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% Tapuscrit : Denis Vergès
%Correction : René ROUX
%Relecture : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat ES/L Liban},
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\renewcommand{\d}{\,\text d}%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%le i des complexes
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small 29 mai 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Liban}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ES/L -- Liban
29 mai 2018~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.

\begin{list}{\textbullet}{On note:}
\item $S$ l'évènement \og le voyageur fait sonner le portique \fg{};
\item $M$ l'évènement \og le voyageur porte un objet métallique \fg{}.
\end{list}

On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.
  
\begin{enumerate}
\item 
\begin{list}{\textbullet}{On admet que:}
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item  D’après l'énoncé, $P(M)=\dfrac{1}{500}=0,002$, $P_{M}(S)= 0,98$ et $P_{\overline{M}}\left(\overline{S}\right) = 0,98$.
\item L'arbre pondéré ci-dessous illustre cette situation :

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,treesep=1.25cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$M$}\naput{$0,002$}}
 	  { 
 		  \TR{$S$}\naput{$0,98$}
 		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{$1-0,98=0,02$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{M}$}\nbput{$1-0,002=0,998$}}
 	  { 
 		  \TR{$S$}\naput{$1-0,98=0,02$}
 		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{$0,98$}	   
 	  }
}
\bigskip
\end{center}

\item D'après la formule des probabilités totales :\\
 $P(S)=P(S\cap M)+P\left(S\cap \overline{M}\right) = P_{M}(S) \times P(M) + P_{\overline{M}}(S)\times P\left(\overline{M}\right) = 0,002 \times 0,98 + 0,998 \times 0,02 = \np{0,02192}$.
%\item 
\item Par définition : $P_{S}(M)=\dfrac{P(M\cap S)}{P(S)}=\dfrac{P_{M}(S)\times P(M)}{P(S)}=\dfrac{0,002\times 0,98}{0,02192}\approx 0,089$ 

\end{enumerate}

\item 80 personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $\np{0,02192}$.

Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 80 personnes de ce groupe.

\begin{enumerate}
%\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item On répète de manière identique et indépendante (situation assimilée à un tirage avec remise) 80 fois de suite cette épreuve. Il s'agit d'un schéma de Bernoulli donc la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=80$ et $p=\np{0,02192}$.
%\item Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
\item L'espérance d'une loi binomiale est : $E(X)=n\times p=80\times \np{0,02192} = \np{1,7536}$.

Donc par groupe de 80 personnes le portail sonnera un peu moins de 2 fois.
\item 
\begin{list}{\textbullet}{On  donne les valeurs arrondies à $10^{-3}$ de:}
\item la probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique: 

$p(X\geqslant1)=1-p(X<1)=1-p(X=0)=1-(1- \np{0.02192})^{80}\approx 0,830$.
\item la probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique:

$p(X\leqslant 5)\approx 0,992$ (à la calculatrice).
\end{list}
%\item Sans le justifier, donner la valeur du plus petit entier $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0,9$.
\item Avec la calculatrice : $p(X\leqslant 2)\approx 0,744$ et $p(X\leqslant 3)\approx 0,901$. Donc $n=3$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

Maya possède 20~\euro{} dans sa tirelire au 1\ier{} juin 2018.

À partir de cette date, chaque mois elle dépense un quart du contenu de sa tirelire puis y place 20~\euro{} supplémentaires.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du $n$-ième mois. On a $u_0=20$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
%\item Montrer que la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1\ier{} mois est de 35~\euro.
\item Elle dépense le quart des 20 euros de départ, donc il lui reste les trois quarts de la somme, soit 15 euros. Puis elle ajoute 20 euros. Donc elle aura 35 euros le mois suivant. Donc 

$u_1 = 35$.
\item $u_2=0,75\times 35+20 = 46,25$.
\end{enumerate}

\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75 u_n + 20$.

On considère l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}
\hline
$U \longleftarrow 20$\\
$N \longleftarrow 0$\\
Tant que $U < 70$\\
\hspace*{1cm} $U \longleftarrow 0,75 \times U + 20$\\
\hspace*{1cm} $N \longleftarrow N+1$\\
Fin Tant que\\
Afficher $N$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On complète le tableau ci-dessous qui retrace les différentes étapes de l'exécution de l'algorithme en arrondissant les résultats au centième:

\begin{center}

%\end{center}
\begin{tabular}{|m{3cm}|*{8}{c|}}\hline 
Valeur de $U$ & 20 & 35 & 46,25 & 54,69 & 61,02 &67,76 & 69,32 & 71,99\\ \hline 
Valeur de $N$ & 0 & 1 & 2 & 3& 4 & 5 & 6 & 7 \\\hline 
Condition $U<70$ & vrai & vrai & vrai & vrai & vrai & vrai & vrai & faux \\\hline
\end{tabular} 
\end{center}

\item Cet algorithme affiche la valeur $N=7$; donc au bout du 7\up{e} mois la somme disponible sera supérieure à 70 euros.

\end{enumerate}

\item Pour tout entier $n$, on pose $v_n=u_n-80$.
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout entier $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-80=0,75 \times u_{n}+20-80=0,75 \times u_{n}-60=0,75 \left(u_{n}-\dfrac{60}{0,75}\right)= 0,75\times \left(u_{n}-80\right) = 0,75 \times v_{n}$.

Donc la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.
		\item $v_0 = u_0-80=20-80= - 60$.
		\item Pour tout entier $n$, $v_n=v_0\times q^n=-60\times 0,75^n$.

De plus $u_n=v_n+80=-60\times 0,75^n+80=80-60\times 0,75^{n}$.
		\item Pour trouver le montant que Maya possèdera dans sa tirelire au 1\ier{} juin 2019, on cherche la somme disponible fin mai 2019, ce qui correspond à $n=12$ : $u_{12} = 80 - 60\times 0,75^{12} \approx 78,10$.

Maya aura dans sa tirelire le 1\up{er} juin 2019 78,10~\euro. 
		\item La raison de la suite géométrique $(v_n)$ est strictement comprise entre $-1$ et 1, donc sa limite quand $n$ tend vers l'infini est égale à 0.
		\item Donc la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est égale à 80 ; cela signifie que le contenu de la tirelire va avoir tendance à se stabiliser vers 80~\euro{} au bout d'un certain temps.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans un pays deux opérateurs se partagent le marché des télécommunications mobiles. Une étude révèle que chaque année:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item parmi les clients de l'opérateur \emph{EfficaceRéseau}, 70\,\% se réabonnent à ce même opérateur et 30\,\% souscrivent un contrat avec l'opérateur \emph{GenialPhone};
\item parmi les clients de l'opérateur \emph{GenialPhone}, 55\,\% se réabonnent à ce même opérateur et 45\,\% souscrivent un contrat avec l'opérateur \emph{Efficaceréseau}.
\end{list}

On note $E$ l'état: \og la personne possède un contrat chez l'opérateur \emph{EfficaceRéseau} \fg{} et $G$ l'état: \og la personne possède un contrat chez l'opérateur \emph{GenialPhone} \fg{}.

À partir de 2018, on choisit au hasard un client de l'un des deux opérateurs.

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{On note également:}
\item $e_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur \emph{EfficaceRéseau} au 1\ier{} janvier $(2018+n)$;
\item $g_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur \emph{GenialPhone} au 1\ier{} janvier $(2018+n)$;
\item $P_n = \begin{pmatrix} e_n & g_n \end{pmatrix}$ désigne la matrice ligne traduisant l'état probabiliste du système au 1\ier{} janvier $(2018+n)$.
\end{list} 

Au 1\ier{} janvier 2018, on suppose que 10\,\% des clients possèdent un contrat chez \emph{EfficaceRéseau}, ainsi $P_0 = \begin{pmatrix} 0,1 & 0,9 \end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item On représente cette situation par un graphe probabiliste de sommets $E$ et $G$:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-0.8)(6,1.2)

\Rnode{C}{$E$} \hskip 4cm \Rnode{T}{$G$}%définition des sommets
\psset{nodesep=4pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%   paramètres
\ncarc{->}{C}{T} \Aput{0,30}%                    arc
\ncarc{->}{T}{C} \Aput{0,45}%                    arc
\nccircle[angleA=90]{->}{C}{4mm}   \Bput{0,70}%     boucle
\nccircle[angleA=-90]{<-}{T}{.4cm} \Bput{0,55}%  boucle 
\end{pspicture}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
%  \item Déterminer la matrice de transition $M$ associée au graphe en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique. 
		\item La matrice de transition est: $M = \begin{pmatrix}
0,70&0,30\\0,45&0,55\end{pmatrix}$.
		%\item Vérifier qu'au 1\ier{} janvier 2020, environ 57\,\% des clients ont un contrat avec l'opérateur \emph{EfficaceRéseau}.	
		\item $P_2 = P_0 \times M^2 = (0,56875\quad 0,43125)$ donc $e_2\approx 0,57$ soit 57\,\%.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que $P_{n+1} = P_n\times M$. Donc pour tout entier naturel $n$,\\
$(e_{n+1}\quad g_{n+1})= (e_{n}\quad g_{n}) \times \begin{pmatrix}
0,70&0,30\\0,45&0,55\end{pmatrix} = (0,70\times e_n+0,45\times g_n \quad 0,30\times e_n+0,55 \times g_n)$.

Donc  $e_{n+1}=0,70e_n+0,45g_n$.
		\item Pour tout entier naturel $n$,  $e_n+g_n=1$ donc $g_n=1-e_n$.\\
  Donc $e_{n+1}=0,70e_n+0,45(1-e_n)$ et donc $e_{n+1}=0,25e_n+0,45$.
	\end{enumerate}
	
\newpage

\item
\begin{enumerate}
\item On complète l'algorithme ci-dessous de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste au 1\ier{} janvier $(2018+n)$:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{|l|}
\hline 
$E\longleftarrow 0,1$\\
$G \longleftarrow 0,9$\\
Pour $I$ allant de 1 à $N$\hspace*{3cm}\\
\hspace*{1cm} $E \longleftarrow \text{\red{0,25}} \times E + \red{0,45}$\\
\hspace*{1cm} $G \longleftarrow \red{1-E} $\\
Fin Pour\\
Afficher $E$ et $G$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Pour $N=3$, l'algorithme affiche : $E\approx 0,59$ et $G\approx 0,41 $.

%\item Déterminer l'état stable du système et interpréter votre réponse dans le contexte de l'exercice.
\item Pour trouver l'état stable 
$\begin{pmatrix} e & g \end{pmatrix}$
 il suffit de résoudre le système d'équations:\\
$\left\{
\begin{array}{lc r}
e&=&0,25e+0,45 \\
e+g &=& 1
\end{array}\right.$

La première équation donne : $0,75 e=0,45$ donc $e=\dfrac{0,45}{0,75}=0,6$. Donc $g=1-e=0,4$.

L'état stable est donc $P = \begin{pmatrix} 0,6 & 0,4 \end{pmatrix}$.

Ceci signifie qu'à partir d'un certain nombre d'années la part de marché de l'opérateur \emph{EfficaceRéseau} sera  de 60\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez \textbf{sur votre copie} le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.}

Pour les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} et \textbf{3.}, on a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d'abscisses respectives 2 et 4.

\begin{center}
\scalebox{0.8}{
\psset{unit=0.8cm}
\def\xmin {-4.8}   \def\xmax {8.8}
\def\ymin {-3.6}   \def\ymax {6.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\def\f{x x x 6 sub mul 4 add mul 32 add 8 div}% définition de la fonction
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{\xmin}{\xmax}{\f}
\rput(-2.6,-2.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed]{\xmin}{\xmax}{x 2 div}% Tangente en x = 4
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed]{\xmin}{\xmax}{x neg 5 add}% Tangente en x = 2
\psdots[dotstyle=+](4,2)(2,3)
\end{pspicture*}
}%%% fin du scalebox
\end{center}

%\newpage
\bigskip

\begin{enumerate}
\item Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 4 est égale à $\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}=0,5$.\\
Donc $f'(4)=0,5$. \hfill{\textbf{Réponse C}}.

%\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
%\hline
%\textbf{A.} \quad $2$ & \textbf{B.} \quad $-1$\\
%\hline
%\textbf{C.} \quad $0,5$ & \textbf{D.} \quad $0$\\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\medskip

\item L'unique point d'inflexion se trouve au point d'abscisse 2, car la tangente à la courbe passe de part et d'autre de celle-ci. La fonction $f$ est donc concave sur l'intervalle $]-\infty\,;\,2]$ puis convexe sur l'intervalle $[2\,;\,+\infty[$. La fonction $f$ est donc convexe sur l'intervalle $[2\,;\,5]$. \hfill{\textbf{Réponse D}}.

%\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
%\hline
%\textbf{A.} \quad $]-\infty\,;\,2]$ & \textbf{B.} \quad $]-\infty\,;\,0,5]$\\
%\hline
%\textbf{C.} \quad $[0\,;\,4]$ & \textbf{D.} \quad $[2\,;\,5]$\\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\medskip

\item En comptant les unités d'aires, on peut estimer l'aire du domaine compris pour $x$ entre 0 et 5, et pour $y$ entre l'axes des abscisses et la courbe représentative de la fonction. Ainsi : $\displaystyle\int_0^{5} f(x) \d x\approx 14,5$.\\
La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle se calcule avec la formule :

$\dfrac{1}{5-0} \displaystyle\int_0^{5} f(x) \d x \approx \dfrac{14,5}{5}\approx2,9$.  \hfill{\textbf{Réponse C}}.

%\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
%\hline
%\textbf{A.} \quad $-0,1$ & \textbf{B.} \quad $2,5$\\
%\hline
%\textbf{C.} \quad $2,9$ & \textbf{D.} \quad $14,5$\\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\medskip

\item Nous savons que : $P(X \leqslant 649) \approx \np{0,1587}$ donc (par symétrie), $P(X \geqslant 651) \approx \np{0,1587}$.

Donc $P( 649  \leqslant X\leqslant 651)=1-(P(X \leqslant 649)+P(X \geqslant 651))$

$\approx 1-2\times 0,1587\approx 0,6826 \approx \np{0,683}$. \hfill{\textbf{Réponse B}}.

%On note respectivement $\mu$ et $\sigma$ l'espérance et l'écart-type de cette loi normale.

%\begin{center}
%\psset{xunit=0.07cm, yunit=200cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
%\def\xmin {-5}   \def\xmax {165}
%\def\ymin {-0.0047} \def\ymax {0.02}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psline(-5,0)(165,0)
%\def\m{80}% moyenne 
%\def\s{20}% écart type
%\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
%\def\inf{\xmin} \def\sup{60}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
%\closepath % indispensable !
%}
%\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](80,0)(80,0.4)
%\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
%\multido{\n=646+1,\i=0+20}{9}
%{
%\uput[d](\i,0){\n}
%\psline(\i,0.0005)(\i,-0.0005)
%}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

%\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
%\hline
%\textbf{A.} \quad $P(X\leqslant 651) \approx \np{0,6587}$ & \textbf{B.} \quad $P( 649  \leqslant X\leqslant 651) \approx \np{0,683}$\\
%\hline
%\textbf{C.} \quad $\sigma=650$ & \textbf{D.} \quad $\mu=649$\\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1\,;\,25]$ par
$f(x)=\dfrac{x+2-\ln(x)}{x}.$

\begin{enumerate}
\item  On admet que $f$ est dérivable sur $[1\,;\,25]$. Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[1\,;\,25]$ :

$f(x)$ est de la forme $\dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x)=x+2-\ln(x)$ et $v(x)=x$.

En écrivant  $u'(x)=1-\dfrac{1}{x}$ et $v'(x)=1$,

$f'(x)=\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\times x-\left(x+2-\ln(x)\right)\times 1}{x^2}=\dfrac{x-1-x-2+\ln(x)}{x^2}=\dfrac{-3+\ln(x)}{x^2}$

\medskip

\item Sur $[1\,;\,25]$, on a  $-3+\ln(x)>0 \Longleftrightarrow	\ln(x)>3 \Longleftrightarrow x>\e^3$ donc $x\in [\e^3\,;\,25]$
%\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur $[1\,;\,25]$.
\item Pour tout $x\in [1\,;\,25]$, $f'(x)$ a le même signe que $-3+\ln(x)$. 

$f(\e^{3}) = \dfrac{\e^3-1}{\e^3}\approx 0,950$ et $f(25) = \dfrac{27-\ln(25)}{25} \approx 0,951$.

Donc le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[1\,;\,25]$ est : \\

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \esp & \e^3 & \esp\esp & 25 \\ \hline
f'(x) &  &   \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ \hline
& \Rnode{max1}{3} &  &    &  &  \Rnode{max2}{\dfrac{27-\ln(25)\rule{0pt}{10pt}}{25}} \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
&  &   & \Rnode{min}{\dfrac{\e^3-1}{\e^3\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}}  &  &    \rule{0pt}{\hauteur}    
\ncline{->}{max1}{min} 
\ncline{->}{min}{max2} \\ \hline
\end{array} $
}
\end{center}

\item Sur l'intervalle $\left[1\,;\,\e^3\right]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante. Or $1,5 \in \left[\dfrac{\e^3-1}{\e^3}\,;\,3\right]$. D'après la propriété des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=1,5$ admet une unique solution sur l'intervalle $\left[1\,;\,\e^3\right]$.

Sur l'intervalle $[\e^3\,;\,25]$, l'équation $f(x)=1,5$ n'admet aucune solution car 

$1,5\notin \left[\dfrac{\e^3-1}{\e^3}\,;\,\dfrac{27-\ln(25)}{25} \right]$.

Donc dans l'intervalle $[1\,;\,25]$, l'équation $f(x)=1,5$ admet une seule solution.
\item À l'aide de la calculatrice,  $\alpha \in ]2,31\,;\,2,32[$
\end{enumerate}

\item Une entreprise fabrique chaque jour entre 100 et \np{2500} pièces électroniques pour des vidéoprojecteurs. Toutes les pièces fabriquées sont identiques.

On admet que lorsque $x$ centaines de pièces sont fabriquées, avec $1 \leqslant x \leqslant 25$, le coût moyen de fabrication d'une pièce est de $f(x)$ euros.

%En utilisant les résultats obtenus à la question \textbf{1.}:

	\begin{enumerate}
%\item Déterminer, à l'unité près, le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit minimal.
%Déterminer alors ce coût moyen, au centime d'euro près.
		\item D'après la question \textbf{1. c}, le coût minimal est obtenu pour $x=\e^3$ centaines de pièces, soit pour environ \np{2009} pièces.

Ce coût minimal sera de $\dfrac{\e^3-1}{\e^3}$ soit environ $\np{0,950}$ euro.
%\item Déterminer le nombre minimal de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit inférieur ou égal à $1,50$ euro.
		\item D'après la question \textbf{1. d}, le nombre minimal de pièces à fabriquer sera de 2,32 centaines de pièces, soit environ 232 pièces.
%\item Est-il possible que le coût moyen d'une pièce soit de 50 centimes? Justifier.
		\item Il sera impossible que le coût moyen d'une pièce soit de 50 centimes (0,50 euro), car sur l'intervalle $[1\,;\,25]$ (de 1 à \np{2500} pièces), $f(x)\geqslant \dfrac{\e^3-1}{\e^3}$ soit un coût minimal d'environ $0,95$ euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}