière qui participe régulièrement à des concours d'obstacles.
% 
%À chaque concours, sa monitrice met à sa disposition l'un des trois chevaux du club.
% 
%À l'issue de chaque concours, elle a noté sur une fiche le nom de sa monture ainsi que la performance qu'elle a réalisée.
% 
%L'examen de la collection de fiches ainsi constituée a permis à Jade de constater que :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Six fois sur dix, elle a monté Cacahuète, une vieille jument docile mais qui fait souvent tomber les barres d'obstacle. Lorsqu'elle a monté Cacahuète, Jade a réussi son parcours deux fois sur cinq. 
%\item[$\bullet~~$] Trois fois sur dix, elle a monté la jeune jument Tornade. C'est une jument performante mais difficile à maitriser. Lorsque Jade l'a montée, elle a réussi son parcours une fois sur deux. 
%\item[$\bullet~~$] Lors des autres concours, Jade a monté le courageux et régulier Abricot et avec lui, elle a réussi son parcours quatre fois sur cinq.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%Jade prend au hasard une fiche parmi sa collection. On s'intéresse au nom du cheval et au résultat du concours mentionnés sur la fiche.
% 
%On note :
% 
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] C l'évènement \og Jade montait Cacahuète. \fg 
%\item[$\bullet~~$] T l'évènement \og Jade montait Tornade. \fg 
%\item[$\bullet~~$] A l'évènement \og Jade montait Abricot. \fg 
%\item[$\bullet~~$] R l'évènement \og Jade a réussi son parcours. \fg 
%\item[$\bullet~~$] $\overline{\text{R}}$ l'évènement \og Jade n'a pas réussi son parcours.\fg
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$}\taput{0,6}}
		{\TR{$R$}\taput{$0,4$}
		\TR{$\overline{R}$}\tbput{$0,6$}
		}
\pstree{\TR{$T$}\tbput{0,3}}
		{\TR{$R$}\taput{$0,5$}
		\TR{$\overline{R}$}\tbput{$0,5$}
		}
\pstree{\TR{$A$}\tbput{0,1}}
		{\TR{$R$}\taput{0,8}
		\TR{$\overline{R}$}\tbput{0,2}
		}
}
\end{center}

\bigskip
 
\item %Calculer la probabilité de l'évènement: \og Jade montait Abricot et a réussi son parcours \fg.
On a $p(A \cap R) = p(A) \times p_A(R) = 0,1 \times 0,8 = 0,08$. 
%Calculer la probabilité de l'évènement: \og Jade montait Cacahuète et a réussi son parcours \fg.

On a $p(C \cap R) = p(C) \times p_C(R) = 0,6 \times 0,4 = 0,24$.  
 \item %Montrer que la probabilité de l'évènement: \og Jade a réussi son parcours \fg{} est égale à $0,47$.
 On a $p(T \cap R) = p(T) \times p_T(R) = 0,3 \times 0,5 = 0,15$.
 
 D'après la loi des probabilités totales :
 
 $p(R) = p(A \cap R) + p(T \cap R) + p(C \cap R) = 0,08 + 0,15 + 0,24 = 0,47$.
\item %Sachant que Jade a réussi son parcours, quelle est la probabilité que ce jour là elle ait monté Tornade ?
Il faut calculer $p_R(T) = \dfrac{p(R \cap T)}{p(R)} = \dfrac{0,15}{0,47} \approx 0,319$ au millième près. 
\item %Sachant que Jade n'a pas réussi son parcours, quelle est la probabilité que ce jour là elle ait monté Abricot ?
On a $p\left(\overline{R} \right) = 1 - p(R) = 1 - 0,47 = 0,53$.

Il faut calculer $p_{\overline{R}}(A) = \dfrac{p\left(\overline{R} \cap A\right)}{p\left(\overline{R}\right)} = \dfrac{0,1 \times 0,2}{0,53} = \dfrac{0,02}{0,53} = \dfrac{2}{53} \approx 0,038$ au millième près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
  
%On s'intéresse à la quantité de thons blancs pêchée par an (en milliers de tonnes) en Nouvelle--Calédonie.
% 
%On utilise plusieurs méthodes pour modéliser l'évolution de cette quantité et estimer sa valeur en 2010.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%Année &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline% 
%Rang $x_{i}$ de l'année &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline% 
%Quantité $y_{i}$ en milliers de tonnes de thons blancs pêchée & 55,7& 77,4 &88,2 &73,7 &73,5 &85,0 &92,5\\ \hline
%\multicolumn{8}{r}{\footnotesize Source : Service de la Marine marchande et des pêches maritimes}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %On décide de modéliser la quantité de thons blancs pêchée à l'aide d'un ajustement affine. 
%Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.
La calculatrice donne $y = 3,96x + 62,16$ les coefficients étant arrondis au centième. 
%\emph{Pour chacun des coefficients, donner la valeur décimale arrondie au centième.} 
		\item %On suppose que l'évolution pour 2010 se poursuit sur le même modèle, utiliser cet ajustement pour donner une estimation de la quantité de thons blancs pêchée en 2010.
		 
%\emph{On donnera une valeur arrondie au millier de tonnes.}
2010 correspond au rang $x = 8$ qui donne une quantité $y = 3,96 \times 8 + 62,16 = 93,84$.
	\end{enumerate} 
\item %On sait que $82,7$~milliers de tonnes de thons blancs ont été péchés au cours des neuf premiers mois de l'année 2010. On ne connaît pas la quantité pêchée pendant les trois derniers mois de l'année.
 
%Les années précédentes, de 2003 à 2009, la quantité de thons blancs pêchée de janvier à fin septembre représentait en moyenne 73\,\% de la quantité annuelle.
 
%En considérant que cette proportion demeure en 2010, proposer une nouvelle estimation de la quantité de thons blancs pêchée en 2010.
 
%On donnera une valeur arrondie au millier de tonnes.
Si la quantité estimée pêchée en 2010 est $x$ milliers de tonnes, alors :

$0,73x = 82,7 \iff x  = \dfrac{82,7}{0,73} \approx 113,3.$

On peut penser que l'on pêchera 113 tonnes de thon en 2010. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le taux d'évolution global (en pourcentage, arrondi au dixième) entre 2003 et 2009 de la quantité pêchée puis montrer que le taux d'évolution moyen annuel de cette quantité, arrondi au dixième d'unité de pourcentage, est égal à 8,8\,\%.
De 2003 à 2009 la quantité pêchée est passée de 55,7 à 92,5~milliers de tonnes soit une multiplication par $\dfrac{92,5}{55,7} \approx 1,661$ c'est-à-dire une augmentation de 66,1\,\%.

Pour le taux moyen en pourcent, il faut trouver le nombre $t$ tel que :

$(1 + t)^6 = 1,661 \iff 1 + t = 1,661^{\frac{1}{6}} \iff t = 1,661^{\frac{1}{6}} - 1 \approx 0,088$ soit un taux moyen annuel de 8,8\,\%.  
		\item %Utiliser ce taux pour proposer une autre estimation de la quantité de thons blancs pêchée en 2010.
		 
%\emph{On donnera une valeur arrondie au millier de tonnes.}
En prenant ce taux moyen  de 8,8\,\% de 2003 à 2010 soit en 7 ans l'estimation de la quantité de thons blancs pêchée en 2010 sera :

$92,5 \times 1,088 \approx 100,64$. Avec ce taux moyen de 8,8\,\% la quantité de thons blancs pêchés en 2010 serait de 101 milliers de tonnes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $u$ la fonction définie sur $]- \infty~;~ 4[\:\cup\:]4~;~ +\infty[$ par 

\[u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 4}.\] 
 
\begin{enumerate}
\item %Donner le signe de $x^2 - 5x + 6$ pour tout $x$ de $\R$.
On a $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$ : il y a donc deux racines :

$\dfrac{5 + 1}{2} = 3$ et $\dfrac{5 - 1}{2} = 2$.
\item %En déduire le signe de $u(x)$ pour tout $x$ de $]-\infty~;~ 4[\:\cup\:]4~;~+\infty[$.
Le trinôme est positif sauf entre les racines 2 et 3, donc :

$x^2 - 5x + 6 > 0$ sur $]- \infty~;~2[$, sur $]3~;~4[$ et sur $]4~;~+ \infty[$ et 

$x^2 - 5x + 6 < 0$ sur $]2~;~3[$.

D'autre part $x - 4 > 0$ sur $]4~;~+ \infty[$ et   $x - 4 < 0$ sur $]-\infty~;~4[$.

Donc finalement :

$u(x) > 0$ sur $]2~;~3[ \cup ]4~;~+ \infty[$

$u(x) < 0$ sur $]- \infty~;~2[ \cup ]3~;~4[$.

$u(2) = u(3) = 0$.
\item %Factoriser $x^2 - 5x + 6$.
On sait que le trinôme peut se factoriser :

$x^2 - 5x + 6 = (x- 2)(x - 3)$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item %En utilisant la partie A, expliquer pourquoi la fonction $f$ telle que 

%\[f(x) = \ln \dfrac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 4) }\] 

%peut être définie pour $x \in ]4~;~+\infty[$.

On a vu que $u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 4} = \dfrac{(x - 2)(x - 3)}{x - 4}$ et on a vu que  sur $]4~;~+\infty[$,\: $u(x) > 0$, donc $\ln u(x)$ existe et la fonction $f$ est bien définie.
\item %Une représentation graphique de la fonction $f$ figure ci-dessous. 

\medskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.3pt](0,0)(12,7)
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(12,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{4.0018}{12}{x 2 sub x 3 sub mul x 4 sub div ln}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psline(5,0)(5,1.82)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{5}{7}{x 2 sub x 3 sub mul x 4 sub div ln}
\psline(7,0)(5,0)}
\end{pspicture}
\end{center}

%Utiliser cette représentation graphique pour déterminer une valeur approchée, arrondie à l'entier le plus proche, du nombre $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{5}^7 f(x)\:\text{d}x.$
La fonction $f$ est positive donc $\mathcal{A}$ représente en unité d'aire la mesure de la surface limitée par la représentation graphique de la fonction, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 5$ et $x = 7$.

On voit sur ce dessin que $\mathcal{A} \approx 4$~unités d'aire. 
%\emph{On expliquera la démarche.} 
\item %Soient $i,\: j$ et $k$ les fonctions définies sur $]4~;~+\infty[$ par :

%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $i(x) = \ln(x - 2)$ 
%\item[$\bullet~~$] $j(x) = \ln(x - 3)$ 
%\item[$\bullet~~$] $k(x) = \ln(x - 4)$ 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que la fonction $I$ définie sur $]4~;~+\infty[$ par 
		

%\[I(x) = (x - 2) \ln(x - 2) - x\]

% est une primitive de la fonction $i$ sur $]4~;~+\infty[$.
Sur $]4~;~+\infty[$, \: $I'(x) = \ln (x - 2) + \dfrac{x - 2}{x - 2} - 1 =  \ln (x - 2) = i(x)$, donc $I$ définie sur $]4~;~+\infty[$ est une primitive de la fonction $i$.
		\item %On admet que la fonction $J$ définie sur $]4~;~+\infty[$ par
		
%$J(x) = (x - 3) \ln (x - 3) - x$ est une primitive de la fonction $j$ sur $]4~;~+\infty[$ et que la fonction $K$ définie par $K(x) = (x - 4) \ln (x - 4)- x$ est une primitive de la fonction $k$ sur $]4~;~+\infty[$.
		 
%Pour $x \in ]4~;~+\infty[$, exprimer $f(x)$ à l'aide de $i(x),\: j(x)$ et $k(x)$.
Sur $]4~;~+\infty[$, on a :

$f(x) = \ln \dfrac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 4) } = \ln [(x - 2)(x - 3)] - \ln (x - 4) = \ln (x - 2) + \ln (x - 3) - \ln (x - 4) = $

$i(x) + j(x) - k(x)$. 
		\item %En déduire l'expression d'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $]4~;~+\infty[$.
Sur $]4~;~+\infty[$ une primitive de $f$ est $F$ définie par :

$F(x) = (x - 2) \ln(x - 2) - x + (x - 3) \ln (x - 3) - x - \left[(x - 4) \ln (x - 4)- x  \right] = $

$(x - 2) \ln(x - 2) + (x - 3) \ln (x - 3) - (x - 4) \ln (x - 4) - x$.
	\end{enumerate} 
\item %Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis donner la valeur arrondie au centième.
On a donc :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_5^7 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_5^7 = F(7) - F(5) =$

$(7 - 2) \ln(7 - 2) + (7 - 3) \ln (7 - 3) - (7 - 4) \ln (7 - 4) - 7 - \left((5 - 2) \ln(5 - 2) + \right.$

$\left.(5 - 3) \ln (5 - 3) - (5 - 4) \ln (5 - 4) - 5 \right) = 5\ln 5 + 4\ln 4 - 3\ln 3 - 7 - 3\ln 3 - 2\ln 2 + 5 = $

5\ln 5 + 4\ln 4 - 3\ln 3  - 3\ln 3 - 2\ln 2 - 2 = 5\ln 5 + 4\ln 4 - 6\ln 3   - 2\ln 2 - 2 \approx \np{3,61}$~unités d'aire. 
\end{enumerate}
\end{document}