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%Corrigé : Dominique Trémulot
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% 
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L - Corrigé}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small 8 juin 2016}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\renewcommand \footrulewidth{0.2pt}%

\begin{center}%\textbf{Durée : 3 heures }

%\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Centres étrangers 
~\decofourright\\8 juin 2016}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes,
%une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n 'est demandée.
%Une bonne réponse rapporte un point, Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne
%rapporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\medskip
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante}
%
%\medskip
%
%Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par 
%
%\[f(x) = 5 - x + 2 \ln x.\]
%
%On a représenté ci-dessous la courbe représentative $C$ de la fonction $f$, ainsi que T, la tangente
%à la courbe $C$ au point A d'abscisse 4.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-0.5,-1.2)(10.5,6.2)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10]
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-1)(10.5,6.2)
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{10.5}{5 x sub x ln 2 mul add}
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0.01}{10.5}{5.77259 x 0.5 mul sub}
%\psdots(4,3.77259)\uput[ur](4,3.77259){A}\uput[ur](0.5,5.6){T}\uput[r](0.2,1.5){\blue $C$}
%\uput[u](10.2,0){$x$}
%\uput[l](0,6.1){$y$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, on a :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~} $f'(x) =  - 1 + 2x$&\textbf{b.~~} $f'(x) = - 2\ln x + (5 - x)\dfrac{2}{x}$\\
%\textbf{c.~~}  $f'(x) = \dfrac{-x + 2}{x}$&\textbf{d.~~}$f'(x) =  4 + \dfrac{2}{x}$.
%\end{tabularx}
%\medskip
Comme somme de fonctions dérivables sur $I=]0\,;\,+\infty$, $f$ est dérivable sur I, et pour tout réel $x$ de I,

$f'(x)=0-1+2\times \dfrac{1}{x}=-1+\dfrac{2}{x}=\dfrac{-x+2}{x}$.

La bonne réponse est la \textbf{réponse c.}.

\item %Sur l'intervalle ]0~;~10], l'équation $f'(x) =  0$ admet :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} Aucune solution &\textbf{b.~~} Une seule solution &\textbf{c.~~} Deux solutions &\textbf{d.~~} Plus de deux solutions
%\end{tabularx}
%\medskip
Sur l'intervalle $]0\,;\,10]$, $f'(a)=0$ lorsque la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est parallèle à l'axe des abscisses.

C'est le cas une seule fois dans ce cas.

La bonne réponse est donc la \textbf{réponse b.}.

\item %Une équation de T est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~} $y = \dfrac{1}{2}x + 5,7$ &\textbf{b.~~} $ y = 5,7x - \dfrac{1}{2}$\\
% \textbf{c.~~}  $y = - \dfrac{1}{2}x + 1 + 2 \ln 4$& \textbf{d.~~} $y= - \dfrac{1}{2}x +  3 + 2 \ln 4$
%\end{tabularx}
%\medskip
Comme $f$ est dérivable sur I, elle l'est en 4 et T admet pour équation $y=f'(4)(x-4)+f(4)$.

Or, ici, $f(4)=5-4+2\ln(4)=1+2\ln(4)$ et $f'(4)=\dfrac{-4+2}{4}=\dfrac{-2}{4}=\dfrac{-1}{2}$.

La tangente T admet donc pour équation : $y=\dfrac{-1}{2}(x-4)+1+2\ln(4)$, soit
$y=-\dfrac{1}{2}x+3+2\ln(4)$.

La bonne réponse est la \textbf{réponse d.}.

\item %La valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_1^3 f(x)\:\text{d}x$ appartient à l'intervalle :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} [1~;~3]& \textbf{b.~~} [4~;~5] &\textbf{c.~~} [8~;~9]& \textbf{d.~~} [10~;~15]
%\end{tabularx}
%\medskip
Comme $f$ est  positive sur l'intervalle $[1\,;\,3]$, $\int_{1}^{3}f(x) \text{d} x$ est l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=3$.

On sait que $f'(x) = \dfrac{- x + 2}{x}$, donc $f'(x) = 0 \iff x = 2$.

La fonction $f$ a dont un maximum $f(2) = 5 - 2 + 2\ln 2 = 3 + 2\ln 2 \approx 4,386 < 4,5$.
Donc cette intégrale est comprise entre l'aire de la surface grise ($2 \times 4$)  et l'aire de la surface hachurée ($2 \times 4,5$).

\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[scale=0.9,>=stealth]
%\tkzInit[xmax=10,ymin=-1,ymax=6]
%\tkzGrid
%%\tkzAxeXY
%\tkzDrawX[line width=2pt,color=blue,below right,>=stealth]%,label=Rang année]
%\tkzLabelX%[label options={below=12pt,rotate=-45}]
%\tkzDrawY[line width=2pt,color=blue,above left,>=stealth]%,label=Montant (en \euro)]
%\tkzLabelY[label options={left=6pt}]
%\tkzFct[color=red,line width=2pt]{5-\x+2*log(\x)}
%\tkzFct[color=gray!50,domain=1:3]{4.5}
%\tkzDrawArea[color=gray!50,domain=1:3]
%\tkzFct[color=blue!50,domain=1:3]{4}
%\tkzDrawArea[color=blue!50,domain=1:3]
%\end{tikzpicture}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.2)(10.5,6.2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(3,4)
\psframe[fillstyle=hlines](1,0)(3,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-1)(10.5,6.2)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{10.5}{5 x sub x ln 2 mul add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0.01}{10.5}{5.77259 x 0.5 mul sub}
\psdots(4,3.77259)\uput[ur](4,3.77259){A}\uput[ur](0.5,5.6){T}\uput[r](0.2,1.5){\blue $C$}
\uput[u](10.2,0){$x$}
\uput[l](0,6.1){$y$}

\end{pspicture*}
\end{center}

On a donc $8\leqslant \int_{1}^{3}f(x) \text{d} x\leqslant 9$.

La bonne réponse est la \textbf{réponse c.}.

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Un fabricant produit des pneus de deux catégories, la catégorie \og pneu neige \fg{} et la catégorie
%\og pneu classique \fg. Sur chacun d'eux, on effectue des tests de qualité pour améliorer la
%sécurité.
%
%On dispose des informations suivantes sur le stock de production :
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item le stock contient 40\,\% de pneus neige ;
%\item parmi les pneus neige, 92\,\% ont réussi les lests de qualité ;
%\item parmi les pneus classiques, 96\,\% ont réussi les tests de qualité.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%
%Un client choisit un pneu au hasard dans le stock de production. On note :
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item $N$ l'évènement : \og Le pneu choisi est un pneu neige \fg{} ;
%\item $C$ l'évènement : \og Le pneu choisi est un pneu classique \fg{} ; 
%\item $Q$ l'évènement : \og Le pneu choisi a réussi les tests de qualité \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%
%\medskip
%
%\textbf{Rappel des notations :}
%
%Si $A$ et $B$ sont deux évènements, $p(A)$ désigne la probabilité que l'évènement $A$ se réalise et
%$p_B(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. On
%notera aussi $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.
%
%\smallskip
%
%Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.
%
%\smallskip
%
%\emph{Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Illustrer la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
Voici un arbre qui convient.
Les informations tirées de l'énoncé sont en noir.

\begin{center}
% Racine à Gauche, développement vers la droite
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=white]
\tikzstyle{feuille}=[fill=white]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{2}
\def\DistanceInterFeuilles{1.5}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$$};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$N$};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$Q$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{Q}$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$C$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$Q$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{Q}$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$0,4$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$0,92$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$\textcolor{red}{0,08}$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$\textcolor{red}{0,6}$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$0,96$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$\textcolor{red}{0,04}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin
 


\item %Calculer la probabilité de l'évènement $N \cap Q$ et interpréter ce résultat par une phrase.
$p(N\cap Q)=p(N)\times p_N(Q)$

$p(N\cap Q)=0,4\times 0,92$

$p(N\cap Q)=0,368$.

En prenant un pneu au hasard dans le stock, la probablité de choisir un pneu neige qui a réussi les tests de qualité est de 0,368.

\item %Montrer que $p(Q) = 0,944$.
Les événements N et C forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales,

$p(Q)=p(N\cap Q)+p(C\cap Q)$

$p(Q)=p(N \cap Q)+p(C)\times p_C(Q)$

$p(Q)=0,368+0,6\times 0,96$

$p(Q)=0,944$.

\item %Sachant que le pneu choisi a réussi les tests de qualité, quelle est la probabilité que ce pneu soit un pneu neige ?
On cherche $p_Q(N)$.

Or, $p_Q(N)=\dfrac{p(N\cap Q)}{p(Q)}$
\\[6pt]
$p_Q(N)=\dfrac{0,368}{0,944}$
\\[6pt]
$p_Q(N)\approx 0,390$.

Sachant que le pneu choisi a réussi les tests de qualité, la probabilité que ce pneu soit un pneu neige est environ de 0,390.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

%\medskip
%
%On appelle durée de vie d'un pneu la distance parcourue avant d'atteindre le témoin d'usure.
%
%On note $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque pneu classique sa durée de vie, exprimée
%en milliers de kilomètres. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 30$ et d'écart-type $\sigma =  8$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité qu'un pneu classique ait une durée de vie inférieure à 25 milliers de kilomètres ?
On cherche $p(X<25)$.

$\star$ \textbf{Première méthode}

On sait que $p(X<25)=p(X<30)-p(25<X<30)=0,5-p(25<X<30)$.

En déterminant $p(25<X<30)$ avec la calculatrice, cela donne :

$p(X<25)\approx 0,266$

$\star$ \textbf{Deuxième méthode}

En remplaçant $p(X<25)$ par $p\left( -10^{99}<X<25\right)$, on obtient le même résultat.

$\star$ \textbf{Conclusion}

La probabilité qu'un pneu classique ait une durée de vie inférieure à 25 milliers de kilomètres est environ de 0,266.

\item %Déterminer la valeur du nombre $d$ pour que, en probabilité, 20\,\% des pneus classiques aient une durée de vie supérieure à $d$ kilomètres. 
On cherche le réel $d$ vérifiant $p(X>d)=0,2$.

Or, $p(X>d)=1-p(X\leq d)$, donc $p(X>d)=0,2$ équivaut à $p(X\leq d)=0,8$.

La calculatrice donne $d\approx 36,733$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

%Une enquête de satisfaction effectuée l'an dernier a révélé que 85\,\% des clients étaient
%satisfaits de la tenue de route des pneus du fabricant. Ce dernier souhaite vérifier si le niveau
%de satisfaction a été le même cette année.
%
%Pour cela, il décide d'interroger un échantillon de $900$~clients afin de conclure sur l'hypothèse
%d'un niveau de satisfaction maintenu.
%
%Parmi les $900$ clients interrogés, $735$ sont satisfaits de la tenue de route.
%
%Quelle va être la conclusion du directeur avec un niveau de confiance $0,95$ ? Détailler les
%calculs, la démarche et l'argumentation.
Posons $n=900$ et $p=0,85$.

Alors $n\geq 30$, $np=900\times 0,85=765\geq 5$ et $n(1-p)=900\times 0,15=135\geq 5$.

Supposons que le taux de satisfaction reste le même que celui de l'année précédente.

En choisissant un échantillon aléatoire de 900 personnes parmi les clients, on a donc une probabilité de 95\% d'avoir une fréquence, sur l'échantillon, de clients satisfaits appartenant à l'intervalle 

\[\left[p-1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\,;\,p+1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]\]

Or, $p-1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\approx 0,826$ (arrondi par défaut)
et $p+1,96\times \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\approx 0,874$ (arrondi par excès).

Sous l'hypothèse d'un taux de satisfaction maintenu, on obtient comme intervalle de fluctuation asymptotique pour la fréquence ce clients satisfaits sur un échantillon de 900 personnes l'intervalle $[0,826\,;\,0,874]$.

Sur l'échantillon, la fréquence de clients satisfaits est $f=\dfrac{735}{900}\approx 0,817$.

$f\notin [0,826\,;\,0,874]$.

On rejète donc, au seuil de 95\%, l'hypothèse d'un taux de satisfaction maintenu.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

%\medskip
%
%Un site internet propose à ses abonnés des films à télécharger.
%
%Lors de son ouverture, 500 films sont proposés et chaque mois, le nombre de films proposés aux abonnés augmente de 6\,\%.

\bigskip

\textbf{Partie A}

%\medskip
%
%On modélise le nombre de films proposés par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ où $n$ désigne le nombre de mois depuis l'ouverture du site. On a donc $u_0 = 500$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$ et $u_2$ et donner le résultat arrondi à l'unité.
Augmenter de 6\% revient à multiplier par 1,06.

La raison de la suite géométrique $(u_n)_{n\geq 0}$ est $q=1,06$.

$u_1=u_0\times 1,06=500\times 1,06=530$

$u_2=u_1\times 1,06=530\times 1,06=561,8\approx 562$

\item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
La suite $(u_n)_{n\geq 0}$ étant géométrique de raison $q=1,06$, on a, pour tout entier naturel $n$ :

$u_n=u_0\times q^n$, soit $u_n=500\times 1,06^n$.

\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
Comme $u_0>0$ et $q>1$, on obtient : $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

%\medskip
%
%Dans cette partie, on souhaite déterminer à partir de combien  de mois le site aura doublé le nombre
%de films proposés par rapport au nombre  de films proposés à l'ouverture.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On veut  déterminer cette valeur à l'aide d'un algorithme.

%Recopier et compléter les lignes L3, L5 et L7 pour que l'algorithme donne le résultat attendu.
Voici les lignes L3, L5 et L7 complétées :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{l l X}
%L1 :& \textbf{Initialisation}&Affecter à $U$ la valeur 500\\
%L2 :&						&Affecter à $N$ la valeur $0$\\
L3 :& \textbf{Traitement}	&Tant que $U<\numprint{1000}$\\
%L4 :&						&\hspace{0,5cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
L5 :&						&\hspace{0,5cm}Affecter à $U$ la valeur $U\times 1.06$\\
%L6 :&						&Fin Tant que\\
L7 :&\textbf{Sortie}		&Afficher N\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item  %On veut maintenant utiliser une méthode algébrique Calculer le nombre de mois recherché.
On cherche le premier entier $n$ vérifiant $u_n\geq \numprint{1000}$.

\begin{tabbing}
Or, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geq \numprint{1000}$~
\=$\Leftrightarrow 500\times 1,06^n\geq \numprint{1000}$\\[6pt]
 \> $\Leftrightarrow 1,06^n\geq 2$\\
 \> $\Leftrightarrow \ln\left( 1,06^n\right)\geq \ln(2)$\\
 \> $\Leftrightarrow n\ln(1,06)\geq \ln(2)$\\[6pt]
 \> $\Leftrightarrow n\geq \dfrac{\ln(2)}{\ln(1,06)}$, car $\ln(1,06)>0$
\end{tabbing}

Or, $\dfrac{\ln(2)}{\ln(1,06)}\approx 11,90$.

C'est donc à partir du 12\up{e} mois que le nombre films proposés dépassera le double du nombre de films proposés à l'ouverture.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

%\medskip
%
%En raison d'une offre de bienvenue, le nombre d'abonnés au lancement est \numprint{15000}. Sur la base des
%premiers mois, on estime que  le nombre des clients abonnés au site évolue suivant la règle suivante :
%
%chaque mois,  10\,\% des clients se désabonnent et \numprint{2500} nouveaux abonnés sont enregistrés.
%
%On note $v_n$ l'estimation du nombre d'abonnés $n$ mois après l'ouverture, on a ainsi $v_0 =  \numprint{15000}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1} =  0,9 \times v_n + \numprint{2500}$.
Diminuer de 10\% revient à multiplier par 0,9.

Ainsi, on a bien, pour tout entier naturel $n$, 
$v_{n+1}=0,9\times v_n+\numprint{2500}$.
\item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = v_n -  \numprint{25000}$.

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que  la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$ et préciser son premier terme.
\begin{tabbing}
Pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}$~
\=$=v_{n+1}-\numprint{25000}$\\
 \> $=0,9v_n+\numprint{2500}-\numprint{25000}$\\
 \> $=0,9v_n-\numprint{22500}$\\[6pt]
 \> $=0,9\left( v_n-\dfrac{\numprint{22500}}{0,9}\right)$\\[6pt]
 \> $=0,9(v_n-\numprint{25000})$\\
 \> $=0,9w_n$
\end{tabbing} 

La suite $(w_n)_{n\geq 0}$ est donc bien une suite géométrique de raison $a=0,9$.

Son premier terme est $w_0=v_0-\numprint{25000}=\numprint{15000}-\numprint{25000}=-\numprint{10000}$.

		\item %En déduire que, pour tout entier $n, \: v_n =  \numprint{25000} - \numprint{10000} \times  0,9^n$.
La suite $(w_n)_{n\geq 0}$ étant géométrique, on , pour tout entier naturel $n$ :

$w_n=w_0\times a^n$, soit $w_n=\numprint{-10000}\times 0,9^n$.

Comme, pour tout entier naturel $n$, on a $w_n=v_n-\numprint{25000}$, on obtient :

$v_n=w_n+\numprint{25000}$, soit $v_n=\numprint{25000}-\numprint{10000}\times 0,9^n$.

		\item %Peut-on prévoir, à l'aide de ce modèle, une stabilisation du nombre d'abonnés sur le long terme ?  Justifier la réponse.
Comme $0<a<1$, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left( 0,9^n\right)=0$.

Par conséquent, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} v_n=\numprint{25000}$.

Le nombre d'abonnés va donc se stabiliser, sur le long terme, autour de \numprint{25000}.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%\parbox{0.5\linewidth}{Une compagnie aérienne utilise huit aéroports que l'on nomme A, B, C, D, E, F, G et H.
%
%Entre certains de ces aéroports, la compagnie propose des vols dans les deux sens.
%
%Cette situation est représentée par le graphe $\Gamma$ ci-contre, dans
%lequel :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{enumerate}
%\item[$\bullet~~$] les sommets représentent les aéroports,
%\item[$\bullet~~$] les arêtes représentent les liaisons assurées dans les deux
%sens par la compagnie.
%\end{enumerate}
%}\hfill
%\parbox{0.47\linewidth}{
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7,6)
%\cnodeput(0.4,3.6){A}{A}\cnodeput(2,4){B}{B}
%\cnodeput(4.5,3.5){C}{C}\cnodeput(3.4,2){D}{D}
%\cnodeput(1,1){E}{E}\cnodeput(6,4.6){F}{F}
%\cnodeput(6,2.6){G}{G}\cnodeput(4.8,0.6){H}{H}
%\ncline{A}{B}\ncline{A}{D}\ncline{A}{E}
%\ncline{B}{C}\ncline{D}{B}\ncline{B}{F}
%\ncline{C}{D}\ncline{C}{G}\ncline{D}{E}
%\ncline{F}{G}\ncline{G}{H}\ncline{E}{H}
%\end{pspicture}
%}

\medskip

\textbf{Partie A}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer, en justifiant, si le graphe $\Gamma$ est complet. 
Le graphe $\Gamma$  n'est pas complet, car par exemple, les sommets D et H ne sont pas adjacents.
		
		\item %Déterminer, en justifiant, si le graphe $\Gamma$ est connexe.
Le graphe $\Gamma$ est connexe.

Deux sommets quelconques du graphe peuvent, par exemple, être reliés par une chaîne extraite de celle-ci :

\[A-B-C-D-E-H-G-F\]

	\end{enumerate}
\item %Déterminer, en justifiant, si le graphe $\Gamma$ admet une chaîne eulérienne. Si oui, donner une telle chaîne.
Voici les degrés des différents sommets du graphe $\Gamma$ :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{8}{c|}}
\hline
Sommets&A&B&C&D&E&F&G&H\\
\hline
Degrés&3&4&3&4&3&2&3&2\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Le graphe $\Gamma$, qui est connexe, possède quatre sommets de degré impair.

D'après le théorème d'Euler, ce graphe ne possède donc pas de chaîne eulérienne.

\item %Donner la matrice d'adjacence $M$ du graphe $\Gamma$ en respectant l'ordre alphabétique des sommets du graphe.
La matrice d'adjacence cherchée est :
\[M=\begin{pmatrix}
0&1&0&1&1&0&0&0\\
1&0&1&1&0&1&0&0\\
0&1&0&1&0&0&1&0\\
1&1&1&0&1&0&0&0\\
1&0&0&1&0&0&0&1\\
0&1&0&0&0&0&1&0\\
0&0&1&0&0&1&0&1\\
0&0&0&0&1&0&1&0
\end{pmatrix}
\]

\item %Pour la suite de l'exercice, on donne les matrices suivantes : 
 
%\[M^2= \begin{pmatrix}3&1& 2& 2& 1& 1& 0& 1\\
%	1 &4 &1 &2 &2 &0 &2 &0\\
%	2 &1 &3 &1 &1 &2 &0 &1\\
%2 &2 &1 &4 &1 &1 &1 &1\\
%1&2&1&1&3&0&1&0\\
%1 &0 &2 &1 &0 &2 &0 &1\\
%0 &2 &0 &1 &1 &0&3&0\\ 
%1 &0 &1 &1 &0 &1 &0&2\end{pmatrix} \:\:\text{et}\:\: M^3 = \begin{pmatrix}
% 4 &8 &3 &7 &6 &1 &4 &1\\
% 8 &4 &8 &8 &3 &6 & 1 & 4\\
% 3 &8 &2 &7 &4 &1 &6 &1\\
%7 &8 &7 &6 &7 &3 &3 &2\\
%6 &3 &4 &7 &2 &3& 1 &4\\
%1& 6 &1 &3 &3 &0 &5 &0\\
%4 &1 &6&3 &1 &5 &0& 4\\
%1 &4 &1 &2 &4 &0 &4 &0\end{pmatrix}\]
%
%Un voyageur souhaite aller de l'aéroport B à l'aéroport H.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le nombre minimal de vols qu'il doit prendre, Justifier les réponses à l'aide des matrices données ci-dessus.
$\star$ Le terme d'indice $(2\,;\,8)$ de la matrice M est 0 ; on ne peut donc pas se rendre de l'aéroport B à l'aéroport H en un seul vol.

$\star$ Le terme d'indice $(2\,;\,8)$ de la matrice $M^2$ est 0 ; on ne peut donc pas se rendre de l'aéroport B à l'aéroport H en deux vols.

$\star$ Le terme d'indice $(2\,;\,8)$ de la matrice $M^3$ est 4 ; on peut donc se rendre de l'aéroport B à l'aéroport H en trois vols et il y a même 4 possibilités.

Le nombre minimal de vols pour se rendre de l'aéroport B à l'aéroport H est donc 3.
		
		\item %Donner tous les trajets possibles empruntant trois vols successifs.
Voici les trajets possibles :
\[B-A-E-H\quad;\quad B-D-E-H\quad;\quad B-C-G-H\quad;\quad B-F-G-H\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%\parbox{0.5\linewidth}{Les arêtes sont maintenant pondérées par le coût de chaque vol, exprimé en euros.
%
%Un voyageur partant de l'aéroport A doit se rendre à l'aéroport G.
%
%En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le trajet le moins cher.}\hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7,6)
%\cnodeput(0.4,3.6){A}{A}\cnodeput(2,4){B}{B}
%\cnodeput(4.5,3.5){C}{C}\cnodeput(3.4,2){D}{D}
%\cnodeput(1,1){E}{E}\cnodeput(6,4.6){F}{F}
%\cnodeput(6,2.6){G}{G}\cnodeput(4.8,0.6){H}{H}
%\ncline{A}{B}\ncput*[nrot=:U]{40}\ncline{A}{D}\ncput*[nrot=:U]{100}\ncline{A}{E}\ncput*[nrot=:U]{45}
%\ncline{B}{C}\ncput*[nrot=:U]{110}\ncline{B}{D}\ncput*[nrot=:U]{50}\ncline{B}{F}\ncput*[nrot=:U]{120}
%\ncline{D}{C}\ncput*[nrot=:U]{60}\ncline{C}{G}\ncput*[nrot=:U]{50}\ncline{E}{D}\ncput*[nrot=:U]{40}
%\ncline{F}{G}\ncput*[nrot=:U]{55}\ncline{H}{G}\ncput*[nrot=:U]{80}\ncline{E}{H}\ncput*[nrot=:U]{90}
%\end{pspicture}}
Voici l'algorithme de Dijkstra utilisé sur ce graphe :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{8}{>{\centering}m{1.1cm}|}c|}
 \hline
 A&B&C&D&E&F&G&H&Sommet\\
 \hline
 0&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&A\\
 \hline
  &0+40\par 40(A)&$\infty$&0+100\par 100(A)&0+45\par 45(A)&$\infty$&$\infty$&$\infty$&B\\
 \hline
  & &40+110\par 150(B)&40+50\par 90(B)&45(A)&40+120\par 160(B)&$\infty$&$\infty$&E\\
 \hline
  & &150(B)&45+40\par 85(E)& &160(B)&$\infty$&45+90\par 135(E)&D\\
 \hline
  & &85+160\par 145(D)& & &160(B)&$\infty$&135(E)&H\\
 \hline
  & &145(D)& & &160(B)&135+80\par 215(H)& &C\\
 \hline
  & & & & &160(B)&145+50\par 195(C)& &F\\
 \hline
  & & & & & &160+55\par 195(C)& &G\\
 \hline
 \end{tabular}
\end{center}

Le trajet le moins cher est donc le trajet $A-E-D-C-G$ et coûte 195~\euro.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

%\medskip
%
%Soit $f$  la fonction définie sur [0~;~8] par 
%
%\[f(x) = \dfrac{0,4}{20\text{e}^{- x} + 1}  + 0,4.\]

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $f'(x) = \dfrac{8\text{e}^{- x}}{\left(20\text{e}^{- x} + 1 \right)^2}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
$f=0,4\times \dfrac{1}{v}+0,4$ avec, pour tout $x\in I=[0\,;\,8]$, $v(x)=20\e^{-x}+1$.

La fonction $v$ est dérivable et strictement positive sur I.

Par conséquent, la fonction $\dfrac{1}{v}$, puis $f$ sont également dérivables sur I.

$f'=0,4\times \left( \dfrac{-v'}{v^2}\right)+0$, avec pour tout $x\in I$,
$v'(x)=20\times \left( -\e^{-x}\right)=-20\e^{-x}$.

Donc, pour tout $x\in I$,
$f'(x)=0,4\times \dfrac{-\left( -20\e^{-x}\right)}{\left( 20\e^{-x}+1\right)^2}=\dfrac{8\e^{-x}}{\left( 20\e^{-x}+1\right)^2}$.

\item %Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|X|}\hline
%1 & $f'(x) : = 8* \text{e }\hat{\:} (- x) / (20*\text{e }\hat{\:} (- x)+1)^2$ \\
%%1	& $f'(x) :  8*\text{e}\verb?^? (- x)/(20*\text{e}\verb?^? (- x)+1)^2$\\
%	&$\to f'(x) :\dfrac{8 \cdot \text{e}^{- x}}{400\left(\text{e}^{- x}\right)^2 + 40\text{e}^{- x} + 1}$
%\\ \hline
%2	& $g(x) : =$ Dérivée $[f'(x)]$\\
% & $\to g(x) : = \dfrac{160\left(\text{e}^{- x}\right)^2 -8\text{e}^{- x} }{8000 \left(\text{e}^{- x}\right)^3+1200\left(\text{e}^{- x}\right)^2+60\text{e}^{- x}+1}$ \\ \hline
%3	& Factoriser $[g(x)]$\\
% & $\to 8\text{e}^{- x} \cdot \dfrac{20\text{e}^{- x} - 1}{\left(20\text{e}^{- x} + 1\right)^3}$ \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%En s'appuyant sur ces résultats, déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
Le logiciel de calcul formel donne $g(x)=f''(x)=8\e^{-x}\times \dfrac{20\e^{-x}-1}{\left(20\e^{-x}+1\right)^3}$.

Pour tout réel $x$, $8\e^{-x}>0$ et $\left( 20\e^{-x}+1\right)^3>0$, donc le signe de $g(x)$ est le même que celui de $20\e^{-x}-1$.

\begin{tabbing}
Or pour tout réel $x$, $20\e^{-x}-1>0$~\=$\Leftrightarrow 20\e^{-x}>1$\\[6pt]
 \> $\Leftrightarrow \e^{-x}>\dfrac{1}{20}$\\[6pt]
 \> $\Leftrightarrow -x>\ln\left( \dfrac{1}{20}\right)$\\[6pt]
 \> $\Leftrightarrow -x>-\ln(20)$\\
 \> $\Leftrightarrow x<\ln(20)$
\end{tabbing}

On obtient donc le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,lgt=2.5,espcl=4,colorC=blue!20,colorV=blue!20]
{$x$/1,$f''(x)$/1,Convexité\\de $f$/2}
{$0$,$\ln(20)$,$8$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabLine{,\text{Convexe},t,\text{Concave},}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

La fonction $f$ est donc convexe sur l'intervalle $[0\,;\,\ln 20]$.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A
%et B situés à deux altitudes différentes. La fonction $f$, définie dans la partie A, modélise le
%profil de ce projet routier. La variable $x$ représente la distance horizontale, en kilomètres,
%depuis le village A et $f(x)$ représente l'altitude associée, en kilomètres.
%
%\smallskip
%
%La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.
%\begin{center}
%\psset{xunit=1cm,yunit=4cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(8.2,1.05)
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
%{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{8}{0.4 20 2.71828 x exp div 1 add div 0.4 add}
%\psline(8,0)(0,0)}
%\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,1)}
%\multido{\n=0.0+0.2}{6}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(8,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,0)(8.2,1.05)
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{8}{0.4 20 2.71828 x exp div 1 add div 0.4 add}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0.419)(8,0.797)
%\uput[ur](0,0.419){A}\uput[ur](8,0.797){B}\uput[u](5.5,0.78){$\mathcal{C}_f$}
%\uput[u](8.1,0){$x$}\uput[l](0,1.02){$f(x)$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Dans cet exercice, le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en un point $M$ est appelé \og pente  en M \fg.
%
%On précise aussi qu'une pente en $M$ de 5\,\% correspond à un coefficient directeur de la
%tangente à la courbe de $f$ en $M$ égal à $0,05$.
%
%Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu'en aucun point de $\mathcal{C}_f$ la pente ne
%dépasse 12\,\%.
%
%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en
%justifiant la réponse.}
%
%\medskip

\textbf{Proposition 1}

L'altitude du village B est 0,6~km : fausse.

$f(8)=\dfrac{0,4}{20\times \e^{-8}+1}+0,4\approx 0,797$.
\\[6pt]
L'altitude du village B est environ de 0,797 km.

\textbf{Proposition 2}

L 'écart d'altitude entre les  villages A et B est $378$ mètres, valeur arrondie au mètre : vraie.
\\[6pt]
$f(8)-f(0)=\dfrac{0,4}{20\times \e^{-8}+1}+0,4-\left( \dfrac{0,4}{20\times \e^{0}+1}+0,4\right)\approx 0,378$.
\\[6pt]
L 'écart d'altitude entre les  villages A et B est bien environ de $378$ mètres.

\textbf{Proposition 3}

La pente en A vaut environ 1,8\,\% : vraie.
\\[6pt]
$f'(0)=\dfrac{8\e^0}{\left( 20\e^0+1\right)^2}=\dfrac{8}{441}\approx 0,018=1,8\,\%$.
\\[6pt]
La pente en A vaut bien environ 1,8\,\%.

\textbf{Proposition 4}

Le projet de route ne sera pas accepté : fausse.

Le maximum de $f'$ est atteint en 3, car $f$ change de convexité en 3 en passant de convexe à concave.

Or, $f'(3)=\dfrac{8\e^{-3}}{\left( 20\e^{-3}+1\right)^2}\approx 0,1=10\,\%<12\,\%$.

Par conséquent, la pente de la route sera toujours inférieure à 12\,\%.
\end{document}