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% Tapuscrit René ROUX 
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\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Centres Étrangers}}
\rfoot{\small juin 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{AmNord}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Terminale ES/L -- Centres Étrangers juin 2019
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip
\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
	\item L'arbre pondéré ci-dessous illustre cette situation :

\begin{center}
	\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,treesep=1.25cm]{\TR{}}
	{
		\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B$}\naput{$0,7$}}
		{ 
			\TR{$A$}\naput{$0,35$}
			\TR{$\overline{A}$}\nbput{\red{$1-0,35=0,65$}}	   
		}
		\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{B}$}\nbput{\red{$1-0,7=0,3$}}}
		{ 
			\TR{$A$}\naput{$0,55$}
			\TR{$\overline{A}$}\nbput{\red{$1-0,55=0,45$}}	   
		}
	}
	\bigskip
\end{center}
	\item D'après la formule des probabilités totales,\\
	$P(A)=p(A\cap B)+P\left(A\cap\overline{B}\right)= p(B)\times P_B(A) + P\left(\overline{B}\right) \times P_{\overline{B}}(A) = 0,7\times 0,35 + 0,3\times 0,55 = 0,41$
	\item D'après la formule de Bayes, $P_A(B)=\dfrac{P(B\cap A)}{p(A)}=\dfrac{0,7\times 0,35}{0,41}\approx 0,598 > 0,5$.
	
Donc le directeur proposera la location de l'audioguide sur le site internet.
\end{enumerate}

\medskip
\begin{flushleft}
	\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

\begin{enumerate}

	\item $T\sim \mathcal{N}\left(10~;~2^2\right)$.
	
$P(T\leqslant 6)=P(T\leqslant 10)-P(6 \leqslant T \leqslant 10)=0,5-P(6 \leqslant T \leqslant 10)\approx 0,023$.
	\item $P(6 \leqslant T \leqslant 14)= P(\mu-2\sigma \leqslant T \leqslant \mu+2\sigma)\approx 0,954$.
	\item $P(T \geqslant a)=0,25 \iff 1-P(T \leqslant a)=0,25 \iff P(T \leqslant a)=0,75$
	
À l'aide de la calculatrice, en inversant la loi normale, on trouve : $a\approx 11,35$.

25 \% des visiteurs passe plus de $11,35$ minutes dans le magasin.
	\item $n = 720$ et $p = 0,25$. On vérifie les trois conditions : $n\geqslant 30$ ; $np=180\geqslant 5$ et $n(1-p)=540\geqslant5$.
	
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 \% est : $I_{n}= \left [ p-1,96 \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,;\, p+1,96 \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\strut\right ]$.

Ainsi : $ I_{720}=\left[0,25-1,96\sqrt{\dfrac{0,25\times 0,75}{720}}\,;\,0,25+1,96\sqrt{\dfrac{0,25\times 0,75}{720}}\strut\right] \approx [0,218\,;\,0,282]$.

La fréquence observée est égale à : $f=\dfrac{161}{720}\approx 0,224$. Et $f\in I_{720}$. Donc le résultat du contrôle ne remet pas en question
	l’hypothèse.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip
\begin{enumerate}
	\item L'intervalle de confiance au seuil des 95 \% est : $I_n=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\strut \right]$\\
	Avec $n=3000$ et $f=\dfrac{817}{3000}$, on obtient $I_{3000}\approx [0,254\,;\,0,291\strut]$ \hfill \textbf{Réponse D}
	\item On calcule les 36 \% de \np{4200} : $0,36\times \np{4200}=1512$ \hfill \textbf{Réponse B}
	\item L'algorithme permettant de répondre au problème est un algorithme de seuil, ici fixé à \np{30000} :
	\begin{center}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
		\begin{tabular}{|l|}
			\hline
			$A \gets 150$\\
			$N \gets 1$\\
			Tant que $A \leqslant \np{30000}$ faire \hspace*{1cm}\\
			\hspace*{1cm} $A\gets 2\times A$\\
			\hspace*{1cm} $N \leftarrow N+1$\\
			Fin tant que\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	\hfill \textbf{Réponse B}
	\item La variable donnant le temps d'attente $T$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $[1\,;\,10\strut]$.\\
	Ainsi $P(T\geqslant 5)=P(5 \leqslant T \leqslant 10)=\dfrac{10-5}{10-1}=\dfrac{5}{9}$	\hfill \textbf{Réponse D}
\end{enumerate}


\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Ce graphe n'est pas complet car tous les sommets ne sont pas reliés entre eux : par exemple les sommets $M$ et $P$ ne sont pas reliés.
		\item Ce graphe est connexe car on peut relier, directement ou non, n'importe quel sommet à n'importe quel autre sommet du graphe par une chaine.
	\end{enumerate}
	\item Le tableau suivant donne les degrés des différents sommets :
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 
			Sommet&E&F&M&P&R&V\\ \hline 
			Degré&4&4&2&4&3&3\\ \hline 
		\end{tabular}
	\end{center}
Il y a donc deux sommets de degré impair : il existe donc une chaine eulérienne ayant comme point de départ et point d'arrivée les points R et V (ou V et R).

Exemple : R -- E -- M -- F -- E -- P -- R -- V -- P -- F -- V. 
	\item
	\begin{enumerate}
		\item La matrice d'adjacence est une matrice carré de dimension 6 et symétrique car le graphe n'est pas orienté. Elle se construit en mettant 0 si les sommets ne sont pas reliés, et 1 s'ils le sont.\\
		On obtient donc : $N=\begin{pmatrix}	0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\	1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$
		\item La matrice $N^3$ permet de déterminer le nombre de chemins de longueur 3 reliant les différents sommets. Si on veut relier les sommets E et V, on lit le coefficient ligne 1 colonne 6 (ou ligne 6 colonne 1) : ici on trouve 5. Il y a donc 5 chemins de longueur 3 reliant E et V.
	\end{enumerate} 
\newpage 

	\item
	 Pour déterminer le trajet le plus rapide pour aller de $R$ vers $M$, on utilise l'algorithme de Dijkstra.
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|*{7}{c|}}\hline 
		$E$				&  $F$  		&    $M$ 		&  $P$			&  $R$		&   $V$  			& Sommet choisi \\ \hline
		5 ($R$)			&  $\infty$  	& $\infty$ 		& 	4 ($R$) 	& 0			&  10 ($R$) 	 	& $P$ (4)  \\ \hline 
		5 ($R$)			&	11 ($P$)	& $\infty$		& 				& 			&  \sout{10 ($R$)}	& $E$ (5) \\
		\sout{7 ($P$)} 	&				&				&				&			& 9 ($P$)			&			\\ \hline
						& \sout{11 ($P$)}& 13 ($E$)		& 				&			& 9 ($P$)			& $V$ (9) \\
						&	11 ($E$)	&				&				&			&					&		\\ \hline	
						&	\sout{11 ($E$)}& 13 ($E$)	&				&			&					& $F$ (10)		\\
						&	10 ($V$)	&				&				&			&					&		\\ \hline
						&				&\sout{13 ($E$)}&				&			&					& $M$ (12)	\\
						&				&	12 ($F$)	&				&			&					&	\\ \hline

			\end{tabular}	
		\end{center} 
		
		
		Le trajet le plus court de $R$ à $M$ est de longueur 12 :
		$R$ $\stackrel{4}{\longrightarrow}$ 
		$P$ $\stackrel{5}{\longrightarrow}$ 
		$V$ $\stackrel{1}{\longrightarrow}$
		$F$ $\stackrel{2}{\longrightarrow}$ $M$.
	\end{enumerate}
	
\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item $u_1=150\times 0,8+35=155$. Au 1\up{er} juillet 2019, le loueur aura 155 vélos.
		\item Le terme $u_n$ correspond au nombre de vélos l'année $(2018+n)$, $u_{n+1}$ le nombre de vélos l'année suivante. D'une année à l'autre il vend 20 \% de son stock, il lui en reste donc 80 \% soit $0,8\times u_n$. Puis il ajoute 35 nouveaux vélos. Donc il aura l'année suivante $0,8\times u_n+35$.
		
Ainsi $\forall n\in \N$, $u_{n+1}=0,8u_n+35$ 
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans la cellule $B3$, il faut saisir :  $=0,8*\text{B}2+35$
		\item Le tableau donnant les termes de la suite pour $n$ allant de 38 à 42 permet de conjecturer que\\
		$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=175$
	\end{enumerate}
	 \item On pose $\forall n\in \N$, $v_n=u_n-175$
	 \begin{enumerate}
	 	\item $\forall n\in \N$, $v_{n+1}=u_{n+1}-175=0,8u_n+35-175=0,8u_n-140=0,8\left(u_n-\dfrac{140}{0,8}\strut\right)=0,8(u_n-175)=0,8v_n$\\
	 	Donc la suite $(v_n)$ est la suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-175=-25$
	 	\item $\forall n\in \N$, $v_n=v_0\times q^n=-25\times 0,8^n$.
		
De plus $\forall n\in \N$, $u_n=v_n+175=-25\times 0,8^n+175$.
	 	\item La suite géométrique $(v_n)$ a pour raison $q=0,8$. $q\in]-1\,;\,1[$ donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,8^n = 0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=0$.
		
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n+175=0+175=175$.
	 \end{enumerate} 
 	\item $u_n\geqslant 170 \iff -25\times 0,8^n+175\geqslant 170 \iff -25\times 0,8^n\geqslant -5 \iff 0,8^n \leqslant \dfrac{-5}{-25} \iff \ln\left(0,8^n \right)\leqslant \ln\left(\dfrac{1}{5}\right)$.
	
$\iff n\times \ln(0,8)\leqslant \ln\left(\dfrac{1}{5}\right) \iff n\geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{5}\right)}{\ln(0,8)}$ car $\ln(0,8)<0$. $\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{5}\right)}{\ln(0,8)}\approx 7,21$ donc $n\geqslant 8$\\
 	Au bout de 8 années, soit le 1\up{er} juillet 2026, le loueur possèdera plus de 170 vélos dans son stock.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
	\item $f(0)=2$ (point $A(0\,;\,2)$) et $f(2)=0$ (point $B(2\,;\,0)$).
	\item  Au point d'abscisse la tangente à $\mathcal(C)_f$ est horizontale donc $f'(1)=0$.
	\item La tangente à $\mathcal(C)_f$ est la droite $(AC)$. Son équation est de la forme : $y=m\,x+p$.
	
$m=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{0-2}{-2-0}=1$ et $p=y_A-m\times x_A=2-1\times 0=2$.

L'équation de la tangente à $\mathcal(C)_f$ au point A a pour équation : $y = x + 2$.
	\item À l'aide du graphique, on peut affirmer que sur l'intervalle $[-10\,;\,2\strut]$ l'équation $f(x)=1$ admet deux solutions distinctes l'une positive, l'autre négative.
	\item La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[-10\,;\,1\strut]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[1\,;\,2\strut]$.
	\item La tangente à $\mathcal(C)_f$ au point d'abscisse 0 (point $A$) coupe la courbe : le point $A$ est donc un point d'inflexion. La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-10\,;\,0\strut]$ et concave sur $[0\,;\,2\strut]$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item $I = \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\:\text{d}x$. Le domaine dont l'aire correspond à I est : 
		\begin{center}
			\scalebox{1.2}{
				\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 3}
				\def\xmin {-5.5}   \def\xmax {3}
				\def\ymin {-1.2}   \def\ymax {4}
				\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
				\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=2,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)

				\psaxes[ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,110][$y$,-10] 
				\def\f{x neg 2 add 2.7183 x exp mul}                           % définition de la fonction
				\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt]      % aire hachurée
				{
					\psplot{0}{2}{\f} 
					\psplot{0}{0}{0}
					\closepath % indispensable !
				}
				\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{-10}{2}{\f}
				\uput[ur](2,2.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
				\uput{8pt}[dl](0,0){$0$}
				%\psframe[hatchcolor=blue,hatchwidth=0.02,fillstyle=vlines](0,0)(2,2)
				%\psframe[hatchcolor=red,hatchwidth=0.02,fillstyle=hlines](0,0)(2,3)
				\end{pspicture*}
			}%%% fin du scalebox
		\end{center}
	
	
	
	\item Il faut remarquer qu'une unité d'aire correspond à 4 petit carreaux. En comptant ces petits carreaux, puis en divisant par 4, on peut conjecturer que  $4 \leqslant I \leqslant 5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip 

\begin{flushleft}
	\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
	\item $f(0)=(2-0)\e^0=2$ et $f(2)=(2-2)\e^2=0$
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ est continue et dérivable sur $[-10\,;\,2\strut]$. En utilisant la formule de la dérivée d'un produit, et en posant $u(x)=2-x$ et $v(x)=\e^x$, \\
		$\forall x \in [-10\,;\,2\strut]$, $f'(x)=-1\times \e^x+(2-x)\times \e^x=\e^x\times(-1+2-x)=\e^x(-x+1)=(-x+1)\e^x$
		\item $f'(1)=(-1+1)\e^1=0$
	\end{enumerate}
	\item L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 a pour équation : $y=f'(0)(x-0)+f(0)$\\
	Or $f'(0)=(-0+1)\e^0=1$ et $f(0)=(2-0)\e^0=2$ donc l'équation de la tangente est $y=1\times (x-0)+2=x+2$
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\forall x \in [-10\,;\,2\strut]$, $\e^x>0$ donc $f'(x)$ a le même signe que $-x+1$\\
		Le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle  $[-10\,;\,2]$ est :
		
		\begin{center}
			{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
				\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
				\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
				\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
				$\begin{array}{|c|*5{c}|}\hline
				x & -10  & \esp & 1 & \esp & 2 \\ \hline
				f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline
				& &  &   \Rnode{max}{\e}  &  &   \\  
				f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
				& \Rnode{min1}{12\e^{-10}} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
				\ncline{->}{min1}{max} 
				\ncline{->}{max}{min2} \\ \hline
				\end{array} $
			}
		\end{center}
	$f(-10)=12\e^{-10}\approx 0,0005$ \hfill $f(1)=(2-1)\e^1=\e\approx 2,72$ \hfill $f(2)=0$
	\item Il faut appliquer deux fois le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI):
	\begin{itemize}
		\item la fonction $f$ est continue ee strictement croissante sur $[-10\,;\,1]$. Or $1\in [12\e^{-10}\,;\,\e]$, donc d'après le corollaire du TVI, l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution dans l'intervalle $[-10\,;\,1]$.
		
À l'aide de la calculatrice, $\alpha \approx -1,15$
		\item la fonction $f$ est continue ee strictement décroissante sur $[1\,;\,2]$. Or $1\in [0\,;\,\e]$, donc d'après le corollaire du TVI, l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution dans l'intervalle $[1\,;\,2]$.
		
À l'aide de la calculatrice, $\beta \approx 1,84$
	\end{itemize} 
Donc en conclusion l'équation $f(x)=1$ admet deux solution sur l'intervalle $[-10\,;\,2]$
	\end{enumerate}
	\item La dernière ligne du tableau nous donne la dérivée seconde de la fonction $f$.
	
Ainsi, $\forall x \in [-10\,;\,2\strut]$, $f''(x)=-x\e^x$.
	
$\forall x \in [-10\,;\,2\strut]$, $\e^x>0$ donc $f''(x)$ a le même signe que $-x$.

Le tableau suivant, permet d'étudier la convexité de la fonction $f$ :
			\begin{center}
		{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
			\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
			\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
			\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
			$\begin{array}{|c|*5{c}|}\hline
			x & -10  & \esp & 0 & \esp & 2 \\ \hline
			f''(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline
			\text{Convexité de }f & & \text{convexe}     &  & \text{concave}  &   \\ \hline
			\end{array} $
		}
	\end{center}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $F$ est continue et dérivable sur $[-10\,;\,2\strut]$.  En utilisant la formule de la dérivée d'un produit, et en posant $u(x)= 3 - x$ et $v(x) = \e^x$,
		
$\forall x \in [-10\,;\,2\strut]$, $F'(x)=-1\times \e^x+(3-x)\times \e^x=\e^x\times (-1+3-x)=\e^x(2-x)=f(x)$.

La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10\,;\,2\strut]$.
		\item $I=\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\:\text{d}x=\left[F(x)\strut\right]_0^2=F(2)-F(0)=(3-2)\e^2-(3-0)\e^0=e^2-3\approx 4,39$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0.5cm}
%
%\textbf{Exercice 3 \hfill  6 points}
%
%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

%\begin{enumerate}
%	\item La fonction $f$ est continue et dérivable sur $\left [ -4~;\, 10\strut\right ]$. En utilisant la formule de la dérivée d'un produit, on obtient
% $\forall x \in \left [ -4~;\, 10\strut\right ]$,
%$f'(x)=0+(-8x+10)\e^{-0.5x}+(-4x^2-10x+8)\times -0,5\e^{-0,5x} =$
%
%$	\e^{0,5x}\left[-8x+10-0,5(-4x^2-10x+8)\right] = \e^{-0,5x}(-8x-10+2x^2+5x-4)=(2x^2-3x-14)\e^{-0,5x}$.
%	\item $\forall x \in \left [ -4~;\, 10\strut\right ]$ , $\e^{-0,5x}>0$ donc $f'(x)$ a le même signe que $2x^2-3x-14$.
%	
%Ce trinôme du second degré a pour solutions $\left(\Delta = 121 = 11^2  > 0\right)$ : $x_1 = \dfrac{3 + 11}{4} = \dfrac{7}{2}$ et $x_2 = \dfrac{3 - 11}{4} = - 2$.
%
%Calculs des valeurs exactes des valeurs intervenant dans le tableau de variation :
%
%$f(-4)=1+(-4\times(-4)^2-10\times (-4)+8)\e^{-0,5\times -4}=1-16\e^{2}\approx -117,2<0$
%
%$f(-2)=1+(-4\times(-2)^2-10\times (-2)+8)\e^{-0,5\times -2}=1+12\e \approx 33,6>0$
%
%$f\left(\dfrac{7}{2}\right)=1+\left(-4\times\left(\dfrac{7}{2}\right)^2-10\times \left(\dfrac{7}{2}\right)+8\right)\e^{-0,5\times \frac{7}{2}}=1-76\e^{-\frac{7}{4}} \approx -12,2< 0$.
%	
%$f(10)= 1+(- 4\times(10)^2-10\times (10)+8)\e^{-0,5\times 10}=1-402\e^{-5} \approx -1,7<0$
%	
%Le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle  $\left [ -4~;\, 10\strut\right ]$ est : 
%	
%		\begin{center}
%		{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
%			\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
%			\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
%			\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
%			$\begin{array}{|c|*7{c}|}\hline
%			x & -4  & \esp & -2 & \esp & \frac{7}{2} & \esp & 10\\ \hline
%			f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} &\vline\hspace{-2.7pt}0 & + &\\ \hline
%			& &  &   \Rnode{max1}{1+12\e}  &  &  & & \Rnode{max2}{1-402\e^{-5}} \\  
%			f(x) & &     &  &  &   & &\rule{0pt}{\hauteur} \\ 
%			& \Rnode{min1}{1-16\e^2} &   &  &  &   \Rnode{min2}{1-76\e^{-\dfrac{7}{4}}} \rule{0pt}{\hauteur} & &  
%			\ncline{->}{min1}{max1} 
%			\ncline{->}{max1}{min2}
%			\ncline{->}{min2}{max2} \\ \hline
%			\end{array} $}
%	\end{center}
%	\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Sur l'intervalle $\left [ -4~;\, -2\strut\right ]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante. Or $0\in \left [ 1-16\e^2~;\, 1+12\e \strut\right ]$. Donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, dans l'intervalle $\left [ -4~;\, -2\strut\right ]$.\\
%
%		\item Tableau complété :\\
%		
%		\begin{center}
%		\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%		\begin{tabular}{|*7{c|}}
%		\hline
%		 & $m$ & signe de $p$ & $a$ & $b$ & $b-a$ & $b-a>10^{-1}$\\
%		 \hline
%		 Initialisation & \cellcolor{lightgray!40} & \cellcolor{lightgray!40} & $-4$ & $-2$ & $2$ & VRAI\\
%		 \hline
%		 \parbox[c]{3.2cm}{\centering Après le 1\ier{} passage\\ dans la boucle} & $-3$\rule[-12pt]{0pt}{30pt} & Négatif & $-4$ & $-3$ & $1$ & VRAI\\
%		 \hline
%		 \parbox[c]{3.5cm}{\centering Après le 2\ieme{} passage\\ dans la boucle} & \red{$-3,5$} \rule[-12pt]{0pt}{30pt}&\red{Positif} & \red{$-3,5$}  &\red{$-3$}  &\red{$0,5$}  & \red{VRAI} \\
%		 \hline
%		\end{tabular}
%		\end{center}
%	\item Cet algorithme est une algorithme de dichotomie. Il permet d'obtenir un encadrement de la solution de l'équation $f(x)=0$ dans l'intervalle $[a\,;\,b]$. On peut donc affirmer que $-3,1875<\alpha<-3,125$.\\
%	À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx -3,1511$
%	\end{enumerate}
%	\item 	La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left [ -4~;\, 10\strut\right ]$ se calcule avec la formule :
%	
%$\overline{f}=\dfrac{1}{10-(-4)}\displaystyle\int_{-4}^{10} f(x)\:\text{d}x = \overline{f}=\dfrac{1}{10-(-4)}\displaystyle\int_{-4}^{10} f(x)\:\text{d}x=\dfrac{1}{14}\left[F(x)\strut\right]_{-4}^{10}=\dfrac{1}{14}\left[\left(10+1408\e^{-5}\right)-\left(-4+8\e^{2}\right)\right] = \dfrac{-8\e^{2}+1408\e^{-5}+14}{14}\approx -2,54$	
%\end{enumerate}




%\begin{enumerate}
%	\item La fonction $u$ somme de fonctions continues est continue et dérivable sur $\left ] 0~;\, +\infty\strut\right [$. 
%	
%$\forall x\in\left ] 0~;\, +\infty\strut\right [$, $u'(x) =\dfrac{3}{x}-2$.
%
%Donc $u'(1) = 1$ et d'autre part $u(1)= - 1$.
%
%Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_u$ au point d'abscisse 1 a pour équation :
%
%$y - f(1)= u'(1)(x - 1)$, soit $y + 1 =  x-1$ ou $y = x - 2$. \hfill \textbf{Affirmation 1 : Vraie}
%	\item La fonction $\ln$ est une fonction strictement croissante sur $]0~;~+ \infty[$, donc en particulier $\forall x\in \left [\e~;\, \e^2\strut\right ]$,
%$x\geqslant \e \iff \ln(x) \geqslant  \ln(\e) \iff \ln(x)\geqslant 1 \iff \dfrac{1}{\text{e}^2}\ln (x) \geqslant \dfrac{1}{\e^2}$, donc $f(x)\geqslant \dfrac{1}{\e^2} > 0$. Donc la fonction $f$ est positive sur $\left [\e~;\, \e^2\strut\right ]$.
%
%La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $\left [\e~;\, \e^2\strut\right ]$
%
%La fonction $F$ définie pour tout $x$ appartenant à $\left [\e~;\,\e^2\strut\right]$ par $F(x) = \dfrac{1}{\e^{2}} (\ln(x)-x)$ est une primitive de $f$ d'après l'indication.
%
%Or $\displaystyle\int_{\e}^{\e^2} f(x)\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{\e^{2}} (x\ln(x) - x)\right]_{\e}^{\e^2} =
%\dfrac{1}{\e^{2}}\left((\e^2\ln(\e^2)-\e^2)- (\e\ln(\e)-\e)\right) =$
%
%$\dfrac{1}{\e^{2}}((2\e^2\ln(\e)-\e^2)-(\e-\e)) = \dfrac{1}{\e^{2}}((2\e^2-\e^2)-\e +\e)) = \dfrac{1}{\e^{2}} \times \e^2 = 1$.
%
%$\bullet~~$$f$ est une fonction positive et continue ;
%
%$\bullet~~$  $f$ a pour intégrale sur l'intervalle $\left [\e~;\,\e^2\strut\right]$, 1.
%  
%Conclusion $f$ est une fonction de densité sur $\left [\e~;\, \e^2\strut\right ]$ \hfill \textbf{Affirmation 2 : Vraie}
%	\item La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=3\e^{-2x+1}$ est continue. Elle admet donc des primitives sur $\R$.\\
%	Si $G$ est une primitive de $g$ sur $\R$ alors $\forall x\in\R$, $G'(x)=g(x)$.\\
%	$\forall x\in\R$, $G'(x)=-6\times -2\e^{-2x+1}=-12\e^{-2x+1}\neq g(x)$.\\
%	La fonction $G$ n'est pas une primitive de la fonction $g$. \hfill \textbf{Affirmation 3 : Fausse}
%	\item La fonction $h$ est continue et dérivable sur $\left [ -8~;\, -0,75\strut\right ]$. En utilisant la formule de la dérivée d'un quotient, \\
%	$\forall x \in \left [ -8~;\, -0,75\strut\right ]$, $h'(x) =\dfrac{4\times x^2-(4x+1)\times 2x}{x^4}=\dfrac{-4x^2- 8x^2 - 2x}{x^4}= \dfrac{-2x - 4x^2}{x^4} = \dfrac{-2 - 4x}{x^3}$
%	
%La fonction $h'$ est continue et dérivable sur $\left [ -8~;\, -0,75\strut\right ]$. En utilisant la formule de la dérivée d'un quotient,
%
%$\forall x \in \left [ -8~;\, -0,75\strut\right ]$, $h''(x) = \dfrac{- 4\times x^3 -(-4x -2)\times 3x^2}{x^6} = \dfrac{- 4x^3 + 12x^3 + 6x^2}{x^6}= \dfrac{8x^3 + 6x^2}{x^6} = \dfrac{8x + 6}{x^4}$.
%
%$\forall x \in \left [ -8~;\, -0,75\strut\right ]$, $x^4>0$ donc $h''(x)$ a le même signe que $8x+6$.
%
%$8x + 6\leqslant 0 \iff x \leqslant - \dfrac{6}{8} \iff x\leqslant - 0,75$.
%
%Conclusion $h''(x) < 0$ sur $\left[ -8~;\, -0,75\strut\right]$, donc $h$
% est  concave sur $\left[ -8~;\, -0,75\strut\right ]$.	 \hfill \textbf{Affirmation 4 : Vraie}
%	
%\end{enumerate}



%\begin{enumerate}
%	\item Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui conduit à deux issues : réussite ou échec. Si $p$ est la probabilité de réussite, le probabilité d'échec est $1 - p$.	Lorsqu'on répète une épreuve de Bernoulli on obtient un schéma de Bernoulli. La loi de probabilité de la variable aléatoire égale au nombre de succès d'un schéma de Bernoulli s'appelle une loi binomiale.
%	
%Si $n$ est le nombre de répétitions de l'expérience et $p$ la probabilité de réussite de chacune, on note cette loi $\mathcal{B}(n ; p)$. Donc $X\sim \mathcal{B}(300;0,72)$
%	\item $p(X=190)=\dbinom{190}{300}\times0,72^{190}\times (1-0,72)^{300-190}\approx \np{0,0002}$.
%	\item $P(X\geqslant220)=1-P(X<220)=1-P(X\leqslant 219)$.
%	
%À l'aide de la calculatrice, $P(X \geqslant 220) \approx \np{0,3291}$.
%\end{enumerate}
%
%\medskip
%
%\begin{flushleft}
%\textbf{Partie 2}
%\end{flushleft}
%
%\begin{enumerate}
%	\item Le trinôme du second degré $2x^2 - 7x - 4$ admet deux racines distinctes $\left(\Delta = 81 = 9^2 > 0\right)$ : $x_1= \dfrac{7 - 9}{4} = -\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{7 + 9}{4} = 4$.
%	
%Donc le signe de ce trinôme selon les valeurs de $x\in\R$ est : 
%
%\begin{center}
%	{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
%		\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
%		\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
%		\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
%		$\begin{array}{|c|*7{c}|}\hline
%		x & -\infty  & \esp & -\frac{1}{2} & \esp & 4 & \esp & \infty\\ \hline
%		\text{signe de } 2x^2-7x-4&  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} &\vline\hspace{-2.7pt}0 & + &\\ \hline
%		\end{array} $}
%	\end{center}
%	
%Donc $\mathcal{S}=\left]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}\strut\right]\cup \left[4\,;\,+\infty\strut\right[$.
%	\item On utilise ici les formules des lois uniformes. On choisit un nombre au hasard dans l'intervalle $\left[0~;\, 10\strut\right]$. Si ce nombre fait partie de l'ensemble de solution précédent, alors il appartient à l'intervalle $\left [ 4~;\, 10\strut\right ]$.
%	
%La probabilité que ce nombre soit solution de l'inéquation précédente est égale à : $p=\dfrac{10 - 4}{10 - 0}=\dfrac{6}{10}= \dfrac{3}{5}$.
%
%\end{enumerate}
%
%\medskip
%
%\begin{flushleft}
%\textbf{Partie 3}
%\end{flushleft}
%
%\begin{enumerate}
%\item $Z\sim \mathcal{N}\left(2,3~;~0,11^2\right)$
%	\begin{enumerate}
%		\item À l'aide de la calculatrice, $P(2,18 \leqslant Z \leqslant 2,42) \approx 0,72$
%		\item $P(Z\geqslant 2,25) = P(2,25 \leqslant Z \leqslant 2,3) + P(Z\geqslant 2,3) = 0,5+P(2,25 \leqslant Z \leqslant 2,3)$
%		
%À l'aide de la calculatrice, $P(Z\geqslant 2,25) \approx 0,68$.
%	\end{enumerate}
%\item $Z \sim \mathcal{N}(2,3;0,\sigma^2)$.
%
%De plus	$P(2,18 \leqslant Z \leqslant 2,42)\approx 0,95$.
%
%Or $P(\mu-2\sigma \leqslant Z \leqslant \mu+2\sigma)=P(2,3-2\sigma \leqslant Z \leqslant 2,3+2\sigma) \approx 0,95$ donc $2,3-2\sigma = 2,18$ (ou $2,3 + 2\sigma = 2,52$) donc $\sigma =\dfrac{2,3 - 2,18}{2}= 0,06$.
%	
%Donc $Z\sim \mathcal{N}\left(2,3~;~0,06^2\right)$
%\end{enumerate}
\end{document}