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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{16 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Centres étrangers 16 juin 2011~\decofourright
}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal du plan \Oij, la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[- 6~;~6]$.
% 
%La droite $(T)$ d'équation $y  = x + 3$ est tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$  au point I de coordonnées $(0~;~3)$. 
%
%\medskip
%
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture*}(-7,-2.5)(7,7)
%\def\pshlabel#1{\small #1}
%\def\psvlabel#1{\small #1}
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-7,-2.5)(7,7)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-7,-2.5)(7,7)
%\def\f{-x^4/96-3*x^3/16-7*x^2/12+x+3}
%\def\g{0.001588*x^5-0.017613*x^4+0.051399*x^3-0.295048*x^2+x+3}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{-6}{0}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{6}{\g}
%\psdots[dotstyle=+,linecolor=blue,linewidth=1.5pt,dotscale=1.5](-6,3)(-4,-1)(-2,0)(0,3)(2,4)(5.5,0)(6,-1)
%\psline(-5.5,-2.5)(4,7)
%\uput[dl]{45}(2.75,5.75){$(T) : \quad y = x + 3$}
%\rput(5.5,1){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
%\uput[ul](0,3){I}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%\emph{Cet exercice est un \textbf{questionnaire à choix multiples}. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.}
%
%\emph{Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\begin{enumerate}
\item Le nombre dérivé de $f$ en $0$ est : 1 : le coefficient directeur de la droite d'équation $y = 1x + 3$ est égal à 1.
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~ $0$&\textbf{b.}~~ 1& \textbf{c.}~~ 3\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\item %On pose J $= \displaystyle\int_{- 1}^{0} f(x)\:\text{d}x$. On peut affirmer que : 
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}~~ $-2< \text{J}<0$&\textbf{b.}~~ $-4 <\text{J} <-2$&\textbf{c.}~~ $2 < \text{J} < 4$\\
%\end{tabularx}
On voit que l'aire de la surface limitée par la courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équation $x = - 1$ et $x = 0$ est un peu supérieure à 2.
\medskip
 
\item %On appelle $F$ une primitive de $f$ sur l'intervalle $[- 6~;~6]$.
%	\begin{enumerate}
%		\item $F$ est croissante sur l'intervalle $[-3~;~2]$ ; 
%		\item $F$ est décroissante sur l'intervalle $[-1~;~5]$ ; 
%		\item $F$ est croissante sur l'intervalle $[-1~;~5]$ 
%	\end{enumerate
La croissance de $F$ dépend du signe de sa dérivée $f$ ; $f$ est positive sur $[- 1~;~5]$, donc $F$ est croissante sur cet intervalle.
\item  %On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[- 6~;~6]$ par : $g(x)~=~\text{exp}~[f(x)]~=~\text{e}^{f(x)}$ On peut affirmer que :
%	\begin{enumerate}
%		\item la fonction $g$ a les mêmes variations que $f$ sur l'intervalle $[- 6~;~6]$. 
%		\item la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[- 6~;~6]$
%		\item la fonction $g$ a les variations inverses de celles de $f$ sur l'intervalle $[- 6~;~6]$. 
%	\end{enumerate}
On a $g'(x) = f'(x)\text{e}^{f(x)}$, or $\text{e}^{f(x)} > 0$ quel que soit le réel $x$, donc $f'$ et $g'$ ont le même signe donc $f$ et $g$ ont les mêmes variations.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

%Le tableau ci-dessous présente l'évolution du nombre d'internautes en Chine de 2002 à 2009.
% 
%Les rangs des années sont calculés par rapport à l'année 2000.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année 	&2002	& 2003	& 2004	&2005	&2006 	&2007 	&2008 &2009\\ \hline 
%Rang de l'année $x_{i}$
%		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 		&9 \\ \hline
%Nombre d'internautes $y_{i}$ (en millions)
%		&60 	&70 	&95  	&100 	&140 	&160 	&250 	&385\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
% 
%On cherche à étudier l'évolution du nombre d'internautes en fonction du rang $x$ de l'année.
\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux d'évolution de ce nombre d'internautes entre 2002 et 2009. On donnera le résultat à $0,1$ près.
Le taux d'évolution  entre 2002 et 2009 est égal à $\dfrac{385 - 60}{60} = \dfrac{\np{325}}{60} \approx 5,4$ à 0,1 près. 
\item ~%Représenter sur votre copie le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique dans le plan muni d'un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item Sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 1 an, 
%\item Sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour $20$~millions d'internautes (en plaçant 50 à l'origine).
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture}(0,50)(10,350)
\multido{\n=0.0+0.5}{21}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,350)}
\multido{\n=0+10}{36}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=cyan](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=50,Dy=50]{->}(0,0)(10,350)
\psdots(2,10)(3,20)(4,45)(5,50)(6,90)(7,110)(8,200)(9,335)
\psplot[plotpoints=100,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3}{10}{x  41 mul 116 sub}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item On cherche dans un premier temps un ajustement affine. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients arrondis à l'unité}). Tracer cette droite sur le graphique précédent.
La calculatrice donne$y = 41x - 66$. 
		\item %En supposant que cet ajustement reste valable pour l'année suivante, donner une estimation, arrondie au million, du nombre d'internautes en Chine en 2010.
2010 correspond au rang $x = 10$ ; le nombre estimé d'internautes devrait être de $41 \times 10 - 66 = 344$.
	\end{enumerate} 
\item %Une étude récente a montré qu'au 1\up{er} mai 2010, on a dépassé les 400~millions d'internautes en Chine. On envisage donc un ajustement exponentiel et on pose $z = \ln y$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $z_{i}$ au millième : 
		
\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$x_{i}$				&2		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 		&9\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$	&4,094	&4,249	&4.554	&4,605	&4,942	&5,075	&5,521	&5,953\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item %Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients arrondis au millième}).
La calculatrice livre $z = 0,253x + 3,481$ (les coefficients sont arrondis au millième).
		\item %En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$.
On a pour$y > 0$,\: $z = \ln y \iff y = \text{e}^{z} =  \text{e}^{0,253x + 3,481} = \text{e}^{0,253x} \times \text{e}^{3,481}$.

Or $\text{e}^{3,481} \approx 32,492$.

Finalement : $y = 32,492\text{e}^{0,253x}$.
		\item %En prenant l'approximation $y \approx  32,5 \times \text{e}^{0,253 x}$ et en supposant qu'elle reste valable pour les années suivantes, donner une estimation, arrondie au million, du nombre d'internautes en 2012.
2012 correspond au rang 12. Avec cet ajustement exponentiel le nombre estimé d'internautes est égal à :

$y = 32,5 \times \text{e}^{0,253 \times 12} \approx 677$ millions.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat ayant suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

%On considère la fonction $f$, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~10]$ et tout réel $y$ de l'intervalle $[0~; ~8]$ par 
%
%\[f (x~;~y) =\dfrac{1}{4}xy.\]
%
%La représentation graphique de la surface (S) d'équation $z = f (x~;~y)$ dans un repère orthonormé \Oijk est donnée en \textbf{annexe 1}. 
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Sur le graphique  de l'\textbf{annexe 1} colorer la courbe de niveau $(\Gamma)$ de cote 10.
Voir la figure à la fin. 
%Donner la nature de  cette courbe.

Les coordonnées des points de la courbe vérifient $z = 10 = \dfrac{1}{4}xy \iff 40 = xy \iff y = \dfrac{40}{x}$ avec $0< x \leqslant 10$ et $0 \leqslant y \leqslant 8$.

C'est une branche d'hyperbole. 
\item  %Placer sur le graphique de l'\textbf{annexe 1} le point C d'ordonnée 5 appartenant à cette courbe ($\Gamma$). 
Voir la surface.
%Déterminer graphiquement l'abscisse de ce point.

C$(x~;~5) \in \Gamma \iff 5 = \dfrac{40}{x} \iff x = \dfrac{40}{5} = 8$.

Donc C$(8~;~5~;~10)$. 
 \item   %Vérifier que le point B de coordonnées $(6~;~2~;~3)$ appartient à la surface (S).
$\dfrac{1}{4} \times 6 \times 2 = \dfrac{12}{3} = 4$ : le point B de coordonnées $(6~;~2~;~3)$ appartient à la surface (S). 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Les membres du bureau du foyer socio-éducatif d'un lycée font une étude pour déterminer quelle cotisation demander par élève au cours de l'année 2010.
%
%Ils voudraient investir le quart des cotisations dans la rénovation de la salle de détente, réservée aux élèves. 
%
%Si la cotisation s'élève à $x$ euros avec $0 \leqslant x \leqslant 10$ et si $y$ centaines d'élèves adhèrent au foyer avec $0  \leqslant  y  \leqslant 8$, la somme allouée aux travaux de rénovation de la salle de détente en centaines d'euros sera égale à $f(x~;~y)$. 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la somme allouée à la rénovation de la salle de détente lorsque la cotisation est fixée à  6 euros par élève et que 600 élèves sont adhérents au foyer ? 
On a donc $x = 6$ et $y = 6$, d'où $f(6~;~6) = \dfrac{1}{4} \times 6 \times 6 = 9$.

La somme allouée sera égale à 900~\euro.
\item  %Les membres du foyer font l'hypothèse que le nombre $y$, en centaines d'adhérents, et le nombre $x$, en euros, sont directement liés par la relation $y  =  12 - x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, sous cette contrainte, on peut exprimer $f(x~;~ y)$ en fonction de la seule variable $x$ sous la forme $h(x) =  3x - \dfrac{1}{4}x^2$.
Les nombres $x$ et $y$ vérifient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
f(x~;~y)&=&\frac{1}{4}xy\\
y  &=&  12 - x
\end{array}\right. \Rightarrow f(x~;~y) = \frac{1}{4}x(12 - x) = 3x - \dfrac{1}{4}x^2 = h(x)$.
		\item %Déterminer pour quelle valeur de $x$ la somme allouée sera la plus élevée.
 

%$h(x) = - \dfrac{1}{4}x^2 + 3x = - \dfrac{1}{4}\left(x^2 - 12 \right)$.

On a $0 \leqslant x \leqslant 10$ et $0  \leqslant  y  \leqslant 8$, soit comme $y = 12 - x, \: 0  \leqslant  12 - x  \leqslant 8 \iff $

$- 12 \leqslant - x \leqslant - 4 \iff 4 	\leqslant  x \leqslant 12$ et finalement compte tenu de la première condition sur $x$, on étudie $h$ sur l'intervalle [4~;~10].

$h(x)$ est un trinôme du second degré  :	son extremum est atteint pour 

$x = - \dfrac{b}{2a} = - \dfrac{3}{2\times \left(- \frac{1}{4}\right)} = 6$ qui appartient bien à l'intervalle [4~;~10].
		\item %De quelle somme en euros disposeront les membres du foyer pour la rénovation dans ce cas ?
La somme allouée la plus élevée est égale à $h(6) = 18 - \frac{36}{4} = 18 - 9 = 9$ soit 900~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle I $ = \left[0~;~\dfrac{3}{2}\right[$ par 
%
%\[f(x) = \ln(- 2x + 3) + 2x.\]
%
%La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle I et  on note $f'$ sa fonction dérivée. 

\begin{enumerate}
\item %Étudier la limite de $f$ en $\dfrac{3}{2}$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to \frac{3}{2}} - 2x + 3 = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to \frac{3}{2}} \ln ( - 2x + 3) = - \infty$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to \frac{3}{2}} 2x = 3$ , on a finalement :

$\displaystyle\lim_{x \to \frac{3}{2}} f(x) = - \infty$ : la droite verticale d'équation $x = \frac{3}{2}$ est asymptote à la représentation graphique de $f$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $f'$ est définie sur l'intervalle I par $f'(x) = \dfrac{- 4x + 4}{- 2x + 3}$.
Sur I, on a :

$f'(x) = \dfrac{- 2}{- 2x + 3} + 2 = \dfrac{- 2 - 4x + 6}{- 2x + 3} = \dfrac{4 - 4x}{- 2x + 3} = \dfrac{4(1 - x)}{- 2x + 3}$.
		\item %Déterminer le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle I et donner le tableau des variations de $f$.
		Sur I, $- 2x + 3 > 0$, le signe de $f'(x)$ est donc celui de $1 - x$.
		
Donc sur [0~;~1], $1 - x > 0$, donc $f'(x) \geqslant 0$ et 

sur $\left[1~;~\frac{3}{2}\right[, \: f'(x) \leqslant 0$.

Avec $f(0) = \ln 3, \: f(1) = 2$ il suit le tableau de variations suivant de $f$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)
\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\psline[doubleline=true](6.7,0)(6.7,2.5)
\rput(2.5,2.25){+} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$-$}
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.15,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$1$} \uput[u](6.7,2.4){$\frac{3}{2}$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} \rput(0.5,1){$f(x)$} 
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.3,0.5)
\uput[u](1.3,0){$\ln 3$}\uput[u](6.3,0){$- \infty$}\uput[d](4,2){$2$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, sur l'intervalle [0~;~1], l'équation $f(x) = 1,9$ admet une unique solution $\alpha$.
Sur l'intervalle [0~;~1], la fonction $f$ continue car dérivable  sur cet intervalle est strictement croissante de $\ln 3 \approx 1,1$ à 2 : il existe donc un réel unique $\alpha \in [0~;~1]$ tel que $f(\alpha) = 1,9$.
		\item %Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut de $\alpha$.
La calculatrice donne :

$f(0,7)- \approx 1,87$ et $f(0,8) \approx 1,94$, donc $0,7 < \alpha < 0,8$ ;

$f(0,74) \approx 1,899$ et $f(0,75) \approx 1,906$, donc $0,74 < \alpha < 0,75$ ;

$f(0,741) \approx 1,899$ et $f(0,742) \approx 1,9001$, donc $0,741 < \alpha < 0,742$.

Une valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut de $\alpha$ est donc 0,74. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}  Application de la partie A

\medskip
 
%Une entreprise, fournisseur d'énergie, envisage d'installer un parc d'éoliennes en pleine mer.
%
%L'installation du parc en mer nécessite un câblage coûteux et délicat, mais le fait d'éloigner les éoliennes des turbulences dues aux reliefs de la côte améliore leur rendement.
% 
%On note $x$ la distance en dizaines de kilomètres séparant le parc de la côte.
%
%\medskip
% 
%Pour des raisons techniques, l'installation doit se faire entre deux et douze kilomètres de la côte, c'est-à-dire qu'on a $0,2 \leqslant x \leqslant 1,2$.
% 
%Un service spécialisé, au sein de l'entreprise, arrive à la modélisation suivante :
% 
%Si l'installation se fait à $x$ dizaines de kilomètres de la côte, le bénéfice en centaines de milliers d'euros réalisé, par année de fonctionnement du parc, est donné par $f(x)$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %À combien de kilomètres de la côte le fournisseur d'énergie doit-il placer le parc pour que son bénéfice soit maximal ?
On a vu que le maximum de $f$ entre 0 et 1,5 donc aussi entre 0,2 et 1,2 est égal à $f(1) = 2$.  
		\item %Déterminer le bénéfice réalisé, en euros, en plaçant le parc à cette distance.
Le bénéfice est alors de \np{200000}~\euro.
	\end{enumerate} 
\item %À partir de quelle distance $x$ de la côte, exprimée en dizaines de kilomètres, le bénéfice dépasse-t-il \np{190000}~euros ? 
On a vu que $f(\alpha) = 1,9$, ce qui correspond à \np{190000}~euros.

Le bénéfice dépasse \np{190000}~euros quand la distance dépasse $\alpha$, soit environ 7,4~km \ldots mais le bénéfice baisse ensuite à partir de 10 km et atteint à nouveau \np{190000}~euros quand $f(\beta) = 1,9$ avec $\beta \in [1~;~1,2]$.

La calculatrice donne $\beta \approx 1,192$, donc finalement bénéfice dépassera \np{190000}~euros si les éoliennes sont placées à une distance comprise entre 7,4 et 11,92~km.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Un producteur de fruits rouges propose en vente directe des framboises, des groseilles et des myrtilles. 
%
%Le client peut acheter, soit des barquettes de fruits à déguster, soit des barquettes de fruits à confiture. 
%
%Le producteur a remarqué que, parmi ses clients, 9 sur 10 achètent une barquette de fruits à confiture. Lorsqu'un client achète une barquette de fruits à confiture, la probabilité qu'il demande une barquette de myrtilles est de $0,3$ et la probabilité qu'il demande une barquette de groseilles est de $0,5$.
%
% Lorsqu'un client achète une barquette de fruits à déguster, il ne demande jamais des groseilles et demande des framboises dans 60\,\% des cas. 
%
%Un client achète une barquette. On notera :
%
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item C l'évènement \og le client achète une barquette de fruits à confiture \fg, 
%\item F l'évènement \og le client demande des framboises \fg, 
%\item G l'évènement \og le client demande des groseilles \fg, 
%\item M l'évènement \og le client demande des myrtilles \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
 
\begin{enumerate}
\item %Reporter sur l'arbre donné en \textbf{annexe 2} les données de l'énoncé.
Voir sur l'annexe. 
%On pourra compléter l'arbre avec les réponses obtenues dans les questions suivantes. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité que le client demande des framboises sachant qu'il achète une barquette de fruits à confiture.
On lit sur la deuxième branche :  $p_{\text{C}}(\text{F}) = 0,2$.
		\item %Le client achète une barquette de fruits à déguster ; quelle est la probabilité qu'il demande des myrtilles ?
On lit sur la quatrième branche :  $p_{\overline{\text{C}}}(\text{M}) = 0,4$.
	\end{enumerate}
\item %Montrer que la probabilité que le client achète une barquette de framboises est égale à $0,24$.
On a : $p(\text{C} \cap \text{F}) = 0,9 \times 0,2 = 0,18$ ;

De même  $p\left(\overline{\text{C}} \cap \text{F}\right) = 0,1 \times 0,6 = 0,06$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(\text{F}) = p(\text{C} \cap \text{F})  + p\left(\overline{\text{C}} \cap \text{F}\right) = 0,18 + 0,08 = 0,24$.
\item %Le client achète une barquette de framboises. Quelle est la probabilité que ce soit une barquette de fruits à confiture ?
Il faut trouver :

$p_{\text{F}}(\text{C}) = \dfrac{p(\text{F} cap \text{C})}{p(\text{F})} = \dfrac{0,9 \times 0,2}{0,24} = \dfrac{0,18}{0,24} = \dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4} = 0,75$. 
\item %Le producteur vend 5~euros la barquette de fruits à confiture, quel que soit le fruit, 2~euros la barquette  de framboises à déguster et 3~euros la barquette de myrtilles à déguster; 
	\begin{enumerate}
		\item ~%On note $x_{i}$ les valeurs possibles, en euros, du gain du producteur par barquette vendue et $p_{i}$ leur probabilité. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi du gain du producteur par barquette vendue. On justifiera les réponses.
		
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.5} 
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur : $x_{i}$				&5		&2		&3\\ \hline 
Probabilité associée : $p_{i}$	&0,9	&0,06	&0,04\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item %Calculer l'espérance de cette loi de probabilité.
On a E$(X) =  5 \times 0,9 + 2 \times 0,06 + 3 \times 0,04 = 4,5 + 0,12 + 0,12 = 4,74$.

La valeur moyenne d'une barquette vendue est de 4,74~\euro.
		\item %Déterminer le gain en euros que le producteur peut espérer pour 150~barquettes vendues ?
Le résultat précédent montre que pour 150 barquettes vendues avec un gain moyen de 4,74~\euro, le gain sera de :

\[150 \times 4,74 = 711~(\text{\euro}).\]
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe}

\vspace{0,5cm}

\textbf{(à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 4}
\end{flushleft}

\vspace{3cm}

\pstree[treemode=R,treesep=1cm,levelsep=3cm,treenodesize=5pt,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt]{\TR{}}{
\pstree{\TR{$C$~}\taput{0,9}}
	{\TR{$M$}\taput{0,3}
	\TR{$F$}\taput{0,2}
	\TR{$G$}\tbput{0,5}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$~}\tbput{0,1}}
	{\TR{$M$}\taput{0,4}
	\TR{$F$}\tbput{0,6}
	}
}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1\\(à rendre avec la copie)}
\end{center}
\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 2 (enseignement de spécialité)}
\end{flushleft}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(16,14.5)
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\definecolor{C8} {rgb}{.92 .86 .95}
\definecolor{C9} {rgb}{.72 .55 .68}
\definecolor{C10} {rgb}{.96 .9 0.88}
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\pstThreeDPut(-1,0,5){$z$}

%surface
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% z = 0 à z= 20
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\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2,linecolor=C2]{
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\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](2,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1,linecolor=C1]{
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\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](1,0){t 10 t}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){0 t 0}}

% lignes de niveau
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=prune}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,1){t  10  t div 1}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,2){t  20  t div 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,3){t  30  t div 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,4){t  40  t div 4}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50,linecolor=red,linewidth=2pt](10,5){t  50  t div 5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,6){t  60  t div 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,7){t  70  t div 7}
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\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](10,9){t  90  t div 9}

\psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=8,xPlotpoints=10,linewidth=0.5pt,linecolor=bleu](0,10)(0,10){x y mul 10 div}  
%la légende
\psset{unit=0.4cm}
%\psframe[linewidth=0.1pt,linecolor=darkgray](27.6,5.6)(32,21.6)
\psset{linewidth=0.1pt, fillstyle=solid,linecolor=prune}
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\psframe[ fillcolor=C4](28,10.8)(28.8,11.6)  \rput[l](29.6,11.2){\small{\textsf{6-8}}}
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\end{center}
\end{document}