\documentclass[11pt,a4paper,answers,fancyhdr]{exam} 
% remplacer answers par noanswers pour ne pas afficher les solutions
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\usepackage{ulem} 
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%\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
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%\newcommand{\entetecor}[4]{%
                  
%\rhead{#3}
%\chead{\shadowbox{Corrigé du baccalauréat S  #1 du #2}}
%\lfoot{Baccalauréat 2018}
%\rfoot{A. Detant}
%\setcounter{page}{1}
%\cfoot{page \thepage ~sur~ \pageref{LastPage}}
           % \rfoot{#3}
%\newgeometry{left=1.5cm, right=1.5cm , top=2cm , bottom=2.5cm}             
%                  }

 %** surlignage en jaune, rouge, vert ***
 \newcommand{\surj}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
 \newcommand{\surr}[1]{\fcolorbox{red}{red}{#1}}
 \newcommand{\surv}[1]{\fcolorbox{green}{green}{#1}}
 
 % % % % % % % % % % % % % %
 % COMMANDES MATHÉMATIQUES %
 % % % % % % % % % % % % % %
 
 %\input{tabvar} %** permet d'utiliser Pst+ pour les tableaux de variation et arbres (ATTENTION tabvar.tex doit être dans le répertoire de compilation du document)
 
 %** écrire un repère (hors environnement math)
 
 \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
 \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
 \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
  
 %** écrire une équivalence, une implication (dans un environnement math)
 
 \newcommand{\equi}{\Longleftrightarrow}
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 %** écrire une relation d'ordre (dans un environnement math)
 \newcommand{\pp}{\leqslant}
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 %*** Ensembles de nombres ***
 \newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
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 %**** écrire un vecteur (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\,\,}}
 %**** écrire une variable aléatoire (dans un environnement math)*****
 \newcommand{\binomiale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{B}\left(#1~;~#2 \right) }
 \newcommand{\expo}[1]{\hookrightarrow \mathcal{E}\left(#1 \right) }
 \newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) }
 %**** écrire un angle géométrique (en dehors de l'environnement math)*****
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 \newcommand{\anglor}[2]{$\left( ~\vect{#1}~;~\vect{#2}~\right) $}
 %***** Écrire un repère (en dehors de l'environnement math) *******
 \def\Oij{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
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 \def\Ouv{$\left(\text{O};~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
 %*** écrire i (dans un environnement mathématique)****
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 \newcommand{\x}{\times}
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 \renewcommand{\mod}[1]{$\left| #1\right| ~$}
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 %**** écrire des limites (en dehors de l'environnement math)*****
 \newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$}
 \newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$}
 \newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$}
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\begin{document}
%\SetWatermarkText{Lycée Henri IV}
%\SetWatermarkScale{0.6}
%\entete{9}{vendredi 13 mai 2016}{TS 2}{2 heures}{B}
%\entetecor{Pondichéry}{4 mai 2018}{TS}{}

\titlespacing*{\subsubsection}
{0pt}%␣retrait␣à␣gauche
{0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant
{0ex plus 0ex}%␣espace␣après
[0pt]%␣retrait␣à␣droite
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat E.S. --  A. Detant}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{29 mai 2018}}
%\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat E.S. Liban  29 mai 2018~\decofourright}}
\end{center}


\label{exercice 1}
\textbf{Exercice 1 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

%\medskip

%Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.

%On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.

%\begin{list}{\textbullet}{On note:}
%\item $S$ l'événement \og le voyageur fait sonner le portique \fg{};
%\item $M$ l'événement \og le voyageur porte un objet métallique \fg{}.
%\end{list}

%On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.
  
\begin{enumerate}
\item 
%\begin{list}{\textbullet}{On admet que:}
%\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;
%\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
%\end{list}

\begin{enumerate}
\item  ~%À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_{M}(S)$ et $P_{\overline{M}}(\overline{S})$.


\begin{solution}

$P(M)=\dfrac{1}{500}=0,002$, $P_{M}(S)=0,98$ et $P_{\overline{M}}\left(\overline{S}\right)=0,98$.

\end{solution}

\item ~%Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette situation.

\begin{solution}

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,treesep=1.25cm]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$M$}\naput{$\surj{0,002}$}}
 	  { 
 		  \TR{$S$}\naput{$\surj{0,98}$}
 		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\surj{0,02}$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{M}$}\nbput{$\surj{0,998}$}}
 	  { 
 		  \TR{$S$}\naput{$\surj{0,02}$}
 		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\surj{0,98}$}	   
 	  }
}
\bigskip
\end{center}

\end{solution}



\item ~%Montrer que: $P(S)=\np{0,02192}$.

\begin{solution}
$M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers donc d'après les probabilités totales on a:

$P(S)=P\left(S\cap M \right)+P\left(S\cap \overline{M} \right)$

$\hphantom{P(S)}=P(M)\x P_{M}(S)+P\left(\overline{M} \right)\x P_{\overline{M}}\left(\overline{S}\right)$

$\hphantom{P(S)}=0,002\x 0,98+0,998\x 0,02=0,02192$.

\end{solution}

\item ~%En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à $10^{-3}$.)

\begin{solution}
On cherche $P_{S}(M)$.

$P_{S}(M)=\dfrac{P(M\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0,002\x 0,98}{0,02192}=\dfrac{49}{548}\approx 0,089$.

\end{solution}
\end{enumerate}

\item %80 personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $\np{0,02192}$.

%Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 80 personnes de ce groupe.

\begin{enumerate}
\item ~%Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

\begin{solution}
On répète $n=80$ fois, de manière indépendante, une expérience n'ayant que deux issues dont le succès est $S$ de probabilité $p = P(S) = \np{0,02192}$

La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès parmi ces 80 expériences suit donc la loi binomiale de paramètres $n=80$ et $p = \np{0,02192}$ 

\end{solution}

\item ~%Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.

\begin{solution}
$E(X)=np=1,7536$ donc en moyenne, sur 80 passages, le portique sonne 1,75 fois donc moins de deux voyageurs parmi les 80 feraient sonner le portique.

\end{solution}

\item 
\begin{list}{\textbullet}~%{Sans le justifier, donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de:}
\item %la probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique;

\begin{solution}
On cherche $P(X\pg1)=1-P(X=0)\approx 0,83$
\end{solution}

\item %la probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique.

\begin{solution}
On cherche $P(X\pp5)\approx 0,992$
\end{solution}
\end{list}

\item ~%Sans le justifier, donner la valeur du plus petit entier $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0,9$.

\begin{solution}
$P(X\pp 2)\approx 0,7<0,9$ et $P(X\pp 3)\approx \np{0,9008} > 0,9$.

donc le plus petit entier cherché est $n=3$

\end{solution}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\label{exercice 2-obli}
\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité et candidats de L}

\medskip

%Maya possède 20~\euro{} dans sa tirelire au 1\ier{} juin 2018.

%À partir de cette date, chaque mois elle dépense un quart du contenu de sa tirelire puis y place 20~\euro{} supplémentaires.

%Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du $n$-ième mois. On a $u_0=20$. 


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item ~%Montrer que la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1\ier{} mois est de 35~\euro.

\begin{solution}
À la fin du 1\ier{} mois, Maya a dépensé un quart de 20~\euro{} soit ~\euro{} puis a replacé 20~\euro{}

Elle dispose donc de 20-5+20=35~\euro{} à la fin du 1\ier{} mois. $u_1 = 35$.

\end{solution}

\item ~%Calculer $u_2$.

\begin{solution}
$u_2$ est la somme disponible à la fin du 2-ième mois, or lors de ce mois, elle dépense le quart de 35~\euro{} soit 8,75~\euro{} puis place 20~\euro{}

$u_2=35-8,75+20=46,25$

\end{solution}

\end{enumerate}

\item ~%On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75 u_n + 20$.

~%On considère l'algorithme suivant:

~%\begin{center}
~%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}
~%\hline
~%$U \longleftarrow 20$\\
~%$N \longleftarrow 0$\\
~%Tant que $U < 70$\\
~%\hspace*{1cm} $U \longleftarrow 0,75 \times U + 20$\\
~%\hspace*{1cm} $N \longleftarrow N+1$\\
~%Fin Tant que\\
~%Afficher $N$\\
~%\hline
~%\end{tabularx}
~%\end{center}

\begin{enumerate}
\item ~%Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui retrace les différentes étapes de l'exécution de l'algorithme. On ajoutera autant de colonnes que nécessaire à la place de celle laissée en pointillés. Arrondir les résultats au centième.


\begin{solution}

\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{|*5{>{\ca}p{1.9cm}|}}
\hline
Valeur de $U$ & 20 & 35  & 46,25 & 54,69\\
\hline
Valeur de $N$ & 0 & 1& 2&3 \\
\hline
\shortstack{Condition\\$U<70$} & vrai & vrai & vrai & vrai \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{|*5{>{\ca}p{1.9cm}|}}
\hline
Valeur de $U$ & 61,02 & 65,76  & 69,32 & 71,99\\
\hline
Valeur de $N$ & 4 & 5& 6&7 \\
\hline
\shortstack{Condition\\$U<70$} & vrai & vrai & vrai & faux \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\end{solution}

\item ~%Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme?

~%Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

\begin{solution}
La valeur affichée à la fin de l'algorithme est $n=7$. 

Cela signifie que la somme disponible pour Maya dépassera 70~\euro{} à partir de la fin du 7-ième mois

\end{solution}

\end{enumerate}

\newpage
\item ~%Pour tout entier $n$, on pose $v_n=u_n-80$.
\begin{enumerate}
\item  ~%Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.

\begin{solution}

Pour tout entier $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-80=\left( 0,75u_n+20\right) -80=0,75u_n-60=0,75\left(u_n-80 \right)=0,75v_n$

On en déduit que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,75$ 

\end{solution}

\item ~%Préciser son premier terme $v_0$.

\begin{solution}
$v_0=u_0-80=-60$

\end{solution}

\item ~%En déduire que, pour tout entier $n$, $u_n=80-60\times 0,75^{n}$.

\begin{solution}
$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,75$ et de premier terme $v_0=-60$ donc $\forall n \in \N~,~v_n=v_0\x q^n=-60\x 0,75^n$.

Or $u_n=v_n+80$ donc on a bien pour tout entier $n$, $u_n=80-60\times 0,75^{n}$.

\end{solution}

\item ~%Déterminer, au centime près, le montant que Maya possèdera dans sa tirelire au 1\ier{} juin 2019.

\begin{solution}
On cherche la somme disponible au 1\ier{} juin 2019 soit $u_{12}$

D'après le tableau de la question 2, $u_{12} = 80 - 60 \times 0,75^{12} \approx 78,10$.

Au 1\ier{} juin 2019, Maya possédera donc $78,10$~\euro{}.

\end{solution}

\item ~%Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.

\begin{solution}
$-1<0,75 <1$ donc \Lim{n}{+\infty}{0,75^n}=~0 et donc \Lim{n}{+\infty}{v_n}=~0

\end{solution}

\item ~%En déduire la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

\begin{solution}
\Lim{n}{+\infty}{u_n}=~\Lim{n}{+\infty}{\left( v_n+80\right) }=~80 par opération sur les limites

On en déduit qu'à long terme, la somme disponible en fin de mois va se stabiliser aux alentours de 80~\euro{}

\end{solution}

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\label{exercice 2-spé}
\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi la spécialité}

\medskip

%Dans un pays deux opérateurs se partagent le marché des télécommunications mobiles. Une étude révèle que chaque année:

%\begin{list}{\textbullet}{}
%\item parmi les clients de l'opérateur \emph{EfficaceRéseau}, 70\,\% se réabonnent à ce même opérateur et 30\,\% souscrivent un contrat avec l'opérateur \emph{GenialPhone};
%\item parmi les clients de l'opérateur \emph{GenialPhone}, 55\,\% se réabonnent à ce même opérateur et 45\,\% souscrivent un contrat avec l'opérateur \emph{Efficaceréseau}.
%\end{list}

%On note $E$ l'état: \og la personne possède un contrat chez l'opérateur \emph{EfficaceRéseau} \fg{} et $G$ l'état: \og la personne possède un contrat chez l'opérateur \emph{GenialPhone} \fg{}.

%À partir de 2018, on choisit au hasard un client de l'un des deux opérateurs.

%\medskip

%\begin{list}{\textbullet}{On note également:}
%\item $e_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur \emph{EfficaceRéseau} au 1\ier{} janvier $(2018+n)$;
%\item $g_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur \emph{GenialPhone} au 1\ier{} janvier $(2018+n)$;
%\item $P_n = \begin{pmatrix} e_n & g_n \end{pmatrix}$ désigne la matrice ligne traduisant l'état probabiliste du système au 1\ier{} janvier $(2018+n)$.
%\end{list} 

%Au 1\ier{} janvier 2018, on suppose que 10\,\% des clients possèdent un contrat chez \emph{EfficaceRéseau}, ainsi $P_0 = \begin{pmatrix} 0,1 & 0,9 \end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
 \item ~%Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $E$ et $G$.
 \begin{solution}
 
 $E_n$ \og la personne possède un contrat chez \emph{EfficaceRéseau} au 1\ier{} janvier $(2018+n)$\fg{} $G_n$ : \og la personne possède un contrat chez \emph{GenialPhone} au 1\ier{} janvier $(2018+n)$ \fg{}
 
  L'énoncé donne alors
  
  $P_{E_n}\left( E_{n+1}\right) =0,7\quad,\quad P_{E_n}\left( G_{n+1}\right)=0,3\quad,\quad P_{G_n}\left( G_{n+1}\right) =0,55\quad\text{et}\quad P_{G_n}\left( E_{n+1}\right)=0,55$ 
 
 % \hspace*{3cm}
  \begin{center}
  \begin{pspicture*}(-1.5,-0.8)(3,1.2)
   		\Rnode{E}{$E$} \hskip 4cm \Rnode{G}{$G$}%définition des sommets
   		\psset{nodesep=4pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%   paramètres
   		\ncarc{->}{E}{G} \Aput{0,3}%                    arc
   		\ncarc{->}{G}{E} \Aput{0,45}%                    arc
   		\nccircle[angleA=90]{->}{E}{4mm}   \Bput{0,7}%     boucle
   		\nccircle[angleA=-90]{<-}{G}{.4cm} \Bput{0,55}%  boucle 
   	\end{pspicture*}
  \end{center}		
 		
 		
 \end{solution}
 \newpage
 \item
 \begin{enumerate}
  \item ~%Déterminer la matrice de transition $M$ associée au graphe en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique.
  
  
  \begin{solution}
    $M=\begin{pmatrix}
  0,7&0,3\\0,45&0,55
  \end{pmatrix}$
  
  \end{solution}
   
  \item ~%Vérifier qu'au 1\ier{} janvier 2020, environ 57\,\% des clients ont un contrat avec l'opérateur \emph{EfficaceRéseau}.
  
  
  \begin{solution}
  On cherche $e_2$ or $\begin{pmatrix} e_2 & g_2 \end{pmatrix}=P_2=P_0\x M^2=\begin{pmatrix} 0,56875 & 0,43125 \end{pmatrix}$
  
  On a donc bien environ 57\,\% des clients qui ont un contrat avec l'opérateur \emph{EfficaceRéseau} au 1\ier{} janvier 2020
  
  \end{solution}
  
  \end{enumerate} 
 
 

  		 
\item
\begin{enumerate}
  \item ~%On rappelle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1} = P_n\times M$.
  
  %Exprimer $e_{n+1}$ en fonction de $e_n$ et $g_n$.
  
  \begin{solution}
  $\begin{pmatrix} e_{n+1} & g_{n+1} \end{pmatrix}=P_{n+1}=P_n\x M=\begin{pmatrix} 0,7e_n+0,45g_n & 0,3e_n+0,55g_n \end{pmatrix}$
  
  Donc pour tout entier naturel $n$, $e_{n+1}=0,7e_n+0,45g_n$.
  
  \end{solution}
  
  \item ~%En déduire que pour tout entier naturel $n$, $e_{n+1} = 0,25 e_n + 0,45$.
  
  
  \begin{solution}
  $\begin{pmatrix} e_{n} & g_{n} \end{pmatrix}$ est un état probabiliste donc $g_n=1-e_n$
  
  alors $e_{n+1}=0,7e_n+0,45g_n=0,7e_n+0,45\left(1-e_n \right)  = 0,25 e_n + 0,45$
  
  Donc pour tout entier naturel $n$, $e_{n+1} = 0,25 e_n + 0,45$.
  \end{solution}
  
  \end{enumerate}  

\item
\begin{enumerate}
\item ~%Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste au 1\ier{} janvier $(2018+n)$:


\begin{solution}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|l|}
\hline 
$E\longleftarrow 0,1$\\
$G \longleftarrow 0,9$\\
Pour $I$ allant de 1 à $N$\hspace*{3cm}\\
\hspace*{1cm} $E \longleftarrow \surj{0,25} \times E + \surj{0,45} $\\
\hspace*{1cm} $G \longleftarrow \surj{1 - E}$\\
Fin Pour\\
Afficher $E$ et $G$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{solution}

\item ~%Déterminer l'affichage de cet algorithme pour $N=3$. Arrondir au centième.


\begin{solution}
pour $N=3$, on obtient $E=e_3\approx 0,59$ et $G=g_3\approx 0,41$

\end{solution}

\item ~%Déterminer l'état stable du système et interpréter votre réponse dans le contexte de l'exercice.


\begin{solution}
L'état stable $\begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}$ vérifie $\begin{cases}
PM=P\\a+b=1
\end{cases}$

$\begin{cases}
PM=P\\a+b=1
\end{cases}\equi \begin{cases}
0,7a+0,45b=a\\0,3a+0,55b=b\\a+b=1
\end{cases} \equi \begin{cases}
-0,3a+0,45b=0\\0,3a-0,45b=0\\a+b=1
\end{cases}$

$\hphantom{\begin{cases}
PM=P\\a+b=1
\end{cases}} \equi \begin{cases}
-2a+3b=0\\2a+2b=2
\end{cases} \equi \begin{cases}
-2a+3b=0\\5b=2
\end{cases} \equi \begin{cases}
a=0,6\\b=0,4
\end{cases}$

L'état stable est donc $\begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0,6 & 0,4
\end{pmatrix}$

Cela signifie qu'à long terme, la proportion de personnes signant un contrat avec \emph{EfficaceRéseau} se stabilise aux alentours de 60\%
\end{solution}


\end{enumerate}
  
 \end{enumerate} 

\newpage
\label{exercice 3}
\textbf{Exercice 3 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

%\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez \textbf{sur votre copie} le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.}

%Pour les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} et \textbf{3.}, on a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d'abscisses respectives 2 et 4.

%\begin{center}
%\psset{unit=0.8cm}
%\def\xmin {-4.8}   \def\xmax {8.8}
%\def\ymin {-3.6}   \def\ymax {6.5}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)

%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
%\def\f{x x x 6 sub mul 4 add mul 32 add 8 div}                           % définition de la fonction
%\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
%\rput(-2.6,-2.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
%\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed]{\xmin}{\xmax}{x 2 div}% Tangente en x = 4
%\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed]{\xmin}{\xmax}{x neg 5 add}% Tangente en x = 2
%\psdots[dotstyle=+](4,2)(2,3)


%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item $f'(4)$ est égal à:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $2$ & \textbf{B.} \quad $-1$\\
\hline
\surj{\textbf{C.} \quad $0,5$} & \textbf{D.} \quad $0$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{solution}{\red explication donnée à titre indicatif}
 
 Il s'agit du coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 4 (dessinée en  pointillés)
 
 \end{solution}
 
\item $f$ est convexe sur l'intervalle:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $]-\infty\,;\,2]$ & \textbf{B.} \quad $]-\infty\,;\,0,5]$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $[0\,;\,4]$ & \surj{\textbf{D.} \quad $[2\,;\,5]$}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
 \begin{solution}{\red explication donnée à titre indicatif}
 
 Sur $[2\,;\,5]$, $f'$ est croissante
 
 \end{solution}
 
\item Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,5]$ est:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $-0,1$ & \textbf{B.} \quad $2,5$\\
\hline
\surj{\textbf{C.} \quad $2,9$} & \textbf{D.} \quad $14,5$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{solution}{\red explication donnée à titre indicatif}
 
 \begin{minipage}{5cm}
 
 
 \begin{center}
 \psset{unit=0.8cm}
 \def\xmin {-.8}   \def\xmax {5.4}
 \def\ymin {-0.6}   \def\ymax {5}
 \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
 
 %\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,opacity=0.6]{
 %\psline(0,0)(0,4)(1,4)(3,2)(4,2)(5,3)(5,0)(0,0)
 %}
 
 
 \pspolygon[linecolor=green,fillstyle=solid,fillcolor=green,opacity=0.4](0.,0.)(0.,4.)(1.,4)(1.,0.)
 
 \pspolygon[linecolor=red,fillstyle=solid,fillcolor=red,opacity=0.4](1.,0)(1.,4.)(3.,2.)(3.,0.)
 
 \pspolygon[linecolor=yellow,fillstyle=solid,fillcolor=yellow,opacity=0.4](3.,0.)(3.,2.)(4.,2.)(4.,0.)
 
 \pspolygon[linecolor=blue,fillstyle=solid,fillcolor=blue,opacity=0.4](4.,0.)(4.,2.)(5.,3)(5.,0)
 
 
 \psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
 \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
 \def\f{x x x 6 sub mul 4 add mul 32 add 8 div}                           % définition de la fonction
 \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
 %\rput(-2.6,-2.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
 %\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed]{\xmin}{\xmax}{x 2 div}% Tangente en x = 4
 %\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed]{\xmin}{\xmax}{x neg 5 add}% Tangente en x = 2
 %\psdots[dotstyle=+](4,2)(2,3)
 
 
 \end{pspicture*}
 \end{center}
 
 \end{minipage}
 \hspace{1cm}\begin{minipage}{6cm}

 
 Sur $[0\,;\,5]~,~f(x)>0$ et l'aire située entre $\mathcal{C}_f$ et l'axe des abscisses peut être approchée par les rectangles et trapèzes dessinés. 
 
 Cette aire est donc d'environ 
 
 $4+6+2+2,5=14,5$.
 
 Finalement la valeur moyenne est 
 
 $\mu = \dfrac{1}{5} \integ{0}{5}{f(x)}{x} \approx \dfrac{1}{5}\x 14,5 =2,9$
 \end{minipage}
 
 \end{solution}
 
\item ~ %Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale et telle que

%\[P(X \leqslant 649) \approx \np{0,1587}.\]

%On note respectivement $\mu$ et $\sigma$ l'espérance et l'écart-type de cette loi normale.

%\begin{center}
%\psset{xunit=0.07cm, yunit=200cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
%\def\xmin {-5}   \def\xmax {165}
%\def\ymin {-0.0047} \def\ymax {0.02}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psline(-5,0)(165,0)
%\def\m{80}% moyenne 
%\def\s{20}% écart type
%\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
%\def\inf{\xmin} \def\sup{60}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
%\closepath % indispensable !
%}
%\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](80,0)(80,0.4)
%\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
%\multido{\n=646+1,\i=0+20}{9}
%{
%\uput[d](\i,0){\n}
%\psline(\i,0.0005)(\i,-0.0005)
%}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $P(X\leqslant 651) \approx \np{0,6587}$ & \surj{\textbf{B.} \quad $P( 649  \leqslant X\leqslant 651) \approx \np{0,683}$}\\
\hline
\textbf{C.} \quad $\sigma=650$ & \textbf{D.} \quad $\mu=649$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{solution}{\red explication donnée à titre indicatif}
 
Par symétrie de la courbe par rapport à l'axe d'équation $x=650$ 

on a $P(X\pg 651)=P(X\pp 649) \approx \np{0,1587}$

Donc $P( 649  \leqslant X\leqslant 651)=1-2\x P(X\pp 649) \approx 1-0,3174 \approx \np{0,683}$
 
 \end{solution}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\newpage
\label{exercice 4}
\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1\,;\,25]$ par

%\[f(x)=\dfrac{x+2-\ln(x)}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item  %On admet que $f$ est dérivable sur $[1\,;\,25]$.

%Démontrer que pour tout réel $x$ appartient à l'intervalle $[1\,;\,25]$,

%\[f'(x)=\dfrac{-3+\ln(x)}{x^2}.\]

\begin{solution}
$f=\dfrac{u}{v}\imp f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ 

avec $\begin{cases}
u(x)=x+2-\ln(x)\\v(x)=x
\end{cases}\imp \begin{cases}
u'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}\\v(x)=1
\end{cases}$

Donc pour tout réel $x$ appartient à l'intervalle $[1\,;\,25]:$

$f'(x)=\dfrac{x-1-\left(x+2-\ln(x) \right) }{x^2}=\dfrac{-3+\ln(x)}{x^2}$.
\end{solution}

\medskip

\item %Résoudre dans $[1\,;\,25]$ l'inéquation $-3+\ln(x)>0$.

\begin{solution}
$-3+\ln(x)>0 \equi \ln(x)>3 \equi x > \exp{3}$

donc dans $[1\,;\,25]~,~ -3+\ln(x)>0 \equi x \in \left]\exp{3}~;~25 \right] $.

\end{solution}

\item %Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur $[1\,;\,25]$.


\begin{solution}

\begin{center}
	\psset{unit=1cm}
	\begin{pspicture}(9,3.5)
	\psframe(9,3.5)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(0,3)(9,3)\psline(1,0)(1,3.5)
	\uput[u](0.5,2.9){$x$} \uput[u](1.4,2.9){$1$} \uput[u](5,2.9){$\exp{3}$} \uput[u](8.5,2.9){$25$} 
	\rput(0.5,2.75){$f'(x)$}\rput(2.5,2.75){-} \rput(5,2.75){0}\rput(7,2.75){+}
	\uput[u](1.5,1.9){$3 $}
	\uput[u](5,0){$\frac{\exp{3}-1}{\exp{3}} $}
	\uput[u](8.3,1.7){$\frac{27-\ln(25)}{25} $}
	\rput(0.5,1){$f(x)$}
	\psline{->}(2,1.9)(4.6,0.8)
	\psline{->}(5.4,0.8)(7.8,1.9)
	\end{pspicture}
\end{center}
\end{solution}

\item %Démontrer que dans l'intervalle $[1\,;\,25]$, l'équation $f(x)=1,5$ admet une seule solution. On notera $\alpha$ cette solution.

\begin{solution}

Sur $\left[\exp{3}~;~25 \right],~ f(x)$ admet  $\frac{27-\ln(25)}{25} $ pour maximum or $\frac{27-\ln(25)}{25} \approx 0,95 < 1,5$

Donc l'équation $f(x)=1,5$ n'admet aucune solution sur $\left[\exp{3}~;~25 \right]$.

Sur $\left[1~;~ \text{e}^{3}\right],~ f$ est continue et strictement décroissante 

à valeurs dans $\left[f\left(\text{e}^{3} \right)~;~ 3 \right] $ or $1,5 \in \left[f\left(\text{e}^{3} \right) ~;~ 3 \right] $ 

donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=1,5$ admet une unique solution sur $\left[1~;~ \text{e}^{3}\right]$.

Finalement l'équation $f(x)=1,5$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[1~;5\right]$.

 

\end{solution}

\item %Déterminer un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$ à l'aide de la calculatrice.

\begin{solution}
Par balayage on obtient $2,31 < \alpha < 2,32$.

\end{solution}

\end{enumerate}

\item %Une entreprise fabrique chaque jour entre 100 et \np{2500} pièces électroniques pour des vidéoprojecteurs. Toutes les pièces fabriquées sont identiques.

%On admet que lorsque $x$ centaines de pièces sont fabriquées, avec $1 \leqslant x \leqslant 25$, le coût moyen de fabrication d'une pièce est de $f(x)$ euros.

%En utilisant les résultats obtenus à la question \textbf{1.}:

\begin{enumerate}
\item %Déterminer, à l'unité près, le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit minimal.

%Déterminer alors ce coût moyen, au centime d'euro près.

\begin{solution}

D'après la question précédente $f(x)$ est minimum pour $x=\text{e}^{3}\approx 20,09$.

Donc l'entreprise doit fabriquer environ $\np{2009}$ pièces pour obtenir un un coût moyen minimal.

Ce coût moyen minimal est $f\left(\text{e}^{3}\right) =1-\text{e}^{-3}\approx 0,95$ \euro{}.

\end{solution}

\item %Déterminer le nombre minimal de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit inférieur ou égal à $1,50$ euro.

\begin{solution}
D'après la question 1.e. on sait que $2,31<\alpha<2,32$. 

Donc il faut fabriquer au minimum 232 pièces pour obtenir un coût moyen inférieur ou égal à $1,50$ \euro{}.
\end{solution}

\item %Est-il possible que le coût moyen d'une pièce soit de 50 centimes? Justifier.

\begin{solution}

Le coût moyen minimal est d'environ 95 centimes, il n'est donc pas possible d'obtenir un coût moyen de 50 centimes.
\end{solution}

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\end{document}