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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Surface : Arié Yallouz et relecture : un grand merci
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {La Réunion  23 juin 2010},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small 23 juin 2010}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES La Réunion 23 juin 2010~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule réponse est exacte. Le candidat notera à chaque fois sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip
% 
%\emph{Le barème sera établi comme suit :
%\setlength\parindent{10mm}
%\begin{itemize}
%\item[] pour une réponse exacte aux questions 1, 2, 3 et 4 : 0,5 point,
%\item[] pour une réponse exacte aux questions 5 et 6 : 1 point, 
%\item[] pour une réponse fausse ou l'absence de réponse: 0 point.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}}
%
%\medskip
% 
%Pour toutes les questions, on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par : 
%
%\[f(x) = 2 - \dfrac{1}{x + 1}.\]
% 
%On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère donné du plan. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On a :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = - 1$&$\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = 2$&$\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = - \infty$\\
%\end{tabularx}
%\medskip
$\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = - \infty$
\item %La courbe $\mathcal{C}$  admet une asymptote d'équation:

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$y = 2$&$y = -1$&$x = 2$\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
$y = 2$ au voisinage de plus l'infini.
\item %Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-1~;~+ \infty[,~f(x)$ peut s'écrire:

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$f(x) = \dfrac{2x}{x + 1}$&$f(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 1}$&$f(x) = \dfrac{1}{x + 1}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
$f(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 1}$
\item %Le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ est donné par le tableau : 
Tableau \no 2.
%\bigskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.7cm}\begin{pspicture}(3.9,2)
%\psframe(3.9,2) \psline(0,1)(3.9,1)\psline(0.9,0)(0.9,2)
%\psline(1.05,0)(1.05,1)\psline(1.15,0)(1.15,1)\uput[u](0.45,1){$x$} \uput[u](1.1,1){$-1$} \uput[u](2.4,1){$0$} 
%\uput[u](3.5,1){$+ \infty$}
% \uput[u](0.45,0){$f(x)$}\uput[u](1.7,0){$-$} \uput[u](2.4,0){$0$} 
%\uput[u](3.15,0){$+$}\uput[u](0.1,2){$\bullet$} 
%\end{pspicture}&\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.7cm}\begin{pspicture}(3.9,2)
%\psframe(3.9,2) \psline(0,1)(3.9,1)\psline(1.05,0)(1.05,1)\psline(1.15,0)(1.15,1)\psline(0.9,0)(0.9,2)
%\uput[u](0.45,1){$x$}\uput[u](1.1,1){$-1$}
%\uput[u](3.5,1){$+ \infty$} 
% \uput[u](0.45,0){$f(x)$} \uput[u](2.4,0){$+$}\uput[u](0.1,2){$\bullet$}
%\end{pspicture}&\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.7cm}\begin{pspicture}(3.9,2)
%\psframe(3.9,2) \psline(0,1)(3.9,1)\psline(1.05,0)(1.05,1)\psline(1.15,0)(1.15,1)\psline(0.9,0)(0.9,2)
%\uput[u](0.45,1){$x$}\uput[u](1.1,1){$-1$}\uput[u](2.4,1){$-\frac{1}{2}$} 
%\uput[u](3.5,1){$+ \infty$}  \uput[u](0.45,0){$f(x)$}\uput[u](1.7,0){$-$} \uput[u](2.4,0){$0$} \uput[u](3.1,0){$+$}\uput[u](0.1,2){$\bullet$}
%\end{pspicture}\\
%\end{tabularx}
%\medskip

\item %Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ est:

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$\dfrac{3}{2}$&$\dfrac{1}{4}$&$-\dfrac{1}{2}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip
On a $f'(x) = \dfrac{1}{(x + 1)^2} > 0$ , donc $f'(1) = \dfrac{1}{4}$.
\item %L'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$, est égale à :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$ - 2 + \ln 2$ & $2 - \ln 2$ &$\dfrac{3}{2}$
%\end{tabularx}
%\medskip
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur  $]-1~;~+ \infty[$ par : par $F(x) = 2x - \ln (x + 1)$.

Donc comme la fonction est positive sur [0~;~1], l'aire est égale à :

$\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0) = 2 \times 1 - \ln (1 + 1) - [ 2 \times 0 - \ln (0 + 1)] = 2 - \ln 2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Un chalutier se rend sur sa zone de pêche. La probabilité qu'un banc de poissons soit sur cette zone est de $0,7$. Le chalutier est équipé d'un sonar pour détecter la présence d'un banc de poissons. Si un banc est présent, le sonar indique la présence du banc dans 80\:\% des cas. S'il n'y pas de banc de poissons dans la zone de pêche, le sonar indique néanmoins la présence d'un banc dans 5\:\% des cas.

\medskip
 
On note :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[] $B$ l'évènement : \og il y a un banc de poissons sur zone \fg{} et $\overline{B}$ l'évènement contraire de $B$, 
\item[] $S$ l'évènement: \og le sonar indique l'existence d'un banc de poissons \fg{} et $\overline{S}$ l'évènement contraire de $S$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant. 
Le détail des calculs n'est pas demandé. 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesep=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$B$~}\taput{$0,7$}}
		{
		\TR{$S$}\taput{0,8}
		\TR{$\overline{S}$}\tbput{0,2}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{B}$~}\tbput{$0,3$}}
		{
		\TR{$S$}\taput{0,05}
		\TR{$\overline{S}$}\tbput{0,95}
 		}
}
\end{center}

\medskip

\item %Déterminer la probabilité $p(B \cap S)$ qu'il y ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le détecte.
$p(B \cap S) = p(B) \times p_B(S) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$. 
\item %Montrer que la probabilité que le sonar indique la présence d'un banc de poissons (réel ou fictif) est $0,575$.
On a $p\left(\overline{B} \cap S\right) = p\left(\overline{B}\right) \times p_{\overline{B}}(S) = 0,3 \times 0,05 = 0,015$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(S) = p(B \cap S) + p\left(\overline{B} \cap S\right) = 0,56 + 0,015 = 0,575$. 
\item %Lors d'une sortie en mer, le pêcheur se trouve toujours dans l'une des trois situations suivantes :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] \emph{Situation 1} : un banc de poissons est présent sur la zone et le sonar le détecte. Le filet est lancé et la pêche est fructueuse. Dans ce cas le pêcheur gagne \np{2000}~euros. 
%\item[] \emph{Situation 2} : il n'y a pas de banc de poissons sur zone mais le sonar en signale un. Le filet est lancé pour rien. Dans ce cas le pêcheur perd $500$~euros. 
%\item[] \emph{Situation 3} : le sonar ne détecte aucun banc de poisson (qu'il y en ait ou pas). Le filet n'est pas lancé et le bateau rentre au port à vide. Dans ce cas le pêcheur perd $300$~euros.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du \og gain \fg{} (positif ou négatif) réalisé.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Gain : $x_{i}$			&\np{2000}	&$- 500$&$- 300$\\ \hline 
Probabilité : $p_{i}$	&0,56		&0,015		&0,425\\ \hline 
\end{tabularx}
 
 \medskip
  
		\item %Le pêcheur effectue de nombreuses sorties. Quel gain par sortie peut-il espérer avoir ?
L'espérance mathématique de la variable aléatoire \og gain est égale à :

$\np{2000} \times 0,56 - 500 \times 0,015 - 300 \times 0,425 = 985$.

Le gain moyen (sur un grand nombre de sorties est égal à 985~\euro.
	\end{enumerate} 
\item %Le pêcheur prévoit d'effectuer trois sorties successives sur la zone de pêche. Déterminer la probabilité que, pour les trois sorties, le sonar reste muet, c'est-à-dire n'indique pas la présence d'un banc de poissons. \emph{On donnera la valeur approchée arrondie au millième de ce résultat.}
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p = p\left(\overline{S} \right) = 1 - p(S) = 1 - 0,575 = 0,425$.

La probabilité que le sonar reste muet est égale à $0,425^3 = \np{076765625} \approx 0,077
$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Une étude statistique est réalisée chaque trimestre sur une population composée initialement de fumeurs. Certains d'entre eux s'arrêtent de fumer, d'autres qui ont arrêté, redeviennent fumeur.
 
%On estime que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item si un individu est fumeur, la probabilité qu'il arrête de fumer (qu'il devienne non fumeur) le trimestre suivant est $0,2$ ; 
%\item si un individu a arrêté de fumer (il est considéré alors comme non fumeur), la probabilité qu'il redevienne fumeur le trimestre suivant est $0,3$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On notera $X$ l'évènement \og l'individu est fumeur\fg et $Y$ l'évènement \og l'individu est non fumeur \fg. 
 
\begin{enumerate}
\item ~%Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste et donner sa matrice de transition que l'on notera $M$ (aucune justification n'est demandée, on respectera l'ordre alphabétique des sommets).
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt,linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{X}}}}\cnodeput(5.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{Y}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{B}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} \ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\rput(-0.15,1){0,8} \rput(6.2,1){0,7}
\rput(3,2.2){0,2} \rput(3,-0.2){0,3}
\end{pspicture}
\end{center} 

La matrice de transition de ce graphe  avec X et Y dans cet ordre est $M = \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,3&0,7\end{pmatrix}$. 
\item %Pour un entier naturel $n$ donné, on note $x_{n}$ la proportion de fumeurs dans la population et $y_{n}$ la proportion de non fumeurs au trimestre de rang $n$. On note $E_{n} = \left(x_{n}\quad  y_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste du système au trimestre de rang $n$.
 
%On étudie une population initiale où tous les individus sont fumeurs. On a donc : $E_{0} = (1\quad  0)$.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que la proportion de fumeurs à l'issue de deux trimestres est $0,7$.
On a $E_2 = E_0 \times M^2 = \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,3&0,7\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}0,7&0,3\end{pmatrix}$.

Donc la proportion de fumeurs à l'issue de deux trimestres est $0,7$.
		\item %Déterminer l'état $E_{4}$ de la population à l'issue d'une année.
$E_4 = E_0 \times M^4 =  \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,3&0,7\end{pmatrix}^4 = \begin{pmatrix}0,625&0,375\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}
\item %La répartition fumeurs/non fumeurs de la population converge vers un état stable : $E = (x \quad  y)$.
 
%Déterminer cet état.
Les termes de la matrice $M$ étant non nuls on sait que l'état $E_n$ converge vers un état stable $E = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ tel que $E = EM$ et tels que $x + y = 1$.. On a donc $x$ et $y$ qui vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0,8x + 0,3y\\y&=&0,2x + 0,7y\\
x + y&=&1
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
0,2x - 0,3y&=&0\\
- 0,2x + 0,3y&=&0\\
x + y&=&1
\end{array}\right.\iff$
 
$\left\{\begin{array}{l c l}
0,2x - 0,3y&=&0\\
x + y&=&1
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
2x - 3y&=&0\\
3x + 3y&=&3
\end{array}\right. \Rightarrow 5x = 3 \iff x = \dfrac{3}{5} = 0,6$ et par conséquent $y = 1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5} = 0,4$.

L'état stable est $E = \begin{pmatrix}0,6&0,4\end{pmatrix}$.

La proportion de fumeurs sera égale à 60\,\%. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Le chiffre d'affaires d'un débitant de tabac sur une période donnée est fonction de deux variables : le nombre de consommateurs, c'est-à-dire de fumeurs, et le prix moyen du paquet de tabac.
% 
%On appelle $z$ le chiffre d'affaire en milliers d'euros, $x$ le nombre de consommateurs en milliers et $y$ le prix du paquet de tabac en euros. On admettra que $z = xy$.
% 
%Dans l'espace, muni d'un repère orthonormal \Oijk, on désigne par $S$ la surface d'équation $z =xy$.

\medskip
\begin{enumerate}
\item %Le débitant a pour clients \np{1000}~consommateurs réguliers et le prix moyen du paquet de tabac est de $5$~euros. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quel est le chiffre d'affaires réalisé par le débitant ?
On a $z = xy =  \np{1000} \times 5 = \np{5000}$~\euro.
		\item %Soit, dans un plan P parallèle au plan de base $x$O$y$, la ligne de niveau $z = 5$ de la surface $S$.
		 
%On a tracé cette ligne de niveau sur la figure 1 donnée en annexe 1. Donner son équation de la forme $y = f(x)$.
Avec $z = xy$ et $z = 5$, on en déduit que $y = \dfrac{5}{x}$.
	\end{enumerate} 
%Le nombre de consommateurs passe de \np{1000} à $600$. Quel devrait être, au centime d'euros près, le nouveau prix du paquet de tabac pour que le chiffre d'affaires du débitant reste égal à \np{5000}~\euro{} ?
Il faut résoudre l'équation $600x = \np{5000} \iff x = \dfrac{\np{5000}}{600} = \dfrac{50}{6} = \dfrac{25}{3} \approx 8,333 \approx 8,33$~\euro. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%L'Organisation des Nations Unies (ONU) a établi en 2008 des statistiques et des prévisions sur la population mondiale.
% 
%Le tableau suivant donne la population recensée par l'ONU. (\emph{La population en $2010$ est considérée par l'ONU comme très proche de la réalité compte tenu de la date à laquelle l'étude a été effectuée.})
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année& 1950& 1960& 1970& 1980& 1990& 2000& 2010\\ \hline
%Rang de l'année: $x_{i}$&1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ \hline  
%Population (en millions de personnes) : $y_{i}$& \np{2529}& \np{3023}& \np{3686}& \np{4438}& \np{5290}& \np{6115}& \np{6908}\\ \hline 
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'augmentation de population entre les années 1950 et 1960, puis entre les années  1970 et 1980, puis entre les années 1990 et 2000.
Entre 1950 et 1960, augmentation de $\np{3023} - \np{2529} = 494$ ;

Entre 1970 et 2000, augmentation de $\np{4438} - \np{3686} = 752$ ;

Entre 1990 et 1980, augmentation de $\np{6115} - \np{5290} = 825$.
	 
%Un ajustement affine est-il pertinent ? 
L'accroissement n'est pas proportionnel au temps : l'ajustement affine ne semble pas pertinent.
		\item %Calculer le pourcentage d'augmentation de la population mondiale entre les années 1990 et 2000. On donnera la valeur arrondie à 0,1\,\% près.
Augmentation de la population mondiale entre les années 1990 et 2000 en pourcentage :

$\dfrac{\np{6115} - \np{5290}}{\np{5290}} \times 100 = \dfrac{825}{\np{5290}}\times 100 = \dfrac{\np{8250}}{\np{529}} = \dfrac{825}{529} \approx 15,559 \approx 15,6$\,\%.
	\end{enumerate} 
\item %On envisage un ajustement exponentiel. 
	\begin{enumerate}
		\item %Pour chaque année $x_{i}$, calculer $\ln y_{i}$ et compléter le tableau suivant sur la feuille donnée en annexe 1 avec les valeurs approchées arrondies à $0,01$ près.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année& 1950& 1960& 1970& 1980& 1990& 2000& 2010\\ \hline 
$x_{i}$				& 1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$	&7,84	&8,01	&8,21	&8,4	&8,57	&8,72	&8,84\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item %Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ sur la feuille donnée en annexe 1.
Voir l'annexe 1 plus bas
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Aucune justification n'est demandée, les calculs seront effectués avec la calculatrice et les coefficients arrondis au millième.
La calculatrice livre : $z = 0,171x + 7,687$ avec des coefficients arrondis au millième. 
		\item %Tracer cette droite d'ajustement sur le graphique de la question 2.
Voir à la fin. 
	\end{enumerate}
\item %Déduire de l'ajustement précédent l'expression de la population $y$ donnée en fonction du rang $x$ de l'année, sous la forme : $y = A\text{e}^{Bx}$ où $A$ et $B$ sont des nombres réels à déterminer.
 
%On arrondira $A$ à l'unité et $B$ au millième.
Ob a donc $z = \ln y = 0,171x + 7,687 \iff y = \text{e}^{0,171x + 7,687} = \text{e}^{ 7,687} \times  \text{e}^{0,171x}$.

Or $\text{e}^{ 7,687} \approx \np{2180}$, donc $y \approx \np{2180}\text{e}^{0,171x}$.
\item %On suppose que $y = \np{2180} \text{e}^{0,171x}$. Quelle estimation peut-on alors donner pour la population mondiale en 2030 ?
 
%\emph{On donnera les valeurs approchées arrondies au million près.}
2030 correspond à $x = 9$, d'où $y = \np{2180} \text{e}^{0,171\times 9} =  \np{2180} \text{e}^{1,539}\approx \np{10158,6}$.

D'après cet ajustement exponentiel la population mondiale en 2030 sera aux environs des \np{10159}~millions d'habitants. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Suite à un accident industriel, un gaz se répand dans un local d'usine. 
%
%L'évolution du taux de gaz dans l'air peut être modélisé grâce à la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par :
% 
%\[f(x) = 2x\text{e}^{-x}\]
% 
%où $x$ est le nombre de minutes écoulées depuis l'accident et $f(x)$ le taux de gaz dans l'air exprimé en parties pour million (ppm).
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(\dfrac{x}{\text{e}^x}\right) = 0$. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
Comme $f(x) = 2 \times  \dfrac{x}{\text{e}^x}$, d'après le rappel $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.
		\item %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$  sa fonction dérivée. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe pour $x$ élément de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
		
%Donner le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
On a $f'(x) = 2\text{e}^{-x}  + 2x \times (- 1)\text{e}^{-x} = 2\text{e}^{-x}(1 - x)$.

Comme $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit le réel $x$, $f'(x)$  a le signe de $1 - x$.

Donc pour $0 \leqslant x \leqslant 1, \: f'(x) > 0$ : la fonction est croissante sur [0~;~1] de $f(0) = 0$ à 

$f(1) = 2\text{e}^{1} \approx 0,736$ et 
décroissante sur $[1~;~+ \infty[$  de $f(1) = 2\text{e}^{1} $ à $0$.
	\end{enumerate}
\item %On admet que le taux de gaz dans l'air est négligeable après 5 minutes. C'est pourquoi, dans la suite de l'exercice, on restreindra l'étude de la fonction $f$ à l'intervalle [0~;~5].
On a $f(5) = 10\text{e}^{-5} \approx 0,067$ : ce taux est effectivement négligeable. 

%Le plan est muni d'un repère orthogonal. La courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~5] est donnée en annexe 2.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~5] par 
		
%$F(x) = (-2 - 2x)\text{e}^{-x}$ est une primitive de $f$ sur cet intervalle. 
La fonction $F$ est dérivable sur [0~;~5] et sur cet intervalle :

$F'(§x) = - 2\text{e}^{-x} + (-2 - 2x)\times (- 1)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(- 2 + 2 + 2x) = 2x\text{e}^{-x} = f(x)$ : $F$ est bien une primitive de $f$ sur [0~;~5].
		\item %Calculer la valeur moyenne $m$ (exprimée en ppm) du taux de gaz pendant les 5~minutes.
		 
%On déterminera la valeur exacte de $m$ puis on donnera sa valeur approchée arrondie à $0,01$~ppm près.
La valeur moyenne du taux de gaz sur l'intervalle [0~;~5] est égal à :

$m = \dfrac{1}{5 - 0}\displaystyle\int_0^5 f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{5}[F(x)]_0^5 = \dfrac{1}{5}\left[(-2 - 2\times 5)\text{e}^{-5} - \left((-2 - 2\times 0)\text{e}^{-0} \right) \right]  =$

$ \dfrac{1}{5}\left(- 12\text{e}^{-5} + 2\right) = \dfrac{1}{5}\left(2 - \text{e}^{-5}\right) \approx 0,398.$

La valeur moyenne sur les cinq premières minutes est égale à 0,40~ppm au centième près.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
%On considère que le gaz a un effet irritant pour l'organisme si le taux dépasse $0,65$~ppm pendant plus d'une minute. Déterminer si le personnel de l'usine a été affecté ou non par la fuite de gaz, en explicitant la démarche.
La calculatrice permet de concret que $f(0,582) \approx \np{0,65042}$ et que $f(1,583) \approx \np{0,650164}$ et $1,583 - 0,582 = 1,001$ ce qui dépasse la minute : le personnel de l'usine a été affecté.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)}
\end{center} 

\textbf{EXERCICE 3} (commun à tous les candidats) 

\vspace{1cm}

Question 2 :

\bigskip
 
Tableau à compléter :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année				&1950	&1960	&1970	&1980	&1990	&2000	&2010\\ \hline 
$x_{i}$				&1		& 2		& 3		& 4		& 5		& 6		& 7\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$	&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\vspace{1cm}

Représentation du nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ : 

\bigskip

\psset{xunit=1.4cm,yunit=2.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,6.9)(8.5,9.4)
\multido{\n=0.00+0.25}{35}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,7)(\n,9.4)}
\multido{\n=7.0+0.1}{25}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(8.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=7,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,7)(8.5,9.4)
\uput[d](8.4,0){$x$} \uput[l](0,9.4){$y$} 
\psdots(1,7.84)(2,8.01)(3,8.21)(4,8.4)(5,8.57)(6,8.75)(7,8.84)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{8.5}{0.171 x mul 7.687 add}
\end{pspicture}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}  (commun à tous les candidats)

\vspace{1cm}

Représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~5].

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=1.8cm,yunit=8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.05)(6,0.9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.5,-0.05)(6,0.9)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](6,0){$x$}\uput[l](0,0.9){$y$}
\multido{\n=0.00+0.25}{25}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,0.9)}
\multido{\n=0.00+0.05}{19}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(6,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{5}{2 x mul 2.71828 x exp div}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0.582,0.65)(1.583,0.65)
\end{pspicture}


\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1- Exercice 2 (candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)} 
\end{center}

\vspace{2cm}

Ligne de niveau $z = 5$ de la surface S.

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=8cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-1)(1.5,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-1)(1.5,11)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1.5,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}
\multido{\n=0.00+0.05}{31}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,11)}
\multido{\n=0+0.5}{23}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(1.5,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0.46}{1.5}{5  x  div}
\end{pspicture}
\end{document}