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\newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) }

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\newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$}
\newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$}
\newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$}

\newcounter{numexos}%Création d'un compteur qui s'appelle numexos
\setcounter{numexos}{0}%initialisation du compteur
\newcommand{\exercice}[2]{%Création d'une macro ayant un paramètre
\vspace{0.5cm}
\addtocounter{numexos}{1}%chaque fois que cette macro est appelée, elle ajoute 1 au compteur numexos
{{\LARGE \textbf{Exercice\,\thenumexos}\,:}}\,{\large #1}\,\hfill {\LARGE #2}%Met en rouge Exercice et la valeur du compteur appelée par \thenumeexos
\vspace{0.5cm}
}
\newcommand{\pg}{\geqslant}			%plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}			%plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}	% équivalent
\renewcommand{\d}{\,\text{d}} 		%le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}}			%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}		%le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}		%displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}		%crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}		%crochet droit
\newcommand{\entetecor}[4]{%
                  
%\rhead{#3}
%\chead{\shadowbox{Corrigé du baccalauréat ES  #1 du #2}}
%\lfoot{Baccalauréat 2017}%Corrigé de #1 du #2}
%\rfoot{A. Detant}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small 13 juin 2017}}
\setcounter{page}{1}
\cfoot{page \thepage ~sur~ \pageref{LastPage}}
\newcommand{\integ}[4]{$\displaystyle \int_{#1}^{#2}~#3~d#4~$}                  
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\begin{document}
%\SetWatermarkText{Lycée Henri IV}
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%\entete{9}{vendredi 13 mai 2016}{TS 2}{2 heures}{B}
%\entetecor{Centres étrangers}{13 juin 2017}{}{}
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\titlespacing*{\subsubsection}
{0pt}%␣retrait␣à␣gauche
{0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant
{0ex plus 0ex}%␣espace␣après
[0pt]%␣retrait␣à␣droite

\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Centres étrangers ~\decofourright\\[4pt]13 juin 2017}}} 

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples}

\medskip 

\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. \\
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\ 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}
\end{minipage}
 
\medskip

\surj{\textbf{Les justifications n'étaient pas demandées, elles sont données ici à titre indicatif}}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle [1 ; 9], alors: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\footnotesize}X}}
\textbf{a.~~}$p(1 < X < 9) = \dfrac{1}{8}$&\surj{\textbf{b.~~} $p(5 < X < 9) = \dfrac{1}{2}$} &\textbf{c.~~}$p(1 < X < 3) = \dfrac{3}{8}$ &\textbf{d.~~} $p(1 < X < 2) = \dfrac{1}{2}$
\end{tabularx}
\medskip  

\begin{solution}
Si $X$ suit la loi uniforme sur $[a~;~b]$ alors pour tous réels $c$ et $d$ tels que $[c~;~d] \subset [a~;~b]$ on a $p(c< X < d)=\dfrac{d-c}{b-a}$ donc ici $p(5 < X < 9) =\dfrac{9-5}{9-1}= \dfrac{1}{2}$
\end{solution}

\medskip  
\item  Une enquête sanitaire a pour objectif d'estimer la proportion de personnes qui respectent le calendrier de vaccinations préconisé par le Haut Conseil de la Santé Publique. Pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude $0,01$ au niveau de confiance $0,95$ de cette proportion, il faut interroger : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\footnotesize}X}}
\textbf{a.~~} 200 personnes 
&\textbf{b.~~} 400 personnes 
&\textbf{c.~~} \np{10000} personnes &\surj{\textbf{d.~~} \np{40000} personnes} 
\end{tabularx}
\medskip 

\begin{solution}

L'intervalle de confiance au niveau 95\% est $I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$ avec $f$ la fréquence observée sur l'échantillon et $n$ la taille de l'échantillon. L'amplitude de $I$ est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$

$\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,01 \equi \sqrt{n}=200 \equi n =\np{40000}$ 
\end{solution}

\medskip 
\item La solution de l'équation $x^{23} = 92$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} 4 &\textbf{b.~~} 1,2  &
\surj{\textbf{c.~~} $\text{e}^{\frac{\ln(92)}{23}}$}&
\textbf{d.~~}$\text{e}^{\frac{\ln(23)}{92}}$
\end{tabularx}
\medskip  

\begin{solution}
L'équation n'a de sens que sur $]0~;~+\infty[$ puisque l'exposant est impair

$x^{23} = 92 \equi \ln\left( x^{23}\right)  = \ln(92) \equi 23\ln(x)=\ln(92) \equi \ln(x)=\dfrac{\ln(92)}{23}\equi x=\text{e}^{\frac{\ln(92)}{23}}$
\end{solution}

\medskip 

\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle 
$[- 10~;~10]$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous: 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.25,1.9){$- 10$}\uput[u](3,1.9){$- 5$}\uput[u](5,1.9){$3$}\uput[u](6.8,1.9){$10$}
\rput(0.5,1){$g(x)$}
\uput[d](1.2,1.9){$7$}\uput[u](3,0){$2$}\uput[d](5,2){$4$}\uput[u](6.75,0){$- 6$} 
\psline{->}(1.5,1.5)(2.5,0.5)\psline{->}(3.5,0.5)(4.5,1.5)
\psline{->}(5.5,1.5)(6.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

On note $I = \displaystyle\int_{-5}^3 g(x)\:\text{d}x$. On peut affirmer que : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $- 5 \leqslant I \leqslant 3$& 
\textbf{b.~~} $2 \leqslant I \leqslant 4$ &
\surj{\textbf{c.~~} $16 \leqslant I \leqslant 32$} &
\textbf{d.~~} $4\leqslant I \leqslant 8$
\end{tabularx}
\medskip

\begin{solution}

Sur $[-5~;~3]~,~2\leqslant g(x) \leqslant 4$ or l'intégrale conserve l'ordre donc on a \integ{-5}{3}{2}{x}$\leqslant$ \integ{-5}{3}{g(x)}{x}$\leqslant$ \integ{-5}{3}{4}{x}

or \integ{-5}{3}{2}{x}=$\left[2x \right]_{_{-5}}^{^3}=6+10=16$~~et~~\integ{-5}{3}{4}{x}=$\left[4x \right]_{_{-5}}^{^3}=12+20=32$   
\end{solution}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textsc{Exercice 2 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 20~;~ 20]$ par 

\[f(x) = (- 2x + 30)\text{e}^{0,2x-3}.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f’ (x) = (- 0,4x + 4)\text{e}^{0,2x-3}$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[- 20~;~ 20]$. 
		
		\begin{solution}
		$f$ est le produit de fonctions dérivables sur $[- 20~;~ 20]$ donc elle est dérivable sur $[- 20~;~ 20]$
		
		$f=u\text{e}^v~\Longrightarrow~f'=u'\text{e}^v+u\left( v'\text{e}^v\right) =(u'+uv')\text{e}^v$
		
		avec $\begin{cases}
		u(x)=-2x+30\\v(x)=0,2x-3
		\end{cases}~\imp~\begin{cases}
		u'(x)=-2\\v'(x)=0,2
		\end{cases}$
		
		$\forall x \in [- 20~;~ 20]~,~f'(x)=\left(\vphantom{\dfrac{}{}}-2+0,2(-2x+30) \right)\text{e}^{0,2x-30} =(- 0,4x + 4)\text{e}^{0,2x-3}$
		\end{solution}
		
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [- 20; 20] . 

On précisera la valeur exacte du maximum de $f$. 

\begin{solution}
$\forall x \in [- 20~;~ 20]~,~\text{e}^{0,2x-30}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $- 0,4x + 4$

$- 0,4x + 4>0 \equi x < 10$

on en déduit les variations de $f(x)$

\begin{center}
		\psset{unit=1cm}
		\begin{pspicture}(9,3.5)
		\psframe(9,3.5)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(0,3)(9,3)\psline(1,0)(1,3.5)
		\uput[u](0.5,2.9){$x$} \uput[u](1.4,2.9){$-20$} \uput[u](5,2.9){$10$} \uput[u](8.5,2.9){$20$} 
		\rput(0.5,2.75){$f'(x)$}\rput(2.5,2.75){+} \rput(5,2.75){0}\rput(7,2.75){-}
		\uput[u](1.6,0){$f(-20) $}
		\uput[u](5,1.5){$\frac{10}{\text{e}} $}
		\uput[u](8.5,0){$f(20) $}
		\rput(0.5,1){$f(x)$}
		\psline{->}(2.15,0.3)(4.7,1.7)
		\psline{->}(5.3,1.7)(8,0.3)
		\end{pspicture}
		\end{center} 

$f(-20)=70\text{e}^{-7}\approx 0,06$ et $f(20)=-10\text{e}\approx -27,2$


Le maximum de $f(x)$ sur $[-20~;~20]$ est atteint en $x=10$ et a pour valeur $f(10)=\dfrac{10}{\text{e}}\approx 3,7$

\end{solution}


	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, sur l'intervalle $[- 20~;~ 20]$, l'équation $f(x) = - 2$ admet une unique solution $\alpha$. 
		
		\begin{solution}
		Sur $[- 20~;~ 10]~,~f(x)\geqslant f(-20)>-2$ donc l'équation $f(x)=-2$ n'admet aucune solution sur $[-20~;~10]$
		
		Sur $[10~;~20]~,~f$ est continue et strictement croissante à valeurs 
		
		dans $\left[ f(20)~;~f(10)\right] $ 
		
		or $-2 \in \left[ f(20)~;~f(10)\right] $ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=-2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[10~;~20]$ donc sur $[-20~;~20]$ 
		\end{solution}
		
		\item  Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,1$. 
		
		\begin{solution}
		Par balayage on a $15,8 \leqslant \alpha \leqslant 15,9$
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|Xr|}\hline     
1	&Dériver $(- 10x + 200)\text{e}^{0,2x-3}$&\\  
	&																&$(- 2x + 30)\text{e}^{0,2x-3}$\\ \hline   
2  &Dériver $( 2x + 30)\text{e}^{0,2x-3}$&\\  
	&																&$(- 0,4x + 4)\text{e}^{0,2x-3}$\\ \hline  
3	&Dériver $(- 0,4x + 4)\text{e}^{0,2x-3}$&\\
	&																&$(- 0,08x + 0,4)\text{e}^{0,2x-3}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}   

Répondre aux deux questions suivantes en utilisant les résultats donnés par le logiciel:  

	\begin{enumerate}
			\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{10}^{15} f(x)\:\text{d}x$. 
			
			\begin{solution}
			
			La première ligne du logiciel permet de donner une primitive de $f$: 
			
			$F(x)=(- 10x + 200)\text{e}^{0,2x-3}$
			
			alors \integ{10}{15}{f(x)}{x}=$\left[\vphantom{\dfrac{}{}}F(x) \right]_{_{10}}^{^{15}}=F(15)-F(10)=50\text{e}^{0}-100\text{e}^{-1}=50-\dfrac{100}{\text{e}}$ 
			\end{solution}
			
			\item Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser l'abscisse du point d'inflexion.
			
			\begin{solution}
			$f$ est convexe sur un intervalle $I$ si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle
			
			la dérivée de $f'$ est $f''(x)=(- 0,08x + 0,4)\text{e}^{0,2x-3}$ d'après la 3\up{ème} ligne du logiciel or $\text{e}^{0,2x-3}>0$ sur $[-20~;~20]$
			
			\vspace{0.5cm}
			sur $[-20~;~20]~,~f''(x)\geqslant 0 \equi - 0,08x + 0,4 \geqslant 0 \equi x \leqslant 5$
			
			On en déduit que $f$ est convexe sur $[-20~;~5]$
			\end{solution}
			
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

\begin{minipage}{\linewidth}
Une station de ski souhaite ouvrir une nouvelle piste au public. Le relief de cette piste est modélisé ci-dessous par la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie dans la partie A sur l'intervalle [0~;~10]. Le point B représente le départ de la nouvelle piste et le point A représente la station de ski où se trouve l'arrivée.
\end{minipage} 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.4)(11.5,6.1)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\pscurve(0,1.5)(1,1.7)(2,1.92)(3,2.2)(4,2.45)(5,2.7)(6,3)(7,3.25)(8,3.45)(9,3.6)(10,3.7)
\psline(10,0)(0,0)(0,1.5)
}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(11,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(11,6)
\pscurve(0,1.5)(1,1.7)(2,1.92)(3,2.2)(4,2.45)(5,2.7)(6,3)(7,3.25)(8,3.45)(9,3.6)(10,3.7)

\uput[ur](0,1.5){A} \uput[ur](10,3.7){B}
\uput[u](6.5,3.1){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{minipage}{\linewidth}
Le réel $x$ représente la distance horizontale, exprimée en km, depuis la station de ski et $f(x)$ représente l'altitude, exprimée en km.

On appelle pente de la piste au point $M$, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $M$. Par exemple, une pente de 15\,\% en un point de la piste correspond à un coefficient directeur de $\dfrac{15}{100} = 0,15$.
\end{minipage} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle dénivelé d'une piste de ski, la différence d'altitude entre le point de départ et le point d'arrivée de cette piste. Calculer le dénivelé de cette nouvelle piste. On arrondira le résultat au mètre. 

\begin{solution}
le dénivelé, en km, est donné par $f(10)-f(0)=\dfrac{10}{\text{e}}-\dfrac{30}{\text{e}^3}\approx 2,185$ donc le dénivelé de cette piste est de \np{2185} mètres environ

\end{solution}

\item La station de ski doit déterminer la difficulté de cette nouvelle piste en fonction de la pente. 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item La piste sera classée noire, c'est-à-dire très difficile, si au moins une portion de la piste a une pente supérieure ou égale à 40\,\%. 
\item La piste sera classée rouge, c'est-à-dire difficile, si au moins une portion de la piste a une pente strictement comprise entre 25\,\% et 40\,\% (et aucune portion avec une pente supérieure ou égale à 40\,\%). 
\item Si toutes les portions de la piste ont une pente inférieure ou égale à 25\,\% alors la piste sera classée bleue, c'est-à-dire facile. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Déterminer le niveau de difficulté de cette nouvelle piste. Justifier la réponse. 

\begin{solution}
Il s'agit donc ici d'étudier les variations de $f'(x)$ sur $[0~;~10]$ puisque la pente correspond au coefficient directeur de la tangente donc au nombre dérivé.

D'après la dernière question de la partie A, on peut déduire les variations de $f'$

\begin{center}
		\psset{unit=1cm}
		\begin{pspicture}(9,3.5)
		\psframe(9,3.5)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(0,3)(9,3)\psline(1,0)(1,3.5)
		\uput[u](0.5,2.9){$x$} \uput[u](1.4,2.9){$0$} \uput[u](5,2.9){$5$} \uput[u](8.5,2.9){$10$} 
		\rput(0.5,2.75){$f''(x)$}\rput(2.5,2.75){+} \rput(5,2.75){0}\rput(7,2.75){-}
		\uput[u](1.5,0){$4\text{e}^{-3} $}
		\uput[u](5,1.7){$2\text{e}^{-2}  $}
		\uput[u](8.5,0){$0 $}
		\rput(0.5,1){$f'(x)$}
		\psline{->}(2,0.3)(4.7,1.7)
		\psline{->}(5.3,1.7)(8,0.3)
		\end{pspicture}
		\end{center} 
		
$2\text{e}^{-2} \approx 0,27$ donc la pente maximale est de 27\% ce qui classe cette piste en piste rouge	car $25 < 27 < 40$ donc aucune portion de pente supérieure à 40\% et certaines portions dépasse 25\% de pente	 
\end{solution}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L} 

\medskip

\begin{minipage}{\linewidth}
La renouée du Japon est une plante à croissance très rapide et très invasive. 

Un jardinier souhaite faire disparaître de son terrain cette espèce qui occupe une superficie de 120 m$^2$ au 1\up{er} janvier 2017. Pour cela, chaque année au printemps, il procède à un arrachage qui permet de réduire de 10\,\% la superficie de terrain envahi l'année précédente. Cependant, cette espèce de plante ayant une puissance de dissémination très importante, de nouvelles pousses apparaissent chaque été et envahissent une nouvelle parcelle de terrain d'une superficie de 4~m$^2$.
\end{minipage}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la superficie de terrain envahi par cette plante au 1\up{er} janvier 2018. 

\begin{solution}
La surface envahie au 1\up{er} janvier 2017 était de 120~m$^2$, au printemps le jardinier en arache 10\% soit 12 m~$^2$ la plante envahie à nouveau 4~m$^2$

Au 1\up{er} janvier 2018, la surface envahie est de $120-12+4=112 \text{m}^2$
\end{solution}


On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente la superficie de terrain en m$^2$ envahi par la Renouée du Japon au 1\up{er} janvier de l'année $2017 + n$. 

La suite $\left(u_n\right)$ est donc définie par $u_0 = 120$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n + 1} = 0,9u_n + 4$. 
\item  Le jardinier souhaite connaître l'année à partir de laquelle il aura réduit au moins de moitié la superficie de terrain envahi par rapport au 1\up{er} janvier de l'année 2017. 

Recopier et compléter les lignes L1, L3, L4 et L7 de l'algorithme suivant afin qu'il détermine l'année souhaitée. 

\emph{On ne demande pas de faire fonctionner l' algorithme.}


\begin{solution}

\begin{center}\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|lX|}\hline 
L1&$U$ prend la valeur {\red 120}\\
L2 &$N$ prend la valeur 0 \\
L3 &Tant que {\red U > 60}\\ 
L4 &\hspace{0.4cm}$U$ prend la valeur {\red 0,9U+4}\\
L5 &\hspace{0.4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
L6 &Fin tant que \\
L7 &Afficher {\red 2017 + N}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\end{solution}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 40$. 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,9$ et préciser le premier terme. 
		
		\begin{solution}
		$\forall n \in \N~,~v_{n+1}=u_{n+1}-40=0,9u_n+4-40=0,9u_n-36=$
		
		$0,9\left(u_n-40 \right)=0,9v_n$
		
		$\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 0,9$ et de premier terme $v_0=u_0-40=80$.  
		\end{solution}
		
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$. 
		
		\begin{solution}
		$\forall n \in \N~,~v_{n}=v_0\times q^n=80\times 0,9^n$
		
		\end{solution}
		
		\item Justifier que $u_n = 80 \times  0,9^n + 40$ pour tout entier naturel $n$. 
		
		\begin{solution}
		$\forall n \in \N~,~u_{n}=v_n+40=80 \times  0,9^n + 40$
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation
		
		 $80 \times  0,9^n + 40 \leqslant  60$. 
		 
		 \begin{solution}
		 
		 	$80 \times  0,9^n + 40 \leqslant  60 \equi 0,9^n \leqslant 0,25$
		 	
		 	$\hphantom{80 \times  0,9^n + 40 \leqslant  60} \equi \ln\left( 0,9^n\right)  \leqslant \ln (0,25)$
		 	
		 	$\hphantom{80 \times  0,9^n + 40 \leqslant  60} \equi n \geqslant \dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,9)}$~~car $\ln(0,9)<0$
		 	
		 	or $\dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,9)}\approx 13,2$
		 	
		 	donc sur $\N~,~80 \times  0,9^n + 40 \leqslant  60 \equi n \geqslant 14$ 
		 \end{solution}
		 
		\item En déduire l'année à partir de laquelle la superficie envahie par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1\up{er} janvier de l'année 2017 .
		
		\begin{solution}
		On en déduit qu'à partir de 2031 (2017+14) la superficie envahie sera réduite au moins de moitié par rapport au début 2017
	
		\end{solution}
		 
	\end{enumerate}
\item Le jardinier arrivera-t-il à faire disparaître complètement la plante de son terrain ? Justifier la réponse. 

\begin{solution}
$\left|0,9 \right|<1$ donc \Lim{n}{+\infty}{0,9^n}=~0 et par opération sur les limites on a 

\Lim{n}{+\infty}{u_n}=~40 

Le jardinier ne pourra donc pas faire disparaître complétement la plante car la surface envahie se stabilisera au bout d'un certain temps à 40 m$^2$
\end{solution}

\end{enumerate}

\newpage

\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\begin{minipage}{\linewidth}
Un parti politique organise une élection en son sein pour désigner son candidat à l'élection présidentielle. Seuls les adhérents de ce parti peuvent voter à cette élection et ils ont le choix entre  deux candidats A et B. 

Pendant la campagne électorale, certains adhérents indécis changent d'avis. 

Un institut de sondage consulte chaque mois le même échantillon d'adhérents et recueille leurs intentions de vote. 

Il observe que l'évolution de l'état de l'opinion peut être modélisée de la façon suivante. 

Chaque mois : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 5\,\% des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat A le mois précédent changent d'avis et déclarent vouloir voter pour le candidat B. 
\item[$\bullet~~$] 3\,\% des adhérents ayant déclaré vouloir voter pour le candidat B le mois précédent déclarent vouloir voter pour le candidat A. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Au début de la campagne électorale, 65\,\% des adhérents déclarent vouloir voter pour le candidat A. On représente ce modèle par un graphe probabiliste $(\mathcal{G})$ de sommets A et B où : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ est l'évènement : \og l'adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A\fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $B$ est l'évènement :  \og l'adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Dans la suite de l'exercice, on note: 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité qu'un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat A, le $n$-ième mois après le début de la campagne. On a donc $a_0 = 0,65$ . 
\item[$\bullet~~$] $b_n$ la probabilité qu'un adhérent déclare vouloir voter pour le candidat B, le $n$-ième mois après le début de la campagne. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n \end{pmatrix}$ l'état probabiliste correspondant aux intentions de vote le $n$-ième mois après le début de la campagne. On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,65& 0,35\end{pmatrix}$. 

\end{minipage}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner le graphe probabiliste $(\mathcal{G})$ de sommets A et B. 
		
		\begin{solution}
		
		\hspace*{3cm}
		\begin{pspicture}(-1.5,-0.8)(6,1.2)
		\Rnode{A}{$A$} \hskip 4cm \Rnode{B}{$B$}%définition des sommets
		\psset{nodesep=4pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%   paramètres
		\ncarc{->}{A}{B} \Aput{0,05}%                    arc
		\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,03}%                    arc
		\nccircle[angleA=90]{->}{A}{4mm}   \Bput{0,95}%     boucle
		\nccircle[angleA=-90]{<-}{B}{.4cm} \Bput{0,97}%  boucle 
		\end{pspicture}
		
		
		\end{solution}
		
		\item Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
		
		\begin{solution}
		
		$M= \begin{pmatrix}
		0,95&0,05\\0,03&0,97
		\end{pmatrix}$
		
		\end{solution}
		 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que $P_1 = \begin{pmatrix}0,628& 0,372\end{pmatrix}$. 

\begin{solution}
par définition on a $P_1=P_0M$ avec $P_0=\begin{pmatrix}0,65& 0,35\end{pmatrix}$ et $M= \begin{pmatrix}
		0,95&0,05\\0,03&0,97
		\end{pmatrix}$
		
		donc on a bien $P_1 = \begin{pmatrix}0,628& 0,372\end{pmatrix}$


\end{solution}

\newpage
\item On note $P = \begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}$ l'état stable associé à ce graphe.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
0,05a - 0,03b& = &0\\
\phantom{0,05}a + \phantom{0,05}b&=&1
\end{array}\right..\]

\begin{solution}
$P = \begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix}$ est l'état stable si et seulement si $\left\{\begin{array}{l c l}
PM& = &P\\
a+b&=&1
\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l c l}
PM& = &P\\
a+b&=&1
\end{array}\right. \equi \left\{\begin{array}{l c l}
0,95a+0,03b& = &a\\
0,05a+0,97b&=&b\\
\phantom{0,05}a+\phantom{0,97}b&=&1
\end{array}\right. $

$\hphantom{\left\{\begin{array}{l c l}
PM& = &P\\
a+b&=&1
\end{array}\right.}\equi \left\{\begin{array}{l c l}
-0,05a+0,03b& = &0\\
\phantom{-}0,05a-0,03b&=&0\\
\phantom{-0,05}a+\phantom{0,97}b&=&1
\end{array}\right. $

$\hphantom{\left\{\begin{array}{l c l}
PM& = &P\\
a+b&=&1
\end{array}\right.}\equi \left\{\begin{array}{l c l}
0,05a - 0,03b& = &0\\
\phantom{0,05}a + \phantom{0,05}b&=&1
\end{array}\right.$

\end{solution}
 
\item Résoudre le système précédent. 

\begin{solution}

$\left\{\begin{array}{l c l}
0,05a - 0,03b& = &0\\
\phantom{0,05}a + \phantom{0,05}b&=&1
\end{array}\right. \equi \left\{\begin{array}{l c l}
5a - 3b& = &0\\
\phantom{5a + 3}b&=&1-a
\end{array}\right.$

$\hphantom{\left\{\begin{array}{l c l}
0,05a - 0,03b& = &0\\
\phantom{0,05}a + \phantom{0,05}b&=&1
\end{array}\right.}\equi \left\{\begin{array}{l c l}
5a - 3(1-a)& = &0\\
\phantom{5a - 3(1-)}b&=&1-a
\end{array}\right.$

$\hphantom{\left\{\begin{array}{l c l}
0,05a - 0,03b& = &0\\
\phantom{0,05}a + \phantom{0,05}b&=&1
\end{array}\right.}\equi \left\{\begin{array}{l c l}
a& = &0,375\\
b&=&0,625
\end{array}\right.$
\end{solution}

\item Interpréter dans le contexte de l'exercice la solution obtenue à la question \textbf{3. b.}

\begin{solution}

Au bout d'un certain nombre de mois, la probabilité qu'un adhérent déclare voter pour le candidat A se stabilisera à 0,375 

donc le candidat A peut espérer 37,5\% des voix et B peut en espérer 62,5\% 
\end{solution}
 
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+ 1} = 0,92a_n + 0,03$. 
		
		\begin{solution}
		$\forall n \in \N~,~P_{n+1}=P_nM$ soit $\left(a_{n+1}~~~~b_{n+1} \right)=\left(a_n~~~~b_n \right)\times \begin{pmatrix}
				0,95&0,05\\0,03&0,97
				\end{pmatrix}$
				
				  donc  $a_{n+1}=0,95a_n+0,03b_n=0,95a_n+0,03\left(1-a_n \right)$
		
		On a donc bien $\forall n \in \N~,~a_{n+ 1} = 0,92a_n + 0,03$ 
		\end{solution}
		
		\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 
		
		$v_n = a_n - 0,375$. 

Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,92$ et préciser le premier terme. 

\begin{solution}

$\forall n \in \N~,~v_{n+1}=a_{n+1}-0,375$

$\hphantom{\forall n \in \N~,~v_{n+1}}=0,92a_n + 0,03-0,375$

$\hphantom{\forall n \in \N~,~v_{n+1}}=0,92a_n-0,345$

$\hphantom{\forall n \in \N~,~v_{n+1}}=0,92\left(a_n-0,375 \right)$

$\hphantom{\forall n \in \N~,~v_{n+1}}=0,92v_n$
		
		$\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 0,92$ et de premier terme $v_0=a_0-0,375=0,275$.
\end{solution}

		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire que : $a_n = 0,275 \times  0,92^n + 0,375$. 
		
		\begin{solution}
		$\forall n \in \N~,~v_n=v_0\times q^n=0,275\times 0,92^n$ or $v_n=a_n-0,375$ soit 
		
		$a_n = v_n+0,375$
		
		on en déduit $\forall n \in \N~,~a_n = 0,275 \times  0,92^n + 0,375$
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\item La campagne électorale dure 11~mois. Si la modélisation de l'institut de sondage est valable, quel candidat sera probablement élu ? Justifier la réponse.

\begin{solution}
$a_{11}=0,275 \times  0,92^{11} + 0,375 \approx 0,48$

Donc les intentions de votes seraient de 48\% pour le candidat A au bout de 11 mois donc le candidat B serait probablement élu
\end{solution}
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats } 

\medskip

\begin{minipage}{\linewidth}
Une base nautique propose la location de différentes embarcations pour visiter les gorges du Verdon. Les touristes peuvent louer des kayaks, des pédalos ou des bateaux électriques, pour une durée de 1 heure ou 2 heures.
\end{minipage} 

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Une étude statistique met en évidence que : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 40\,\% des embarcations louées sont des pédalos; 
\item[$\bullet~~$] 35\,\% des embarcations louées sont des kayaks ; 
\item[$\bullet~~$] les autres embarcations louées sont des bateaux électriques; 
\item[$\bullet~~$] 60\,\% des pédalos sont loués pour une durée de 1 heure; 
\item[$\bullet~~$] 70\,\% des kayaks sont loués pour une durée de 1 heure; 
\item[$\bullet~~$] la moitié des bateaux électriques sont loués pour une durée de 1 heure. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}
\smallskip

On interroge au hasard un touriste qui vient pour louer une embarcation. On note $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ les évènements suivants : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og l'embarcation louée est un pédalo\fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $B$ : \og l'embarcation louée est un kayak\fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $C$ :\og l'embarcation louée est un bateau électrique\fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $D$ :\og l'embarcation est louée pour une durée de 1 heure\fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $E$ : \og l'embarcation est louée pour une durée de 2 heures \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre pondéré. 

\begin{solution}

\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\small $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{\small $0,6$}
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\tbput{\small $0,4$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\taput{\small $0,35$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{\small $0,7$}
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\tbput{\small $0,3$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\tbput{\small $0,25$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{\small $0,5$}
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\tbput{\small $0,5$}
}
}
\end{center}

\end{solution}

\newpage
\item Calculer la probabilité $p(A \cap E)$. 

\begin{solution}

$p(A \cap E)=p(A)\times p_A(E)=0,4\times 0,4=0,16$
\end{solution}

\item Montrer que la probabilité que l'embarcation soit louée pour une durée de 2 heures est égale à $0,39$. 

\begin{solution}
On cherche $p(E)$

$A~,~B~\text{et}~C$ forment une partition de l'univers donc d'après les probabilités totales on a :

$p(E)=p(A \cap E)+p(B \cap E)+p(C \cap E)$

$\hphantom{p(E)}=0,16+p(B)\times p_B(E)+p(C)\times p_C(E)$

$\hphantom{p(E)}=0,16+0,105+0,125=0,39$
\end{solution}

\item Sachant que l'embarcation a été louée pendant 2 heures, quelle est la probabilité que ce soit un bateau électrique ? Arrondir le résultat au centième. 

\begin{solution}
On cherche $p_E(C)$

$p_E(C)=\dfrac{p(E \cap C)}{p(E)}=\dfrac{0,125}{0,39}\approx 0,32$
\end{solution}

\item La base nautique pratique les tarifs suivants : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|X|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
							&1 heure   	&2 heures   \\ \hline   
Pédalo   				&15 \euro  	&25 \euro\\ \hline     
Kayak   				&10 \euro  	&16\euro \\ \hline    
Bateau électrique	&35 \euro	&   60\euro\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
     
 En moyenne, 200 embarcations sont louées par jour. Déterminer la recette journalière que peut espérer la base nautique. 
 
 \begin{solution}
 On choisit une embarcation au hasard. Soit $T$ la variable aléatoire donnant le tarif de location de cette embarcation.
 
 On détermine alors la loi de probabilité de $T$ puis son espérance que l'on multiplie enfin par 200
 
 
  $p(T=15)=p(A \cap D)=0,24$~,~$p(T=10)=p(B \cap D)=0,245$ ...  on obtient le tableau suivant:
  
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|X|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$							&10 \euro & 15 \euro    	& 16 \euro & 25 \euro & 35 \euro & 60 \euro \\ \hline
événement & $B\cap D$ & $A\cap D$ & $B\cap E$ & $A\cap E$ & $C\cap D$ & $C\cap E$ \\ \hline   
$p(T=t_i)$   				& 0,245 & 0,24& 0,105 & 0,16 & 0,125& 0,125 \\ \hline     

\end{tabularx}
\end{center}  

$E(T)=10\times 0,245 +15\times 0,24 +16\times 0,105 +25\times 0,16 +35\times 0,125 +60\times 0,125 =23,605$

Ce qui représente le tarif moyen de location d'une embarcation 

donc la recette espérée pour 200 embarcations est de $200 \times 23,605=\np{4721}$~\euro


 \end{solution}
 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

\emph{Dans cette partie les résultats seront arrondis au millième}

\medskip 

Les bateaux électriques sont équipés d'une batterie d'une autonomie moyenne de 500 minutes.

 Les batteries des bateaux sont rechargées uniquement à la fin de chaque journée d'utilisation. 

On note $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de fonctionnement de la batterie d'un bateau, exprimée en minutes. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 500$ et d'écart-type $\sigma = 10$. 

\medskip

\newpage

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, calculer $p(490 < X < 520)$. 

\begin{solution}
$p(490 < X < 520)\approx 0,819$
\end{solution}

\item Chaque jour, les bateaux sont utilisés pendant une durée de 8~heures sans être rechargés. 

Déterminer la probabilité que la batterie d'un bateau soit déchargée avant la fin de la journée. 

\begin{solution}
La batterie du bateau sera déchargée si son temps de fonctionnement est inférieur ou égal à son temps d'utilisation. On cherche donc $p(X \leqslant 480)$

$p(X \leqslant 480)\approx 0,023$.
\end{solution}

\item Déterminer l'entier $a$ tel que $p(X < a) \approx 0,01$.

 Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. 
 
 \begin{solution}
 En utilisant la calculatrice on trouve $a\approx 477$.
 
 Donc la probabilité qu'une batterie soit déchargée 3 minutes avant la fin des 8~h d'utilisation est d'environ 0,01.
 
 On peut donc considérer que 1\% des batteries cesseront de fonctionner 3 minutes avant la fin de la journée.
 \end{solution}
 
\end{enumerate}

\end{document}