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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ES}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Centres étrangers juin 2007~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Questionnaire à choix multiples}

%\medskip
%
%\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification Une bonne réponse apporte $0,5$ point, une mauvaise enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à $0$.}
%
%\textbf{COMPLÉTER LE DOCUMENT RÉPONSE EN ANNEXE}
%
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} - x^2 = - \infty$, d'où par composition $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\left(\text{e}^{-x^2 + 3}\right) = 0$.
\item $\text{e}^{\ln (2)} +\text{e} - 4 = 2 + \text{e} - 4 = \text{e} - 2$.
\item Pour $x < 1$, \: $\ln (1 - x) \geqslant 1 \text{e}^{\ln (1 - x)} \geqslant \text{e}^1 \iff  1 - x \geqslant \text{e} \iff x \leqslant 1 - \text{e}$ et dans ce cas là la condition  $x < 1$ est réalisée.
\item Si $F(x) = x \ln (x) + x$, alors :

$F'(x) = \ln (x)   + x \times \dfrac{1}{x} + 1 = \ln (x) + 1 + 1 = \ln (x) + 2$.


%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{7cm}|X|}\hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{1.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(\text{e}^{-x^2 + 3}\right)$ est égale à :}	&$\Box~~+ \infty$ \\ \cline{2-2}
%	&$\Box~~0$\\ \cline{2-2}
% 	&$\Box~~\text{e}^3$\\ \hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{2.} $\text{e}^{\ln (2)} +\text{e} - 4$ est égal à :}&$\Box~~\text{e} - 2$\\ \cline{2-2}
%	& $\Box~~\ln (2) +\text{e} - 4$\\ \cline{2-2}
%	&$\Box~~-2$\\ \hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{3.} $\ln (1 - x) \geqslant 1$ est équivalente à :}	&$\Box~~x \leqslant 1 - \text{e}$\\ \cline{2-2}
%				&$\Box~~x < 0$\\ \cline{2-2}
%				&$\Box~~x  > -\text{e}$\\ \hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{4.}  La fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln (x)+2$ a pour primitive la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :}&$\Box~~F(x) = x \ln (x)$\\ \cline{2-2}
%	&$\Box~~F(x) = x \ln (x) - x$\\ \cline{2-2}	
% 	&$\Box~~F(x) =  x\ln (x) + x$\\ \hline
% \end{tabularx}
 
\bigskip

\hspace{-1cm}\textbf{Partie B}

\medskip

%Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. A et B sont deux évènements associés à une expérience aléatoire. On sait que 
%$P(\text{A}) = a^2,~ P(\text{B}) =  b^2$ et 
%$P(\text{A} \cap \text{B}) = 2ab$. Alors,\\
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{7cm}|X|}\hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{5.}  $P\left(\overline{\text{A}}\right)$ est égale à :}	&$\Box~~$ $(1 - a)(1 + a)$\\ \cline{2-2}
%	&$\Box~~$ $a^2 - 1$\\ \cline{2-2}
%	&$\Box~~$ $b^2 - a^2$\\ \hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{6.} $P(\text{A} \cup \text{B})$ est égale à :}	&$\Box~~$ $(a+b)^2$\\ \cline{2-2}	
%				&$\Box~~$ $(a - b)^2$\\ \cline{2-2}	
%				&$\Box~~$ $a^2 + b^2$\\ \hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{7.} $P_{\text{B}}(\text{A})$ est égale à:}		&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{a}{2b}$\\ \cline{2-2}
%		&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{2b}{a}$\\ \cline{2-2}
%		&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{2a}{b}$\\ \hline
% \end{tabularx}
% 
%\newpage
\item $P\left(\overline{A} \right) = 1 - P(A) = 1 - a^2 = (1 + a)(1 - a)$.
\item $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$.
\item $P_{B}(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{2ab}{b^2} = \dfrac{2a}{b}$.
\bigskip

\hspace{-1cm}\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $\left(U_{n}\right)_{n \geqslant 0}$,  la suite géométrique de premier terme $U_{0} =  2$ et de raison $ \dfrac{1}{2}$. Alors,

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{7cm}|X|}\hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{8.} $U_{n+1}$  est égale à :}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$U_{n} + \dfrac{1}{2}$\\ \cline{2-2}	
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$\dfrac{1}{2}U_{n}$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$\left(U_{n}\right)^{\frac{1}{2}}$\\ \hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{9.} $U_{n}$ est égale à :}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$	$ 2 + \dfrac{1}{2}n$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$	$2^{(1 - n)}$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$2^{(n+1)}$\\ \hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{10.} $U_{0} + U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4}$ est égale à:}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$  $\dfrac{31}{8}$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $15$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $ \dfrac{15}{8}$\\ \hline
%\end{tabularx}
\item $U_{n+1} = \dfrac{1}{2}U_n$.
\item $U_n = U_0 \times q^n = 2 \times \left(\dfrac{1}{2} \right)^n = \dfrac{2}{2^n} = \dfrac{1}{2^{n-1}} = 2^{1 - n}$.
\item $S = U_0 + U_1 + U_2 + U_3 + U_4 = 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}$ ;

$\dfrac{1}{2}S = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16}$, donc par différence :

$S - \dfrac{1}{2}S = 2 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{31}{16} = \dfrac{1}{2}S \iff S = \dfrac{31}{8}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur I = [0 ; 4] ; sa courbe représentative est donnée ci-dessous dans un repère orthogonal . On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
%
%Sont également tracées les tangentes à la courbe aux points d'abscisse $0$ et $2$ , ainsi que la droite ($d$) d'équation $y = x+2$. Aux points d'abscisses $1$ et $3$ les tangentes à la courbe sont parallèles à l'axe des abscisses.

%\parbox{0.5\textwidth}{
%\textbf{1.}
%Par lecture graphique, déterminer :
%
%\hspace*{0.5cm}\textbf{a.}  $f(0)$ et $f'(0)$.
%
%\hspace*{0.5cm}\textbf{b.}  $f(1)$ et $f'(1)$.
%
%\hspace*{0.5cm}\textbf{c.}  $f(2)$ et $f'(2)$.
%
%\hspace*{0.5cm}\textbf{d.} l'ensemble des réels $x$ tels que \\$f(x) \leqslant  x + 2$.
%
%\textbf{2. \hspace*{0.2cm}a.} Par lecture graphique, dresser le tableau de variations de $f$ sur I ; on indiquera le signe de $f'(x)$.\\
%\hspace*{0.5cm}\textbf{b.}  En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ définie sur [0~;~4] par $g(x) =  \ln [f(x)]$.\\
%\textbf{3.} On appelle $\mathcal{A}$ l'aire du domaine hachuré exprimée en unités d'aire. Parmi les trois propositions suivantes, déterminer celle qui est exacte, en la justifiant par des arguments géométriques\\
%\textbf{a.} $0 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 1$ 
%\textbf{b.} $1 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 6$
%\textbf{c.} $6 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 8$
%}
%\hfill \parbox{0.45\textwidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(4.5,12)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(4,12)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=15]{->}(0,0)(-1,-1)(4.5,12)
%\psline(-1,1)(4.5,6.5) \psline(0,2)(1.1111,12) \psline(-0.5,11.5)(3.5,-0.5)
%\psplot{0}{4}{x 3 sub 2 exp x mul 2 add}
%\uput[u](4.4,0){$x$}\uput[r](0,11.5){$y$}
%\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[u](-1,1){($d$)}
%\pscustom[fillstyle=vlines*,hatchwidth=0.8pt,hatchsep=3mm,hatchcolor=blue]{
%\psplot{2}{4}{x 3 sub 2 exp x mul 2 add }
%\psline(4,6)(2,4)
%}
%\end{pspicture}}
%\begin{enumerate}\item[\textbf{4.}] On suppose que $f(x) =  mx^3 + nx^2 + px + q$, où $m,~ n,~ p$ et $q$ sont des réels. 
%	\begin{enumerate}
%		\item  En utilisant les résultats de la question 1 a, déterminer $p$ et $q$. 
%		\item  En utilisant les résultats de la question 1 b, déterminer $m$ et $n$.
%	\end{enumerate}
%\item[\textbf{5.}]  On admet que $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item  Démontrer que les tangentes à la courbe aux points d'abscisses $0$ et $4$ sont parallèles. 
%		\item  Calculer, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On lit $f(0) = 2$, \:$f'(0) = \dfrac{9}{1} = 9$ ;
		\item $f(1)6$ et $f'(1) = 0$ ;
		\item $f(2) = 4$ et $f'(2) = \dfrac{-3}{1} = - 3$ ;
		\item $f(x) \leqslant x + 2 \iff 2 \leqslant x \leqslant 4$.				
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ est croissante sur [0~;~1] et sur [3~;~4] et décroissante sur [1~;~3].
		\item La fonction $f$ étant positive sur [0~;~4], $g$ est définie sur cet intervalle et $g'(x) = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$. Comme $f(x) > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui de $f'(x)$. Les variations de $g$ sont les mêmes que celles de $f$.
	\end{enumerate}
\item ~
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4.5,12)
\psline(-1,1)(4.5,6.5) \psline(0,2)(1.1111,12) \psline(-0.5,11.5)(3.5,-0.5)
\psplot{0}{4}{x 3 sub 2 exp x mul 2 add}
\uput[u](4.4,0){$x$}\uput[r](0,11.5){$y$}
\uput[dl](0,0){O}  \uput[l](0,1){1} \uput[u](-1,1){($d$)}
\pscustom[fillstyle=vlines*,hatchwidth=0.8pt,hatchsep=3mm,hatchcolor=blue]{
\psplot{2}{4}{x 3 sub 2 exp x mul 2 add }
\psline(4,6)(2,4)
}
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(4,12)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=15](0,0)(0,0)(4.5,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=15]{->}(0,0)(1,1)
\pspolygon[linecolor=green](2,2)(2,4)(4,6)(4,2)
\end{pspicture}
\end{center}

On voit que la surface hachurée contient 1 unité d'aire. Son aire est inférieure au trapèze vert dont l'aire est égale à $\dfrac{(2 + 4)\times 2}{2} = 6$ L'aire est donc strictement comprise entre 1 et 6.
\item On a $f(x) =  mx^3 + nx^2 + px + q$, d'où $f'(x) = 3mx^2 + 2nx + p$.
	\begin{enumerate}
		\item $f(0) = 2 \Rightarrow q = 2$ ;

$f'(0) = 9 \Rightarrow p = 9$.
		\item $f(1) = 6 \Rightarrow m + n + 9 + 2 = 6 \iff m + n = - 5 \iff n = - 5 - m$ ;
		
$f'(1) = 0 \Rightarrow 3m + 2n + 9 = 0 \iff 3m + 2n = - 9 \Rightarrow 3m + 2(- 5 - m) = - 9 \iff 3m - 10 - 2m = - 9 \iff m = 1$, puis $n = - 5 - m = - 5 - 1 = - 6$.
		
Donc $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a donc $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ ;

$f'(0) = 9$ et $f'(4) = 3 \times 16 - 12 \times 4 + 9 = 48 - 48 + 9 = 9$ : les coefficients directeurs des tangentes sont égaux donc les tangentes sont parallèles.
		\item 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{center}
\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes}
\end{center}

%L'objet d'étude est le réseau des égouts d'une ville. Ce réseau est modélisé par le graphe ci-dessous : les sommets représentent les stations et les arêtes, les canalisations.
%
%\begin{center}\begin{pspicture}(8,4)
%\psline(0,1.5)(1.5,3)(5.2,3)(7.3,0.5)(5.2,0)(1.5,0)(5.2,3)(7.3,0.5)(7.5,2.5)%EADGCBDGS
%\psline(0,1.5)(1.5,0)%EB
%\psline(1.5,3)(5.2,0)(7.5,2.5)(5.2,3)%ACSD
%\psline(1.5,3)(1.5,0)%AB
%\psline(5.2,3)(5.2,0)%DC
%\uput[u](1.5,3){A} \uput[d](1.5,0){B} \uput[d](5.2,0){C} \uput[u](5.2,3){D} 
%\uput[l](0,1.5){E} \uput[r](7.3,0.5){G} \uput[r](7.5,2.5){S} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ?
Les sommets ont dans l'ordre alphabétique comme degrés : 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 2 ; 3 ; 3.

IL y'a 4 sommets de degré impair, donc plus de deux : il n'existe donc pas de chaîne eulérienne.
\item %Justifier que le nombre chromatique de ce graphe est compris entre 4 et 6.
Il y a deux sommets de degré 5, donc le nombre chromatique $c$ est inférieur ou égal à 6.

Le sous-graphe \{A, B, C, D\} est complet d'ordre 4 ; donc $c \geqslant 4$.

Finalement : $4 \leqslant c \leqslant 6$.
\end{enumerate}	
	
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%\begin{center}
%\begin{pspicture}(8,4)
%\psline(0,1.5)(1.5,3)(5.2,3)(7.3,0.5)(5.2,0)(1.5,0)(5.2,3)(7.3,0.5)(7.5,2.5)%EADGCBDGS
%\psline(0,1.5)(1.5,0)%EB
%\psline(1.5,3)(5.2,0)(7.5,2.5)(5.2,3)%ACSD
%\psline(1.5,3)(1.5,0)%AB
%\psline(5.2,3)(5.2,0)%DC
%\uput[u](1.5,3){A} \uput[d](1.5,0){B} \uput[d](5.2,0){C} \uput[u](5.2,3){D} 
%\uput[l](0,1.5){E} \uput[r](7.3,0.5){G} \uput[r](7.5,2.5){S}
%\rput(0.7,2.4){4}  \rput(0.7,0.6){7}  \rput(1.4,1.5){2}  \rput(2.5,2.4){8}  
%\rput(2.8,1.25){6}  \rput(3.4,3.15){9}  \rput(3.2,-0.2){5}  \rput(5.1,1.5){3}  
%\rput(6,2.25){5}  \rput(5.8,0.85){8}  \rput(6.8,2.85){8}  \rput(7.6,1.6){5}  
%\rput(6.5,0.15){4}  
%\end{pspicture}
%\end{center}
%Le graphe pondéré ci-dessus donne, en minutes, les durées des trajets existant entre les différentes stations du réseau des égouts.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Un ouvrier doit se rendre par ce réseau de la station E à la station S. Déterminer, en utilisant un algorithme, le trajet le plus rapide pour aller de E à S et préciser sa durée.
On utilise l'algorithme de Dijkstra :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
E	&A			&B			&C			&D			&G			&S		&Sommet sélectionné\\ \hline
0	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&E\\ \hline
	&E 4		&E 7		&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&A\\ \cline{2-8}
	&			&A 6		&A 12		&A 13		&$\infty$	&$\infty$	&B\\ \cline{3-8}
	&			&			&B 11		&B 12		&$\infty$	&$\infty$	&C\\ \cline{4-8}
	&			&			&			&B 12		&C 15		&C 19		&D\\ \cline{5-8}
	&			&			&			&			&C 15		&C 19		&G\\ \cline{6-8}
	&			&			&			&			&			&C 19		&S\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En remontant les sommets on obtient le chemin le plus rapide : E -- A -- B -- C -- S qui dure 19 minutes.
\item %Ayant choisi le trajet le plus rapide, l'ouvrier arrivant en C, apprend que les canalisations CG et CS sont fermées pour cause de travaux et qu'il ne peut les utiliser.

	\begin{enumerate}
		\item %Comment peut-il terminer, au plus vite, son trajet jusqu'à S ? Combien de temps le trajet entre E et S prendra-t-il dans ce cas ?
Arrivé en C il ne reste plus que l'itinéraire vers D puis le chemin menant à S : D--S.

Le trajet est donc : E--A--B--C--D--S qui dure 22 minutes.
		\item %S'il avait su dès le départ que les canalisations CG et CS étaient impraticables, quel trajet aurait choisi l'ouvrier pour se rendre, au plus vite de E à S ? Combien de temps ce trajet aurait-il pris ?
En supprimant les chemins CG et CS et en refaisant l'algorithme de Dijkstra, on trouve que le chemin le plus rapide est E--A--B--D--S qui prend 20 minutes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On suppose que, pour tous les jours de septembre, la probabilité qu'il pleuve est $\dfrac{1}{4}$.
%
%S'il pleut, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est $\dfrac{1}{3}$.
%
%S'il ne pleut pas, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est $\dfrac{5}{6}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Représenter par un arbre de probabilité la situation ci-dessus.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$P$}\taput{$\frac{1}{4}$}}
	{\TR{$H$} \taput{$\frac{1}{3}$}
	\TR{$\overline{H}$}\tbput{$\frac{2}{3}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{P}$}\tbput{$\frac{3}{4}$}}
	{\TR{$H$} \taput{$\frac{5}{6}$}
	\TR{$\overline{H}$}\tbput{$\frac{1}{6}$}
	}
}
\end{center}

\bigskip

\item %Quelle est la probabilité qu'un jour de septembre donné, il pleuve et que Monsieur X arrive à l'heure à son travail ?
On a $p(P \cap H) = p(P) \times p_P(H) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$.
\item %Montrer que la probabilité qu'un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail est $\dfrac{17}{24}$.
On calcule de même :

$p\left(\overline{P} \cap H\right) = p\left(\overline{P}\right) \times p_{\overline{P}}(H) = \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{8}$.

Donc $p(H) = p(P \cap H) + p\left(\overline{P} \cap H\right) = \frac{1}{12} + \frac{5}{8} = \frac{2 + 15}{24} = \frac{17}{24}$.
\item %Un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail.\\
%Quelle est la probabilité qu'il ait plu ce jour là ?
Il faut trouver :

$p_H(P) = \dfrac{p(P \cap H)}{p(H)} = \dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{17}{24}} = \frac{1}{12} \times \frac{24}{17} = \frac{2}{17}$.
\item %Sur une période de 4 jours de septembre, quelle est la probabilité que
%Monsieur X arrive à l'heure au moins une fois ? \emph{On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.}
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 4$ et $p = p(H) = \frac{17}{24}$.

La probabilité que Monsieur X ne soit jamais à l'heure est : $\left(1 - \frac{17}{24} \right)^4 = \left(\frac{7}{24}\right)^4$, donc la probabilité que
Monsieur X arrive à l'heure au moins une fois est égale à :

$1 - \left(\frac{7}{24}\right)^4 \approx \np{0,9927}$ soit 0,993 au millième près


\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On s'intéresse à la production mensuelle d'une certaine catégories d'articles par une entreprise E. On sait que le nombre d'articles produits par mois est compris entre $0$ et $500$. On suppose que le coût marginal, exprimé en milliers d'euros, peut être modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~5] par 
%
%\[C(x) = 4x + (1 - 2x)\text{e}^{-2x + 3}\]
%
%où $x$ représente le nombre de centaines d'articles fabriqués.

\begin{enumerate}
\item %On sait que la fonction coût total, notée $C_{T}$, est la primitive de la fonction $C$ sur [0~;~5] qui s'annule pour $x =0$.

%Justifier que $C_{T}(x) =  2x^2 + x\text{e}^{-2x + 3}$.
Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~5] par  :

$f(x) = 2x^2 + x\text{e}^{-2x + 3}$ ; elle est dérivable et sur [0~;~5] :

$f'(x) = 2 \times 2x + \text{e}^{-2x + 3} + x \times (- 2)\text{e}^{-2x + 3} = 4x + \text{e}^{-2x + 3}(1 - 2x) = C(x)$.

De plus $f(0) = 0$.

Conclusion $f$ c'est-à-dire $C_T$ définie sur [0~;~5] par $C_T(x) = 2x^2 + x\text{e}^{-2x + 3}$ est la primitive de $C$ qui s'annule en zéro.
\item %La fonction coût moyen, notée $C_{M}$ est la fonction définie sur ]0 ; 5] par :

\[C_{M}(x) = \dfrac{C_{T}(x)}{x} = \dfrac{2x^2 + x\text{e}^{-2x + 3}}{x} = 2x + \text{e}^{-2x + 3}.\]

%Donner une expression de $C_{M}(x)$, en fonction de $x$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer $C_{M}'(x)$ où $C_{M}'$ désigne la fonction dérivée de $C_{M}$.
La fonction $C_M$ est dérivable sur [0~;~5] et sur cet intervalle :

$C'_M(x) = 2 - 2\text{e}^{-2x + 3} = 2\left(1 - \text{e}^{-2x + 3} \right)$.
		\item  %Résoudre dans $\R$ l'équation : 	$1 - \text{e}^{-2x + 3} =  0$.
$1 - \text{e}^{-2x + 3} =  0 \iff 1 = \text{e}^{-2x + 3} \iff 0 = - 2x + 3$\: (en prenant le logarithme népérien) $\iff 2x  = 3 \iff x = \dfrac{3}{2}$. L'équation a une solution : $\dfrac{3}{2}$.
		\item  %Résoudre dans $\R$ l'inéquation: 	$1 - \text{e}^{-2x + 3} >  0$.
$1 - \text{e}^{-2x + 3} >  0 \iff 1 > \text{e}^{-2x + 3} \iff 0 > - 2x + 3 \iff 2x > 3 \iff x > \dfrac{3}{2}$.
		\item  %En déduire le sens de variations de $C_{M}$ sur ]0~;~5].
Comme $2 > 0$, le signe de $C'_M(x)$ est celui de la différence $1 - \text{e}^{-2x + 3}$.

Donc $1 - \text{e}^{-2x + 3} >  0 \iff x > \dfrac{3}{2}$ : la dérivée est positive, donc $C_M$ est croissante sur l'intervalle $\left]\dfrac{3}{2}~;~5\right]$.

On a de même : $C_M$ est décroissante sur $\left[0~;~\dfrac{3}{2}\right[$.
	\end{enumerate}
\item %Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en euros ?
On a vu dans la question précédente que la fonction $C_M$ a un minimum en $x = \dfrac{3}{2}$, égal à $C_M\left(\frac{3}{2}\right) = 2 \times \dfrac{3}{2} + \text{e}^{-2\times \frac{3}{2} + 3} = 3 + 1 = 4$.

Donc pour une production de 1,5 centaine soit 150 objets, le coût moyen par objet est de 4 milliers d'euros soit \np{4000}~\euro.
\item %Chaque centaine d'articles est vendue \np{7000}~\euro. La recette totale pour $x$ centaines d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par $R_{T}(x) = 7x$ en milliers d'euros.

%Le bénéfice est donc défini par $B(x) = R_{T}(x) - C_{T}(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item  %En \textbf{annexe 2} sont représentées les fonctions $C_{T}$ et $R_{T}$.
		
%Par lecture graphique déterminer :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item %le coût moyen minimal,
Soit $M\left(x~;~C_T(x) \right)$.

Comme $C_M(x) = \dfrac{C_T(x)}{x}$, ce coût moyen sera minimal quand la pente de la droite (O$M$) sera la plus petite ; ce point $M_m$ sera obtenu en traçant la tangente menée par O à la courbe représentative de la fonction $C_T$. On trouve que $M_m(1,5~;~6)$.
\item %l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E,
Il y a bénéfice quand la recette est supérieure au coût total. On voit que ceci est réalisé quand $0,6 < x 3,5$ (valeurs approximatives).
\item %la production $x_{0}$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
On regarde le prix de vente et le coût marginal. Si le prix de vente est supérieur au coût marginal, on peut produire davantage pour gagner davantage et inversement.

On aura donc un bénéfice maximum quand le coût marginal est égal au prix de vente. Mais ce coût marginal est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative du coût total. Il faut donc un point de la courbe où la tangente est parallèle à la recette. On voit que ce point a pour abscisse 2. le bénéfice estampilla quand on produit 200 objets.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

%On fera apparaître les constructions nécessaires.
		\item %Avec l'aide de votre calculatrice, affiner l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production $x$ pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E.
On a sur ]0~;~5] : 
		
$B(x) = R_{T}(x) - C_{T}(x) = 7x - 2x^2 - x\text{e}^{- 2x + 3}$. La calculatrice donne :

$B(0,6) \approx - 0,15$ et $B(0,7) \approx 0,45$ ; puis

$B(0,62) \approx - 0,03$ et $B(0,63) \approx 0,03$ et 

Pour l'autre borne on obtient :

$B(3,4) \approx  0,6$ et $B(3,5) \approx - 0,06$ ; puis

$B(3,49) \approx  0,005$ et $B(3,50) \approx - 0,06$.

Conclusion : il y a bénéfice pour une production allant de 63 à 349 articles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

%\textbf{Annexe 1\hfill à rendre avec la copie}
%
%Exercice 1 : commun à tous les candidats
%
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{7cm}|X|}\hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{1.} $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(\text{e}^{-x^2 + 3}\right)$ est égale à :}	&$\Box~~+ \infty$ \\ \cline{2-2}
%	&$\Box~~0$\\ \cline{2-2}
% 	&$\Box~~\text{e}^3$\\ \hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{2.} $\text{e}^{\ln (2)} +\text{e} - 4$ est égal à :}&$\Box~~\text{e} - 2$\\ \cline{2-2}
%	& $\Box~~\ln (2) +\text{e} - 4$\\ \cline{2-2}
%	&$\Box~~-2$\\ \hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{3.} $\ln (1 - x) \geqslant 1$ est équivalente à :}	&$\Box~~x \leqslant 1 - \text{e}$\\ \cline{2-2}
%				&$\Box~~x < 0$\\ \cline{2-2}
%				&$\Box~~x  > -\text{e}$\\ \hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{4.}  La fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln (x)+2$ a pour primitive la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :}&$\Box~~F(x) = x \ln (x)$\\ \cline{2-2}
%	&$\Box~~F(x) = x \ln (x) - x$\\ \cline{2-2}	
% 	&$\Box~~F(x) =  x\ln (x) + x$\\ \hline
%\end{tabularx}
% 
%\medskip
%
%\noindent\textbf{Partie B}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{7cm}|X|}\hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{5.}  $P\left(\overline{\text{A}}\right)$ est égale à :}	&$\Box~~$ $(1 - a)(1 + a)$\\ \cline{2-2}
%	&$\Box~~$ $a^2 - 1$\\ \cline{2-2}
%	&$\Box~~$ $b^2 - a^2$\\ \hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{6.} $P(\text{A} \cup \text{B})$ est égale à :}	&$\Box~~$ $(a+b)^2$\\ \cline{2-2}	
%				&$\Box~~$ $(a - b)^2$\\ \cline{2-2}	
%				&$\Box~~$ $a^2 + b^2$\\ \hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{7.} $P_{\text{B}}(\text{A})$ est égale à:}		&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{a}{2b}$\\ \cline{2-2}
%		&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{2b}{a}$\\ \cline{2-2}
%		&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $\dfrac{2a}{b}$\\ \hline
% \end{tabularx}
% 
%\medskip
%
%\noindent\textbf{Partie C}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{7cm}|X|}\hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{8.} $U_{n+1}$  est égale à :}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$U_{n} + \dfrac{1}{2}$\\ \cline{2-2}	
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$\dfrac{1}{2}U_{n}$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$\left(U_{n}\right)^{\frac{1}{2}}$\\ \hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{9.} $U_{n}$ est égale à :}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$	$ 2 + \dfrac{1}{2}n$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$	$2^{(1 - n)}$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$$2^{(n+1)}$\\ \hline
%\multirow{3}{7cm}{\textbf{10.} $U_{0} + U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4}$ est égale à:}&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$  $\dfrac{31}{8}$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $15$\\ \cline{2-2}
%&\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\Box~~$ $ \dfrac{15}{8}$\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\newpage

\textbf{Annexe 2\hfill à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 : commun à tous les candidats}

\vspace{3cm}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.5mm}
\begin{pspicture}(5,50)
\multido{\n=0+0.2}{26}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,50)}
\multido{\n=0+2}{26}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(5,50)
\uput[d](5.1,0){$x$} \uput[l](0,52){$y$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{0}{5}{2.71828 3 2 x mul sub exp  x  mul  x 2 exp 2 mul add}
\psplot{0}{5}{7 x mul}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](1,-6)(1.75,-6) \rput(3,-6){Courbe représentative de $C_{T}$}
\psline(1,-10)(1.75,-10) \rput(3,-10){Courbe représentative de $R_{T}$}
\psplot{0}{5}{4 x mul}
\psline[linestyle=dotted](1.5,0)(1.5,6)(0,6)\uput[d](1.5,0){1,5} \uput[l](0,6){6}
\uput[ul](1.5,6){$M_m$}\uput[dl](0,0){O}
\psline(1,1.736)(3,15.736)
\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,8.736)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}