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%Sujet aimablement communiqué par Clotilde Rouchon
%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Nouvelle-Calédonie mars 2016 Corrigé},
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\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small mars 2016}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie
mars 2016~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill Commun à tous les candidats\hfill 5 points}

%\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
%Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.\\
%Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie
%le numéro de la question et recopier la réponse choisie. On ne demande pas de justification.\\
%Chaque réponse exacte rapportera $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte
%ni n'enlève de point.}
%
%\medskip

\subsubsection*{Question 1}

%\medskip

La proportion de gauchers dans la population française est de 13\,\%.

Un intervalle de fluctuation asymptotique, au seuil de 95\,\%, de la fréquence de gauchers dans un échantillon de $500$ personnes prises au hasard dans la population française est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} [0,080~;~0,180] &\textbf{b.~~} [0,085~;~0,175] &\fcolorbox{red}{white}{\textbf{c.~~} [0,100~;~0,160]} &\textbf{d.~~} [0,128~;~0,132]
\end{tabularx}
\medskip

%(\emph{Les bornes de chaque intervalle sont données à $10^{-3}$ près})

%\bigskip

$n=500$ et $p=0,13$ donc $n\pg 30$, $np=65\pg 5$ et $n(1-p)=435 \pg 5$ donc
les conditions pour déterminer un intervalle $I$ de fluctuation au seuil de 95\,\% de la fréquence des gauchers dans un échantillon de taille 500 sont vérifiées:

\smallskip

{$I=\left[ p- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds \sqrt{n}}\:;\: p + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds\sqrt{n}} \right]
=
\left[ 0,13- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,13\left(1-0,13\right)}}{\ds \sqrt{500}}\:;\: 0,13 + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{0,13\left(1-0,13\right)}}{\ds\sqrt{500}} \right]\\[8pt]
\phantom{I} \approx
\cd 0,100\,;\,0,160 \cg$\par} 	


\subsubsection*{Question 2}

\medskip

Sur $\R$, l'ensemble des solutions de l'inéquation 
$\ln x + \ln 3 \leqslant  \ln (2x + 1)$ est:\\

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  $[2~;~+ \infty[$ &\textbf{b.~~}  ]0~;~2] &\textbf{c.~~}  $]- \infty~;~1]$ &\fcolorbox{red}{white}{\textbf{d.~~}  ]0~;~1]}
\end{tabularx}

\medskip

L'inéquation $\ln x + \ln 3 \leqslant  \ln (2x + 1)$ n'aura de solutions que si $\ln x$ et $\ln(2x+1)$ existent, donc si $x>0$.

\smallskip

$\begin{array}{@{} l !{\iff} l l}
\ln x + \ln 3 \leqslant  \ln (2x + 1)
 & \ln(3x) \pp \ln (2x + 1) & \text{propriété de la fonction ln}\\
 & 3x \pp 2x+1 & \text{croissance de la fonction ln}\\
 & x \pp 1
\end{array}$

\bigskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~5] par :
$f(x) = x^2 - 3x\ln x + 1$

On a représenté, ci-dessous, cette fonction $f$ dans un repère orthonormé :

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {6}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1, griddots=15, gridlabels=0, gridcolor=black] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210] 
\uput[dl](0,0){$O$}
\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)% première et terminale 
\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}% seconde
% fonction f définie par f(x) = a(x-b)² + c
\def\f{x x 3 x ln mul sub mul 1 add}%   définition de la fonction
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{0.5}{5}{\f}%  tracé de la courbe

\def\inf{1} \def\sup{2}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0) \lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\subsubsection*{Question 3}

%\medskip

\fcolorbox{white}{white}{\textbf{a.~~} La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle [0,5~;~3].}

\fcolorbox{white}{white}{\textbf{b.~~} La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle [0,5~;~5].}

\fcolorbox{white}{white}{\textbf{c.~~} La courbe représentant $f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 2.}

\fcolorbox{red}{white}{\textbf{d.~~} La fonction $f$ est concave sur l'intervalle [0,5~;~1,5].}

\medskip

$f(x) = x^2 - 3x\ln x + 1$ donc 
$f'(x)= 2x -3\ln x -3x \dfrac{1}{x}=2x-3\ln x -3$ et donc
$f''(x)= 2 - \dfrac{3}{x}=\dfrac{2x-3}{x}$

$f''(x)\pp 0$ sur $\cd 0,5\,;\, 1,5\cg$ donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle.

\bigskip

\subsubsection*{Question 4}

\medskip
On note $I$ l'intégrale $\displaystyle\int_1^2 f(x)\:\text{d}x$ ; on peut affirmer que :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0,5\leqslant  I \leqslant 1$ &\textbf{b.~~} $4 \leqslant I \leqslant 7$ & \fcolorbox{red}{white}{\textbf{c.~~} $1 \leqslant I \leqslant 1,75$} &\textbf{d.~~} $2 \leqslant I \leqslant 4$
\end{tabularx}
\medskip

L'intégrale $I$ est égale à l'aire de la partie hachurée sur le graphique.

\medskip

\subsubsection*{Question 5}

\medskip

On souhaite utiliser un algorithme permettant de déterminer une valeur approchée au
centième de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 1$ sur l'intervalle [1~;~3]. (On admet que sur cet intervalle l'équation admet bien une unique solution.)

Voici trois algorithmes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{1mm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 1}}			&&\multicolumn{1}{c|}{\textbf{Algorithme 2}}\\ 
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Initialisation}}		&&\multicolumn{1}{c|}{\textbf{Initialisation}}\\ 
$a$ prend la valeur 1								&&$a$ prend la valeur 1\\
$b$ prend la valeur 3								&&$b$ prend la valeur 3\\
$s$ prend la valeur 0								&&\\
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Traitement}}			&&\multicolumn{1}{c|}{\textbf{Traitement}}\\
$n = (b - a) * 100$									&&Tant que $b - a > 0,01$ faire\\
Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire					&&$\bullet~~$ $c$ prend la valeur $(a + b)/2$\\
$\bullet~~$ $x$ prend la valeur $a + 0,01 * i$		&&$\bullet~~$si $f(c) > 1$ alors $a$ prend la valeur $c$\\
$\bullet~~$ $s$ prend la valeur $s + 0,01 * f(x)$	&&$\bullet~~$sinon $b$ prend la valeur $c$\\
Fin de Pour											&&Fin de Tant que\\
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Sortie}}				&&\multicolumn{1}{c|}{\textbf{Sortie}}\\
Afficher $s$										&&Afficher $a$\\ 
\cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 3}}\\
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Initialisation}}\\
$a$ prend la valeur 1\\
$b$ prend la valeur 3\\
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Traitement}}\\
Pour $x$ allant de 1 à 3 faire\\
$\bullet~~$ Si $f(x) < 1$ alors $a$ prend la valeur $(a + b)/2$\\
$\bullet~~$ sinon $b$ prend la valeur $(a + b)/2$\\
Fin de Pour\\
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Sortie}}\\
Afficher $a$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\fcolorbox{white}{white}{\textbf{a.~~} L'algorithme 1 affiche une valeur approchée au centième de $\alpha$.}

\fcolorbox{red}{white}{\textbf{b.~~} L'algorithme 2 affiche une valeur approchée au centième de $\alpha$.}

\fcolorbox{white}{white}{\textbf{c.~~} L'algorithme 3 affiche une valeur approchée au centième de $\alpha$.}

\fcolorbox{white}{white}{\textbf{d.~~} Aucun des trois algorithmes n'affiche de valeur approchée au centième de $\alpha$.}

\medskip

L'algorithme 2 correspond à la recherche d'une solution d'équation par dichotomie.

%\vspace{0,5cm}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité\hfill 5 points}

%\textbf{}
%
%\medskip

Deux supermarchés concurrents, Alphamarché et Bétamarché ouvrent simultanément un service de retrait permettant à leurs clients de récupérer leurs courses après avoir passé leur commande sur internet.

Afin de promouvoir leur service de retrait, chacun organise une campagne de publicité.

Alphamarché contrôle l'efficacité de sa campagne par des sondages mensuels où les clients qui utilisent les services de retrait se prononcent tous en faveur d'un seul service de retrait, celui d'Alphamarché ou celui de Bétamarché.

Au début de la campagne, 20\,\% des personnes interrogées préfèrent Alphamarché.

Les sondages mensuels ont permis de mettre en évidence que les arguments publicitaires font évoluer chaque mois la répartition. 

On décide de modéliser cette évolution en considérant que 10\,\% des personnes préférant Alphamarché et 15\,\% des personnes préférant Bétamarché changent d'avis d'un mois sur l'autre.

Le mois du début de la campagne est noté mois $0$.

On interroge, au hasard, un client faisant ses courses dans l'un des deux services de retrait.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité que le client interrogé préfère Alphamarché le mois $n$ ;
\item[$\bullet~~$] $b_n$ la probabilité qu'il préfère Bétamarché le mois $n$ ;
\item[$\bullet~~$] $P_n = \begin{pmatrix} a_n & b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne désignant l'état probabiliste au mois $n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% Déterminer la matrice ligne $P_0$ de l'état probabiliste initial.
Au début de la campagne, 20\,\% des personnes interrogées préfèrent Alphamarché donc $a_0=0,2$ et $b_0=1-a_0=1-0,2=0,8$; on a donc:
$P_0=\begin{pmatrix}
0,2 & 0,8
\end{pmatrix}$

\item On note $A$, l'état \og Le client interrogé préfère Alphamarché \fg{} et $B$ l'état \og Le client interrogé
préfère Bétamarché \fg.

10\,\% des clients qui préfèrent Alphamarché changent de supermarché le mois suivant, donc il reste 90\,\% de clients fidèles à Alphamarché d'un mois au suivant.

15\,\% des clients qui préfèrent Bétamarché changent de supermarché le mois suivant, donc il reste 85\,\% de clients fidèles à Bétamarché d'un mois au suivant.

On représente la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{$A$}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{$B$}%   nom du sommet de droite

\def\valGD{0,1}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valGG{0,9}%  poids de la boucle autour du sommet gauche

\def\valDG{0,15}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valDD{0,85}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous
\Rnode{G}{\nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}%   définition des sommets
\ncarc{->}{G}{D} \Aput{\valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90]{->}{G}{4mm}   \Bput{\valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
D'après le texte, on a:
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,9\,a_n + 0,15\,b_n\\
b_{n+1} & 0,1\,a_n + 0,85\,b_n
\end{array}
\right .$

Ce qui se traduit sous forme matricielle par:
$\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85
\end{pmatrix}$ 

La matrice de transition de ce graphe est donc:
$M= \begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85
\end{pmatrix}$

		\item% Montrer que $P_1 = (0,3 \quad 0,7)$.
$P_1=P_0\times M =
\begin{pmatrix}
0,2 & 0,8
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,15 & 0,85
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,2\times 0,9 + 0,8\times 0,15 & 0,2\times 0,1 + 0,8\times 0,85 
\end{pmatrix}\\
\phantom{P_1}= 
\begin{pmatrix}
0,18+0,12 & 0,02 + 0,68
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,3 & 0,7
\end{pmatrix}$

	\end{enumerate}

\item  
	\begin{enumerate}

		\item% Exprimer, pour tout entier naturel $n,\: P_n$ en fonction de $P_0,\: M$ et $n$.
D'après le cours, on peut dire que, pour tout $n$, 
$P_n=P_0 \times M^n$.

\emph{Cette propriété est démontrée souvent dans l'année de terminale et peut être considérée comme devant être connue des élèves; si on veut la redémontrer dans cette question, on utilisera une démonstration par récurrence.}

		\item% En déduire la matrice ligne $P_3$ et interpréter ce résultat.
On trouve à la calculatrice:		
$P_3=P_0\times M^3 =
\begin{pmatrix}
\np{0,43125} & \np{0,56875}
\end{pmatrix}$

Cela veut dire que le 3\ieme{} mois, il y aura à peu près 43\,\% de clients qui choisiront Alphamarché, et 57\,\% qui choisiront Bétamarché.

	\end{enumerate}
	
\item% Le service de retrait d'Alphamarché finira-t-il par être préféré à celui de Bétamarché ?
	
%Justifier.

D'après la calculatrice, la suite $(a_n)$ semble croissante, et la suite $(b_n)$ décroissante.

Toujours en utilisant la calculatrice, on trouve:

$P_4=P_0\times M^4 \approx
\begin{pmatrix}
\np{0,4734} & \np{0,5266}
\end{pmatrix}$
et
$P_5=P_0\times M^5 =
\begin{pmatrix}
\np{0,5051} & \np{0,4949}
\end{pmatrix}$

Donc, à partir du 5\ieme{} mois, les clients préfèreront le retrait d'Alphamarché à celui de Bétamarché.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%
%\emph{Cet exercice comporte trois parties qui peuvent être traitées de manière indépendante}
%
%\medskip

Les 275 passagers d'un vol long-courrier s'apprêtent à embarquer dans un avion possédant 55 sièges en classe confort et 220 sièges en classe économique. Les voyageurs partent soit pour un séjour court, soit pour un séjour long.

Parmi les passagers voyageant en classe économique, 35\,\% partent pour un séjour long alors que parmi les passagers ayant choisi la classe confort, 70\,\% ont opté pour un séjour long.
%
%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip
%
On choisit au hasard un passager du vol.

On note les évènements suivants:

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $E$ : \og Le passager voyage en classe économique. \fg
\item[$\bullet~~$] $L$ : \og Le passager part pour un séjour long. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $\overline{E}$ et $\overline{L}$ les évènements contraires des évènements $E$ et $L$.

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Déterminer la probabilité de l'évènement $E$, notée $p(E)$.
Sur 275 passagers, il y en a 220 qui voyagent en classe économique. Comme on choisit au hasard un passager du vol, il y a équiprobabilité,
donc $p(E)=\dfrac{220}{275}=0,8$.

\item% Représenter la situation par un arbre pondéré.
D'après le texte, $p_E(L)=0,35$ et $p_{\overline E}(L)=0,70$.
 
On représente la situation à l'aide d'un arbre pondéré:

\bigskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,nrot=:U,levelsep=3.5cm]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$E$}\naput{$0,8$}}
	{\TR{$L$}            \naput{$0,35$}
	\TR{$\overline{L}$}  \nbput{\red $1-0,35=0,65$}
	}
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline E$}\nbput{\red $1-0,8=0,2$}}
	{\TR{$L$}            \naput{0,70}
	\TR{$\overline{L}$}  \nbput{\red $1-0,70=0,30$}
	}
}
\end{center}

\bigskip

\item% Déterminer la probabilité que le passager choisi parte en classe économique pour un séjour long.
La probabilité que le passager choisi parte en classe économique pour un séjour long est:

$p(E \cap L) = p(E)\times p_E(L)=0,8\times 0,35=0,28$

\item% Montrer que $p(L) = 0,42$.
D'après la formule des probabilités totales:

$p(L)=p(E\cap L)+p(\overline E \cap L) = 0,28+0,2\times 0,7=0,28+0,14=0,42$

\item On choisit au hasard un passager partant pour un long séjour.% Quelle est la probabilité que ce passager voyage en classe économique ?

La probabilité que ce passager voyage en classe économique est:

$p_L(E)=\dfrac{p(E \cap L)}{p(L)}=\dfrac{0,28}{0,42}= \dfrac{2}{3}$

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

Lors de l'embarquement, chaque passager enregistre un bagage qui sera placé dans la soute de l'avion pendant le vol. Le poids de ce bagage ne doit pas excéder 20~kg. Dans le cas où le poids de son bagage dépasserait 20~kg, le passager doit s'acquitter d'une \og taxe d'excédent de bagage \fg. Le montant à payer en cas d'excédent est précisé dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{3cm}|X|}\hline
Poids $p$ (en kg) du bagage&Taxe d'excédent de bagage\\ \hline
$20 < p \leqslant 21$	&12~\euro\\ \hline
$21 < p \leqslant 22$	&24~\euro\\  \hline
$22 < p \leqslant 24$	&50~\euro\\ \hline
$p > 24$				&20~\euro/kg au-delà des 20~kg autorisés\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On choisit au hasard un bagage devant être transporté dans la soute de l'avion.

On admet que le poids de ce bagage, exprimé en kg, est modélisé par une variable aléatoire $M$ qui suit la loi normale d'espérance $18,4$ et d'écart type $1,2$.

%\emph{Dans cette partie, les résultats seront arrondis au millième.}

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Calculer la probabilité que le passager propriétaire du bagage choisi s'acquitte d'une taxe d'excédent de bagage.
La probabilité que le passager propriétaire du bagage choisi s'acquitte d'une taxe d'excédent de bagage est $p(M > 20) \approx 0,091$.

\item% Calculer la probabilité que le passager propriétaire du bagage choisi s'acquitte d'une taxe d'excédent de bagage de 24~\euro.
La probabilité que le passager propriétaire du bagage choisi s'acquitte d'une taxe d'excédent de bagage de 24~\euro{} est $p(21 < M \pp 22)\approx 0,014$.

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie C}

%\medskip

L'enregistrement des bagages des passagers est possible pendant une durée de 2~h.

Un passager du vol est choisi au hasard et on note $T$ la durée (en minutes] qui s'est écoulée entre le début des enregistrements des bagages et l'arrivée de ce passager au comptoir d'enregistrement.

On admet que $T$ est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~120]$.

%Déterminer la probabilité que le passager choisi enregistre ses bagages dans les $30$~dernières minutes autorisées.

La probabilité que le passager choisi enregistre ses bagages dans les $30$~dernières minutes autorisées est $\dfrac{30\rule{0pt}{10pt}}{120}=0,25$.

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente le nombre de personnes malades (en milliers) dans un pays lors d'une épidémie en fonction du nombre $t$ de jours écoulés depuis l'apparition de la maladie.

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

\begin{figure}[!t]
\centering
\psset{xunit=0.15cm,yunit=0.075cm}
\begin{pspicture}(-5,-10)(65,62)
\multido{\n=0+5}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,62)}
\multido{\n=0+10}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(65,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(65,62)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(65,62)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{60}{x dup mul 2.71828 0.1 x mul exp div}
\uput[u](63,0){$t$}\uput[r](0,61){$y$} \uput[u](57.5,11){\blue $\mathcal{C}$}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](20,0)(20,54,13)(0,54,13)
\uput*{9pt}[d](20,0){\red 20}
\uput[l](0,54.13){\red 54}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](6,0)(6,19.76)
\psplot[linecolor=red]{2}{13}{4.61 x 6 sub mul 19.76 add}
\uput*{9pt}[d](6,0){\red \ 6\ }
\end{pspicture}
\end{figure}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% À l'aide du graphique, déterminer au bout de combien de jours le nombre de malades est maximal puis préciser le nombre approximatif de malades ce jour-là.
À l'aide du graphique, on peut estimer que le nombre de malades est maximal au bout de 20 jours; le nombre approximatif de malades est de 54 milliers (voir graphique).

\item% Estimer graphiquement le jour où la vitesse de propagation de la maladie est la plus forte. (Expliquer rapidement la démarche utilisée)
Le jour où la vitesse de propagation de la maladie est la plus forte correspond au jour où la tangente à la courbe a un coefficient directeur maximum; c'est autour du 6\ieme{} jour.

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

On modélise le nombre de malades (en milliers) en fonction du temps, à l'aide de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~60] par :
$f(t) = t^2\text{e}^{- 0,1t}$

où $t$ représente le nombre de jours écoulés depuis l'apparition de la maladie.

Pour étudier les propriétés de la fonction $f$, on a utilisé un logiciel de calcul formel qui a fourni les résultats suivants:

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f'(t) = 0,1t(20 - t)\text{e}^{- 0,1t}$
\item[$\bullet~~$] $f''(t) = \left(0,01t^2 - 0,4t + 2\right)\text{e}^{- 0,1t}$
\item[$\bullet~~$] $F(t) = \left(- 10t^2 - 200t - \np{2000}\right)\text{e}^{- 0,1t}$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

où $f'$ désigne la dérivée de $f$, $f''$ désigne sa dérivée seconde et $F$ une primitive de $f$.

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Démontrer le résultat : $f'(t) = 0,1t(20 - t)\text{e}^{- 0,1t}$ qui a été fourni par le logiciel.
$f(t) = t^2\e^{- 0,1t}$ donc 
$f'(t)= 2t \e^{- 0,1t} + t^2\times (-0,1)\e^{-0,1t}
= 0,1t\,(20-t)\e^{-0,1t}$

\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Déterminer le signe de $f'(t)$ sur [0~;~60].
Pour tout réel $t$, $\e^{-0,1t}>0$ et $T\pg 0$ sur $\cd 0\,;\, 60\cg$; donc $f'(t)$ est du signe de $20-t$.

Donc $f'(t)\pg 0$ sur $\cd 0\,;\,20\cg$ et $f'(t) \pp 0$ sur $\cd 20\,;\,60\cg$.

De plus, $f'(0)=0$. 

		\item% Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur [0~;~60].
$f(0) = 0$, $f(20)=400\e^{-2}\approx 54,13$ et $f(60)=\np{3600}\e^{-6}\approx 8,92$

Le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\cd 0\,;\,60\cg$ est:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x 		& 0 & \hspace*{\esp} & 20 & \hspace*{\esp} & 60 \\ \hline
f'(x) 	& 0 &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline
 		& 	&  &   \Rnode{max}{400\e^{-2}}  &  &   \\  
f(x) 	& 	&     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 		& \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\np{3600}\e^{-6}} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ \hline
\end{array} $
}
\end{center}

	\end{enumerate}

\item  Le nombre moyen de malades par jour, en milliers, durant les $60$ premiers jours après l'apparition de la maladie est donné par $N = \dfrac{1}{60}\displaystyle\int_0^{60}  f(t)\:\d t$.

	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer la valeur exacte de $N$.
La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ donc:
$\displaystyle\int_0^{60}  f(t)\:\d t = F(60)-F(0)$

$F(60)=-\np{50000}\e^{-6}$ et $F(0)=\np{-2000}$ donc
$\displaystyle\int_0^{60}  f(t)\:\d t = -\np{50000}\e^{-6} + \np{2000}$

Donc $N=\dfrac{1}{60}\left (-\np{50000}\e^{-6} + \np{2000}\right ) 
= \dfrac{1}{3}\left (100 - \np{2500}\e^{-6}\right )$
		\item% Quel est le nombre moyen de malades par jour, arrondi à la dizaine ?
$N\approx 31,268$; cela correspond au nombre moyen de malades en milliers, donc le nombre moyen de malades par jour, arrondi à la dizaine, est de \np{31270}.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier par le calcul que, sur l'intervalle [0~;~15], la courbe représentative de la fonction $f$ admet un unique point d'inflexion.
La courbe $\mathcal C$ admet un point d'inflexion d'abscisse $t_0$ si la dérivée seconde $f''$ s'annule et change de signe en $t_0$.

$f''(t)= 0 \iff \left(0,01t^2 - 0,4t + 2\right)\e^{- 0,1t}=0 \iff 0,01t^2 - 0,4t + 2 = 0\\
\phantom{f''(x)=0} \iff t^2 - 40t +200=0$ (en multipliant par 100)

$\Delta=40^2-4\times 1\times 200 = 800 >0$
donc l'équation admet deux solutions:

$t'=\dfrac{40+\ds\sqrt{800}}{2}=\dfrac{40+20\ds\sqrt{2}}{2}=20+10\ds\sqrt{2}\approx 34,14 >15$ et
$t''= 20-10\ds\sqrt{2}\approx 5,85 <15$

On étudie le signe de $f''(t)$ sur $\cd 0\,;\, 60\cg$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 t 		& 0 & \hspace*{\esp} 	& 20-10\ds\sqrt{2} 		& \hspace*{\esp}15\hspace*{\esp} & 20+10\ds\sqrt{2} & \hspace*{\esp} & 60 \\\hline
f''(t) 	&  	&  \pmb{+} 			& \vline\hspace{-2.7pt}0& \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  \hline
%  &  &  & \Rnode{max1}{B} & & & &  \Rnode{max2}{D} \\
%f (x) & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur}\\
% & \Rnode{min1}{A} & & & & \Rnode{min2}{C} & & \rule{0pt}{\hauteur} 
%\ncline{->}{min1}{max1} 
%\ncline{->}{max1}{min2}
%\ncline{->}{min2}{max2} \\
%\hline
\end{array}$
}
\end{center}


Sur l'intervalle $\cd 0\,;\, 15\cg$, la courbe $\mathcal C$ admet donc un seul point d'inflexion d'abscisse $20-10\ds\sqrt{2}$ dont la valeur arrondie à l'unité est 6.

%Préciser une valeur arrondie à l'unité de l'abscisse de ce point d'inflexion.

		\item% Donner une interprétation concrète de cette abscisse.
Un point d'inflexion correspond à un changement de convexité de la courbe.

Pour $0 \pp t < 20 - 10\ds\sqrt{2}$, $f''(t)>0$, donc la fonction $f$ est convexe sur $\cd 0\,;\,20 - 10\ds\sqrt{2}\cg$.

Pour $20-10\ds\sqrt{2} < t \pp 15$, $f''(t)<0$, donc la fonction $f$ est concave sur $\cd 20-10\ds\sqrt{2}\,;\, 15\cg$.

Cette abscisse du point d'inflexion correspond donc au moment où la fonction passe de convexe à concave, ce qui signifie que la propagation de la maladie commence à décroitre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}