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%Tapuscrit de Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small novembre 2008}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie ~\decofourright\\[4pt]novembre 2008} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur l'ensemble $]- \infty~;~ - 5[ ~\cup~ ]-5~;~+\infty[$.
%
%On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $g$ dans un repère donné du plan.
%
%On donne ci-dessous le tableau de variations de $g$ :
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.25cm}
%\begin{pspicture}(9,3)
%%\psgrid
%\psframe(9,3) \psline(0,2.5)(9,2.5)
%\psline(2,0)(2,3) 
%\psline(4.45,0)(4.45,2.5) \psline(4.55,0)(4.55,2.5)
%\rput(1,2.75){Valeurs de $x$}
%\rput(1,1.25){Variations de $g$}
%\uput[u](2.4,2.5){$- \infty$} \uput[u](4.5,2.5){$-5$} \uput[u](5.8,2.5){$-1$} \uput[u](7,2.5){$4$} \uput[u](8.6,2.5){$+ \infty$} 
%\rput(2.3,0.3){$- \infty$} \rput(4.1,2.3){$+ \infty$}
%\rput(4.9,0.3){$- \infty$} \rput(6,1.2){$0$}\rput(7,2.25){$5$}
%\rput(8.8,0.3){$1$}
%\psline{->}(2.6,0.3)(3.85,2.2) \psline{->}(5.2,0.3)(6.8,2.1)
%\psline{->}(7.2,2.1)(8.6,0.3)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
%
%Pour chacune des huit affirmations ci-dessous, indiquer sur votre copie :
%
%VRAI ou FAUX ou LES INFORMATIONS DONNÉES NE PERMETTENT PAS DE RÉPONDRE.
%
%Aucune justification n'est demandée,
%
%\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.}
%
%\emph{Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est $0$}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Pour tout réel $ x \in  ]-1~;~+\infty[,\: g(x) \leqslant  5$.
VRAI : sur $]-1~;~+\infty[,\: 0 \leqslant f(x) \leqslant 5$.
\item  %Pour tout réel $x \in  ]- 5~;~4],\: g'(x) \geqslant 0\: (g'$ désigne la fonction dérivée de $g$).
VRAI : sur l'intervalle la fonction est croissante.
\item  %La droite d'équation $x = 1$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $+\infty$.
FAUX : on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 1$. La droite dont une équation est $y = 1$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $+\infty$.
\item  %La courbe $(\mathcal{C})$ admet une droite asymptote en $- \infty$.
FAUX.
\item  %On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 1~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln [g(x)]$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien :
Sur l'intervalle $g(x) > 0$, donc la fonction $f$ est bien définie.
	\begin{enumerate}
		\item  %Pour tout réel $x \in [4~;~+ \infty[,\: f(x) \geqslant 0$ ;
VRAI : la fonction ln est croissante et la fonction $g$ est décroissante, donc par composition la fonction $f$ est décroissante de $\ln 5$ à $\ln 1 = 0$
		\item  %La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[4~;~+ \infty[$ ;
VRAI : déjà vu.
		\item  %$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$ ;
FAUX : par composition $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \ln 1 = 0$.
		\item  %$\displaystyle\lim_{\substack{x \to - 1\\ x > -1}} f(x) = - \infty$.
VRAI : limite de la fonction ln en 0. 
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la facture de gaz (en milliers d'euros) d'une entreprise pour les années 2000 à 2007.
%
%\medskip
%
%\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.25cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année&2000& 2001& 2002& 2003& 2004& 2005& 2006&2007\\ \hline
%Rang $x_{i}$ de l'année& 0& 1& 2&3&4& 5&	6& 7\\ \hline
%Montant $y_{i}$ (en milliers d'euros) de la facture de gaz&\multirow{2}{0.96875cm}{ 105}& \multirow{2}{0.96875cm}{ 112} &\multirow{2}{0.96875cm}{116}&\multirow{2}{0.96875cm}{120}& \multirow{2}{0.96875cm}{124} &\multirow{2}{0.96875cm}{131} &\multirow{2}{0.96875cm}{139}&	\multirow{2}{0.96875cm}{148}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
	
\begin{enumerate}
\item %Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ de cette série statistique dans un plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm pour une année sur l'axe des abscisses ; 1~cm pour 10~milliers d'euros sur l'axe des ordonnées en commençant à 50~milliers).
Voir à la fin de l'exercice.
\item 	On utilise un ajustement affine comme premier modèle.
	\begin{enumerate}
		\item  %Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite ($D$) de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Pour chacun des coefficients, donner la valeur décimale arrondie au dixième.
		La calculatrice donne après arrondi des coefficients au dixième : $y = 5,8x + 104,2$.
		\item  %Calculer le montant (arrondi au millier d'euros près) de la facture de gaz obtenue avec ce modèle pour l'année 2012.
		2012 correspond au rang $x = 12$, d'où une facture de $y =  5,8 \times 12 + 104,2 = 69,6 + 104,2 = 173,8 \approx 174$ au millier d'euros près.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer le pourcentage annuel moyen d'augmentation de cette facture entre 2000 et 2007 (arrondir à l'unité).
L'augmentation est en pourcentage le nombre $p$ tel que :

$105 \times p^7 = 148 \iff p^7 = \dfrac{148}{105} \iff p = \left(\dfrac{148}{105}\right)^{\frac{1}{7}}$ soit $p \approx 1,05$ soit une augmentation annuelle moyenne de 5\,\%.
\item %On envisage un second modèle pour prévoir l'évolution de cette facture ; on considère qu'à partir de 2007, la facture augmentera de 5\:\% chaque année.
		
%Pour tout entier naturel $n$, on appelle $u_{n}$ le montant (en milliers d'euros) de la facture de gaz obtenu avec ce second modèle pour l'année $2007 + n$. Ainsi, $u_{0} = 148$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $u_{1}$.
$u_1 = 1,05u_0 = 1,05 \times 148 = 155,4$.
		\item %Justifier que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1,05$.
D'une année à l'année suivante le montant est multiplié par le même nombre 1,05 : la suite est donc géométrique de premier terme $u_0 = 148$ et de raison $r = 1,05$.
		\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait qu'alors pour tout naturel $n, \:\: u_n = u_0 \times r^n = 148 \times 1,05^n$.
		\item %Calculer le montant (arrondi au millier d'euros près) de la facture de gaz obtenue avec ce second modèle pour l'année 2012.
		2012 correspond ici au rang 5, donc $u_5 = 148 \times 1,05^5 \approx 188,89 \approx 189$~milliers d'euros au millier près.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.09cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8,55)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,50)}
\multido{\n=0+10}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=100,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(8,55)
\psdots(0,5)(1,12)(2,16)(3,20)(4,24)(5,31)(6,39)(7,48)
\uput[u](7,0){rang de l'année}
\uput[r](0,53){Montant de la facture de gaz en milliers d'euros}
\end{pspicture}
\end{center}	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Lors d'un jeu, Marc doit répondre à la question suivante :
%
%\og Le premier jour, nous vous offrons 100 \euro{} puis chaque jour suivant, nous vous offrons 5\,\% de plus que la veille et une somme fixe de 20 \euro. 
%
%Au bout de combien de jours aurez-vous gagné \np{10000}~\euro{} \fg ?
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_{n}$ le montant total en \euro{} versé à Marc le $n$-ième jour. Ainsi, $u_{1} = 100$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $u_{2}$.
$u_2 =  u_1 \times 1,05 + 20 = 100 \times 1,05 + 20 = 125$~\euro. 
		\item %Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} =  1,05u_{n} +20$.
		Si un jour on verse $u_n
$ le lendemain on verse 5\,\% de plus soit $1,05u_n$ plus 20~\euro{} soit 

$u_{n+1} = 1,05u_n + 20$.	
	\end{enumerate}
\item   %Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $v_{n} =  u_{n} + 400$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $v_{1}$.
$v_1 = u_1 + 400 = 100 + 400 = 500$.
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique et préciser sa raison.
$v_{n+1} = u_{n+1} + 400 =   1,05u_{n} + 20 + 400 = 1,05u_n + 420 = 1,05\left(u_n + \frac{420}{1,05}\right) = 1,05\left(u_n + 400\right) = 1,05v_n$.

L'égalité, vraie pour tout naturel $n$, $v_{n+1} = 1,05v_n$, montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 1,05, de premier terme $v_1 = 500$.
		\item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ puis en déduire que 
On sait que $v_n = 1,05^{n-1}v_1 = 500 \times 1,05^{n-1}$.

Or $v_n = u_n + 400 \iff u_n = v_n - 400 = 	500 \times 1,05^{n-1} - 400$	
%		$u_{n} = 500 \times 1,05^{n-1} - 400$. 
		\item %Déterminer, en fonction de $n$, la somme $v_{1} +  v_{2} + \cdots + v_{n}$.
$v_{1} +  v_{2} + \cdots + v_{n} = 500 + 500 \times 1,05^{2-1}  + 500 \times 1,05^{3-1}  + \cdots + 500 \times 1,05^{n-1} = 500 \times \dfrac{1 - 1,05^n}{1 - 1,05} = \dfrac{500}{- 0,05}\left(1  - 1,05^n \right) = - \np{10000}\left(1  - 1,05^n \right) = \np{10000}\left(1,05^n - 1\right)$.
	\end{enumerate}
\item %Quelle réponse Marc doit-il donner ?
Au bout de $n$ jours Marc aura reçu :

$u_1 + u_2 + \cdots + u_n = v_1 - 400 + v_2 - 400 + \cdots v_n - 400 = v_1 + v_2 + \cdots + v_n - 400n = \np{10000}\left(1,05^n - 1\right) - 400n$.

Il faut donc trouver le plus petit entier $n$ tel que  :

$\np{10000}\left(1,05^n - 1\right) - 400n \geqslant \np{10000} \iff 1,05^n - 1 - 0,04n\geqslant 1 \iff 1,05^n \geqslant 2 + 0,04n$.

La calculatrice donne $1,05^{21} \approx 2,786$ et $2 + 0,04\times 21 = 2,84 >2,786$ ;

$1,05^{22} \approx 2,925$ et $2 + 0,04\times 22 = 2,88 < 2,925$.

La somme reçue dépassera \np{10000}~\euro au bout de 22 jours.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Deux joueurs Roger et Raphaël disputent un match de tennis.
%
%Dans cet exercice, on s'intéresse aux points gagnés par Roger lorsqu'il sert (c'est-à-dire lorsqu'il effectue la mise en jeu).
% 
%\medskip
%
%À chaque point disputé, Roger dispose de deux essais pour son service. S'il rate ces deux essais, il perd le point (on parle de double faute).
%
%\medskip
%
%Roger s'apprête à servir. On note :
%
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item  A l'évènement \og Roger réussit son premier service \fg,
%\item  B l'évènement \og Roger réussit son second service \fg,
%\item  G l'évènement \og Roger gagne le point \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On note respectivement $\overline{\text{A}},~\overline{\text{B}}$ et $\overline{\text{G}}$ les évènements contraires respectifs des événements A, B et G.
%
%Une étude sur les précédents matchs de Roger a permis d'établir que, lorsque Roger sert :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] il réussit dans 75\,\% des cas son premier essai et lorsque ce premier service est réussi, il gagne le point dans 92\,\% des cas.
%\item[$\bullet~$] 	s'il ne réussit pas son premier essai, il réussit le second dans 96\,\% des cas et lorsque ce
%second service est réussi, il gagne le point dans 70\,\% des cas.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On va décrire la situation précédente par un arbre pondéré:
%
\begin{center}\psset{arrows=->}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,75}}
	  { 
	\TR{$G$}\taput{0,92}
	\TR{$\overline{G}$}\tbput{0,08}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{0,25}}
	  {
	     \pstree{\TR{$B$~}\taput{0,96}}
		    {\TR{$G$}\taput{0,70}
		     \TR{$\overline{G}$}\tbput{0,30}
		    }
         \pstree{\TR{$\overline{B}$}\tbput{0,04}}
		    {
		  \Tn
		  \Tn
		    }  
	  }	
}
\end{center}
%
%\emph{Les probabilités demandées seront données sous forme décimale arrondie, si nécessaire, au millième.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Reproduire l'arbre ci-dessus et le pondérer à l'aide des données du texte.
Voir ci-dessus.
\item %Quelle est la probabilité que Roger fasse une double faute ?
On a $p\left(\overline{A} \cap \overline{B} \right) = p\left(\overline{A} \right) \times p_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 0,25 \times 0,04 = 0,01$.
\item %Quelle est la probabilité que Roger rate son premier service, réussisse le second et gagne le point ?
Il faut trouver :

$p\left(\overline{A} \cap B \cap G \right) = p\left(\overline{A} \right) \times p_{\overline{A}}(B) \times p_{B}(G) = 0,25 \times 0,96 \times 0,70 = 0,24 \times 0,7 = 0,168$.
\item %Montrer que la probabilité que Roger gagne le point est de $0,858$.
D'après la loi des probabilités totales :

$p(G) = p(A \cap G) + p\left(\overline{A} \cap B \cap G \right)$.

Or $p(A \cap G) = p(A) \times p_{A}(G) = 0,75 \times 0,95 = \np{0,7125}$.

Donc $p(G) = \np{0,69} +  0,168 = 0,858$.
\item %Sachant que Roger a gagné le point joué, quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?
On a $p_{G}(A) = \dfrac{p(G \cap A)}{p(G)} = \dfrac{0,69}{0,858} \approx 0,804$.
\item %Les deux joueurs disputent quatre points de suite (Roger servant à chaque fois). On admet que chaque point joué est indépendant des points joués précédemment. Quelle est la probabilité que Roger ne gagne pas la totalité des quatre points ?
La probabilité est celle de perdre au moins un point. La variable égale au nombre de point(s) gagné(s) est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0,858$.

La probabilité de gagner les quatre points est : 

$0,858^4$, donc celle de perdre au moins un point est :

$1 - 0,858^4 \approx \np{0,458063} \approx 0,458$ au millième près.  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé en vendant $x$ centaines d'objets fabriqués, est modélisé par la fonction $B$ définie et dérivable sur l'intervalle $[1~;~15]$ par :

\[B(x) = (x - 5)\text{e}^{u(x)} + 2\quad  \text{avec} ~~ u(x) = - 0,02x^2 + 0,2x - 0,5.\]

Si $B(x)$ est positif il s'agit d'un bénéfice, s'il est négatif il s'agit d'une perte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$ et $u'$ la fonction dérivée de la fonction $u$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $u'(x)$ et démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;~15]$, on a :

%\[B'(x) = (- 0,04x^2 + 0,4x)\text{e}^{u(x)}.\]
$u$ est dérivable sur $[1~;~15]$ et sur cet intervalle :

$u'(x) = - 2 \times 0,02x + 0,2 = 0,2 - 0,04x$.

De même sur $[1~;~15]$, $B$ est dérivable et :

$B'(x) = 1\text{e}^{u(x)} + u'(x) \times (x- 5) \text{e}^{u(x)} = $

$\text{e}^{u(x)}(1 + u'(x)(x - 5)) = \text{e}^{u(x)}\left[ 1  + (0,2 - 0,04x)(x - 5)\right] = \text{e}^{u(x)}\left(1 + 0,2x - 1 - 0,04x^2 + 0,2x\right) = \text{e}^{u(x)}\left(- 0,04x^2 + 0,4x \right)$.
		\item %Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle $[1~;~ 15]$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $B$.
Comme $\text{e}^{u(x)} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $B'(x)$ est celui de $0,4x - 0,04x^2 = 0,04x(10 - x)$. D'où :

$\bullet~~$Si $x < 10$, \:$B'(x) > 0$ : la fonction est croissante sur [1~;~10] de 
$B(1) = - 5 \text{e}^{u(1)} + 2 = $

$- 5\text{e}^{- 0,32} + 2  \approx - 0,905$ à $B(10)$  ;

$\bullet~~$Si $x > 10$, \:$B'(x) < 0$ : la fonction est décroissante sur [10~;~15]  de $B(10)$ à $B(15) =$

$ 10\text{e}^{u(15)} + 2 = 10\text{e}^{- 2} \approx 3,35$ ;

$\bullet~~$Si $x = 10$, \:$B'(x) = 0$ : $B(10) = 5 \text{e}^{u(10)} = 5 \text{e}^{- 2 + 2 - 0,5} + 2 = 5 \text{e}^{-0,5} + 2 \approx 5,03$ est le maximum de $B$ sur [1~;~15] ;
	\end{enumerate}
\item %\textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%Déterminer le nombre minimum d'objets que l'entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice. 
Sur l'intervalle [0~;~10], la fonction $B$ est continue car dérivable strictement croissante d'une valeur $B(0) < 0$ à $B(10) > 0$ : d'après le théorème de la valeur intermédiaire il existe une valeur unique $\alpha \in [0~;~10]$ telle que $f(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne :

$B(2) \approx - 0,5$ et $B(3) \approx 1,2$, donc $2 < \alpha < 3$ ;

$B(2,7) \approx - 0,07$ et $B(2,8) \approx 0,003$, donc $2,7 < \alpha < 2,8$ ;

$B(2,79) \approx - 0,004$ et $B(2,80) \approx 0,003$, donc 	$2,79 < \alpha < 2,80$.

$x$ étant en centaines le nombre minimal d'objets à produire pour réaliser un bénéfice est donc de 280.	
%Pour quel nombre d'objets ce bénéfice est-il maximal ? Et quel est alors ce bénéfice maximal (arrondi à l'euro près) ?
On a vu que le maximum de $B$ est obtenu pour $x = 10$ soit la production de \np{1000} pièces. Ce bénéfice maximum est $B(10) \approx 5,033$ soit \np{5033}~\euro.
\item %La valeur moyenne $m$ d'une fonction $f$ qui admet des primitives sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$ est :
%$m = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que $B(x) = - 25 \times u'(x)\text{e}^{u(x)} + 2$.
On a :

$- 25 \times u'(x)\text{e}^{u(x)}+ 2 = - 25(0,2 - 0,04x)\text{e}^{u(x)}+ 2 = (-0,5 + x)\text{e}^{u(x)}+ 2 = (x - 0,5)\text{e}^{u(x)} + 2 = B(x)$
		\item  %En déduire l'arrondi au millième de la valeur moyenne de $B$ sur $[1~;~15]$.
D'après le résultat précédent, une primitive de $B(x)$ est la fonction définie sur [1~;~15] par $x \longmapsto A(x) = - 25\text{e}^{u(x)} + 2x$.
		
Donc $m = \dfrac{1}{15 - 1}\displaystyle\int_{0}^{15} B(t)\:\text{d}t = \dfrac{1}{14}\left[A(t) \right]_1^{15} = \dfrac{1}{15}\left[A(15) - A(1)\right] =$

$ \dfrac{1}{15}\left[- 25\text{e}^{u(15)} + 2\times 15 - \left(- 25\text{e}^{u(1)} + 2\times 1 \right) \right] =$

$ \dfrac{1}{14}\left(2 - 25\text{e}^{-0,5} + 25\text{e}^{-0,32} - 2 \right) = \dfrac{1}{14}\left(28 - 25\text{e}^{- 2} + 25\text{e}^{- 0,32}\right) \approx 3,055$.
		\item  %Interpréter ce résultat pour l'entreprise.
Le bénéfice étant en milliers d'euros le résultat précédent signifie qu'en moyenne le bénéfice de la société sera de \np{3055}~\euro.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}