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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small juin 2006}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES La Réunion juin 2006~\decofourright}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution de la vente de pots de plantes vertes en milliers de pots en France, de 1999 à 2004.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{7.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année						&1999	&2000	&2001	&2002	&2003	&2004\\ \hline
Rang $x_{i}$ de l'année		&1		&2		&3		&4		&5		& 6\\ \hline
Nombre $y_{i}$ de pots de plantes
 (en milliers de pots)		&\np{5702}&\np{5490}&\np{5400}&\np{5319}&\np{5200}& \np{5180}\\  \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\psset{xunit=1.25cm,yunit=30cm,comma=true}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,0.16)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=8.50,Dy=0.05](0,0)(7,0.16)
\multido{\n=0.0+0.5}{15}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,0.16)}
\multido{\n=0.00+0.01}{17}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(7,\n)}
\uput[u](6.9,0){$x$}
\uput[r](0,0.16){$z$}
\psdots[dotstyle=square*](1,0.15)(2,0.11)(3,0.09)(4,0.08)(5,0.06)(6,0.05)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{0.156 0.0188 x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

%Pour ce nuage de points, un ajustement affine ne semble pas adapté. On cherche alors un ajustement exponentiel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On pose $z_{i} = \ln y_{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les valeurs $z_{i}$, du tableau associées aux rangs $x_{i}$, en arrondissant au centième et pour $i$ variant de 1 à 6. \emph{On portera ces valeurs dans le tableau situé sur l'annexe} 1.
		Voir l'annexe.
		\item %Construire, sur une feuille de papier millimétré, le nuage de points 
		
%$N_{i}\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$, dans le repère orthogonal défini de la manière suivante :
%		
%\setlength\parindent{5mm}
%	\begin{itemize}
%	\item sur l'axe des abscisses, on place O à l'origine et on prend 2~cm pour représenter 1 année 
%	\item sur l'axe des ordonnées, on place 8,50 à l'origine et on prend 1~cm pour représenter $0,01$.
%	\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
Voir ci-dessus.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $d$ d'ajustement de $z$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{on ne demande pas le détail des calculs}). Les coefficients seront arrondis au centième.
La calculatrice livre $z = 8,66 - 0,02x$.
		\item %Tracer la droite $d$ dans le repère précédemment défini. 
Voir ci-dessus.
		\item %Déterminer la relation entre $y$ et $z$, sous la forme $y = A\text{e}^{Bx}$, qui traduit l'équation de la droite d'ajustement $d$. Le nombre $A$ est arrondi à l'unité et le nombre $B$ arrondi au centième.
		On a $z = \ln y =  8,66 - 0,02x \iff y = \text{e}^{8,66 - 0,02x} = \text{e}^{8,66} \times \text{e}^{- 0,02x}$.
		
Or $\text{e}^{8,66} \approx \np{5745}$. Donc $z \approx \np{5768}\text{e}^{- 0,02x}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %On suppose que l'évolution de la vente reste conforme à l'ajustement calculé à la question~2.
		
%Donner alors une estimation du nombre de pots qu'on peut espérer vendre en 2006, exprimé en milliers de pots (résultat arrondi à l'unité). 
2006 correspond à $x = 8$, d'où $y = \approx \np{5768}\text{e}^{- 0,02\times 8} \approx \np{4915}$~(en milliers de pots vendus).
		\item %Une étude concurrente donne une estimation pour 2006 de \np{5085} milliers de pots vendus.
		
%Calculer la différence entre les deux estimations. Quel pourcentage cette différence représente-t-elle par rapport à la première estimation ? (on donnera une valeur approchée arrondie au centième de ce résultat).
La différence est de $\np{5085} - \np{4915} = 170$.

La différence en pourcentage est donc de : $\dfrac{170}{\np{4915}} \times 100 \approx 3,46$~\,\%.
	 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c r l}
u_{1}	&=&12 &\text{et}\\
u_{n+1} &=& \dfrac{1}{3}u_{n} + 5 &  \text{pour tout entier naturel}~ n \geqslant  1\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item %Utiliser les droites d'équations $y = x$ et $y = \dfrac{1}{3}x+ 5$ pour construire les quatre premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$.

%(\emph{Cette construction est à faire sur le graphique de l'annexe} 3 - \emph{exercice} 2 - \emph{Spécialité})

%Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
Voir la construction sur l'annexe.

La suite semble décroître vers 7,5.
\item %Soit la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n \geqslant  1$, par : $v_{n} =  u_{n} - \dfrac{15}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$.
Pour tout entier naturel $n \geqslant  1$, \: $v_{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{15}{2} = \dfrac{1}{3}u_{n} + 5 - \dfrac{15}{2} = \dfrac{1}{3}u_{n} - \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{3}\left( u_n - \dfrac{15}{2}\right) = \dfrac{1}{3}v_n$.

Cette égalité montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ de premier terme $v_1 = u_1 - \dfrac{15}{2} = 12 - \dfrac{15}{2} = \dfrac{9}{2}$.
		\item %Exprimer alors $v_{n}$ en fonction de $n$.
On sait qu'alors $v_n = v_1 \times \left(\dfrac{1}{3} \right)^n = \dfrac{9}{2} \times \left(\dfrac{1}{3} \right)^n$.
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ puis en déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		On sait puisque $- 1 < \dfrac{1}{3} < 1$, que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{3}  \right)^n = 0$ et par suite que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = 0$.
		
On a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n -  \dfrac{15}{2} = 0$, c'est-à-dire que  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = \dfrac{15}{2}$.
	\end{enumerate}
\item %Est-il possible de déterminer $n$ de sorte que : 
	\begin{enumerate}
		\item $u_{n } -  \dfrac{15}{2} \leqslant  10^{-6} \iff v_n  \leqslant  10^{-6}  \iff \dfrac{9}{2} \times \left(\dfrac{1}{3} \right)^n \leqslant 10^{-6} \iff \left(\dfrac{1}{3} \right)^n \leqslant \dfrac{2}{9}\times 10^{-6} \iff n\ln \left(\dfrac{1}{3} \right) \leqslant \ln \left[\dfrac{2}{9}\times 10^{-6}  \right] \iff n \geqslant \dfrac{\ln \left[\frac{2}{9}\times 10^{-6}  \right]}{\ln \left(\frac{1}{3} \right)}$.
		
Or  $\dfrac{\ln \left[\frac{2}{9}\times 10^{-6}  \right]}{\ln \left(\frac{1}{3} \right)} \approx 13,9$.

Donc $u_{14}$ approche 7,5 à moins d'un millionième.
		\item %$u_{n } -  \dfrac{15}{2} \geqslant  10^{6}$ ?
		Le premier terme est égal à 12 et la suite est décroissante, donc $u_n$ ne peut approcher $10^6$ quel que soit le naturel $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{ Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Une entreprise de transports routiers dispose de $16$~camions dont :
%
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 	9 sont considérés comme \og anciens \fg
%\item[$\bullet~$]	4 sont considérés comme \og récents \fg
%\item[$\bullet~$]	3 sont considérés comme \og neufs \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%\bigskip

\textbf{Partie A}

%\medskip
%
%L'entreprise décide d'observer l'état des $16$ camions pendant une période donnée. On sait de plus que, pendant cette période, la probabilité que :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]	un camion \og ancien \fg{} ait une panne, est égale à 0,08
%\item[$\bullet~$]	un camion \og récent \fg{} ait une panne, est égale à 0,05
%\item[$\bullet~$]	un camion \og neuf \fg{} ait une panne, est égale à \np{0,0025}.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%On choisit au hasard un camion parmi les 16. On note les évènements suivants :
%
%$A$ : \og le camion est ancien \fg 
% 
%$R$ : \og le camion est récent \fg
% 
%$N$ : \og le camion est neuf \fg
%  
%$D$ : \og le camion a une panne \fg.
%
%\medskip
  
\begin{enumerate}
\item ~%Construire un arbre pondéré décrivant les éventualités associées au choix d'un camion.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\naput{$\frac{9}{16}$}}
	{\TR{$D$} \naput{0,08}
	\TR{$\overline{D}$}
	}
\pstree{\TR{$R$~}\naput{$\frac{4}{16}$}}
	{\TR{$D$} \naput{0,05}
	\TR{$\overline{D}$}
	}
\pstree{\TR{$N$~}\nbput{$\frac{3}{16}$}}
	{\TR{$D$} \naput{\np{0,0025}}
	\TR{$\overline{D}$}
	}
}
\end{center}
\item %Calculer la probabilité que le camion choisi soit récent et ait une panne (\emph{on donnera, pour cette question et les deux suivantes, à chaque fois une valeur approchée du résultat arrondie à} $10^{-4}$ \emph{près})
On a  $p(R \cap D) = p(R) \times p_R(D) = \dfrac{4}{16} \times 0,05 = \np{0,0125}$  à $10^{-4}$ près.
\item %Calculer la probabilité que le camion choisi ait une panne.
On a de même :

$p(A \cap D) = p(A) \times p_A(D) = \dfrac{9}{16} \times 0,08 = \np{0,045}$.


$p(N \cap D) = p(N) \times p_N(D) = \dfrac{3}{16} \times \np{0,025} \approx \np{0,000468}$, soit $\approx \np{0,0005}$ à $10^{-4}$ près.

D'après la formule des probabilités totales :

$p(D) = p(R \cap D) + p(A \cap D) + p(N \cap D) \approx 0,05796$ soit \np{0,0580} à $10^{-4}$ près. 
\item %Calculer la probabilité que le camion soit neuf sachant qu'il n'a pas de panne.
Il faut calculer $p_{\overline{D}}(N) = \dfrac{p(\overline{D} \cap N}{p(\overline{D})} = \dfrac{\frac{3}{16}\times \np{0,9975}}{1 - \np{0,0005}} \approx \np{0,1985}$ à $10^{-4}$ près.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Dans cette partie, on s'intéresse seulement aux camions \og neufs \fg.
%
%(\emph{on donnera, pour chacune des questions suivantes, une valeur approchée du résultat arrondie au millième}).
%
%Un camion peut être indisponible pour des raisons de matériel ou de personnel. Chaque camion neuf a de façon indépendante une probabilité d'indisponibilité de $0,01$.
%
%Déterminer la probabilité pour qu'un jour donné :
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %tous les camions \og neufs \fg{} soient indisponibles (évènement $T$)
La probabilité que les trois camions \og neufs \fg{} soient indisponibles est égale à $(0,01)^3 = \np{0,000001} \approx 0$ à $10^{-3}$ près.
\item %un camion \og neuf \fg{} au moins soit indisponible (évènement $M$)
La probabilité que les trois camions \og neufs \fg{} soient disponibles est égale à $(0,99)^3$.

Donc la probabilité que un camion \og neuf \fg{} au moins soit indisponible est égale à $1 - (0,99)^3 \approx 0,030$.
\item %deux camions \og neufs \fg{} exactement soient disponibles (évènement $S$).
Chacun des trois camions peut être indisponibles, les deux autres étant disponibles.

La probabilité cherchée est donc égale à $3 \times (0,99)^2 \times 0,01 = \np{0,029403}$, soit 0,029 au millième près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormal, la courbe représentative $\Gamma$ d'une fonction $g$ définie et dérivable sur $\R$. La courbe $\Gamma$ passe par les points O(0~;~0) et A (2~;~2).
%
%La droite (AB) est la tangente en A à la courbe $\Gamma$. La tangente à $\Gamma$ au point C d'abscisse $1$ est parallèle à l'axe des abscisses.
 
\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(8,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-2,-5)(8,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-5)(8,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psdots(2,2)(4,0)(1,2.71828)
\uput[ur](2,2){A} \uput[ur](4,0){B} \uput[d](1,2.71828){C}
\psline(-0.5,4.5)(8,-4)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.43}{8}{2.71828 2 x sub exp x mul}
\uput[u](6,0.2){\blue $\Gamma$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Déterminer graphiquement les valeurs de $g(0)$,\: $g(2)$,\: $g'(1)$,\: $g'(2)$.
On lit (et on sait que) $g(0) = 0$, \: $g(2) = 2$,\: $g'(1) = 0$, \: $g'(2) = - 1$ car le coefficient directeur de la tangente est celui de la droite (AB).
\item %Une des représentations graphiques présentées sur l'annexe 2, représente la fonction dérivée $g'$ de $g$ et une autre représente une primitive $G$ de $g$ sur $\R$.

%Déterminer la courbe associée à la fonction $g'$ et celle associée à $G$ ; vous justifierez votre choix à l'aide d'arguments basés sur l'examen des représentations graphiques.
La fonction $g$ est croissante pour $x \leqslant 1$, donc sa dérivée est positive sur cet intervalle ; la seule vérifiant ce critère est la courbe 2.

La fonction $g$ est négative pour $x \leqslant 0$, puis croissante sur $[0~;~+ \infty[$, donc toutes ses primitives sont décroissantes pour $x \leqslant 0$, puis croissante.

La seule fonction vérifiant ce critère est celle qui est représentée par la courbe 1.
\item On suppose que la fonction $g$ est de la forme : $g(x) = (x + a)\text{e}^{bx+c}$ où $a,~ b$ et $c$ sont des nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $a = 0$ et que $c = - 2b$.
On a $g(0) = 0$, \:  $g(2) = 2$ et $g'(1) = 0$.

Or $g'(x) = \text{e}^{bx+c} + b(x + a)\text{e}^{bx+c}$. Ces trois conditions se traduisent par le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
0&=&a\text{e}^c\\
2&=&(2 + a)\text{e}^{2b+c}\\
0&=&(1 + b + a)\text{e}^{b+c}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
0&=&a\\
2&=&2 \text{e}^{2b+c}\\
0&=&(1 + b )\text{e}^{b+c}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
0&=&a\\
1&=&\text{e}^{2b+c}\\
0&=&1 + b
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
0&=&a\\
0&=&2b+c\\
- 1&=& b
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
0&=&a\\
2&=&c\\
- 1&=& b
\end{array}\right.$

		\item %Déterminer $g'(x)$ en fonction de $b$ et de $x$.
		\item %Calculer alors les valeurs de $b$ et de $c$.
On a donc $g(x) = x\text{e}^{- x + 2}$.
	\end{enumerate}
\item %Démontrer que la fonction $G$ définie par $G(x) = - (x + 1)\text{e}^{2 - x}$ est une primitive de $g$ sur $\R$.
On a $G'(x) = -\text{e}^{- x + 2} + (x + 1)\text{e}^{- x + 2} = \text{e}^{- x + 2}(- 1 + x + 1) = x\text{e}^{- x + 2} = g(x)$.

Ceci montre que $G$ est une primitive de $g$ sur $\R$.
\item %Calculer l'aire $\mathcal{K}$, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 3$.
$g$ étant positive sur l'intervalle [2~;~3], on sait que l'aire $\mathcal{K}$, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 3$ est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_2^3 g(x)\:\text{d}x = \left[G(x) \right]_2^3 = G(3) - G(2) = - (3 + 1)\text{e}^{2 - 3} +  (2 + 1)\text{e}^{2 - 2} = 3 - 4\text{e}^{-1}\approx 1,5$~unité d'aire ce que l'on peut voir sur le graphique.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un Q.C.M. (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte. On portera la réponse dans le tableau prévu en annexe (Annexe 1).

\emph{Barème : une bonne réponse rapporte $0,5$ point ; une mauvaise réponse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève de point. Si le total de point est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à} $0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %L'expression $f(x) = x\left(1 + \text{e}^{-x}\right) + 1$ peut aussi s'exprimer ainsi : 
%	\begin{enumerate}
%		\item $f(x) = \ln \text{e} + \text{e}^{-x}\left(x + x\text{e}^{x}\right)$ 
%		\item $f(x) = x\text{e}^{-x}$ 
%		\item $f(x) = x\text{e}^{-x} + 1 + \text{e}^{x}$
%	\end{enumerate}
	
$f(x) = x\left(1 + \text{e}^{-x}\right) + 1 = x + x\text{e}^{-x} + 1 = \ln \text{e} + \text{e}^{-x}\left(x + x\text{e}^{x}\right)$ : réponse a.
\item %Deux fonctions $u$ et $g$ sont connues par leurs tableaux de variations.

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8,3.5)
%\psframe(8,3.5) \psline(0,3)(8,3) \psline(1,0)(1,3.5)
%\uput[u](0.5,3){$x$} \uput[u](1.4,3){$- \infty$} \uput[u](3,3){$-1$} \uput[u](5,3){3} \uput[u](7.5,3){$+ \infty$}
%\uput[u](0.5,1.3){$u(x)$} \uput[d](1.2,3){4} \rput(3,1.5){2} \rput(5,0.5){$-2$} \uput[d](7.5,3){$+ \infty$}
%\psline{->}(1.4,2.5)(2.6,1.7) \psline{->}(3.3,1.4)(4.6,0.6)
%\psline{->}(5.5,0.5)(7.5,2.6)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8,3.5)
%\psframe(8,3.5) \psline(0,3)(8,3) \psline(1,0)(1,3.5)
%\uput[u](0.5,3){$x$} \uput[u](1.4,3){$- \infty$} \uput[u](3,3){$-2$} \uput[u](5,3){2} \uput[u](7.5,3){$+ \infty$}
%\uput[u](0.5,1.3){$g(x)$} \uput[u](1.4,0){$- \infty$} \uput[d](3,3){0} \uput[u](5,0){$- 1$} \uput[d](7.5,3){$+ \infty$}
%\psline{->}(1.4,0.5)(2.6,2.5) \psline{->}(3.4,2.5)(4.6,0.6)
%\psline{->}(5.4,0.5)(7.5,2.5)
%\end{pspicture}
%\end{center}

%On a alors :
%\begin{enumerate}
%\item $g[u(-1)] = - 1$
%\item $g[u(-2)] = - 2$
%\item $g[u(-1)] = - 2$
% \end{enumerate}
$u(- 1) = 2 et $g(2) = - 1$, donc $g[u(- 1)] = - 1 : réponse a.
\item %En considérant les fonctions $u$ et $g$ précédentes , on a :
%	\begin{enumerate}
%		\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  g[u(x)] = 4$
%		\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  g[u(x)] = -\infty$
%		\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  g[u(x)] = + \infty$
%	\end{enumerate}
Réponse c. car $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g[u(x)] = + \infty$.
\item %En considérant la fonction $g$ de la question 2, l'équation $g (x) = 3$ admet :
%	\begin{enumerate}
%		\item exactement une solution sur $[-4 ~;~ 2]$
%		\item exactement une solution sur $[-3 ~;~ + [$
%		\item exactement une solution sur $]-\infty~ ;~ -2]$
%	\end{enumerate}
Réponse b. : sur l'intervalle $[2~;~+ \infty[$ la fonction $g$ continue strictement croissante est supérieure à $- 1$ prend une seule fois la valeur $3$
\item %Dire que la droite d'équation $y = x - 1$ est asymptote oblique en $+ \infty$ à la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère du plan, revient à dire que : 
%	\begin{enumerate}
%		\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x)  = - 1$
%		\item $\displaystyle\lim_{x \to 0} 	[f(x) - (x - 1)] = + \infty$
%		\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  [f(x)  - (x - 1)] = 0$
%	\end{enumerate}
C'est la réponse c.
\item %La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{- x^2 + 1}$  est :
%	\begin{enumerate}
%		\item une primitive de la fonction qui à $x$ associe : $-x\text{e}^{- x^2 + 1}$
%		\item une primitive de la fonction qui à $x$ associe : $-2 x \text{e}^{1 - x^2}$
%		\item la dérivée de la fonction qui à $x$ associe : $-2x \text{e}^{1 - x^2}$
%	\end{enumerate}
On a $g'(x) = - 2x\text{e}^{- x^2 + 1}$ : réponse b.
\item %Une fonction $f$ est connue par son tableau de variations :

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(0,1)(8,4.5)
%%\psgrid
%\psframe(0,1)(8,4.5) \psline(0,3)(8,3) \psline(0,4)(8,4)\psline(1,1)(1,4.5)
%\uput[u](0.5,4){$x$} \uput[u](1.4,4){$- \infty$} \uput[u](3,4){$3$} \uput[u](5,4){5} \uput[u](7.5,4){$+ \infty$} \uput[u](0.5,3.2){$f'(x)$}
%\uput[u](2,3.2){$+$} \uput[u](3,3.2){$0$} 
%\uput[u](4,3.2){$-$} \uput[u](5,3.2){$0$} 
%\uput[u](6.5,3.2){$+$}\uput[u](0.5,1.3){$f(x)$}
%\uput[u](1.3,1){$- \infty$} \uput[d](3,3){$1 + \text{e}$} 
%\uput[u](5,1){$1$} \uput[d](7.5,3){$+ \infty$}
%\psline{->}(1.5,1.5)(2.6,2.3) \psline{->}(3.3,2.3)(4.6,1.5)
%\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,2.5)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. On peut affirmer que :
%	\begin{enumerate}
%		\item $F$ est croissante sur $]- \infty~;~3]$
%		\item $F'$ est positive sur $\R$
%		\item $F$ est croissante sur [3~;~5]
%	\end{enumerate}
On a $F'(x) = f(x) et on sait que sur [3~;~5], \: 1 \leqslant f(x) \leqslant 1 + \text{e}$, donc $f$ est positive sur [3~;~5] : la fonction $F$ est donc croissante sur cet intervalle : réponse c.
\item %La fonction $f$ définie sur $\R - \{4\}$ par : $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 1}{x - 4}$ a pour représentation graphique la courbe $\mathcal{C}$, dans un repère donné. On peut dire alors que :
%	\begin{enumerate}
%		\item la droite d'équation $y =  x + 1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
%		\item la droite d'équation $x = - 4$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}$
%		\item la droite d'équation $x = 4$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
%	 \end{enumerate}
Les réponses b. et c. sont bien entendu fausses et $f(x) - (x + 1) = \dfrac{5}{x - 4}$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} = 0$, donc la droite dont une équation est $y = x + 1$ est asymptote à 
$\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
\item %Pour toute fonction $f$ continue et positive sur $[- 1~;~1]$ si $\mathcal{C}_{f}$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère donné du plan, alors  
%$\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\:\text{d}x$  est :
%	\begin{enumerate}
%		\item la valeur moyenne de $f$ sur $[- 1~;~1]$.
%		\item l'aire, en unités d'aire, du domaine sous la courbe $\mathcal{C}_{f}$, entre les droites d'équations $x = - 1$ et $x = 1$.
%		\item égale à $f(1) - f(-1)$.
%	\end{enumerate}
Réponse b. (cours)
\item %$a$ et $b$ étant deux nombres réels strictement positifs, $\ln (a + b)$ est égale à :
%	\begin{enumerate}
%		\item $(\ln a) \times (\ln b)$.
%		\item $\ln a + \ln \left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) + \ln b$.
%		\item $\ln a + \ln b$.
%	\end{enumerate} 
La réponse a. est fausse (cours), la réponse c. aussi.

Réponse b.
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center} 

\textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

Exercice 1 (question 1. a.)

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année						&1999	  &2000		&2001		&2002		&2003		&2004 \\ \hline
Rang $x_{i}$				&1		  &2		&3			&4			&5			&6 \\ \hline
Nombre (en milliers) $y_{i}$ de
 pots de plantes			&\np{5702}&\np{5490}&\np{5400}	&\np{5319}	&\np{5200}	&\np{5180}\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$			&8,65	  &8,61	    &8,59		&8,58		&8,56		&8,55 \\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 4}

\bigskip

Pour chaque question du Q.C.M., cocher la case correspondant à la bonne réponse

\bigskip

\begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline
Questions & Réponse a. & Réponse b. & Réponse c. \\ \hline
1&	&	&	\\ \hline
2&	&	&	\\ \hline
3&	&	&	\\ \hline
4&	&	&	\\ \hline
5&	&	&	\\ \hline
6&	&	&	\\ \hline
7&	&	&	\\ \hline
8&	&	&	\\ \hline
9&	&	&	\\ \hline
10&	&	&	\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\begin{center} 

\textbf{ANNEXE 2 : cette feuille n'est pas à rendre avec la copie}

\bigskip

Courbes de l'exercice 3 - question 1

\vspace{1cm}

\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.667cm}\begin{pspicture}(-2,-6)(7,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-2,-6)(7,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,-6)(7,6)
\uput[dr](0,0){O}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1.75,-6)(-1.5,-3)(-1,-0.22)(0,1)(0.5,0.89)(1,0.7)(2,0.27)(3,-0.15)(5,-0.38)(7,-0.45)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.72}{7}{2.71828 1 3 div x sub exp x 1 add mul 0.4 sub}
\uput[u](3,6){Courbe 1}
\end{pspicture}} \hfill 
\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.667cm}\begin{pspicture}(-1,-2)(8,10)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-2)(8,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-2)(8,10)
\uput[dr](0,0){O}

\uput[u](3,10){Courbe 2}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.15}{8}{2.71828 2 x sub exp 1 x sub mul}
\end{pspicture}}

\vspace{1cm}

\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.667cm}\begin{pspicture}(-1,-5)(7,6)
\uput[dr](0,0){O}
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-5)(7,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-5)(7,6)
\uput[u](3,6){Courbe 3}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-0.25,6)(0,3)(0.42,0)(1,-2)(2,-2.71828)(3,-2.5)(4,-2.28)(6,-2.05)(7,-2.04)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.25}{7}{5 5 x mul sub 2.71828  x  exp  div 2   sub}
\end{pspicture}} \hfill 
\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.667cm}\begin{pspicture}(-2,-8)(7,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-2,-8)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,-8)(7,5)
\uput[dr](0,0){O}
\uput[u](3,5){Courbe 4}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.2}{7}{2.71828 2 x sub exp x 1 add mul neg}
\end{pspicture}}

\end{center}

\newpage

\begin{center} 

\textbf{ANNEXE 3 : Exercice 2 - Spécialité}

\vspace{1cm}

À rendre avec la copie

\bigskip

\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(17,12)

\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(17,12)
\psline(0,5)(16.5,10.5)
\psline(0,0)(12,12)
\rput{45}(11,10.5){$y = x$} \rput{17}(14,9){$y = \frac{1}{3}x + 5$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(17,12)
\psline[ArrowInside=->](12,0)(12,9)(9,9)(9,8)(8,8)(8,7.667)(7.667,7.667)
\uput[d](12,0.1){\red $u_1$}\uput[d](9,0.1){\red $u_2$}\uput[d](8,0.1){\red $u_3$}\uput[d](7.6,0.1){\red $u_4$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 