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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small 21 juin 2011}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES La Réunion 21 juin 2011~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des huit questions, quatre réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte.\\
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse jugée correcte. Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Une bonne réponse rapporte $0,5$ point, une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{5.5cm}|}\hline 
%\textbf{1.} L'égalité $\ln [\exp(x)] = x$ :&\textbf{A.~~} n'est vraie que pour tout réel $x$ strictement positif.
%  
%\textbf{B.~~} est vraie pour tout réel $x$. 
%
%\textbf{C.~~} n'est jamais vraie. 
%
%\textbf{D.~~} n'est vraie que pour tout réel $x$ supérieur ou égal à 1.\\ \hline 
%\textbf{2.} L'égalité $\exp[\ln(x)] = x$ est vraie pour tout réel $x$ appartenant à :&\begin{tabular}{m{2.9cm} m{2.9cm}} 
%\textbf{A.~~} $[0~;~+\infty[$ 	&\textbf{B.~~} $\R$\\ 
%\textbf{C.~~} $]0~;~+\infty[$	&\textbf{D.~~}  $[-1~;~+\infty[$\\
%\end{tabular}\\  \hline
%\textbf{3.} On lance une pièce de monnaie équilibrée quatre fois de suite. La probabilité d'obtenir au  moins une fois pile est :&\begin{tabular}{m{2.9cm} m{2.9cm}} 
%\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\textbf{A.~~} $\dfrac{1}{4}$	&\textbf{B.~~} $\dfrac{15}{16}$\\ 
%\textbf{C.~~}  $\dfrac{1}{16}$	&\textbf{D.~~} $\dfrac{1}{8}$ \\
%\end{tabular}\\ \hline
%\textbf{4.} Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$, d'expression : $f(x) = 3 \text{e}^{2x}- x + 1$.
%
%Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point 
%d'abscisse $0$ est :&\begin{tabular}{m{2.9cm} m{2.9cm}}
%\textbf{A.~~} $y = 2x + 4$&\textbf{B.~~} $y = 6x+4$ \\
%\textbf{C.~~}  $y = 5x + 4$ &\textbf{D.~~} $y = 5x-4$\\
%\end{tabular}\\  \hline
%\textbf{5.}  On considère l'inéquation : 
%
%$\ln(3 - x) \leqslant 0$. Elle admet pour ensemble de solutions : &\begin{tabular}{m{2.9cm} m{2.9cm}} 
%\textbf{A.~~} ]0~:~3]&\textbf{B.~~} [2~;~3]\\ 
%\textbf{C.~~}  $[2~;~+ \infty]$&D. ]0~;~2]\\
%\end{tabular}\\  \hline 
%\textbf{6.}  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{\left(- 2 + \frac{1}{x}\right)}$ est égale à : &\begin{tabular}{m{2.9cm} m{2.9cm}}
%\textbf{A.~~} $0$ &\textbf{B.~~} $+\infty$\\ 
%\textbf{C.~~}   $\text{e}^{-2}$&\textbf{D.~~}  $- \infty$\\ 
%\end{tabular}\\  \hline
%\textbf{7.} Soit $g$ la fonction définie sur  $]1~;~+ \infty[$ par : 
%
%\[g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}.\]
%
%Sa courbe représentative admet :  &
%\textbf{A.~~} une unique asymptote. Elle est parallèle à l'axe des abscisses.
% 
%\textbf{B.~~} une unique asymptote. Elle est parallèle à l'axe des ordonnées.
%
%\textbf{C.~~}  deux asymptotes.
%
%\textbf{D.~~} aucune asymptote.
%\\ \hline
%\textbf{8.} Soit $h$ la fonction définie et dérivable sur 
%$]0~;~+ \infty[$ d'expression :
%
%\[h(x) = 2\ln (x) - x \]
%
%Soit $h'$ la fonction dérivée de $h$ sur $]0~; + \infty[$. Alors l'expression de $h'$ est :& 
%
%\textbf{A.~~} $h'(x) = \dfrac{2 - x}{x}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}
%
%\textbf{B.~~} $h'(x) = \dfrac{2}{x} - x$
%
%\textbf{C.~~} $h'(x) = \dfrac{1}{x} - 1$
%
%\textbf{D.~~} $h'(x) = \dfrac{2}{x} + 1$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}
% \\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item Comme exp$(x) > 0$ quel que soit le réel $x$,\:$\ln [\text{exp} (x)]$ existe et est égal à $x$. Réponse \textbf{B.}
\item Ici $\ln (x)$ n'est définie que pour $x > 0$ : réponse \textbf{C.}
\item Épreuve de Bernouilli avec $p = \dfrac{1}{2}$ et $n = 4$.

La probabilité d'avoir 0 pile est égale à $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}
{16}$ ; donc la probabilité d'avoir au moins un pile est égale à $1 - \dfrac{1}
{16} = \dfrac{15}{16}$. Réponse \textbf{B.}
\item $\ln (3 - x) \leqslant 0 \iff \text{e}^{\ln (3 - x)} \leqslant \text{e}^0$ (par croissance de la fonction exponentielle)  ou $3 - x  \leqslant 1 \iff x \geqslant  2$.

Comme $\ln (3 - x)$ n'existe que si $x \leqslant 3$, l'ensemble solution est l'intervalle $[2~;~3]$. Réponse \textbf{B.}
\item Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} = 0$, alors $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} - 2 + \frac{1}{x} = - 2$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{\left(- 2 + \frac{1}{x}\right)} = \text{e}^{- 2}$. 

Réponse \textbf{C.}
\item La fonction n'est pas définie pour $x = 1$. Cette équation est celle d'une asymptote verticale. D'autre part au voisinage de l'infini la limite de $g(x)$ est égale à 2 : la droite $y = 2$ est asymptote horizontale. Réponse \textbf{C.}
\item On a sur $]0~;~+ \infty[$, \: $h'(x) = \dfrac{2}{x} - 1 = \dfrac{2 - x}{x}$. Réponse \textbf{A.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%En vue de sa prochaine brochure d'information sur les dangers d'internet un lycée a fait remplir un questionnaire à chacun des \np{2000}~élèves, répartis dans les sections de seconde, première et terminale.
%
%On obtient la répartition suivante : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] un quart des élèves est en terminale ; 
%\item[$\bullet~~$] 35\,\% des élèves sont en première ; 
%\item[$\bullet~~$] tous les autres sont en seconde ; 
%\item[$\bullet~~$] parmi les élèves de terminale, 70\,\% utilisent régulièrement internet ; 
%\item[$\bullet~~$] 630 élèves sont des élèves de première qui utilisent régulièrement internet. 
%\item[$\bullet~~$] \np{1740}~élèves utilisent régulièrement internet.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Cette enquête permet de modéliser le choix d'un élève du lycée.
% 
%On choisit au hasard un questionnaire d'élève en supposant que ce choix se fait en situation d'équiprobabilité. On note :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement \og le questionnaire est celui d'un élève en classe de seconde \fg
%\item[$\bullet~~$] $E$ 	l'évènement \og le questionnaire est celui d'un élève en classe de première \fg 
%\item[$\bullet~~$] $T$ 	l'évènement \og le questionnaire est celui d'un élève en classe de terminale \fg 
%\item[$\bullet~~$] $I$ l'évènement \og le questionnaire est celui d'un élève qui utilise régulièrement internet \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau d'effectifs donné en annexe.
Voir à la fin 

Élèves de terminale : $\dfrac{1}{4} \times \np{2000} = 500$ ;

Élèves de première : $\dfrac{35}{100} \times \np{2000} = 700$ ; il reste donc  $\np{2000} - (500 + 700) = 800$ élèves en seconde.

Nombre d'élèves de terminale utilisant internet : $\dfrac{70}{100} \times500 = 350$ ;

Nombre d'élèves de seconde utilisant internet : par différence : $\np{1740} - (350 + 630) = 760$. 
\item %Déterminer la probabilité d'obtenir le questionnaire d'un élève de seconde qui utilise régulièrement internet. 
On a $p = \dfrac{760}{\np{2000}} = \dfrac{76}{200} = \dfrac{38}{100} = 0,38$. 
\item %Calculer la probabilité de $I$ sachant $T$, notée $P_{T}(I)$, et interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase.
On a $P(T) = \dfrac{1}{4} = 0,25$ et  $P_{T}(I) = \dfrac{P(T \cap I)}{P(T)} = \dfrac{\frac{350}{2000}}{\frac{1}{4}} = \dfrac{350}{500} = \dfrac{70}{100} = 0,7$.

C'est la probabilité qu'un élève de terminale rencontré au hasard utilise internet : cette donnée est dans l'énoncé !
\item %Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d'un élève qui n'utilise pas internet.
Sur \np{2000} élèves 260 n'utilisent pas internet régulièrement : 

$p\left(\overline{I}\right) = \dfrac{260}{2000} = \dfrac{13}{100} = 0,13$. 
\item %Le questionnaire est celui d'un élève qui utilise régulièrement internet.
 
%Montrer que la probabilité que ce soit le questionnaire d'un élève de première est égale à $\dfrac{21}{58}$.
Sur les \np{1740} utilisateurs réguliers il y a 630 élèves de première ; la probabilité est donc égale à $P_I(E) = \dfrac{630}{\np{1740}} = \dfrac{3 \times 10 \times 21}{3 \times 58\times 10} = \dfrac{21}{58}$.
\item %On choisit au hasard, successivement et avec remise, trois questionnaires.
 
%Quelle est la probabilité que, parmi les trois questionnaires, un exactement soit celui d'un élève utilisateur régulier d'internet ? 

%On en donnera la valeur arrondie au millième.
À chaque tirage la probabilité de choisir un utilisateur régulier d'internet est égale à $\dfrac{\np{1740}}{\np{2000}} = \dfrac{174}{200} = \dfrac{87}{100} = 0,87$.

On a trois épreuves de Bernoulli indépendantes. Les différentes possibilités favorables sont : $I\overline{I}\overline{I}, \: \overline{I}I\overline{I}$ et $\overline{I}\overline{I}I$.La probabilité de tomber sur exactement un utilisateur régulier est :

$3 \times  0,87 \times (1 - 0,87)^2 = 3 \times 0,87 \times 0,13^2 = 2,61 \times 0,0169 = \np{0,044109} \approx 0,044.$ (moins de 5\,\%)
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

%\emph{Dans cet exercice tous les résultats numériques seront arrondis à l'unité sauf indication contraire.}
%
%\smallskip
%
%Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre d'hypermarchés (établissement, réalisant plus d'un tiers de leurs ventes en alimentation et dont la surface est supérieure à \np{2500}~m$^2$) en France de l'année 1991 à l'année 2003. 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année					&1991	&1993	&1995	&1997	&1999	&2001	&2003\\ \hline
%Rang de l'année $x_{i}	$1		&3		&5		&7		&9		&11		&13\\ \hline
%Nombre d'hypermarchés
% $y_{i}$				&862	&955	&\np{1048}&\np{1112}&\np{1184}&\np{1261}&\np{1343}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\bigskip

\textbf{Partie A -- Un ajustement affine}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~ 
%Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.
 
%Unités graphiques : 1~cm représente une année en abscisse et 1~cm représente 100 hypermarchés en ordonnée ; faire débuter la graduation à 800 sur l'axe des ordonnées.
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.008cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-50)(13,600)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,600)}
\multido{\n=0+100}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(13,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=800,Dy=10000]{->}(0,0)(0,0)(13,600)
\psdots(1,62)(3,155)(5,248)(7,312)(9,384)(11,461)(13,543)
\psdots[linecolor=red](7,309.3)
\multido{\n=800+100,\na=0+100}{7}{\uput[l](0,\na){\np{\n}}}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13}{39 x mul 35 add}
\end{pspicture}

\end{center} 
\item  %Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer dans le repère précédent.
On a $\dfrac{1  + 3 +  5  + 7 + 9 + 11 + 13}{7} = 7$ et $\dfrac{862+955+1048+1112+1184+1261+1343}{7}\approx \np{1109,3}$. Donc G(7~;~\np{1109,3}) (point rouge)
\item  %Dans cette question, les calculs seront effectués à la calculatrice. 
En arrondissant les coefficients à l'unité la calculatrice donne $y = 39x + 385$.
%Donner une équation de la droite de régression D de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
 
%Représenter cette droite D dans le repère précédent. 
\item %En supposant que ce modèle reste valide jusqu'en 2012, en déduire une estimation du nombre d'hypermarché, en France pour l'année 2012.
2012 correspond à une abscisse de 22. On aura donc à peu près :

$y = 39 \times 22 + 835 = \np{1693}$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B -- Un nouvel ajustement}

\medskip
 
%Les relevés précédents permettent de considérer que le nombre d'hypermarchés en France augmente de 3,2\,\% par an à partir de 1997.
 
%On suppose que cette progression reste valide jusqu'en 2018.
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer une estimation du nombre d'hypermarchés en France pour l'année 2012.
Chaque année le nombre d'hypermarchés est multiplié par $1 + \dfrac{3,2}{100} = 1 + 0,032 = 1,032$. Donc en 2012, il y aura $1112 \times 1,032^{15} \approx \np{1784}$ hypermarchés. 
%\emph{Dans la question suivante,  toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\smallskip

\item  %Déterminer à partir de quelle année le nombre d'hypermarchés en France dépassera \np{2000}.
En partant de 1997 et en supposant une augmentation annuelle de 3,02\,\%, il faut trouver $n$ tel que :

$\np{1112} \times 1,032^n \geqslant  \np{2000} \iff 1,032^n \geqslant \dfrac{\np{2000}} {\np{1112}} \iff \ln \left(,032^n\right) \geqslant \ln \left(\dfrac{\np{2000}} {\np{1112}} \right) \iff $

$n \ln 1,032 \geqslant  \ln \left(\dfrac{\np{2000}} {\np{1112}} \right) \iff n \geqslant \dfrac{\ln \frac{\np{2000}} {\np{1112}}}{\ln 1,032} \approx 18,6$.

Il faut donc attendre 19 ans  ; le nombre d'hypermarchés dépassera \np{2000} en 2016.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

%Un artisan glacier fabrique des glaces et des sorbets.
% 
%On appelle respectivement $x$ et $y$ les quantités de glace et de sorbet exprimées en centaines de litres, produites et vendues quotidiennement.
% 
%Le coût total de production $z$ exprimé en dizaines d'euros, est donné par la relation : 
%
%\[z = 2x^2 + y^2 - xy + 6x,\,\, \text{avec}\, x  \in [0~;~10]\,\text{et} y \in [0~;~10].\] 
%
%Sur l'annexe 2 :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] la surface ($S$) représentant le coût de production en fonction de $x$ et de $y$ dans un repère orthogonal est donnée en figure 1 ;
%\item[$\bullet~~$] la figure 2 représente la projection orthogonale de la surface ($S$) sur le plan ($x$O$y$) ; 
%\item[$\bullet~~$] les courbes de niveau de cette surface sont représentées pour $z$ allant de 20 en 20.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~
		%C est le point de ($S$) d'abscisse 6 et d'ordonnée 2.
		 
%Placer le point C sur la figure 1 donnée en annexe ?
Voir sur l'annexe.
		\item %Calculer la cote $z$ du point C précédent. Interpréter le résultat obtenu.
On a $z = 2 \times  6^2 + 2^2 - 6 \times 2 + 6 \times 6 = 72 + 4 - 12 + 36 = 100$.

Ceci signifie que lorsque l'artisan vend 600 litres de glace et 200 litres de sorbet le coût total de production est \np{1000}~\euro. 
		\item %On suppose dans cette question que $y = 4$.
		 
%Exprimer alors $z$ en fonction de $x$.
On a $z = 2x^2 + 16 - 4x + 6x = 2x^2 + 2x + 16$.
 
%En déduire la nature de la section de la surface ($S$) par le plan d'équation $y = 4$. 

C'est une partie de parabole  avec $0 \leqslant x \leqslant 10$.
%Surligner en couleur cet ensemble sur la figure 1.
Voir la courbe en rouge.
	\end{enumerate} 
%Pour des raisons de stockage et de rentabilité, la fabrication de $x$ centaines de litres de glace et de $y$ centaines de litres de sorbet engendre la contrainte : $x + y = 10$.
 
%On note (E) l'ensemble des points du plan vérifiant cette contrainte. 
	\begin{enumerate}
		\item %La figure 2 donnée en annexe 2, représente les lignes de niveau des coûts de production.
		 
%Représenter l'ensemble (E) sur cette figure.
$x + y = 10$ est l'équation d'un plan parallèle à l'axe (O$z$). La projection orthogonale de ce plan sur le plan ($x\text{O}y$) est la droite d'équation $y = 10 - x$. Voir la figure 2.
		\item %Vérifier que, sous la contrainte $x + y = 10,\, z$ peut s'écrire sous la forme:
		
%$z = g(x)$, avec $g(x) = 4x^2 - 24x + 100$.
$z = 2x^2 + y^2 - xy + 6x$ et $y = - x$ donne 

$z = 2x^2 + (10 - x)^2 - x(10 - x) + 6x = 2x^2 + 100 + x^2 - 20x - 10x - x^2 + 6x = 4x^2 - 24x + 100$, avec $0 \leqslant x \leqslant 10$ (c'est donc un arc de parabole).
\medskip
 
%Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète,  ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

\medskip
 
%Déterminer les quantités de glace et de sorbet (en centaines de litres) qu'il faudrait produire pour que le coût de production soit minimum. 
On sait que le trinôme $4x^2 - 24x + 100$ a pour minimum la valeur obtenue pour $x = - \dfrac{b}{2a} = - \dfrac{-24}{2 \times 4} = 3$.

Le coût minimum est donc égal à :

$z(3) = 2 \times 3^2 - 24 \times 3 + 100 = 48$.

Conclusion : pour 300 litres de glace, 700 litres de sorbet le coût minimum est de 480~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
\small{\textbf{\textsf{\textsc{annexe 2} de l'exercice 3}}}
\end{center}

\small{\textbf {Figure 1}}


\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-9,0)(9,16)
%\psgrid
\definecolor{C1} {rgb}{.7 0.4 .8}
\definecolor{C2} {rgb}{.96 .9 0.88}
\definecolor{C3} {rgb}{.5 .5 1}
\definecolor{C4} {rgb}{.95 .89 .98}
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\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(10,10)
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\pstThreeDPut(5,-1,-.5){$x$}
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%surface
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\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1,linecolor=C1]{
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\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.47214,0){0 t t dup mul 20 div}}

% lignes de niveau
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=prune}
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\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](7.23607,10){1956 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 12}
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\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1316 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 8}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){1156 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 7}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){996 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,10){836 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 5}
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\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](7.771239,7.74597){516 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt neg t add 6 sub 4 div t 3}
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\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](6.325599,6.32456){356 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt neg t add 6 sub 4 div t 2}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,4.47214){196 7 t dup mul mul sub 12 t mul sub sqrt t add 6 sub 4 div t 1}

\psline[linecolor=red](-5.2,1)(-5.2,6.1)
\psline[linecolor=red](1,0.6)(1,0.8)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](-4.2,6.3)\uput[u](-4.2,6.3){C}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=100,linewidth=0.5pt,linecolor=bleu](0,10)(0,10){2 x dup mul mul y dup mul add x y mul sub 6 x mul add  20 div}
\psplotThreeD[drawStyle=xLines,yPlotpoints=10,xPlotpoints=100,linewidth=0.5pt,linecolor=red,linewidth=2pt](0,10)(4,4){2 x dup mul mul y dup mul add x y mul sub 6 x mul add  20 div}

\psplotThreeD[drawStyle=yLines,xPlotpoints=10,yPlotpoints=100,linewidth=0.5pt,linecolor=bleu](0,10)(0,10){2 x dup mul mul y dup mul add x y mul sub 6 x mul add  20 div}
%la légende
\psset{unit=0.5cm}
%\psframe[linewidth=0.1pt,linecolor=darkgray](27.6,5.6)(32,21.6)
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\psframe[ fillcolor=C12](10,22.6)(10.8,23.4)  \rput[l](11.6,23){\small{\textsf{220-240}}}
%
\end{pspicture}
\end{center}

\small{\textbf {Figure 2}}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(12,10)

\definecolor{C1} {rgb}{.7 0.4 .8}
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\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psset{linewidth=.1pt}

\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C13,linecolor=C13](0,0)(10,10)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C12,linecolor=C12]{
\psline(0,0)(9.55667,0)
\psplot[plotpoints=50]{9.55667}{10}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 960 add sqrt neg  x add 2 div }
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\psplot[plotpoints=50]{10}{9.42615}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 960 add sqrt x add 2 div }
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}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C11,linecolor=C11]{
\psline(0,0)(9.09481,0)
\psplot[plotpoints=50]{9.09481}{9.628247}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 880 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{9.628247}{8.81025}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 880 add sqrt x add 2 div }
\psline(8.81025,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C10,linecolor=C10]{
\psline(0,0)(8.61187,0)
\psplot[plotpoints=50]{8.61187}{9.11274}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 800 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{9.11274}{8.14143}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 800 add sqrt x add 2 div }
\psline(8.14143,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C9,linecolor=C9]{
\psline(0,0)(8.10469,0)
\psplot[plotpoints=50]{8.10469}{8.57142}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 720 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8.57142}{7.40312}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 720 add sqrt x add 2 div }
\psline(7.40312,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C8,linecolor=C8]{
\psline(0,0)(7.56918,0)
\psplot[plotpoints=50]{7.56918}{8}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 640 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8}{6.56776}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 640 add sqrt x add 2 div }
\psline(6.56776,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C7,linecolor=C7]{
\psline(0,0)(7,0)
\psplot[plotpoints=50]{7}{7.39278}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 560 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{7.39278}{5.58258}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 560 add sqrt x add 2 div }
\psline(5.58258,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6,linecolor=C6]{
\psline(0,0)(6.38987,0)
\psplot[plotpoints=50]{6.38987}{6.74208}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 480 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{6.74208}{4.31962}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 480 add sqrt x add 2 div }
\psline(4.31962,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5,linecolor=C5]{
\psline(0,0)(5.72842,0)
\psplot[plotpoints=50]{5.72842}{6.03694}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 400 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{6.03694}{2}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 400 add sqrt x add 2 div }
\psline(2,10)(0,10)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4,linecolor=C4]{
\psline(0,0)(5,0)
\psplot[plotpoints=50]{5}{5.26088}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 320 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{5.26088}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 320 add sqrt   x add 2 div }
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3,linecolor=C3]{
\psline(0,0)(4.17891,0)
\psplot[plotpoints=50]{4.17891}{4.3869}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 240 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{4.3869}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 240 add sqrt   x add 2 div }
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2,linecolor=C2]{
\psline(0,0)(3.21699,0)
\psplot[plotpoints=50]{3.21699}{3.36468}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 160 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{3.36468}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 160 add sqrt   x add 2 div }
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1,linecolor=C1]{
\psline(0,0)(2,0)
\psplot[plotpoints=50]{2}{2.07614}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 80 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{2.07614}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 80 add sqrt   x add 2 div }
}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(10,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=0.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(10,10)
\uput[d](10,0){$x$} \uput[dl](0,10){$y$}
% lignes de niveau
\psset{linewidth=1pt,linecolor=prune}
\psplot[plotpoints=50]{9.55667}{10}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 960 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{10}{9.42615}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 960 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{9.09481}{9.628247}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 880 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{9.628247}{8.81025}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 880 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8.61187}{9.1127405}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 800 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{9.1127405}{8.14143}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 800 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8.10469}{8.571428}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 720 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8.571428}{7.40312}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 720 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{7.56918}{8}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 640 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{8}{6.56776}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 640 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{7}{7.392787}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 560 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{7.392787}{5.58258}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 560 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{6.38987}{6.742084}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 480 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{6.742084}{4.31962}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 480 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{5.72842}{6.036948}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 400 add sqrt neg  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{6.036948}{2}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 400 add sqrt x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{5}{5.260889}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 320 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{5.260889}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 320 add sqrt  x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{4.17891}{4.386902}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 240 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{4.386902}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 240 add sqrt   x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{3.21699}{3.3646825}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 160 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{3.3646825}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 160 add sqrt   x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{2}{2.0761415}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 80 add sqrt neg x add 2 div }
\psplot[plotpoints=50]{2.0761415}{0}{7 x dup mul mul neg 24 x mul sub 80 add sqrt   x add 2 div }
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=cyan](0,10)(10,0)
% légende
\psset{unit=0.4cm}
%\psframe[linewidth=0.1pt,linecolor=darkgray](27.6,5.6)(32,21.6)
\psset{linewidth=0.1pt, fillstyle=solid,linecolor=prune}
\psframe[ fillcolor=C1](22,0)(22.8,0.8)  \rput[l](23.6 ,0.4){\small{\textsf{0-20}}}
\psframe[ fillcolor=C2](22,1.6)(22.8,2.4)  \rput[l](23.6,2){\small{\textsf{20-40}}}
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\psframe[ fillcolor=C13](22,19.2)(22.8,20)  \rput[l](23.6,19.6){\small{\textsf{240-260}}}

\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l' intervalle $]2~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = x^2 - 3x + 2 - 3\ln (x - 2).\]
 
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée en annexe. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner %par lecture graphique : $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		On lit :  $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Retrouver par le calcul $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$.
On a  $\displaystyle\lim_{x \to 2} x^2 - 3x + 2 = 0$ ; $\displaystyle\lim_{x \to 2} (x-2) = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 2} \ln (x - 2) = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = + \infty$.
	\end{enumerate}
\item %On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle  $]2~;~+ \infty[$.  	
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$ et montrer que : $f'(x) = \dfrac{(x - 3)(2x - 1)}{x - 2}$.
		On sait que $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, donc :
		
		$f'(x) = 2x - 3 - 3 \times \dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{(2x - 3)(x - 2) - 3}{x - 2} = \dfrac{2x^2 - 4x - 3x + 6 - 3}{x - 2} = \dfrac{2x^2 - 7x + 3}{x - 2} = \dfrac{(x - 3)(2x - 1)}{x - 2}$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$.
Le dénominateur de la dérivée étant positif, le signe de la dérivée est celui de $(x - 3)(2x - 1)$.

La dérivée est donc nulle pour $x = \dfrac{1}{2}$ et pour $x = 3$, est négative sur $\left]\dfrac{1}{2}~;~3\right[$, donc sur $[2~;~3]$ et positive ailleurs.
		\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
		On déduit du résultat précédent le tableau de variation de $f$ :
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\psline(1.1,0)(1.1,2.5)\psline(1.15,0)(1.15,2.5)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.125,2.4){$2$} \uput[u](4,2.4){$3$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} 
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$}\rput(4,2.25){$0$}\rput(5.5,2.25){$+$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[d](1.5,2){$+ \infty$} \uput[u](4,0){2} \uput[d](6.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}		 
	\end{enumerate}		
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$ par $g(x) = \ln(x - 2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $G$ la fonction définie sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$ par : 

\[G(x) = (x - 2) \ln(x - 2) - x.\]
 
%Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$.
La fonction $G$ est dérivable sur $]2~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$G'(x) = \ln (x - 2) + (x - 2) \times \dfrac{1}{x - 2} - 1 =  \ln (x - 2) + 1 - 1 = \ln (x - 2) = g(x)$.

Donc $G$ est une primitive de $g$ sur $]2~;~+ \infty[$.
		\item %En déduire une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$.
		On en déduit une primitive $F$ de $f$ sur $]2~;~+ \infty[$ : 
		
		$F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 3\dfrac{x^2}{2} + 2x - 3[(x - 2) \ln(x - 2) - x)] =  \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3}{2}x^2 + 5x  - 3(x - 2) \ln(x - 2)$.
		\item %Sur l'annexe (à rendre avec la copie), hachurer le domaine $D$, délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 3$ et $x = 4$.
		Voir la figure. 
		\item %Calculer l'aire,  exprimée en unités d'aire,  du domaine $D$.
		 
%On donnera la valeur exacte de celle aire puis une valeur approchée au centième près.
Sur l'intervalle [3~;~4], la fonction $f$ est positive donc l'aire en unités d'aire de la surface est égale à :

$\displaystyle\int_3^4 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_3^4 = F(4) - F(3) = $

$\dfrac{64}{3} - 24 + 20 - 6\ln 2 - \left(9 - \dfrac{27}{2} + 15 - 0 \right) = \dfrac{64}{3} + \dfrac{27}{2} - 28 - 6\ln 2 = \dfrac{41}{6}  - 6\ln 2 $.

cette aire vaut approximativement 2,67~unités d'aire.(ce que l'on peut voir sur la figure)
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 1 de l'exercice 2}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
									&Seconde&Première 	&Terminale 	&Total\\ \hline
Utilise internet régulièrement 		&760	&630		&350		&\np{1740}\\ \hline
N'utilise pas internet régulièrement&40		&70			&150		&260\\ \hline
Total 								&800	&700		&500		&\np{2000}\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 2 de l'exercice 4}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,14)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(9,14)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.9,-0.9)(9,14)
\uput[d](8.8,0){$x$}\uput[l](0,13.9){$y$}\uput[r](5,9){$\mathcal{C}_{f}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.0094}{5.77}{x dup mul 3 x mul sub 2 add x 2 sub ln 3 mul sub}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3}{4}{x dup mul 3 x mul sub 2 add x 2 sub ln 3 mul sub}
\psline(4,0)(3,0)
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}